PERTEMUAN 1

TURUNAN

Definisi dan Sifat-Sifat Turunan

Definisi Turunan. Misalkan adalah sebuah interval, , dan .

adalah turunan fungsi di jika untuk setiap terdapat sedemikian

sehingga jika dan maka

Jika ada yang demikian maka dikatakan terdiferensial di dan dituliskan

sebagai .

Definisi turunan di atas ekuivalen dengan pernyataan

.

Contoh. Dengan menggunakan definisi turunan , tunjukkan bahwa jika ,

maka , .

Penyelesaian. Ambil . Akan ditunjukkan . Selanjutnya, perhatikan

.

Pilih . Akibatnya, jika dan maka

.

Dengan demikian terbukti bahwa , . ■

Teorema. Jika terdiferensial di maka kontinu di .

Bukti. Perhatikan bahwa

untuk dan . Karena terdiferensial di , maka

Akibatnya, atau kontinu di . ■

Teorema di atas tidak berlaku sebaliknya, artinya ada fungsi yang kontinu di suatu titik

tetapi tidak terdiferensial di titik tersebut. Fungsi yang didefinisikan dengan ,

merupakan fungsi yang kontinu di tetapi tidak terdiferensial di titik tersebut.

Teorema. Jika , , terdiferensial di , dan maka

a. terdiferensial di dan ,

b. terdiferensial di dan ,

c. terdiferensial di dan , dan

d. jika , terdiferensial di dan

Bukti Teorema bisa dilihat di [Bartle].

Aturan Rantai

Aturan Rantai digunakan untuk menghitung turunan fungsi komposisi dengan

menggunakan turunan dari dan . Sebelum sampai ke Aturan Rantai, kita bahas terlebih

dahulu tentang Teorema Caratheodory.

Teorema Caratheodory. Misalkan terdefinisi pada interval I yang memuat titik c.

Fungsi f terdiferensial di c jika dan hanya jika terdapat fungsi pada I yang kontinu di c

dan memenuhi

untuk .

Dalam hal ini, .

Bukti. Jika f terdiferensial di c maka dapat didefinisikan fungsi pada I, yaitu

Akan ditunjukkan bahwa fungsi kontinu di c dan memenuhi

.

Karena f terdiferensial di c maka

atau . Dengan kata lain, fungsi kontinu di c. Jika maka kedua ruas

pada persamaan bernilai nol. Untuk ,

atau .

Jadi untuk .

Misalkan terdapat fungsi pada I yang kontinu di c dan memenuhi

untuk .

Untuk ,

.

Karena kontinu di c, maka maka

ada nilainya. Hal itu berarti terdiferensial di c dan . ■

Aturan Rantai. Misalkan adalah interval di , dan adalah fungsi

sedemikian sehingga dan . Jika f terdiferensial di c dan g terdiferensial di

maka fungsi komposisi terdiferensial di c. dan

.

Bukti. Menurut Teorema Caratheodory, karena f terdiferensial di c maka terdapat fungsi

pada J yang kontinu di c dan memenuhi

untuk

dengan . Juga, karena g terdiferensial di , maka terdapat fungsi pada I

yang kontinu di dan memenuhi

untuk

.

Perhatikan bahwa

untuk dan . Jelas bahwa kontinu di c. Menurut Teorema

Caratheodory, terdiferensial di c. Lebih jauh

atau .

Itu berarti . ■

Contoh. Misalkan terdiferensial pada I dan untuk .

Misalkan pula , . Akan kita tentukan .

Dapat ditunjukkan bahwa . Akibatnya,

, . ■

Contoh. Misalkan f adalah fungsi yang terdiferensial di setiap . Akan ditentukan

. Untuk itu, perhatikan fungsi pada yang didefinisikan dengan . Dapat

ditunjukkan bahwa terdiferensial di , yakni

Dengan menggunakan aturan rantai, dapat ditunjukkan bahwa terdiferensial pada

semua dengan dan

■

Contoh. Misalkan f adalah fungsi pada yang didefinisikan dengan

Dengan menggunakan operasi-operasi pada turunan dan Aturan Rantai, dapat dtunjukkan

bahwa, untuk ,

.

Untuk menentukan di , kita menggunakan definisi turunan. Dapat diperoleh bahwa

.

Tampak bahwa terdiferensial pada . Namun, ternyata tidak kontinu di . Jadi

fungsi yang terdiferensial pada belum tentu turunannya kontinu pada . ■

Turunan Fungsi Invers

Pada bagian ini, akan dibahas hubungan antara turunan suatu fungsi dengan turunan fungsi

invernya.

Teorema. Misalkan adalah suatu interval dan adalah fungsi yang monoton

sejati dan kontinu pada I. Misalkan pula dan adalah fungsi invers dari

yang monoton sejati dan kontinu juga. Jika terdiferensial di dan maka

terdiferensial di dan

.

Bukti. Karena terdiferensial di , menurut Teorema Caratheodory, terdapat fungsi

pada yang kontinu di dan memenuhi , dengan .

Karena maka terdapat lingkungan di sekitar , , sedemikian

sehingga untuk setiap IVx . Jika maka fungsi invers

memenuhi untuk setiap . Selanjutnya, perhatikan bahwa

.

Karena untuk setiap , maka

.

Fungsi kontinu di . Berdasarkan Teorema Caratheodory, terdiferensial di

dan

. ■

Contoh. Akan kita tentukan turunan dari , fungsi invers dari , pada

interval . Jelas bahwa monoton naik sejati dan kontinu pada . Begitu

pula dengan yang monoton naik sejati dan kontinu pada . Selain

itu, terdiferensial pada dan untuk setiap .

Berdasarkan Teorema, terdiferensial pada untuk setiap dan

atau

, untuk setiap . ■