Download - turunan1
PERTEMUAN 1
TURUNAN
Definisi dan Sifat-Sifat Turunan
Definisi Turunan. Misalkan adalah sebuah interval, , dan .
adalah turunan fungsi di jika untuk setiap terdapat sedemikian
sehingga jika dan maka
Jika ada yang demikian maka dikatakan terdiferensial di dan dituliskan
sebagai .
Definisi turunan di atas ekuivalen dengan pernyataan
.
Contoh. Dengan menggunakan definisi turunan , tunjukkan bahwa jika ,
maka , .
Penyelesaian. Ambil . Akan ditunjukkan . Selanjutnya, perhatikan
.
Pilih . Akibatnya, jika dan maka
.
Dengan demikian terbukti bahwa , . ■
Teorema. Jika terdiferensial di maka kontinu di .
Bukti. Perhatikan bahwa
untuk dan . Karena terdiferensial di , maka
Akibatnya, atau kontinu di . ■
Teorema di atas tidak berlaku sebaliknya, artinya ada fungsi yang kontinu di suatu titik
tetapi tidak terdiferensial di titik tersebut. Fungsi yang didefinisikan dengan ,
merupakan fungsi yang kontinu di tetapi tidak terdiferensial di titik tersebut.
Teorema. Jika , , terdiferensial di , dan maka
a. terdiferensial di dan ,
b. terdiferensial di dan ,
c. terdiferensial di dan , dan
d. jika , terdiferensial di dan
Bukti Teorema bisa dilihat di [Bartle].
Aturan Rantai
Aturan Rantai digunakan untuk menghitung turunan fungsi komposisi dengan
menggunakan turunan dari dan . Sebelum sampai ke Aturan Rantai, kita bahas terlebih
dahulu tentang Teorema Caratheodory.
Teorema Caratheodory. Misalkan terdefinisi pada interval I yang memuat titik c.
Fungsi f terdiferensial di c jika dan hanya jika terdapat fungsi pada I yang kontinu di c
dan memenuhi
untuk .
Dalam hal ini, .
Bukti. Jika f terdiferensial di c maka dapat didefinisikan fungsi pada I, yaitu
Akan ditunjukkan bahwa fungsi kontinu di c dan memenuhi
.
Karena f terdiferensial di c maka
atau . Dengan kata lain, fungsi kontinu di c. Jika maka kedua ruas
pada persamaan bernilai nol. Untuk ,
atau .
Jadi untuk .
Misalkan terdapat fungsi pada I yang kontinu di c dan memenuhi
untuk .
Untuk ,
.
Karena kontinu di c, maka maka
ada nilainya. Hal itu berarti terdiferensial di c dan . ■
Aturan Rantai. Misalkan adalah interval di , dan adalah fungsi
sedemikian sehingga dan . Jika f terdiferensial di c dan g terdiferensial di
maka fungsi komposisi terdiferensial di c. dan
.
Bukti. Menurut Teorema Caratheodory, karena f terdiferensial di c maka terdapat fungsi
pada J yang kontinu di c dan memenuhi
untuk
dengan . Juga, karena g terdiferensial di , maka terdapat fungsi pada I
yang kontinu di dan memenuhi
untuk
.
Perhatikan bahwa
untuk dan . Jelas bahwa kontinu di c. Menurut Teorema
Caratheodory, terdiferensial di c. Lebih jauh
atau .
Itu berarti . ■
Contoh. Misalkan terdiferensial pada I dan untuk .
Misalkan pula , . Akan kita tentukan .
Dapat ditunjukkan bahwa . Akibatnya,
, . ■
Contoh. Misalkan f adalah fungsi yang terdiferensial di setiap . Akan ditentukan
. Untuk itu, perhatikan fungsi pada yang didefinisikan dengan . Dapat
ditunjukkan bahwa terdiferensial di , yakni
Dengan menggunakan aturan rantai, dapat ditunjukkan bahwa terdiferensial pada
semua dengan dan
■
Contoh. Misalkan f adalah fungsi pada yang didefinisikan dengan
Dengan menggunakan operasi-operasi pada turunan dan Aturan Rantai, dapat dtunjukkan
bahwa, untuk ,
.
Untuk menentukan di , kita menggunakan definisi turunan. Dapat diperoleh bahwa
.
Tampak bahwa terdiferensial pada . Namun, ternyata tidak kontinu di . Jadi
fungsi yang terdiferensial pada belum tentu turunannya kontinu pada . ■
Turunan Fungsi Invers
Pada bagian ini, akan dibahas hubungan antara turunan suatu fungsi dengan turunan fungsi
invernya.
Teorema. Misalkan adalah suatu interval dan adalah fungsi yang monoton
sejati dan kontinu pada I. Misalkan pula dan adalah fungsi invers dari
yang monoton sejati dan kontinu juga. Jika terdiferensial di dan maka
terdiferensial di dan
.
Bukti. Karena terdiferensial di , menurut Teorema Caratheodory, terdapat fungsi
pada yang kontinu di dan memenuhi , dengan .
Karena maka terdapat lingkungan di sekitar , , sedemikian
sehingga untuk setiap IVx . Jika maka fungsi invers
memenuhi untuk setiap . Selanjutnya, perhatikan bahwa
.
Karena untuk setiap , maka
.
Fungsi kontinu di . Berdasarkan Teorema Caratheodory, terdiferensial di
dan
. ■
Contoh. Akan kita tentukan turunan dari , fungsi invers dari , pada
interval . Jelas bahwa monoton naik sejati dan kontinu pada . Begitu
pula dengan yang monoton naik sejati dan kontinu pada . Selain
itu, terdiferensial pada dan untuk setiap .
Berdasarkan Teorema, terdiferensial pada untuk setiap dan
atau
, untuk setiap . ■