tutorial de matrices matlab

Calculo Infinitesimal

CURSO 2009-10

Clase Practica No. 5

CALCULO DIFERENCIAL.ESTUDIO EXPERIMENTAL DE FUNCIONES

– Typeset by FoilTEX – 1

INDICE

Seccion Diapositiva

Sugerencias 4

Introduccion 5

Objetivos 6

Metodologıa 7

Derivacion simbolica 10

Ejercicios 13

Calculo de asıntotas, extremos, etc 16

Polinomio de Taylor 20

Funciones de varias variables 22

Matriz jacobiana 28

Gradiente 30

Derivadas direccionales 33

Extremos 35

Derivada de la compuesta 37

Polinomio de Taylor en dos variables 38

Respuestas 39

Apendice 42

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SUGERENCIAS

Crear una carpeta personal temporal (al final de la sesion puede sereliminada) y declarar la correspondiente trayectoria (PATH). Esto esesencial para la ejecucion de programas. Puede accederse al MENUprincipal de la ventana de comandos, opcion FILE\SET PATH. Comoalternativa basta ejecutar lo siguiente.

>>!mkdir C:\calculo\carpeta_personal

>>path(’C:\calculo\carpeta_personal’,path)

La primera lınea crea nuestra carpeta personal, mientras que la segundainforma a Matlab donde se encuentra esta, y la situa al comienzo de lalista de trayectorias.

Se recomienda el uso de los programas que aparecen en la Web de laasignatura para facilitar el trabajo con las herramientas Maple disenadaspara el calculo simbolico de derivadas.


Introduccion

El acceso a la tecnologıa hace que cambiemos nuestros metodos de trabajoy estudio. Lo frecuente es que, directamente en el papel, sin otroinstrumento que no sea el bolıgrafo, tengamos que estudiar una funcioncalculando sus derivadas, o las raıces de ciertas ecuaciones para hallar lasintersecciones con los ejes de coordenadas, o ciertos lımites paradeterminar el caracter asintotico de una funcion cerca de puntos(incluyendo el infinito), etc. Los problemas a nivel academico sonrelativamente sencillos, pero tal simplicidad no se garantiza en la practicaprofesional. Hallar las raıces de una ecuacion trascendente, o algebraica(polinomial) puede constituir un problema muy difıcil o imposible deresolver artesanalmente. Herramientas informaticas como las que ofrece elMatLab permiten aumentar significativamente nuestras posibilidades deexito. Con ellas, para obtener la grafica de una funcion basta con invocarcomandos como PLOT, EZPLOT y FPLOT, para que una parte de dichagrafica aparezca en la pantalla. Luego, es posible que nuestro trabajocomience por lo que antes era el final. Es ası que podemos partir delconocimiento de la grafica para despues establecer conjeturas sobreintervalos de crecimiento, maximos o mınimos relativos, etc. Para realizarcon exito este trabajo, nuestra preparacion teorica es esencial.


OBJETIVOS

Abordar el estudio teorico-experimental de las propiedades locales yglobales de algunas funciones. Esta clase incluye como aspecto esencial elestudio de la diferenciabilidad de funciones en una y dos variables, y lautilizacion de la diferencial como herramienta.

El alumno debera conocer la sintaxis de algunos comandos simbolicosMatlab-Maple, que se aplican directamente al calculo de derivadas.

Resolver eficientemente diversos problemas mediante el uso de programasbasados en los comandos estudiados.

Aplicar herramientas graficas Matlab para concluir experimentalmenteacerca de las caracterısticas de las funciones.


METODOLOGIA

Al igual que en clases anteriores, el metodo consiste en combinar losrecursos informaticos con el analisis matematico. Mediante la teorıapodremos contrastar la verosimilitud de los resultados experimentales.

Ejecutando herramientas simbolicas Matlab-Maple que permiten simular losprocesos de diferenciacion, se intentara el estudio de algunas funciones ensubregiones de su dominio. Para facilitar este trabajo se han confeccionadovarios programas que pueden descargarse desde la WEB de la asignatura.

La aplicacion de comandos de la familia PLOT se utilizara para producirgraficos cuya interpretacion nos ofrecera informacion acerca de lasprincipales caracterısticas de algunas funciones elementales seleccionadas.


METODOLOGIA (cont.)

Se investigara la naturaleza de las funciones atendiendo a:

-Campo de definicion

-Simetrıas

-Periodicidad

-Cortes con los ejes

-Asıntotas

-Continuidad de la funcion

-Derivabilidad

-Crecimiento. Extremos

-Concavidad. Convexidad

-Puntos inflexion, etc


METODOLOGIA (cont.)

En los problemas que se plantearan en las siguientes diapositivasaplicaremos comandos simbolicos y numericos que permiten calcularlımites, derivadas, raıces de ecuaciones, y hacer graficas. Las funcionestendran que ser definidas mediante cadenas de caracteres (strings), omediante la declaracion previa de variables simbolicas, mediante elcomando INLINE directamente en la lınea de comandos, o mediante laconfeccion de programas encabezados con la directiva FUNCTION (verclases practicas anteriores).

El trabajo del alumno se basara en su conocimiento sobre MatLab, en lasayudas que brinda el propio sistema, en los manuales ON LINE, y en laayuda directa del profesor.

Comenzaremos esta clase viendo los comandos que permiten el calculosimbolico de derivadas de cualquier orden. A continuacion repasaremos loscomandos que permiten recrear en pantalla el grafico de una funcion dada.

En cuanto a derivacion numerica nos limitaremos a presentar unos brevesapuntes situados al final, en el apendice (pag. 42), donde se muestra unaaplicacion de la formula de Taylor.


Expresion exacta de la derivada enesima de una funcion.

Ejemplo 1. f es una cadena de caracteres (string) que se correspondesintacticamente con una funcion Matlab

>>diff(f,’x’)

Ejemplo 2. f es una expresion simbolica que se correspondesintacticamente con una funcion Matlab

>>syms x, diff(f,x)

Ejemplo 3. Derivada enesima de f (string)

>>diff(f,’x’,n)

Ejemplo 4. Derivada enesima de f (simbolica)

>>syms x, diff(f,x,n)

Ejemplo 5. Derivada enesima de f (string→sym). Esta variante permiteincluir parametros no declarados previamente como simbolicos.

>>diff(sym(f),’x’,n)


Calculo simbolico de derivadas

Ejemplo 6.d

dx

(sin(2x) + cos(x2 + 5x)

)Ejecucion en la lınea de comandos

>>diff(’sin(2*x)+cos(x^2+5*x)’,’x’)

ans=2*cos(2*x)-sin(x^2+5*x)*(2*x+5)

>>syms x

>>diff(sin(2*x)+cos(x^2+5*x))

ans=2*cos(2*x)-sin(x^2+5*x)*(2*x+5)


Calculo simbolico de derivadas

Ejemplo 7.d3

dx3

(sin(2x) + cos(x2 + 5x)

)Ejecucion en la lınea de comandos

>>diff(’sin(2*x)+cos(x^2+5*x)’,’x’,3)

ans=-8*cos(2*x)+sin(x^2+5*x)*(2*x+5)^3-6*cos(x^2+5*x)*(2*x+5)

>>syms x

>>diff(sin(2*x)+cos(x^2+5*x),x,3)

ans=-8*cos(2*x)+sin(x^2+5*x)*(2*x+5)^3-6*cos(x^2+5*x)*(2*x+5)


Calcular con Matlab las siguientes derivadas en lospuntos que se indican (uso del comando EVAL)

Ejercicio 1. (Resuelto)

d5

dx5

(x4 − 2x

x2 − 4

), x = 1

>>D5f=char(diff(’(x^4-2*x)/(x^2-4)’,’x’,5));>>x=1;>>Df5_eval_en_1=eval(D5f)Df5_eval_en_1=-3.591769547325103e+02

Ejercicio 2.

d10

dx10

(sen(ex − x4)

log(x6 + cos2(x− 2) + 1)

), x = 1.6405

NOTA: Las respuestas al final de la presentacion


Ejecutar el comando indicado y establecer conjeturasacerca de la presencia de extremos relativos, puntos de

inflexion, intervalos de crecimiento y convexidad.

Ejercicio 3. Grafico de f(x) = csc(x) en [−2π, 2 ∗ π]

>>ezplot(’csc’,[-2*pi,2*pi])

Ejercicio 4. Grafico de f(x) = arcsin(x) en [−1, 1]

>>ezplot(’asin’,[-1,1])

Ejercicio 5. Grafico de f(x) = |x3 + x+ 1| en [−2, 1]

>>ezplot(’abs(x^3+x+1)’,[-2,1])

Ejercicio 6. Grafico de f(x) = (x3 − 3x+ 2)1/3 en [−2, 10]

>>ezplot(’(x^3-3*x+2)^(1/3)’,[-2,10])


Analizar graficamente la presencia de extremos relativos,puntos de inflexion, intervalos de crecimiento y

convexidad. (Usar DERIVA 3.M)

Ejercicio 7. En el intervalo [0, 3] analizar los puntos x = 1, x = 1.5 yx = 2 para la funcion

f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3

Ejercicio 8. En el intervalo [0, 3.5] analizar en los puntos x = 1 yx = 2 a la funcion

f(x) = ex(x− 3) + 4

Ejercicio 9. En los intervalos [−1, 4], [2 +√

2− 0.5, 2 +√

2 + 0.5] y[2−√

2− 0.5, 2−√

2 + 0.5], analizar los puntos x = 2±√

2, x = 0y x = 2 para la funcion

f(x) = x2e−x

NOTA: Contrastar, si es posible, con resultados obtenidos artesanalmente.


Herramientas Matlab-Maple para el estudio de funciones

Ejemplo 8. Sea la funcion

f(x) =x3

x2 − 1.

Deteccion de asıntotas horizontales

>>maple(’limit(x^3/(x^2-1),x=infinity)’)ans =inf>>maple(’limit(x^3/(x^2-1),x=-infinity)’)ans =-inf

Se concluye experimentalmente que no tiene asıntotas horizontales.



Deteccion de asıntotas verticales.

>>fzero(’x^2-1’,[-10 0])Zero found in the interval: [-10, 0].ans=-1>>fzero(’x^2-1’,[0 10])Zero found in the interval: [0, 10].ans =1

El calculo de los posibles ceros del denominador permite concluirexperimentalmente que tiene al menos dos asıntotas verticales, a saber, lasrectas de ecuacion x = 1 y x = −1.

Deteccion de asıntotas oblicuas

>>limit(x^3/(x^2-1)/x,x,inf)ans =1>>limit((x^3/(x^2-1))-x,x,inf)ans =0

Las evidencias apuntan a que y = x es asıntota oblicua.



Busqueda de puntos de extremo relativo

>>solve(diff(’x^3/(x^2-1)’,1))ans =[ 0][ 0][ 3^(1/2)][ -3^(1/2)]

Se detectan tres posibles puntos de extremo. Para concluir acerca delcaracter de cada uno de estos puntos hacemos

>>syms x,f=x^3/(x^2-1);>>numeric(subs(diff(f,2),0))ans=0>>numeric(subs(diff(f,2),sqrt(3)))ans=2.5981e+00numeric(subs(diff(f,2),-sqrt(3)))ans =-2.5981e+00



De momento deberıamos aceptar que x =√

3 es un punto de mınimorelativo, y que x = −

√3 es un punto de maximo relativo. En cuanto a

x = 0 podemos juzgarle observando el grafico que obtendremos con

>>fplot(’[x^3/(x^2-1),x]’,[-6,6]).

¿Hay alguna otra opcion Matlab para concluir acerca de x = 0?

Ejercicio 10. Estudiar la siguiente funcion

f(x) = e4x+2(x2 + 4x)


POLINOMIO DE TAYLOR

Recordemos que si f(x) admite derivada continua hasta el orden n en lavecindad V del punto x0, entonces el polinomio de Taylor de f , de gradon, en el punto x0, esta dado por

Pf,n,x0(x) = f(x0) + f (1(x0)(x− x0) + · · ·+f (n(x0)(x− x0)n

n!

La herramienta Matlab TAYLOR permite calcular el polinomio de Taylorde f(x) en un punto dado x0. La sintaxis de este comando es

>>syms x;f=expresion_en_x;>>PolyTaylor=taylor(f,n,x,x0)

donde n es el grado mas uno.

Tambien puede ejecutarse cuando f es un string. En tal caso

>>PolyTaylor=taylor(sym(f),n,’x’,x0)

El programa TAYLOR_N es una interfaz que facilita el acceso a TAYLOR.My muestra juntos a los graficos de f y de su polinomio de Taylor.


POLINOMIO DE TAYLOR (cont.)

Ejercicio 11. Hallar el polinomio de Taylor de la siguiente funcion

f(x) =sen(3x5 + 3x+ π)

(56x12 + x6 + 2)(4x6 + 6x4 + 3))

de grado n = 5, en el punto x0 = 0.

Mostrar el grafico de ambos en el intervalo [−1, 1].

Obtenga una estimacion experimental del error absoluto maximo entre losvalores del polinomio hallado y la funcion, en el intervalo [−0.3, 0.3].

Para obtener una estimacion gruesa del error en [−0.3, 0.3] hacemos losiguiente

>>x=linspace(-0.3,0.3,200);>>f=(sin(3*x.^5+3*x+pi))./(56*x.^(12)+x.^6+2)./(4*x.^6+6*x.^4+3);>>P=-1/2*x+3/4*x.^3+13/80*x.^5;>>errorabs=max(abs(f-P))errorabs=3.145407625933239e-004


FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Sea z = f(x, y) una funcion de dos variables, definida en cierta region Ωdel plano R2. Sea (x0, y0) ∈ Ω. Si existe el lımite

limx→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0,

decimos que f es derivable parcialmente, respecto a x, en el punto(x0, y0).

Analogamente, con respecto la segunda variable se dice que f es derivableparcialmente en (x0, y0) si existe el lımite

limy→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)

y − y0.

En lo que sigue estudiaremos funciones de dos variables.


Derivadas parciales con Matlab-Maple

Comando Maplef ′x se obtiene mediante maple(’D[1](f)’);f ′y ” ” ” maple(’D[2](f)’);f ′xx ” ” ” maple(’D[1,1](f)’);f ′xy ” ” ” maple(’D[1,2](f)’);f ′xxyy ” ” ” maple(’D[1,1,2,2](f)’);

Comando Matlab

Si f esta creada como STRING, entonces

f (n)x se obtiene mediante diff(f,’x’,n)

f (n)y se obtiene mediante diff(f,’y’,n)

Si f esta creada como SYM (>>syms x y) entonces

f (n)x se obtiene mediante diff(f,x,n)

f (n)y se obtiene mediante diff(f,y,n)

La salida es SYM en todos los casos.


Ejemplo 9. Dada f(x, y) = sin(xy) + cos(xy2), calcular fx.

>>syms x y>>maple(’f:=(x,y)->sin(x*y)+cos(x*y^2)’);>>maple(’D[1](f)’)

Ejercicio 12. Calcular las siguientes derivadas a la funcion del Ejemplo 9.

a) fy, b) fxx, c) fxy, d) fyx, e) fyy, f) fxxyy.

Ejemplo 10. Sea la funcion de dos variables

f(x, y) =xy/(x2 + y2) x2 + y2 6= 0,0 x = y = 0.

Usando herramientas Matlab estudiar su derivabilidad y diferenciabilidaden (0, 0).

La solucion aparece en la siguiente pagina.


Solucion del Ejemplo 10

>>maple(’f:=(x,y)->(x*y)/(x^2+y^2)’);>>maple(’(f(h,0)-0)/h’)ans=0>>maple(’(f(0,k)-0)/k’)ans=0

La funcion tiene derivadas parciales en (0, 0). Sin embargo

>> maple(’limit(m*(x)^2/(x^2+(m*x)^2),x=0)’)ans =m/(1+m^2)

por tanto NO es diferenciable en el origen (¿por que?).


Matriz jacobiana (Maple)

Comando JACOBIAN de Maple. Sintaxis

>>maple(’jacobian([f1,f2,...,fn],[x1,x2,...,xn])’)

Ejemplo 11. Calcular la matriz jacobiana para la funcion:

f(x, y, z) = (ex, cos(y), sen(z)),

en el punto (0, π/2, 0).

Solucion del Ejemplo 11.

>>maple(’jacobian([exp(x),cos(y),sin(z)],[x,y,z])’)>>maple(’M:=(x,y,z)->([[exp(x), 0, 0], ...

[0, -sin(y), 0], [0, 0, cos(z)]])’);>>maple(’M(0,-pi/2,0)’)ans =[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]


Matriz jacobiana (Matlab)

Comando JACOBIAN de Matlab. Sintaxis

>>syms x1 x1 ... xn>>jacobian([f1;f2;...;fn],[x1,x2,...,xn])

Ejemplo 12. Calcular la matriz jacobiana para la funcion:

f(x, y, z) = (ex, cos(y), sen(z)),

en el punto (0, π/2, 0).


Matriz jacobiana (Matlab)


>>syms x y z>>J=jacobian([exp(x);cos(y);sin(z)],[x y z])J =[ exp(x), 0, 0][ 0, -sin(y), 0][ 0, 0, cos(z)]>>M0=subs(J,[x,y,z],[0,pi/2,0])M0 =

1 0 00 -1 00 0 1


Matriz jacobiana. Ejercicios

Ejercicio 13. Calcular la matriz jacobiana para la funcion:

f(x, y, z) = (xyz, 1/(x2 + y2 + 1), xy + z),

en el punto (1, 2, 1).

Ejercicio 14. Calcular la matriz jacobiana para la funcion:

f(x, y, z) = (y sin(ex) + z, cos(xy), sen(zx)),

en el punto (1, π/2, π).


Gradiente

Comando GRAD de Maple. Sintaxis

>>maple(’grad(f,[x1,...,xn])’)

Ejemplo 13. Calcular el gradiente de la funcion:

f(x, y, z) =1√

1− x2 − y2 − z2.


>>maple(’w:=1/sqrt(1-x^2-y^2-z^2)’);>>pretty(simple(sym(maple(’grad(w,[x,y,z])’))))


Derivadas direccionales. Diferenciabilidad

Ejemplo 14. Hallar la derivada direccional de la funcion

f(x, y, z) =

1√

x2 + y2 + z2, x2 + y2 + z2 6= 0

0 (x, y, z) = (0, 0, 0)

en el punto (2, 1, 1), segun la direccion del vector V = (1, 1, 0).

¿Es diferenciable esta funcion en (2, 1, 1)? ¿Y en (0, 0, 0)? ¿Por que?



Solucion del Ejemplo 14.Observemos que existen y son continuas las derivadas parciales de f en(2, 1, 1), luego, f es diferenciable en dicho punto. Calculemos la derivadadireccional segun V como

∂

∂Vf = 〈∇(f), V 〉

En terminos de comandos Maple tendrıamos lo siguiente

>>maple(’f:=(x,y,z)-> 1/sqrt(x^2+y^2+z^2)’);>>maple(’dotprod([D[1](f)(2,1,1),D[2](f)(2,1,1),...

D[3](f)(2,1,1)],[1,1,0])’)ans =-1/12*6^(1/2)>>numeric(maple(’dotprod([D[1](f)(2,1,1),D[2](f)(2,1,1),...

D[3](f)(2,1,1)],[1,1,0])’))ans =

-2.041241452319315e-001



Solucion del Ejemplo 14 (cont.).Con herramientas Matlab tendrıamos

>>f=’1/sqrt(x^2+y^2+z^2)’;>>Dirf=dot([subs(diff(f,’x’),’x’,’y’,’z’,2,1,1),...

subs(diff(f,’y’),’x’,’y’,’z’,2,1,1),...subs(diff(f,’z’),’x’,’y’,’z’,2,1,1)],[1 1 0])

Dirf =-2.041241452319315e-001

La coincidencia de ambos resultados numericos, obtenidos con Maple yMatlab, es una evidencia favorable.

Ejercicio 15. Calcular la derivada de f(x, y, z) = cos(x+ y)ez en elpunto (π/4,−π/4, 0).



Diferenciabilidad.

Ejemplo 15. Sea

f(x, y) =xy log(x2 + y2) x2 + y2 6= 00 x = y = 0

Se verifica que fx(0, 0) = 0 y fy(0, 0) = 0. En polares podemos calcular

>>syms r b>>limit((r^2*log(r^2)*sin(b)*cos(b))/r,r,0)ans =0

lo cual indica que f sı es diferenciable en (0, 0).


Extremos

Ejemplo 16. Hallar los extremos de la funcion

f(x, y) = −120x3 − 30x4 + 18x5 + 5x6 + 30xy2


>>maple(’f:=(x,y)->-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+30*x*y^2’);>>maple(’solve(diff(f(x,y),x)=0, diff(f(x,y),y)=0,x,y)’)>>pretty(sym(maple(’hessian(-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+...30*x*y^2,[x,y])’)))>>maple(’M:=(x,y)->hessian (-120*x^3-30*x^4+18*x^5+5*x^6+...30*x*y^2,[x,y])’);>>pretty(sym(maple(’subs(x=0,y=0,M(x,y))’))) % PUNTO DEGENERADO>>pretty(sym(maple(’subs(x=-2,y=0,M(x,y))’))) % MAXIMO>>pretty(sym(maple(’subs(x=2,y=0,M(x,y))’))) % MINIMO>>pretty(sym(maple(’subs(x=-3,y=0,M(x,y))’))) % PUNTO DE SILLA

Aplicarle el codigo extrem.m.


Ejercicio sobre extremos

Ejercicio 16. Hallar los extremos de la funcion

f(x, y) = 4x2 − 3xy + 9y2 + 5x+ 15y + 16.

Ejercicio 17. Hallar los extremos de la funcion

f(x, y) =x

1 + x2 + y2.

Ver el codigo extrem.m.


DERIVACION de FUNCIONES COMPUESTAS

Ejemplo 17. Calcular D1Z y D2Z sabiendo que:

Z =u2 + v2

u2 − v2, con u = ex−y, v = exy

Solucion INLINE del ejemplo 17.

>>maple(’f:=(u,v)->(u^2+v^2)/(u^2-v^2)’);>>maple(’g:=(x,y)->(exp(x-y),exp(x*y))’);>>maple(’z:=(x,y)->(f@g)(x,y)’);>>pretty(sym(maple(’simplify(diff(z(x,y),x))’)))>>pretty(sym(maple(’simplify(diff(z(x,y),y))’)))

Solucion mediante programa.

Usar el codigo RegraCadea.m


POLINOMIO DE TAYLOR EN DOS VARIABLES

Sea z = f(x, y) una funcion con derivadas segundas en cierta region Ωdel plano. El polinomio de Taylor de f , en el punto (x0, y0) ∈ Ω, degrado dos, esta dado por

P (x, y) = f(x0, y0) + fx(x− x0) + fy(y − y0)+

0.5(fxx(x− x0)2 + fyy(y − y0)2) + fxy(x− x0)(y − y0)

Ejercicio 18. Hallar el polinomio de Taylor de grado dos a las siguientesfunciones en los puntos que se indican

a) ex+y cos(x+ y) x0 = 0, y0 = 1b) 1/(1 + x2 + y2) x0 = 0.2, y0 = 0.5

Usar el programa PTaylor2.m.


RESPUESTAS

Respuesta al ejercicio 1. D5f(1)=-3.591769547325103e+02

Respuesta al ejercicio 2. D10f(1.6405)= -3.547333292946573e+011

Respuesta al ejercicio 3. Asıntotas verticales, maximos y mınimosrelativos

Respuesta al ejercicio 4. Punto de inflexion (cambio de la convexidad),intervalo de crecimiento

Respuesta al ejercicio 5. Mınimo absoluto en x ≈ −0.6823, maximoabsoluto en x = −2, inflexion en x = 0

Respuesta al ejercicio 6. Maximo y mınimo relativo en x ≈ −1 yx ≈ 1.2, resp. En el segundo punto no es derivable.

Respuesta al ejercicio 7. x = 1 es maximo, x = 2 es mınimo yx = 1.5 es de inflexion

Respuesta al ejercicio 8. x = 1 es de inflexion y x = 2 es punto demıinimo relativo


Respuestas

Respuesta al ejercicio 9. x = 0 es mınimo relativo, x = 2 es maximorelativo, x = 2∓

√2 son puntos de inflexion.

Respuesta al ejercicio 10. No se incluye

Respuesta al ejercicio 11. P = −x

2+

3x3

4+

13x5

80.


Respuestas

Respuesta al ejercicio 12. DV f(2, 1, 1) = −2.04124142e− 01

Respuesta al ejercicio 13.

2.0000e+000 1.0000e+000 2.0000e+000-5.5556e-002 -1.1111e-001 02.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000

Respuesta al ejercicio 14.

-3.8930e+000 4.1078e-001 1.0000e+000-1.5708e+000 -1.0000e+000 0-3.1416e+000 0 -1.0000e+000

Respuesta al ejercicio 15.D(π/4,−π/4,0)f = −5.343957625674434e− 002

Respuesta al ejercicio 16. (−1,−1) es punto de mınimo.

Respuesta al ejercicio 17. (1, 0) maximo y (−1, 0) mınimo


Apendice

Solo dedicaremos un pequeno espacio al tratamiento numerico de laderivada.

Supongamos que de la funcion f(x) solo conocemos un numero finito devalores

(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn).

Queremos calcular aproximadamente el valor de f ′(x), siendo x un puntodel dominio de f , que no coincide necesariamente con alguno de los xk.Debemos dejar claro que este problema es inestable, es decir, pequenoserrores en los datos pueden producir resultados muy alejados del valorcorrecto. Una de las formas mas naturales o sencillas consiste en utilizar elpolinomio de Taylor que ya sabemos aproxima localmente a la funcion quelo genera bajo ciertas condiciones.

Examinemos primero la formula que define teoricamente a la derivada

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h


En las condiciones dadas es imposible efectuar o simular en un ordenadoreste proceso de lımites. No conocemos a f mas alla de los valores arribaenumerados. En realidad, aunque conociesemos la formulacion de f(x) encualquier x, los errores de redondeo y de cancelacion para h muy pequenoperturbarıan severamente el resultado final.

Lo que podemos hacer es aplicar la formula de Taylor con resto deLagrange para deducir diferentes procedimientos numericos. Lo haremospara deducir un metodo de orden dos. Supongamos que f admite derivadatercera continua en su dominio. Entonces

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +

h3

3!f ′′′(ξ1) (1)

f(x− h) = f(x)− hf ′(x) +h2

2!f ′′(x)−

h3

3!f ′′′(ξ2) (2)

donde ξ1 ∈ (x, x+ h) y ξ2 ∈ (x− h, x), siendo h > 0.

Si restamos (2) a (1) y despejamos a f ′(x) obtenemos


f ′(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h−h2

12

(f ′′′(ξ1)− f ′′′(ξ2)

). (3)

El error de truncamiento es el que cometemos al despreciar el termino conlas derivadas terceras, y aquı es del orden n = 2 (Ver pag. 45). Laformulacion de nuestro primer metodo para calcular aproximadamente laderivada de f es

f ′(x) ≈f(x+ h)− f(x− h)

2h. (4)

A (4) se le conoce como formula de diferencia centrada. Si la redx0, ..., xn es uniforme en el sentido de que xk+1 − xk = 2h,k = 0, ..., n− 1, entonces nuestro problema inicial se resuelve como

f ′(xk) ≈f(xk+1)− f(xk)

2h, xk = (xk+1 + xk)/2.

La llamada formula adelantada de dos puntos que se deriva directamentede la definicion clasica de derivada aparece en la siguiente diapositiva y esde orden n = 1.


f ′(x) ≈f(x+ h)− f(x)

h. (5)

La siguiente tabla muestra algunos de los errores (absolutos) que seproducen al utilizar (4) y (5) para calcular aproximadamente f ′(1), siendof(x) = xex.

h (4) (5)

1.0e-01 1.8135e-02 4.2644e-01

1.0e-02 1.8122e-04 4.0956e-02

1.0e-03 1.8122e-06 4.0792e-03

1.0e-04 1.8123e-08 4.0776e-04

1.0e-05 2.0599e-10 4.0774e-05

1.0e-06 3.2692e-10 4.0764e-06

1.0e-07 1.1717e-10 4.0868e-07

1.0e-08 1.3206e-08 5.7614e-08

1.0e-09 1.3206e-08 1.3206e-08

1.0e-10 8.7497e-07 1.3455e-06

Notar que los resultados empeoran a partir de cierto valor de h, y que elorden se manifiesta cuando comparamos el rango de h y el error. Laformula (4) parece ser mas eficiente que (5). Sin embargo, (5) muestrauna mayor estabilidad que (4).


Notacion

El metodo cuya formula es A(h), para estimar E, se dice de orden n si

|A(h)− E| ≤Mhn,

donde M > 0 no depende de h.

Se denota porA(h)− E = O(hn).

−−−−−−−−−−−−−−−−−−Recordar que el error absoluto que se comete al estimar E medianteA(h) se define como

|A(h)− E|,mientras que, si E 6= 0, el error relativo esta dado por

|A(h)− E|/|E|.


FIN


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