618 Aacm MATH.

Uber ganze LSsungen linearer Differentialgleichungen

Von

JOIIANNES ]~IKOLAUS

1. Einleitung. Gegeben sei die line,re Differenti~lgleichung

(E) a~(z)w<n) + a,~_~(z)w(~-~) ~ . . . . + ao( z )w = 0 ;

dabei sollcn die Funktionen ar(z) Polynome mit folgenden Eigenschaften sein: ao(z), an(z) �9 O, a~(z) : - A~z ~ + . . . . ~, : Grad yon av(z), A n = 1.

Wir werden nur solchc L6sungen yon (E) untersuchen, die ganze Funktionen sind. In Abschnitt 2 werden einige Hilfsmitte! zusammengestellt. In Abschnitt 3 werden wir nur transzendente LSsungen betrachten. Dabei wird

folgende geometrische Konstrukt ion eine wichtigc Rollc spielen. Wir dofinieren for v : 0 , . . . , n :

g ~ - - m a x ( ~ , , + n - - v ) , / ~ v ~ - - g - - ( ~ v + n - - v ) , Q v = ( v , fin-v).

Is t an-v(z) ~ 0, so soll dcr Punkt Q~ nicht beriicksichtigt werden. Mit ~ bezeichnen wir das Diagrumm, das die Punkte Q~ yon unten konvex bcgrenzt. In Satz 1 wird dann gezeigt, dab als Wachstumsordnungen

(w) = lira log log "~I(r, w) r- ~oo log r

dieser LSsungen (mit M ( r , w) = max ] w(z) ]) nur die negativen Steigungen der ab-

stcigenden Strcckcn von ~ auftreten k6nnen. Insbesondere kommen die Wachstums- ordnungen 0 und oo nicht vor.

In Abschnitt 4 werden Polynoml6sungen untersuehL und in Satz 2 wird gezeigt, dab man auch in diesem Fall einige Aussagen aus dem Diagramm ~ ablesen kann.

In Abschnitt 5 wird die bis dahin verwendete Methode aueh auf allgemeine alge- braisehe Differentialgleichungen iibertragen. Es wird sich zeigen, dab sie nur in Spezia]fiillcn angewandt werden kann. Das wird Fragestellungen und Ergebnisse yon PdLYA and VALI~tO~ unter einem anderen GesichtsImnkt erseheinen lassen.

Die Ergebnissc von Satz 1 wurden zum Teil auf anderem Wege yon P ~ R O ~ [3] hergeleitet. Das Diagramm ~ wurdc yon VALmON o]me vollstSndige Begrfindung zur Bcstimmung der Waehstumsordnungen verwendetl) . Die Aussage in Satz 2 a) leitete Wi'r'r~ciL mit eincr anderen Methode ab [13].

1) Hierzu vgl. m~n [7], S. 106--109 und [10], S. 278/279.

Vol. XVIII, 1967 Ganze LSsungen von Differentialgleidmngen 619

2. Hiifsmittel.

a) Hiffssatz2). Die Gleichung ao -t- a l z q . . . . + amzm = 0 mit am # 0 habe eine ink-/ache L & u n g Zk. D a n n gibt es / i ir ein hinreichend kleines e > 0 ein 5 derart, da f t / i i r alle 6v mi t [5r[ < 5 (v = 0, 1 . . . . . n; n > m) die Gleichung

(a0 -~- 50) -I . . . . .j_ ( a m ._~ 5 m ) Z m -~ 5 m + l Z m + l Af_ . . . q (~nzn __ 0

genau mk L & u n g e n z' ha t , / i i r die I zk - - z' I < e gilt.

b) Folgendes wichtige Ergebnis wird mi t Hilfe der Potenzre ihenvergle ichsmethode nach WXMAN-VaLIlmX gewonnena). Gegeben sei die ganze t ranszendente Funk t i on

oo w(z ) = ~ D n z n. Als Zentra l index v(r) bezeichnet m a n bei gegebenem r = Izl den

n ~ 0 oo grOl3ten I n d e x v, f/ir den I D,, [r v = # (r) = m a x I Dn I r n gilt. Die Stellen g seien deft-

t~ = 0 niert du tch I w (~)l = M (j ~l, w). Dann gibt es eine Ausnahmenmnge gl yon endliehem logar i thmisehem MaB so, dab ffir alle r = I~ l g} A gilt

/ ,,(r) kS ,~, (1) wO)(~) = {--~ J .wtg j ' ( 1 -t- ~S(~)) f / i r j = 1,2 . . . . .

wobei ej(~) -+ 0 s t rebt ffir I ~] ~ oo.

e) I n Absehni t t 3 wird das in der Einlei tung definierte D i a g r a m m ~ aus folgendem , ,Verfahren von PuISEUX" abgeleit, eta). Die algebraisehe Gleiehung

gn(X) + g n - l ( x ) Y + "'" + go(x)Y n = 0

definiert eine Mgebraische Funkt ion , die in der Umgebung von x = 0 in Reihen der F o r m y = G l x n l + G2x n', + . . . entwickcl t werdcn kann. Die E x p o n e n t e n nl, n2 . . . . kann man aus dem iblgenden , ,Diagramm yon P v I s E u x " bes t immen. Es sei yv der kleinste der im ]?olynom

g , , ( x ) = c~,.x~; + c~,.<x~,,,+l + . . .

v o r k o m m e n d e n Exponenten . Dann bildet man das die P u n k t e Pv (v, y'n-v) yon unten konvex begrenzende Polygon. Die negat iven Steigungen der einzelnen 8 t recken dieses Polygons ergeben die Exponen ten nl. Durch Koeffizientenvergleich gewinnt man G1. Eine Wiederholung dieses Prozesses liefbrt n,2, G2 usw.

3. Die Waehs tums0rdmmgen der ganzen franszendenten L~snng'en. Die folgenden Be t raeh tungen liefern den Beweis ffir Satz l. Man beaehte , da3 in dicsem Absehni t t nur in dem in 2 b) dcfinierten Sinn gebr ,mcht wird. Ferner wollen wit

1 1 = ~ und Y = v(r)

schreiben.

2) Den Beweis fin(let man z, B. in [2], w 14. a) Diese Mcthode ist mit den Ergebnissen zusammcngestetlt in [I1], S. 4--10. 4) Einc ausfiihrliche Behandhmg finder man in [1], S. 21ft.

620 J. NIKOLAUS Ar~c~{. MATII.

a) Is t die ganze t ranszendcnte l~unktion w(z) L6sung von (E) und setzt man (1) in (E) ein, so crhiilt m~n die Gleichung

(2') G(~, y) =- bn(~)~ t~ -~- bn_l(~)~ ~n ' y q- . . . q- b l ( ~ ) ~ y ~ - 1 § bo(~)~Oy~ = 0

(fiir fl,, s. 1.). Dabei ist bv(~) - 0, wenn av(z) - 0 ist. I s t dagegen a,,(z) ~ O, so schreiben wit by(0) = lira bv(~) = Av :~ 0, co, wobei ~ nu t diejenigcn Werte durch-

~e-+0 ]'auft, fiir die 1/l~[ = 1-~1 CA gilt.

Wir haben bishcr nur die g mit I~[ r A in (E) und (1) eingesctzt und sind nu t fiir diese Werte zu (2') gekommen. Ffir eino Erwei terung yon (2') auf alle komplexen Zahlen x liegt zungchst der Gedanke nahe, in (1) und (E) nicht nur die Zahlen ~, son- dern beliebige komplexe z zuzulassen und dann dieselben Umtbrmungen wie bisher mit x = 1/z vorzunehmcn. Dann erg/ibe sieh aber eine Gleiehung G(x, y) - - 0, in der (iber die Funk t ionen b~(x) mit x * ~ und fiir l / I x I e A keine Aussagen gemacht werden k6nnen, wenn x--> 0 strebt. Daher werden wit" cine Erwei terung auf eine andere Weise vornehmen mfissen. Und zwar wird es ffir unsere Bet rachtungen sinnvoll sein, yon den fiir alle x zu definierenden Funk t ionen b~(x) nu t zu verlangen, dag sie ffir x---~ $ mit den bisher be t rachte ten Funkt ionen bv(~) iibercinst, immcn und dag by (x) --> b, (0) s t rebt ffir x -~ 0, falls av (z) ~ 0 ist und dab by (x) ~ 0 ist fiir av (z) - 0. Sonst diirfen die by (x) ganz beliebig erkl~trt sein. Mit dieser Dcfinition kommen wit zu

(2) G (x, y) ~ bn ( x ) x ~ q- bn-1 ( x ) J " - ' y 4- " " q- bl (x)xO'y '~-1 -~- bo (x)xl~~ n = 0

mit den eben angegebenen Eigenschaften yon by(x).

Je tz t werden durch (2) fiir ]odes x n We,'te y definiert. ]?fir x = ~ nfit 1/1~ I = r ~ A 1

k o m m t mindestens cinmal y = }{r)- a ls Wurzel vor. Die Koeffizienten by (~) bewirken,

dab jeweils fiir alle $, deren Betrgge ein best immtes Interval l ausffillen, der kons tan tc 1

Wert y = v(r) als Wurzel auftr i t t .

Erse tz t man in (2) die Funkt ionen b,,(x) durch die Kons t an t en by (0), so bekommt man einc algebraische Gleichung, die wir mit G(0; x, y) = 0 bezeichnen wollen (s. auch (3)). Da sich die b~ (x) yon den b~ (0) fiir genflgend kleine x bcliebig wcnig unter- scheiden, wird man vermutcn, da/] die LSsungen von G(0; x, y) = 0 fiir geniigend kleine x yon den LSsungen yon G (x, y) = 0 nur geringfiigig ~bweichen. Diese Ver- mu tung wollcn wir im folgenden bestgtigen und dabei die Abweichung brauchbar ~bsch/itzen.

Dazu be t rachten wir ffir geniigcnd kleinc t die Glcichung

(3) G(t; x, y) - bn( t )x ~" + bn_~(t)xe~- 'y -~ . . . . . }- bo(t)x~~ n = O,

die fiir festes t eine algcbraische Funk t ion y----yt(x) erk]grt. Es gilt G(t; t, y) =- G(t, y) = O. Daher mult es ftir jedes t = ~ mit 1/}~} = r ~dl einen Zwcig yon y t ( x )

1 geben, fflr den yt( t ) ---- v(r) gilt. Es wird unsero nhchstc Aufgabe sein, alle Zwcige yon

y t ( x ) so abzusch'atzen, dalt sich auch einc Abschgtzung fiir yt ( t ) ergibt, wenn t--> 0 strebt. ])iesos Ziel wird mit (8) erreicht sein.

Vol. XVIII, 1967 Ganze Liisungen yon Differentialgleichungen 621

b) Es sei (4) Yt (x) : el ( t )x nl -~- e2 (t)xn~-I- . . .

eine der Reihenentwic ldungen yon Yt (x) u m x = 0. Dabe i ist el (t) ee 0. ~ q r wollen uns im folgenden f/it ein festes t immer denselben Zweig yon Yt (x) vors te l len . Fiir Yo(x) gibt es ebenfalls eine Entwicklung yo(x) = e , (0)x ~'~ -}- e2(0)x ~,~ -}- - . . , die sich yon (4) n u t durch die Koeffizienten e,(0) unterscheidet , deren E x p o n e n t e n n~ jedoch dieselben sind wie in (4). Der Beweis fiir diese :Behauptung folgt sofort aus dem Ver- fahren yon PuIs~ .vx (s. 2c). Man sieht auch, dab das P u I s n v x - D i a g r a m m yon (3) genau mi t dem D i a g r a m m ~ aus 1. f ibereinst immt. Die Koeff iz ienten el (t) und el (0) werden dann durch algebraische Gleichungen bes t immt , die sich in den Koeff iz ienten beliebig wenig untcrscheiden. Daher gibt es nach dem l i i l fssatz fiir jedes e ~ 0 ein 3 devart, dab ffir alle Ill ~ 6 ffir mindestens ein el (0) die Ungleichung

(5) [ ~ (t) - ~ (o) I <

gilt. Wir definicren nun eine eindeutige Funk t ion H (t, x) so, dab ffir den festen Zweig Yt (X) gi l t (6) y t ( x ) = x ' " ( e l (t) -}- I t ( t , x))

mit H(I , 0) ---- 0. Die Funk t ion y t ( x ) ha t auBer vielleicht bei x ----- 0 keine endlichen Unendlichkeitsstel len. Daher ist ffir jedes beliebige R und fcste t die Funk t ion wt(x) ---- el( t) ~- H( t , x) ffir Ixl < R beschr/tnkt. Setz t m a n y t ( x ) ---- x~"wt (x ) in (3) ein, so ergibt sich

(7) gn (x, t) -}- g n - l (x, t)w~ -}- "'" -}- go(x, t)w~' = O,

wobei g~(x, t) ~ br(t) �9 x~, '+(~-r)nl-h mi t h ---- rain (fi~ + (n - - v)n~) bedeu~en soil. Die v = 0

Anwendung des Hilfssatzes auf (7) liefert fiir wt (x) die wichtige Abschk~tzung : Ffir gegebenes e > 0 gibt es immer ein 6 derart , dab ffir alle Ix[, [t[ < 6 die durch

(4) festgelegten Zweige der Funkt ionen wt(x) der Ungleichung [u,t(x) - - e l(O) l ~ e genfigen.

W/ihlen wh" un te r den hier be t rach te ten t u n d x immer x ----- t, so ergibt sich daraus mi t (5):

Ffir beliebiges e > 0 gibt es immer ein ~ derart , dab fiir alle I l [ < 6 gilt : [ H (t, t) [ ----- ~ - ] w , (t) - ~ (t)] < ~:.

Mit (6) erhal ten wit daraus (8) yt( t ) = el(O)/n'(1 + h( t ) ) ,

wobei t t( t , t)

[ e ~ ( t ) - - 1 - ~ - - - - - - - + 0 s t r e b t f i i r t - ->0 h(t) ~ ~ e,(O) el(O)

c) N u n k6nnen wit den Zentra l index v (r) ffir r --+ oo absch~tzen. Nach a) g ibt es 1 ffir ar]Ie I ~-- ~ mi t 1/[$[ : r ~ A einen Zweig von y t (x ) , ffir den yt( t ) ~--- v(r)- gilt. Mit

nz = a und ea(0) - - 1]C heiBt das: Fiir jedes r ~ A gibt es ein ~ mi t I~1 ---- r so, dal3 eine Dars te l lung

(9) v(r) = C$~(1 -}- e(r

622 J. NIKOLAUS M~CH. MATI{.

m i t e (~) --> 0 fiir ~ --> c~ gilt, wobei fiir C, a und e (~) hSchstens n M6gliehkeiten vor- handen sin& Es ist nun nachzuweisen, dal~ yon einer Stelle ab in (9) nur ein E x p o n e n t

w)rkommt. Ffir l,(r) m6gen z. B. naeh 0bergang zum Batrag die beiden Darstellun- gen ] (r) -- c r ~ (1 d- ~ (r)) und ] (r) =- 5r~(l ~- ~ (r)) mit ~ 2> ~ in Frage kommen. Gilt immer wieder ~ (r) = ](r), dann ist zu zeigen, dal] von einer Stelle ab ~ (r) nieht mahr

dutch /(r) dargestallt warden kann. Der Nachweis ist deshalb erforderlich, weil die beiden Darstel lungen nur his auf eine Ausnahmemenge gelten und ~(r) beim Uber-

springen der AusnahmeintervMle auch zur Darstel lung [(r) wechseln k6nnte. Es sei (rl, r~) ein AusnahmeintervMl. Fiir ein r < rl gelte u(r) = l(r) und ftir ein r > r2

gelte v ( r ) = [(r). Wegan der Monotonie von ~,(r) mull d a n a geltan l(rl)<= f(re). Daraus folgt r2 > kr q mit q > 1. Das ,~ber ist mit der Lndhchke l t des loga.r~thmlsehen MaBes von A unvertrgglieh. Ebenso zeigt man, dal3 bei gleichem a nicht mehrere ver- sehiedenc Werte c auftreten. Also gibt es fiir alia geniigend grogen r ~ el genau einen Exponen ten (r nnd einen Koeffizienten c m i t

(10) r(r) = era(1 q- ri(r)) ,

wobei rj (r) --, 0 s t rebt f/ir r -~ co .

d) Daraus kann nun d ie 'Waehs tumsordnung von w (z) bes t immt werden. Zun/iehst zeigt man naeh W~T'rlOHS), dab (10) nieht nur f i i r r ~ A, sondern f/ir alle hinreiehend grof~en r gilt,: Nach Vorgabe eines r ~ A kann man zwei genfigend eng beieinander liagende r ' , r" q} A mit r ' < r < r" so angeben, dab mit ihnen die Beziehung (10) aueh fiir das gegebene r ~/J naehgewiesen werden kann. Aus der Beziehung

/ v(t) dt = (1 @ o(1))log/~(r) G) t

r e

erhglt man dann mit (10) den Ausdruck

c r~(1 + o(1)) . (11) log/~(r) : a

Die Ungleiehungen # (r) < M (r) < # (r) (log # (r)) ~'~ +~, die wiederum his auf eine Aus- nahmemenga A von endliehem logari thmisehen Mal] gelten7), fiihren mit (11 ) zu

(12) l o g M ( r ) = c r~(1 + o ( 1 ) ) f i i ra l le r ~ A . r

Die Giiltigkeit von (12) fiir alle ganiigend groBen r wird nun ebenso gezeigt wie die der Gleichung (10). Aus (12) folgt, dab die Funkt ion w(z) yon ragul/irem Waehs tum mit der Ordnung ~r und veal Mit tc l typus ist.

Die Bes t immung der m6glichen Werte cr = nl ergibt sieh nun leieht aus dem PuisE(Jx-Diagramm .~ yon (3). Fiir diese kommen nut endliehe rationale Zahlen in It'rage. Ganza t ranszendente Funkt ionen dot Ordnung Null kSnnen als LSsungen yon

5) Die Rcdmung wurde in [12], S. 9--10 durchgefiihrt. 6) Dazu vgl. man [6], S. 5. 7) Siehe [11], S. 7.

u XVIII, 1967 Ganze LSsungen yon Differentialgleidmngen 623

(E) nicht auftreten, weil dann nach (10) v (r) beschr/inkt w/~re8). Ebenso sind negative Exponen ten in (8) ohne Interesse. Daher wird zur Bes t immung der Wachs tums- ordnungen der ganzen t ranszendenten L6sungen nur der absteigende Tell yon ~ be- t rachtet . Dami t ist folgender Satz vollsb~ndig bewiesen.

Satz 1. Gegeben sei die Di//erentialgleichung (E). Die Wachstumsordnungen 2 der ganzen transzendenten LSsungen sind rational, und es gilt 0 < 2 < oo ; auflerdem sind sie vom Mit te l typus und yon regulgrem Wachstum. Die mSglichen Ordnungen 2 sind in den negativen Steigungen der absteigenden Strecken von ~ (s. 1.) enthalten.

4. Polynomliisungen. Wir nehmen an, dab das Po lynom

~0,1 5o, m / w(z) bmz ~ 1 + Z-- q . . . . + z" /

einc L6sung yon (E) sei. I m folgenden werden die Gr6Ben g und/3~, iin gleichen Sinn verwendet wie in 1.

Ffir die Koeffizienten yon (E) sehreiben wir

a~(z) = A r z ~" 1 -~- A~,., + . . . _~_ ..~],, ffir v 0 , . . n

{ e~,,1 + +

erh/flt man naeh Einsetzen in (E) und Kfirzen dutch bmzm-n+g:

m(m 1 ) - . - ( m - - n § 1)( a.,, '- ) Z~- . 1 + z "'" +

,) n + + . . + ) + + (13) q- A m - 1 ~:.(m - -z~--, - --- -

) Ao( Oo, 1. ) n!:-(1 al ,~ q_ . . . + z ~ ; 1 + z + = 0 . + A l z . , [ § z " ' "

Ordnet man die Glieder nach Potenzen yon m, so erh/flt man

) m'~-i ( dn-Ll ) -mn-(lz~, \ ~-- z~an'l 4:- . . . -[- Bn-1 Zv,,:~ 1 ~ - z - ~ - ' ' " -~-""

(14) ( ) l ( (/'0, 1 _j_ ) = 0 . m I + d1,1 3 - . . . + A o zvi 1 + z "'"

D~bei ist yn =- fin und 70 =/3o. Es sei m m n der hSehste Inde• fiir den fl~ -- 0 gilt. Dann ist aueh yx ~ 0 und y~.+~ ~ 0, falls Bx+i :~ 0 ist ffir i ~ 1 . . . . , n - - ~. Und es gilt B~ ~ A~. Die yon z unabh~ngigen Glieder yon (.14) ergeben eine Best immungs- gleiehung fiir m yore Grad

05) A~m~ + C~_~m~ ~ + "" q- Co = 0 .

Dabei ist Cr = 0 oder C, = B~, f/iv v = 0, . . . , ~ - - 1. Es gibt also h6chstens ~ linear unabh~ngige Polynoml6sungen yon (E).

I m folgenden soll gezeigt werden, wie dieses Ergebnis mit, einigen anderen aus dem Diagramm ~ abgeieitet werden kann.

s) Man vgl. [5], S. 21.

624 J. N ~ o ~ u s ~ac~. ~A~.

a) Die Vorausse tzung //~ = 0, flx+~ > 0 ffir i =- 1 . . . . . . n - - ~ bedeu te t , dab der abs te igende Teil yon H die v-Achse im P u n k t Qn_u = (n - ~, 0) tr iff t . Also g ib t es bei e iner solchen i~orm des D i a g r a m m s hSchstens g l inear unabh'hngige Po lynom- 16sungen.

b) H a t ~ auch einen aufs te igendcn Teil, also flo > 0, dann gi l t wegen yo = Do > 0 in (15) Co = 0. Die Anzah l der LOsungcn yon (15) reduzierb sich daher a u f ~ - - 1.

c) I s t m > ~, dann mu[~ in (13) neben A • - - 1) . . . (m - - x -~ 1) :~ 0 noch ein wei teres yon z freies Glied v o r k o m m e n . W e g e n flz+l > 0 g ib t es dahe r ein ~ < ~ m i t D~ ~ 0. Das aber bedeu te t , d a b ~ auch einen hor izon ta len Tell besi tz t .

d) I s t m < u, so b r auch t kein hor izon ta le r Tell vo rzukommen , wie die Different ial- gleichung w '" + zSw ' ' + (z + 1)w' - - w ~ 0 m i t der L6sung w =- z + 1 lehr t . W i r d nun (E) dureh ein P o l y n o m yore Grad m < g g n befr iedigt , d a n n ist diescs P o l y n o m aueh LSsung von

(16) w(m~l) + am(z)w(m) ~- . . . -~ ao(z)w ---- 0 ,

wobei die hicr v o r k o m m e n d e n az(z) mi t den en t sprechenden av(z) aus (E) fiberein- s t immen, l m D i a g r a m m H ' yon (16) muB aber wegen ~' ~ m nach c) ein hor izon ta le r Tell ~orkommcn , d .h . mi t 0 < # ~ , / ~ 2 < m ~- 1 gi l t fl~+~_,,~-= fl,~+~_~,~ = 0, wobei

D ~ , = g ' - (~z @ m - l - # ) f / i t # = 0 . . . . . m u n d g ' = m a x ( g z + m - ~ l - - # ) be- i t~O

deutet. Vv'egen /~, = ~a + (n - - # + 1 + g ' - - g) fo]gt dann /~m+ ] - . , = Sm+l-.~. A]so haben die Punk te (vj,/~n-v~) m i t v 1 = n - - m - - 1 + /~1 f i i r~ = 1, 2 dieselben Ordina- ten. D a m i t haben wir den

Satz 2. Der absteigende Tel l des D i a g r a mms ~ yon (E) tre//e die v-Achse bei ~, = n - - •

a) D a n n gibt es hSchstens ~ linear unabMingige PolynomlSsungen.

b) Hat ~ auch einen au[steiffenden Teil, so ffibt es h6chstens ~ - - 1 l inear unabh~inffige PolynomlSsungen.

c) Polynoml6sungen yore Grad m > n s ind nur m6glich, wenn .i~ auch einzn horizonta- len Tei l besitzt.

d) Polynoml6sungen vom Grad m < ~ s ind nur m6glich, wenn es unter den zur B i ldung von ~ best immten Pun, kten Q~ /iir ~, > n - ~ mindestens zwei mi t gleicher Ordinate fln-v ffibt. Liegt von diesen der P u n k t Qn-z am weitesten rechts, so haben alle Lgsungs- polynome mindestens den Grad ~ -4- 1.

5. Algebraische Different ialgleichungen. a) Gegeben sei die Mgebraische Differen- t ia lg le ichung I. 0 r d n u n g

(17) ~ a~,~(z) . wa(w')~ = O, a~,~(z) = Po lynome.

K o m m t hier genau ein Glicd mi t # A- ~ = m a x ( # A- v) vor, so g ib t es keine ganze

LSsung~). K o m m e n dagegen mehrere solchc Glieder vor und n i m m t m a n w(z) als

9) Der Beweis hierffir stcht ill [11], S. 65.

Vol. XVIII, 1967 Ganze LSsungen van Differentialgleichungen 625

ganze t ranszendente LSsung von (17) an, dann erh/tlt m a n nach Einsetzen yon (1) in (17) eine Gleichung (2') mi t

b0(0) = ]imb0(~) ~: 0 , bn(0) = limbn(~:) :~ 0 . ~---~0 r

Daraus ib]gt aber, da~ die ganzen t ranszendenten LSsungeu yon (17) das iu S~tz 1 angegebcne Wachs tumsve rha l t en h~ben. Insbesondere kann es keine g~nzcn t rans- zendenten L6sungen der Ordnung Null geben.

Aul terdem gib t es hSehstens endlich viele linear un~bh~ngige Polynoml6sungen. / )enn die Beziehung (1) gilt bek~nntl ich ftir ] ~ 1 auch bei Po lynomen mi t v (r) ~ m. I)as f/ ihrt fiir gentigend grol]es m zu einem Ausdruck (14), der nur endlich vie]e m liefert. Diese beiden Ergebnisse wurden zum ersten Mal auf einem etw,~s anderen ~%g yon P6Ly). bewiesen [4].

b) Es sei w(z) eine g~nze t ranszendente L6sung einer a lgebraischen Differential- gleiehung der 0 rdnung n :> 1. Setzt m a n (1) in diese Differentialgleichung ein, so ergibt sieh wieder (2'). I s t bo (0), bn (0) 4 0, so haben wir dieselben Aussagen wie un te r a). Isb dagegen b0 (0) -~ 0 oder bn (0) = 0, dann s t i m m t die Anzahl der Reihenent- wicklungen yon yo(x) nieht mehr mi t der yon yt(x), t ~: O, tibereiu. U n d d a m i t k~nn die Ungleichung (5) nicht mehr i'/ir alle Entwicklungen angegeben werden, was die Her le i tung yon (8) unm6glich macht . Dami t ist in diesem F~ll keine Aussage fiber die Wachs tumsordnungen mSglich. Also sind genau unter diesen Bedingungen ganze t r~nszendente LSsungen der Ordnung Null oder Unendlich denkbar . Beispiele zeigen, dal3 beide Fitlle t~ts/ichlich auf t re tenl~

Unendlieh viele PolynomlSsungen sind aber nur d~nn m6glich, wenn eine zu (13) analoge Gleiehung identiseh versehwindet . I-Iierffir g ibt es t in Beispiel yon P6LYA [4].

Litcraturverzeichnis

[1] H. ~V. E. J ~ a , Einffihrung in die Theorie der algebraischen ~'unktionen einer Ver/inder- lichen. Berlin 1923.

[2] K. KNoeP, Funktionentheorie II. Berlin 1955. [3] O. PE~RON, Uber ]ineare Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten. Acta Math.

34, 139--163 (1910). [4] G. P6LYA, Zur Untersuchung der Gr56enordnung ganzer Funktionen, die einer Differential.

gleichung geniigen. Acta Math. 42, 309--316 (1920). [5] G. P6LYA und G. Sz~G5, Aufgaben und Lehrs~tze aus der Analysis, Band I. Berlin 1964. [6] G. P6LYA und G. SzEoS, Aufgaben und Lehrs~tze aus der Analysis, Band lI. Berlin 1964. [7] G. VALIROIr Lectures on the general theory of integral functions. Toulouse 1923, Nachdruck

New York 1949. [8] G. VALmON, Sur une fonction entiSre d'ordre nul qui est solution d'nne 6quation diff6rentielle

alg6brique. C. R. Aead. Sci. Paris 180, 571--572 (1925). [9] (~. VALIRON, Sur lOS fonctions entiSre d'ordre nul et les dquations diff6rentie]les. Bull. Soe.

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Ann. 124, 277--288 (1952).

10) Dazu vgl. msn [11], S. 70--72, [8] und [9].

Archly der Mathematik XVIII 41

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[11] H. WITTICII, Neucre Untcrsuchungen fiber eindeutige analytische Funktionen. Berlin 1955. [12] H. W1TT1CH, Zur Theorie linearer Differentialgleichungen im Komplexen. Ann. Aead. Sci.

Fennicae. Ser. A I, Nr. 379 (1966). [13] H. WITTmIt, ~ber einen Satz von G. H. Halphen. Math. Z. 101, 83--94 (1967).

Anschrift des Autors:

Johannes Nikolaus Mathematisches Insti tut Technisehe Hochschule 75 Karlsruhe

Eingcgangen am 30.3.1967