Stabilitas LyapunovNama : Trisni Wulansari / 1410501026Dosen Pengampu : R. Suryoto Edy Raharjo, S.T., M.Eng.Teknik Elektro, Fakultas Teknik Universitas Tidar

Outline

Pengertian Stabilitas LyapunovStabilitas secara asimptotikStabilitas secara asimptotik bersifat lokal ataupun globalPenyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan.Bentuk kuadrat Lyapunov Bentuk Hermitian Lyapunov

Metode kedua Lyapunov

Stabilitas LyapunovAleksandr Mikhailovich Lyapunov merupakan penemu materi lyapunov.

Stabilitas Lyapunov merupakan jenis metode yang digunakan untuk menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun nonlinier , yang :• Tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu • Dengan order rendah maupun order tinggi.hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak diskontinyu atau mendadak perubahannya .

Stabilitas secara asimptotikSistem dengan dinamika

dapat dikatakan stabil secara asimptotik  jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.

,, dan hanya bernilai nol untuk

Pada saat waktu t menjadi tak berhingga (menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut sudah menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan sebesar apapun akan mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada akhirnya dengan berjalannya waktu, semua state pada sistem bergerak kembali menuju kesetimbangan.

Stabilitas secara asimptotik bersifat lokal ataupun global1. Lokal, bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial

state) di sekitar titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point).

2. Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.

Jikakeadaanasimptotikberlakuuntuksemuakeadaantitikawaltrayektori,makakeadaankesetimbangantersebutstabilasimptotikglobal.Keadaankesetimbanganxedarisistemdisebutstabilasimptotikglobaljikakeadaansetimbangtersebutstabil,danjikasetiapjawabkonvergenkexedenganmembesarnyawaktutmenunjutakhingga.Syaratyangperluuntukkestabilanasimptotikglobaladalahbahwahanyaadasatukeadaankesetimbangandalamseluruhkeadaan

Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan.

Gambar: Kondisi yang menggambarkan pergerakan perluru setimbangstabil Terlihat pada gambar, menunjukkan lintasan peluru dari kondisi awal x0dengan batas keadaan awal S(δ).

Kondisi setimbang stabil sesuai hukum Lyapunov.

Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan.

Kondisikeadaan setimbang secara garis luruspergerakan peluru dari titik awal x0pada daerah batas keadaan awal S(δ) menuju ke daerah ini kembali, pergerakan ini dikatakan sebagai kondisi setimbang secara garis lurus

Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan.

Kondisi tidak stabil

pergerakan peluru dari kondisi awal x0menuju keluar dari batas kesetimbangan S(ε) menunjukkan bahwa kondisi setimbang tidak stabil.

Bentuk kuadrat Lyapunov

Beberapa contoh dari fungsi skalar Lyapunov yang menunjukkan sifat – sifat seperti disebutkan diatas,

Bentuk kuadrat Lyapunov

Untuk memahami bahwa fungsi skalar dari Lyapunov, menunjukkan suatu kondisi kestabilan, maka dinyatakan dalam bentuk kuadrat, dalam persamaan berikut,

X merupakan vektor bernilai real, dan P adalah matriks simetri bernilai real.

Bentuk Hermitian Lyapunov

Jika x adalah n – vektor bernilai kompleks dan P adalah sebuah matriks Hermitian, maka bentuk kuadrat kompleks dikatakan sebagai bentuk Hermitian.

Metode kedua Lyapunov

Teorema 1 : Jika diketahui, suatu sistem dinyatakan dalam bentuk : Dimana : f(0,t) = 0 untuk sembarang t. Jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertama kontinyu dan memenuhi syarat :

• V(x,t) definit positif • definit negatif

Maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimptotik secara uniform. Jika ternyata V(x,t) → ~ untuk ║x║→ ~, maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimptotik global secara uniform.

Metode kedua Lyapunov

Teorema 2 : Jika diketahui, suatu sistem dinyatakan dalam bentuk :

untuk sembarang t.Jika ada suatu parameter V(x,t) yang mempunyai turunan parsial pertamakontinyu dan memenuhi syarat :• V(x,t) definit positif• definit negatif

tidak terjadi nol pada t ≥ t0 , untuk t0 dan x0 dimanaΦ(t, x0 , t0 ) menyatakan trayektori atau jawab dengan titik awal dix0 pada t0 , maka keadaan kesetimbangan di titik asal dari sistemadalah stabil asimptotik global secara uniform.

Contoh Stabilitas Lyapunov

)(11

3210

tuxx

00

032

10get we

,0)(Set

2

1

2

1

e

e

e

e

xx

xx

tu1x

Equilibrium point

Daftar Pustaka •https://teknikpengaturan.wordpress.com/2009/10/07/mengapa-lyapunov-mengatakan-there-exists-dalam-teori-stabilitasnya/•http://eprints.undip.ac.id/31376/•http://stanford.edu/class/ee363/lectures/lyap.pdf•http://share.its.ac.id/pluginfile.php/40669/mod_resource/content/3/8.9%20Analisa%20Kestabilan%20Lyapunov.pdf•https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability•http://www.mnurq.ga/2014/11/persamaan-dan-fungsi-lyapunov.html

Terima Kasih

231116