die dynamik von abgeleiteten preisen stochastische differentialgleichungen
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Die Dynamik von Die Dynamik von abgeleiteten Preisenabgeleiteten Preisen
Stochastische Stochastische DifferentialgleichungenDifferentialgleichungen
ÜbersichtÜbersicht EinführungEinführung Geometrische Beschreibung des Pfades von Geometrische Beschreibung des Pfades von
Stoschastischen DifferentialgleichungenStoschastischen Differentialgleichungen Lösungen von SDG‘sLösungen von SDG‘s Bedeutende Modelle von SDG‘sBedeutende Modelle von SDG‘s Stochastische VolatilitätStochastische Volatilität ZusammenfassungZusammenfassung
Einführung (1)Einführung (1)
],0[),(),( tdWtSdttSadS tttt
ht
t
ht
t
ht
tuuuu dWuSduuSadS ),(),(
Stochastische Differentialgleichung (SDG):
Einführung (2)Einführung (2) Verschiedene Marktteilnehmer können Verschiedene Marktteilnehmer können
verschiedene Funktionen a(St,t) und verschiedene Funktionen a(St,t) und σσ(St,t)(St,t) Abhängig von der Menge an InformationenAbhängig von der Menge an Informationen Z.B.: Insider Informationen und Kenntnis aller Z.B.: Insider Informationen und Kenntnis aller
zufälligen Ereignisse, die den Marktpreise zufälligen Ereignisse, die den Marktpreise beeinflussen (kein Diffusionsterm): beeinflussen (kein Diffusionsterm): dSt=a*(St,t)dtdSt=a*(St,t)dt
Normaler Marktteilnehmer: Normaler Marktteilnehmer: dSt=a(St,t)dt+dSt=a(St,t)dt+σσ(St,t)dWt(St,t)dWt
Wobei a*≠aWobei a*≠a
Einführung (3)Einführung (3) Die Drift- und Diffusionsparameter hängen von SDie Drift- und Diffusionsparameter hängen von S tt
und t ab und sind daher selbst Zufallsvariablen.und t ab und sind daher selbst Zufallsvariablen. Sie sind aber Informationsadaptiert und werden Sie sind aber Informationsadaptiert und werden
daher beim Informationsstand Idaher beim Informationsstand Itt zum Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t fixiert.fixiert.
Sie müssen folgende Bedingungen einhalten:Sie müssen folgende Bedingungen einhalten:
1|),(|0
t
u duuSaP 1),(0
2
t
u duuSP
Geometrische Beschreibung des Geometrische Beschreibung des Pfades von SDG‘sPfades von SDG‘s
Lösungen von SDG‘s (1)Lösungen von SDG‘s (1) Die Lösung (SDie Lösung (Stt) ist selbst ein stochastischer ) ist selbst ein stochastischer
ProzessProzess
t
u
t
u
t
u uSduuSadS000
),(),(
t
u
t
ut uSduuSaSS00
0 ),(),(
Lösungen von SDG‘s (2)Lösungen von SDG‘s (2)
Starke Lösung:Starke Lösung:WWtt bekannt (Fehlerteil) bekannt (Fehlerteil)Ähnlich wie bei normalen Ähnlich wie bei normalen
DifferentialgleichungenDifferentialgleichungenHängt ab von t und WHängt ab von t und Wtt (und von den (und von den
Parametern)Parametern)
Lösungen von SDG‘s (3)Lösungen von SDG‘s (3) Schwache Lösung:Schwache Lösung:
Š=f(t,Ŵ)Š=f(t,Ŵ) Wobei Š und Ŵ gleichzeitig bestimmt werdenWobei Š und Ŵ gleichzeitig bestimmt werden Gegeben sind nur die Drift- und Diffusionsparameter Gegeben sind nur die Drift- und Diffusionsparameter
a(.) und a(.) und σσ(.)(.) Ŵ ist ein Wiener ProzessŴ ist ein Wiener Prozess dŴ und dW haben beide Erwartungswert 0 und eine dŴ und dW haben beide Erwartungswert 0 und eine
Varianz von dtVarianz von dt dŠdŠtt=a(Š=a(Štt,t)dt+,t)dt+σσ(Š(Štt,t)dŴ,t)dŴtt
SStt ist I ist Itt adaptiert, während adaptiert, während ŠŠt t HHtt adaptiert ist adaptiert ist
Lösungen von SDG‘s (4)Lösungen von SDG‘s (4)VerifikationVerifikation
tt Xa
dtdX
tat eXX 0
tata eXaeXdtd 00
00
0 XeX a
Lösungen von SDG‘s (5)Lösungen von SDG‘s (5)VerifikationVerifikation
dSdStt=a*dt+=a*dt+σσ*dW*dWtt
SStt=f(a, =f(a, σσ, S, S00, t, W, t, Wtt)) WWtt und daher auch S und daher auch Stt sind stochastische sind stochastische
ProzesseProzesse Daher ist SDaher ist Stt nicht ableitbar nicht ableitbar Verifikation aber mit Ito‘s Lemma möglichVerifikation aber mit Ito‘s Lemma möglich
Lösungen von SDG‘s (6)Lösungen von SDG‘s (6)Verifikation – Black-ScholesVerifikation – Black-Scholes
tttt dWSdtSdS
t t t
uu
u dWduSdS
0 0 0
tdut
0
t
tu WWdW0
0
Lösungen von SDG‘s (7)Lösungen von SDG‘s (7)Verifikation – Black-ScholesVerifikation – Black-Scholes
t
tuu
WtdSS0
1
tWta
t eSS 2
21
0
Starke LösungStarke Lösung Einsetzen in Ito‘s Lemma zu VerifikationEinsetzen in Ito‘s Lemma zu Verifikation
Lösungen von SDG‘s (8)Lösungen von SDG‘s (8)Verifikation – Black-ScholesVerifikation – Black-Scholes
dtdWdtaeSdS t
Wta
t
t 2221
0 21
212
ttt dWdtaSdS
Lösungen von SDG‘s (9)Lösungen von SDG‘s (9)Wichtiges BeispielWichtiges Beispiel
][ TttTr
t SEeS
TWTr
T eeSS
2
21
0
tttt dWSdtrSdS
Lösungen von SDG‘s (10)Lösungen von SDG‘s (10)Wichtiges BeispielWichtiges Beispiel
Lösung direkt mittels IntegralLösung direkt mittels Integral Nötig ist die Dichtefunktion von WtNötig ist die Dichtefunktion von Wt Es existiert aber noch eine zweite MethodeEs existiert aber noch eine zweite Methode
TtTWW
t dWWWfeeE TT )|(
Lösungen von SDG‘s (11)Lösungen von SDG‘s (11)Wichtiges BeispielWichtiges Beispiel
tWt eZ
dteedZ tt WWt
2
21
)( tTrtTt eSSE
SubstituierenSubstituieren Anwenden von Ito‘s LemmaAnwenden von Ito‘s Lemma Integrieren führt zu einem Integrieren führt zu einem
einfachen Integraleinfachen Integral Durch Rücksubstituieren Durch Rücksubstituieren
erhalten wirerhalten wir Dies führt zum folgenden Dies führt zum folgenden
Schluss: Der jetzige Wert Schluss: Der jetzige Wert einer Aktie entspricht dem einer Aktie entspricht dem abgezinsten abgezinsten ErwartungswertErwartungswert Tt
tTrt SEeS )(
Bedeutende Modelle von SDG‘s (1)Bedeutende Modelle von SDG‘s (1)Lineare SDG mit konstanten Lineare SDG mit konstanten
KoeffizientenKoeffizienten
),0[ tdWdtdS tt
hSE tt hSVar t2)(
Fluktuiert rund um einen linearen TrendFluktuiert rund um einen linearen Trend Geeignet für bestimmte AktienGeeignet für bestimmte Aktien
Bedeutende Modelle von SDG‘s (2)Bedeutende Modelle von SDG‘s (2)Lineare SDG mit konstanten Lineare SDG mit konstanten
KoeffizientenKoeffizientenLinear Constant Coefficient SDEs
99,997
99,998
99,999
100
100,001
100,002
100,003
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,06
0,07
0,08
0,09 0,
1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18
0,19 0,
2
Time
St St
Bedeutende Modelle von SDG‘s (3)Bedeutende Modelle von SDG‘s (3)Geometrische SDGGeometrische SDG
tttt dWSdtSdS 2
12
1)( kkk SSSVar hSSE ttt ][
Fluktuiert rund um einen exponentiellen Fluktuiert rund um einen exponentiellen TrendTrend
Besser geeignet für Aktien als lineare SDG‘sBesser geeignet für Aktien als lineare SDG‘s
Bedeutende Modelle von SDG‘s (4)Bedeutende Modelle von SDG‘s (4)Geometrische SDGGeometrische SDG
Geometric SDEs
979899
100101102103104105
0
0,01
0,03
0,04
0,06
0,07
0,08 0,1
0,11
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18 0,2
Time
St St
Bedeutende Modelle von SDG‘s (5)Bedeutende Modelle von SDG‘s (5)Quadratwurzel-ProzesseQuadratwurzel-Prozesse
tttt dWSdtSdS
12
1)( kkk SSSVar Varianz des Fehlerteils ist jetzt Varianz des Fehlerteils ist jetzt
proportional zu Sk (anstatt zu Sk^2)proportional zu Sk (anstatt zu Sk^2) Für „langweiligere“ Aktien (Blue Chips, ...)Für „langweiligere“ Aktien (Blue Chips, ...)
Bedeutende Modelle von SDG‘s (6)Bedeutende Modelle von SDG‘s (6)Quadratwurzel-ProzesseQuadratwurzel-Prozesse
Square Root Process
98
99
100
101
102
103
104
0
0,01
0,03
0,04
0,06
0,07
0,08 0,1
0,11
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18 0,2
Time
St St
Bedeutende Modelle von SDG‘s (7)Bedeutende Modelle von SDG‘s (7)Mean Reverting ProcessMean Reverting Process
tttt dWSdtSdS
tttt dWSdtSdS
Fluktuiert um einen LangzeittrendFluktuiert um einen Langzeittrend Geeignet zum Modellieren von ZinsenGeeignet zum Modellieren von Zinsen
Bedeutende Modelle von SDG‘s (8)Bedeutende Modelle von SDG‘s (8)Mean Reverting ProcessMean Reverting Process
Mean Reverting Process
93949596979899
100101
0
0,01
0,03
0,04
0,06
0,07
0,08 0,1
0,11
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18 0,2
Time
St St
Bedeutende Modelle von SDG‘s (9)Bedeutende Modelle von SDG‘s (9)Ornstein-Uhlenbeck ProzessOrnstein-Uhlenbeck Prozess
ttt dWdtSdS Ornstein-Uhlenbeck Process
92
94
96
98
100
102
0
0,01
0,03
0,04
0,06
0,07
0,08 0,1
0,11
0,13
0,14
0,15
0,17
0,18 0,2
Time
St St
Stochastische VolatilitätStochastische Volatilität Auch Auch μμ und und σσ können Zufallsprozesse sein können Zufallsprozesse sein dSdStt==μμdt+dt+σσttdWdW1t1t
ddσσtt==λλ((σσ00--σσtt)dt+)dt+ασασttdWdW2t2t
WW1t 1t und dWund dW2t 2t unabhängigunabhängig Die Volatilität hat dann einen langzeit Die Volatilität hat dann einen langzeit
Mittelwert von Mittelwert von σσ00 kann aber jederzeit kann aber jederzeit stochastisch abweichenstochastisch abweichen
ZusammenfassungZusammenfassung Lösungen für SDG‘sLösungen für SDG‘s
Starke LösungStarke LösungSchwache LösungSchwache Lösung
Wichtige ModelleWichtige ModelleLineare SDG mit konstanten KoeffizientenLineare SDG mit konstanten KoeffizientenGeometrische SDG‘sGeometrische SDG‘sQuadratwurzel ProzesseQuadratwurzel ProzesseMean Reverting ProcessMean Reverting ProcessOrnstein-Uhlenbeck ProzessOrnstein-Uhlenbeck Prozess