UUłłamki Egipskieamki Egipskie

Autor:Autor:

Anna SosnowskaAnna Sosnowska

HistoriaHistoria

Informacje o poziomie matematyki w staroInformacje o poziomie matematyki w staroŜŜytnym Egipcie sytnym Egipcie sąą bardzo ubogie. O stanie wiedzy z tamtego okresu bardzo ubogie. O stanie wiedzy z tamtego okresu śświadczwiadcząą ggłłóównie zabytki architektury egipskiej. Najdawniejsze matematyczne wnie zabytki architektury egipskiej. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane zachowateksty pisane zachowałły siy sięęmniej wimniej więęcej z poczcej z począątku drugiego tysitku drugiego tysiąąclecia p.n.e. To, clecia p.n.e. To, ŜŜe zachowae zachowałło sio sięę tak niewiele egipskich teksttak niewiele egipskich tekstóów w matematycznych zwimatematycznych zwiąązane jest prawdopodobnie ze sposobem ich zapisywania. Teksty matzane jest prawdopodobnie ze sposobem ich zapisywania. Teksty matematyczne ematyczne pisane bypisane byłły na kruchym papirusie, czasem na sky na kruchym papirusie, czasem na skóórze. Do naszych czasrze. Do naszych czasóów przetrwaw przetrwałły tylko teksty zy tylko teksty złłooŜŜone w one w piramidach. Babilopiramidach. Babilońńskie teksty byskie teksty byłły pisane na glinianych tabliczkach. Dziy pisane na glinianych tabliczkach. Dzięęki temu zachowaki temu zachowałło sio sięę wiele wiele matematycznych tekstmatematycznych tekstóów babilow babilońńskich pisanych pismem klinowym. Matematyka pozwalaskich pisanych pismem klinowym. Matematyka pozwalałła na a na dokonywanie obliczedokonywanie obliczeńń potrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatkpotrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatkóów, mierzenia pw, mierzenia póól i objl i objęętotośści ci tam i zbiorniktam i zbiornikóów zbow zboŜŜa, zamiany miar wagi i obja, zamiany miar wagi i objęętotośści na inne jednostki. ci na inne jednostki. Uwaga uczonych byUwaga uczonych byłła a skoncentrowana nie na metodach, lecz na obliczeniach.skoncentrowana nie na metodach, lecz na obliczeniach. Po licznych obserwacjach zauwaPo licznych obserwacjach zauwaŜŜono , ono , ŜŜe e cyfrom i liczbom przyporzcyfrom i liczbom przyporząądkowano znaki lub symbole graficzne jak padkowano znaki lub symbole graficzne jak pałłeczka czy zwinieczka czy zwinięęty lity li śćść palmy. palmy. Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczajPrzy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczająące jednoce jednośści , dziesici , dziesiąątki , setki itd. pisano tyle razy, ile bytki , setki itd. pisano tyle razy, ile byłło w o w danej liczbie jednodanej liczbie jednośści w odpowiednich rzci w odpowiednich rzęędach , przy czym rzdach , przy czym rzęędy pisano w porzdy pisano w porząądku odwrotnym do dku odwrotnym do naszego (staronaszego (staroŜŜytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).ytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).

SposSposóób zapisywania pozostab zapisywania pozostałłych uych ułłamkamkóów egipskich byw egipskich byłł bardzo prosty. Jedynkbardzo prosty. Jedynkęę w liczniku zapisywano za w liczniku zapisywano za pomocpomocąą owalu, a liczbowalu, a liczbęę w mianowniku przedstawiano sposobem podobnym do rzymskiego systw mianowniku przedstawiano sposobem podobnym do rzymskiego systemu zapisu emu zapisu liczb. Analizujliczb. Analizująąc ponic poniŜŜsze przyksze przykłłady bardzo ady bardzo łłatwo zauwaatwo zauwaŜŜyyćć zasady ich tworzenia.zasady ich tworzenia.

Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych , nie potrafimy jednoPodobnie jak w przypadku liczb naturalnych , nie potrafimy jednoznacznie odpowiedzieznacznie odpowiedziećć na pytanie na pytanie –– kiedy kiedy odkryto uodkryto ułłamki. Dorysowanie owalu nad hieroglifem, byamki. Dorysowanie owalu nad hieroglifem, byłło chyba jednak poczo chyba jednak począątkiem utkiem ułłamkamkóów . Z caw . Z całąłąpewnopewnośściciąą wiadomo , wiadomo , ŜŜe najwczee najwcześśniej poznanymi sponiej poznanymi spośśrróód wszystkich ud wszystkich ułłamkamkóów sw sąą popołłowa i owa i ććwierwierćć. . Egipcjanie do zapisywania tych uEgipcjanie do zapisywania tych ułłamkamkóów stosowali znaki indywidualne :w stosowali znaki indywidualne :

KAśDĄ LICZB ĘWYMIERN Ą MOśNA PRZEDSTAWIĆ JAKO SUMĄ RÓśNYCH UŁAMKÓW EGIPSKICH.

W papirusie Rhinda zapisano wartość liczby w postaci:π = 3 + 1/13 + 1/17 + 1/173

W dokumencie tym znalazły się takŜe rozkłady takich ułamków jak :4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10 1/3 = 1/6 + 1/61/2 = 1/6 + 1/6 + 1/61 = 1/2 + 1/3 + 1/62/3 = 1/2 + 1/63/4=1/2+1/46/7=1/2+1/3+1/42

Oprócz ułamków z jedynką w liczniku , Egipcjanie uŜywali ułamka 2/3, który był wyjątkiem ułamka egipskiego.

W połowie zeszłego stulecia w ruinach staroŜytnych Teb znaleziono drogocenny papirus zwany „PAPIRUSEM RHINDA” , który zawierał 84 zadania. Jedną z najbardziej interesujących części dokumentu była część zawierająca informacje o ułamkach. Egipcjanie, ze względu na łatwośćzapisywania, uŜywali ułamków prostych. Kiedy w swych obliczeniach posługiwali się ułamkami, zawsze zakładali, Ŝe licznik jest równy jedności, natomiast mianownik ulega zmianie (tzw. ułamki alikwotne ). W ten sposób dysponowali faktycznie wszystkimi liczbami wymiernymi. NaleŜy jednak zaznaczyć, Ŝe najwaŜniejszym zagadnieniem, do którego sprowadza się prawie cała arytmetyka egipska, było dąŜenie do rozkładu ułamków na sumę róŜnych ułamków alikwotnych o licznikach równych jedności czyli tzw. ułamków egipskich.

A zaczęło się od podzielenia chleba…Metoda zalecana do dzielenia chleba między kilka osób zapisana

w papirusie np. 5 bochenków między 6 osób to przedstawienie 5/6 jako 1/2 +1/3. Innymi słowy, 5 = 6(1/2 + 1/3) = 6(1/2) + 6(1/3). W myśl tej metody naleŜy kaŜdy z 6(1/2) = 3 bochenków podzielić na dwie równe części i kaŜdy z 6(1/3) = 2 bochenków na trzy równe części . W rezultacie mamy 6 połówek i 6 trzecich bochenka. KaŜda z sześciu osób otrzyma 1/2 i 1/3 bochenka.

Jeśli dzielimy 5 bochenkdzielimy 5 bochenkóów miw mięędzy 6 osdzy 6 osóób, to kab, to kaŜŜdy otrzyma 5/6 dy otrzyma 5/6 bochenka . Do podzielenia kabochenka . Do podzielenia kaŜŜdego z nich na 6 rdego z nich na 6 róównych wnych czczęśęści potrzeba 6ci potrzeba 6--1 = 5 ci1 = 5 cięćęć, zatem w sumie 25 ci, zatem w sumie 25 cięćęć..

Za pomocZa pomocąą uułłamkamkóów egipskich musimy podzieliw egipskich musimy podzielićć trzy bochenki trzy bochenki na dwie rna dwie róówne czwne częśęści (1 cici (1 cięęcie kacie kaŜŜdy) i dwa bochenki na dy) i dwa bochenki na trzy rtrzy róówne czwne częśęści (2 cici (2 cięęcia kacia kaŜŜdy) .Ostatecznie otrzymujemy dy) .Ostatecznie otrzymujemy 3 + 4 = 7 ci3 + 4 = 7 cięćęć..

Jaka jest najmniejsza liczba Jaka jest najmniejsza liczba elementelementóów sumy??w sumy??

Zilustrujmy ten algorytm na przykładzie ułamka p/q=4/5. Tutaj q nie jest podzielne przez p, więc 4/5 nie jest ułamkiem jednostkowym i

||4/5|| > 1. Sprawdźmy, czy teŜ || 4/5|| < 2. Według powyŜszego algorytmu, wartość q1 musi spełniać nierówność 5/4≤ q1 ≤2 *5/4, tj. 1,25 ≤ q1 ≤2,5. Znajduje się tu tylko jedna liczba całkowita spełniająca obie nierówności q1=2. Musimy zastosować algorytm A1 w celu sprawdzenia czy teŜróŜnica p/q -1/q1=4/5 - 1/2=3/10 ma || r ||≤ 1.Ta róŜnica nie jest ułamkiem jednostkowym, więc ||p/q-1/q1|| > 1 , stąd ||p/q|| > 2. Teraz sprawdźmy, czy teŜ || 4/5|| < 3. Według powyŜszego algorytmu wartość q1 musi spełniać nierówność 5/4≤ q1 ≤3·5/4 ,tj. 1,25 ≤q1≤3,75. Znajdują się tu dwie liczby całkowite spełniające obie nierówności, q1=2 i q1=3. NaleŜy zastosować algorytm A2 dla róŜnicy p/q-1/q1. Dla q1=2 róŜnica równa się4/5 − 1/2 = 3/10. Według algorytmu A2, musimy wybrać liczbę całkowita q’1, dla której 10/3 ≤ q’1 ≤ 2 ·10/3, musimy równieŜ rozwaŜyć q’1=4, q’1 =5 i q’1=6. JuŜ dla q’1 =4, róŜnica 3/10 − 1/4 = 1/20 jest ułamkiem jednostkowym, więc ||3/10|| = 2, gdzie 3/10 = 1/4 + 1/20. PoniewaŜ3/10=4/5-1/2, wnioskujemy, Ŝe ||4/5||=3, gdzie 4/5=1/2+1/4+1/20.

UWAGA:To nie jest jedyna moŜliwa reprezentacja ułamka 4/5 jako suma trzech

ułamków: dla q’1=5 otrzymujemy równieŜ 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10. Egipcjanie nie dopuszczają identycznych części ułamków w ich reprezentacji. Jako wynik np. zamiast 2/13 = 1/13+1/13, oni uŜywali reprezentacji 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104. Z punktu widzenia najmniejszej liczby cięć, ta reprezentacja nie ma sensu, zatem ułamki Egipskie nie zawsze dawały optymalną reprezentację daną w Papirusie Rhinda.

Leonardo Pisano Fibonacci w roku 1202 znalazł sposób na znajdowanie liczby wymiernej w postaci sumy ułamków Egipskich. Nie był to jednak algorytm uŜyty przez w papirusie. Ten rozszyfrowano dopiero w roku 1999r. (po 4000 lat!). Formalny dowód na to, Ŝe kaŜdy ułamek da się tak przedstawić znaleziony został dopiero w roku 1880r. Algorytm Fibonacciego zawsze daje rozwiązanie, lecz nie zawsze jest to rozwiązanie najprostsze. Próbowano tym sposobem przedstawić prosty ułamek 3/179. Wymaga to znalezienia 19 ułamków egipskich, z których ostatni ma mianownik będący liczbą o prawie 500000 cyfrach dziesiętnych. Jest to najprawdopodobniej największy ułamek egipski, jaki kiedykolwiek był przez człowieka oglądany.Okazuje się, Ŝe 3/179 = 1/63+1/1611+1/3759 = 1/63+1/1253+1/11277 =

= 1/171+1/209+1/285+1/895+1/1611+1/1969+1/2685

Istnieje teŜ wiele problemów dotyczących ułamków egipskich, a nierozwiązanych do tej pory. Na przykład nie udało się rozstrzygnąć, czy kaŜdy ułamek postaci 4/n moŜna przedstawić jako sumę trzech ułamków egipskich. Problem ten jest zupełnie powaŜny i nosi nawet swoją nazwę: problem Erdosa-Straussa. Pokazano dotąd, Ŝe jest to prawda dla liczb naturalnych mniejszych od . 1410

PodsumowaniePodsumowanie

1. U1. Ułłamki Egipskie uamki Egipskie ułłatwiaatwiałły wbrew pozorom dzielenie.y wbrew pozorom dzielenie.Powiedzmy, Powiedzmy, ŜŜe chcemy 5 ciasteczkami obdzielie chcemy 5 ciasteczkami obdzielićć 8 os8 osóób. Dzib. Dziśś zapewne zapewne

podzielilibypodzielilibyśśmy kamy kaŜŜde ciastko na 8 czde ciastko na 8 częśęści i kaci i kaŜŜdemu dali o 5 takich mademu dali o 5 takich małłych ych kawakawałłkkóów. Ile by przy tym byw. Ile by przy tym byłło okruszko okruszkóów! Taki sposw! Taki sposóób podziab podziałłu jest logicznu jest logicznąąkonsekwencjkonsekwencjąą zapisu 5/8.zapisu 5/8.StaroStaroŜŜytny Egipcjanin uytny Egipcjanin ułłamek ten zapisaamek ten zapisałłby (zgodnie z papirusem) jako 1/2 +1/8, by (zgodnie z papirusem) jako 1/2 +1/8,

a zatem podzielia zatem podzieliłłby on 4 ciasteczka na poby on 4 ciasteczka na połłowy a jedno tylko na 8 kawaowy a jedno tylko na 8 kawałłkkóów i w i kakaŜŜdemu dademu dałłby oczywiby oczywiśście jedncie jednąą popołłóówkwkęę i jeszcze jedni jeszcze jednąą óósmsmąą czczęśćęść. Proste, . Proste, efektywne i okruszkefektywne i okruszkóów mniej.w mniej.2. U2. Ułłamki Egipskie uamki Egipskie ułłatwiaatwiałły pory poróównywanie uwnywanie ułłamkamkóów.w.

Co jest wiCo jest więększe 3/4, czy 4/5? My sprowadzilibyksze 3/4, czy 4/5? My sprowadzilibyśśmy oba umy oba ułłamki do wspamki do wspóólnego lnego mianownika i pormianownika i poróównali liczniki. Dla Egipcjan 3/4 to pwnali liczniki. Dla Egipcjan 3/4 to póółł i i ććwierwierćć, a 4/5 to p, a 4/5 to póółł , , ććwierwierćć i jeszcze 1/5. Oczywiste jest to kti jeszcze 1/5. Oczywiste jest to któóry ury ułłamek jest wiamek jest więększy i od razu wiadomo kszy i od razu wiadomo o ile.o ile.

LiteraturaLiteratura

�� http://http://www.u.lodz.plwww.u.lodz.pl/~/~wibig/hieroniwibig/hieronimm

�� http://ux1.math.us.edu.pl/prace/liczbahttp://ux1.math.us.edu.pl/prace/liczba

�� http://pozioma_16.webpark.http://pozioma_16.webpark.ppll

�� Notatka Notatka Olga Kosheleva and Vladik Kreinovich

� http://www.wikipedia.pl

Dziękuję za uwagę ☺☺

Najmniejsza liczba Najmniejsza liczba elementelementóów sumyw sumy

OZNACZENIE Dla kaŜdej dodatniej liczby wymiernej r = p/q oznaczmy przez || r || najmniejszą moŜliwą

sumę

p1 +. . . +pk spośród wszystkich reprezentacji typu (l). Przy tym oznaczeniu najmniejsza moŜliwa liczba cięć na osobę jest równa || r || - r .

TWIERDZENIE

� 1. Dla kaŜdej dodatniej liczby wymiernej, || r || ≥ r.

� 2. Dla kaŜdego n naturalnego, || n || = n.

� 3. Dla kaŜdej dodatniej liczby wymiernej r i kaŜdej naturalnej liczby n

|| r/n || ≤ || r || .

� 4. Dla kaŜdych dodatnich liczb wymiernych r i r’

|| r + r’ || ≤ || r || + || r’|| oraz || r r’|| ≤ || r || || r’|| .

DOWÓD

� ad. 1 PoniewaŜ || r || - r jest średnią liczbą cięć tj. nieujemną liczbą, mamy || r || ≥ r.

� ad. 2 Dla całkowitych n nie potrzebujemy Ŝadnych cięć , więc || n || - n = 0 oraz || n || = n.

� ad. 3 Niech r = p1/ q1 + . . . + pk/ qkbędzie reprezentacją odpowiadającą || r ||, tj. reprezentacją dla której|| r ||= p1 + . . . + pk . Wtedy:r/n = p1/(n · q1) + ... + pk/(n · qk).Dla tej reprezentacji r/n suma liczników jest równa || r ||. Zatem najmniejsza moŜliwa suma liczników || r/n || w reprezentacji r/n nie moŜe przekroczyć || r ||.

� ad. 4 Jeśli r = p1/q1 +... + pk/qkoraz r' = p'1/q'1+... +p'k /q'k są reprezentacjami odpowiednio || r || i || r’||, tj. reprezentacjami dla których || r || = p1 + . . . + pkoraz

|| r’ ||= p’1+ . . . +p’k , zatem dla sumy tych reprezentacji mamyr + r’ = p1/q1 + ... + pk/qk + p’1/q’1 + ... + p’k/q’k ,gdzie p1 + ... + pk + p’1 + ... + p'k= || r || + || r’||.Zatem najmniejsza moŜliwa suma || r+r’|| liczników w reprezentacji r + r’ nie moŜe przekroczyć || r || + || r’||. Podobnie dla iloczynu:

r · r’ = (p1/q1 + ... + pk/qk) ·(p’1/q’1 + ... + p’k/q’k) = suma jest równa:

= * = || r || ·*|| r’|| ,

więc || r*r’|| ≤ || r || * ||r’|| .

∑ji

pjpi,

)'·( ∑i

pi ∑j

pj '