tugas kelompok transformaus

TRANSFORMASI

. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang

perubahan (dalam hal ini perubahan yang mungkin terjadi adalah letak maupun

bentuk) yang didasarkan dengan gambar dan matriks. Ada beberapa macam jenis

transformasi seperti proyeksi, translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Babarapa contoh

tersebut merupakan tipe transformasi isometri, yaitu trnasformasi yang menghasilkan

bayangan bangun yang kongruen dengan bangun semula. Sedangkan ada yang

disebut dilatasi dan shear yang merupakan bagian dari transformasi tak isometri, yaitu

transformasi yang menghasilkan bayangan yang berbeda dengan bangun semula.

(Jozua sabandar,2009:145)

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada

suatu bidang. Transformasi T pada suatu bidang memetakan tiap titik P pada bidang

menjadi P’ pada bidang itu pula, titik P’ disebut bayangan atau peta titik P.

A. Proyeksi.

Proyeksi merupakan proses yang dilakukan pada suatu titik atau sistem terhadap

suatu garis acuan, dimana setiap titik atau sistem tersebut ditarik garis tegak lurus

dengan garis acauan. Proyeksi merupakan jarak terpendek.

y

A

x

Misalnya : Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu-x , maka menghasilkan

titik pada sumbu-x, karena A merupakan jarak terpendek dari A terhadap

sumbu-x maka panjang proyeksinya sama dengan panjang A . Dan begitu pula

jika A diproyeksikan terhadap sumbu-y, maka akan menghasilkan pada

sumbu-y, dengan panjang proyeksi sama dengan panjang A .

Berikut ini beberapa jenis proyeksi yang dapat dilakukan:

a. Proyeksi titik pada garis.

Hal ini seperti yang telah dipaparkan sebelumnya. Umumnya akan

mengkasilkan titik.

Contoh : tentukan proyeksi titik A pada garis BC dan BD dalam sebuah

kubus yang mempunyai sisi sepanjang 6 cm.

Penyelesaian:

A B

H G

E F

D C

b. Proyeksi titik pada bidang.

P

k

Dari titik P diluar bidang , kita tarik garis tegak lurus dari titik P ke bidang

sehingga garisk K tegak lurus terhadap bidang, jarak dari P ke P’ merupakan

proyeksinya , atau garis k.

Contoh : tentukan proyeksi titik E pada bidang ABCD dalam sebuah kubus

yang mempunyai sisi sepanjang 6 cm.

Penyelesaian:

H G

E F

D C

A B

c. Proyeksi garis pada bidang.

k

untuk mencari sebuah proyeksi dari sebuah garis terhadap bidang, dapat

dilakukan dengan cara memproyeksikan semua titi pada garis terhadap

bidang, seperti pada gambar, garis k memiliki proyeksi sepanjang k’.

Contoh : tentukan proyeksi garis EF pada bidang ABCD dalam sebuah kubus

yang mempunyai sisi sepanjang 6 cm.

P’

K’

a. Proyeksi titik A terhadap BC adalah

garis AB, dimana AB tegaklurus BC,

sehinnga panjang proyeksinya adalah

6cm.

b. Proyeksi titik A terhadap BD adalah

garis ½ AC, dimana ½ Ac tegaklurus

BD, sehinnga panjang proyeksinya

adalah 3 cm.

Proyeksi titik E terhadap bidang ABCD adalah

garis AE dimana AE tegaklurus terhadap

bidang ABCD, sehinga panjang proyeksinya

adalah 6cm.

Penyelesaian:

H G

E F

D C

A B

B. Translasi (Pergseran tanpa merubah bentuk).

Translasi (pergeseran) adalah pergeseran suatu objek sepanjang garis lurus

dengan arah dan jarak tertentu. Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran

namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami

pergesran yang sama. Seperti: sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan

panjang terhadap sumbu x dan b satuan panjang terhadap sumbu y, maka

diperoleh peta titik P’(x’,y’).

Jika translasi T = memetakan titik P(x,y) ke titik P’(x’,y’), maka x’= x+a dan

y’ = y+b, atau P’(x+a, y+b), dan secara matematis dapat ditulis:

byaxPyxPb

aT

,, '1

Sedangkan, jika dilihat secara linier, sebuah translasi titik P(x,y) ke titik

P’(x’,y’) adalah

P’(x’,y’) x’ = x+dx

y’ = y+dy

dy dengan model matriks sebagai berikut:

= +

P(x,y) dx

y

y’ P’(x’,y’)

T = b

y P(x,y) a

x x’ x

Proyeksi garis EF adalah garis AB, karena

penarikan garis tegaklurus terhadap bidang

ABCD yang dilkukan memproyeksikan EF

menjadi AB, sehingga panjang proyeksinya

adalah 6cm.

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah diperoleh dengan =

Didapat, dbycaxPbyaxPd

cT

,, '''2

.

Perhatikan bahwa diperoleh P”(x”,y”) dengan x” = x+a+c dan y” = y+b+d, hal

ini diperoleh dengan mentranslasikan P(x,y) dengan T = . Translasi T ini

merupakan translasi dilanjutkan dengan , yang ditulis sebagai . Oleh

karena = dan = maka = Akibatnya, titik P(x,y)

ditranslasikan dengan dilanjutkan dengan translasi menghasilkan bayangan

P”(x”,y”) sebagai berikut;

dbycaxPyxPdb

caTT

,, ''21

Sifat : Dua buah translasi berturut-turut dan dapat digantikan dengan

translasi tunggal , dan pada setiap translasi setiap sistemnya tidak

berubah.

Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik P (-3, 4) yang ditranslasikan

dengan T = .

Penyelesaian: diketahui x = -3, dan y = 4, a=3 dan b=6

: P(x,y) P’ (x’,y’), dengan x’ = x + a, dan y’ = y + b

:P(-3,4) P’ (0,10)

Jadi koordinat titik P setelah ditranslasikan adalah (0,10).

C. Refleksi ( Pencerminan).

Refleksi atau pencerminan akan mudah dipahami jika kita terrlebih dahulu

mengetahui konsep pencerminan dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini terjadi

pada saat sebuah benda berada didepan sebuah cermin, dari kegiatan ini muncul

beberapa pertanyaan, Apakah benda dan bayangan di cermin memiliki bentuk

dan ukuran yang sama? Apakah bayangan memiliki jarak yang sama dengan

benda ke cermin? Dari kegiatan bercermin akan diketahui beberapa sifat

pencerminan atau refleksi:

Dari gambar tersebut diketahui bahwa:

1. Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’.

2. Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap

titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

3. Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan

setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Berikut ini beberapa pencerminan yang dapat dilakukan:

a. Refleksi terhadap sumbu-x.

Gambar refleksi terhadap sumbu-x :

refleksi titik P(x,y) terhadap sumbu-x

menghasilkan bayangan berupa titik

P’(x’,y’), dengan x’ = x dan y’ = -y.

Sehingga persamaan matrikstransformasi

nya adalah = .

Secara matematis refleksi dapat dituliskan

sebagai berikut:

P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(x,-y)

Dengan notasi matriks sebagai berikut;

P’ = =

Contoh : tentukan bayangan titik P(4,3) jika direfleksikan terhadap sumbu-x.

Penyelesaian : diketahui P(4,3) dengan x = 4 dan y = 3

: P’ = =

: P’ = =

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(x,-y)

P(4,3) P’(4,-3)

b. Refleksi terhadap sumbu-y.

Refleksi titik P(x,y) terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan berupa titik

P’(x’,y’), dengan x’ = - x dan y’ = y. Sehingga persamaan matriks

transformasi nya adalah =

Secara matematis refleksi dapat dituliskan sebagai berikut:

P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(-x,y)


P’ = =

Berikut ini merupakan gambar refleksi titik terhadap sumbu-y :

Contoh :Tentukan bayangan titik P(3,5) yang direfleksikan terhadap sumbu-y.


: P’ = =

: P’ = =

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(-x,y)

P(3,5) P’(-3,5)

c. Refleksi terhadap garis y = x.

Refleksi refleksi titik P(x,y) terhadap

sumbu-x menghasilkan bayangan berupa

titik P’(x’,y’), dengan x’ = y dan y’ = x.

Sehingga persamaan matrikstransformasi

nya adalah

= .


P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(y,x)


P’ = =

Contoh :Tentukan bayangan titik P(5,2) yang direfleksikan terhadap sumbu

y = x .


: P’ = =

: P’ = =

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(y,x)

P(5,2) P’(2,5)

d. Refleksi terhadap garis y = -x.

Refleksi titik P(x,y) terhadap sumbu-x

menghasilkan bayangan berupa titik

P’(x’,y’), dengan x’ = y dan y’ = -x.

Sehingga persamaan matriks

transformasi nya adalah

=


P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(-y,-x)


P’ = =

Contoh : Tentukan bayangan dari titik P(10,3) yang direfleksikan terhadap

sumbu y = -x.


: P’ = =

: P’ = =

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(-y,-x)

P(10,3) P’(-3,-10)

e. Refleksi terhadap titik asal O(0,0).

Refleksi titik P(x,y) terhadap titik asal

O(0,0) menghasilkan bayangan berupa

titik P’(x’,y’), dengan x’= - x dan y’ = -y.

Sehingga persamaan matriks transformasi

nya adalah =

Secara matematis refleksi dapat

dituliskan sebagai berikut:

P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(-x,-y)


P’ = =

Contoh : Tentukan banyangan titik P (7,-3) yang dihasilkan setelah

direfleksikan terhadap titik asal O (0,0).

Penyelesaian : diketahui P(7,-3) dengan x = 7 dan y = -3

: P’ = =

: P’ = =

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(-x,-y)

P(7,-3) P’(-7,3).

f. Refleksi terhadap garis x = h

.

Misalkan OA = x dan OB = h, sehingga

AB = h – x

BC = AB = h – x

OC = OB + BC

⇔ x’ = h + h – x

⇔ x’ = 2h – x

CP’ = AP

y’ = y

refleksi ini mempunyai matriks transformasi = +


P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(2h-x,y)


P’ = = +

Contoh : tentukan bayangan dari titik P(2,4) yang direfleksikan terhadap

garis x = 5.

Penyelesaian : diketahui P(2,4) dengan x = 2 dan y = 4 dengan h = 5

: P’ = = +

: P’ = = +

: P’ = = +

: P’ = = +

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(2h-x,y)

P(2,4) P’((2(5)-2, 4).

P(2,4) P’(8, 4).

g. Refleksi terhadap garis y = k.

CP’ = AP

x’ = x

Misalnya OA = y dan OB = k, maka

AB = OB – OA = k - y

BC = AB = k – y

OC = OB + BC

⇔ y’ = k + (k – y)

⇔ y’ = 2k - y

refleksi ini mempunyai matriks transformasi = +


P(x,y) P’(x’,y’)

P(x,y) P’(x, 2k - y)


P’ = = +

Contoh : Tentukan bayangan dari titik P(4,6) yang direfleksikan terhadap

garis y = 2.

Penyelesaian : diketahui P(4,6) dengan x = 4 dan y = 6 dengan k = 2

: P’ = = +

: P’ = = +

: P’ = = +

: P’ = = +

: P’ = =

Atau P(x,y) P’(x, 2k-y)

P(4,6) P’(4, 2(2)-6).

P(4,6) P’(4, -2).

D. Rotasi (Pemutaran).

Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat perputaran, besar sudut putar,

dan arah sudut putar. Suatu perputaran atau rotasi pada bidang datar mempunyai

arah positif bila arah perputaran itu berlawanan dengan arah putar jarum

jam.sedangkan arah negatif terjadi bila arah perputaran itu searah dengan arah

putar jarum jam. (Jozua Sabandar,2009: 147).

Pada titik P dilakukan perpindahan ketitik P’ sejauh a. dalam koordinat kutub

titik P(x,y) ditulis P( r cos θ,r sin θ), sedangkan P’(x’,y’) ditulis P’( r cos (θ+a), r

sin (θ+b)).

Sehingga diperoleh :

P’ = =

= karena x = r cos θ dan y = r sin θ, maka

=

=

P’(x’,y’)

P(x,y)

Oleh karena itu jika titik P diputar dengan pusat O sebesar a radian akan menjadi

titik P’(x’,y’) dengan

= .

Dengan cara yang sama jika titik p(x,y) diputar dengan pusat A(a,b) sebesar a

radian maka akan menjadi titik P’(x’,y’) dengan

= .

Contoh : Tentukan koordinat titik P’(x’,y’) setelah dilakukan rotasi atau

perpindahan pada titik P(-1,4) yang berlawanan arah jarum jam dengan besar α

= .

Penyelesauan : α bernilai positif karena berlawanan jarum jam.

P(-1,4) berarti x = -1 dan y = 4

: =

=

=

=

Jadi koordinat P’( , )

Transformasi tak isometri:

A. Dilatasi (Perkalian bangun/penskalaan).

Dilatasi merupakan Suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar

atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun. Suatu

dilatasi ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).

k > 1 : hasil dilatasi diperbesar

-1 < k <1 : hasil dilatasi diperkecil

k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya.

Dilatasi yang berpusat dititik koordinat O(0,0) dengan faktor dilatasi k

dapat ditulis dengan D , sedangkan dilatasi yang berpusat disembarang

titi P(x,y) dengan faktor dilatasi k dilambangkan dengan D atau

D . (Jozua Sabandar,2009:154)

a. Dilatasi dengan titik pusat O(0,0).

Pada dilatasi dengan pusat O(0,0) dan dengan faktor skala k, sebuah titik

P(x,y) akan menghasilka P’(x’,y’) dengan matriks transformasi:

=

Sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut:

D : P(x,y) P’(x’,y’) dengan x’= kx dan y’ = ky

.

b. Dilatasi dengan titik pusat (a,b).

Pada dilatasi dengan pusat (a,b) dan dengan faktor skala k, sebuah titik

P(x,y) akan menghasilka P’(x’,y’) dengan matriks transformasi:

= +

Sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut:

D : P(x,y) P’(x’,y’) dengan x’= a+k(x-a) dan y’=b+k(y-b)

B. Shear (Pergeseran merubah bentuk).

Shear merupakan Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya perubahan

bentuk.Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada komputer. Untuk

memberi kesan lain pada obyek jika dilihat dari sudut pandang berbeda.

Ada dua macam transformasi shear yaitu shear terhadap sumbu-x dan shear

terhadap sumbu-y:

a. Shear terhadap sumbu-x.

Dengan matriks transformasinya

b. Shear terhadap sumbu-y.

Dengan matiks transformasi .

TRANSFORMASI

Disusun

oleh :

1. Ranny Novitasari

2. Ria Puspita Sari

3. Rusmaini

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

INDARALAYA

PETA KONSEP

TRANSFORMASI

ISOMETRI TAK ISOMETRI

PROYEKSI TRANSLASI REFLEKSI ROTASI

Titik pada Garis

Garis pada Bidang

Titik pada Bidang

Terhadap sb-x

Terhadap sb-y

Terhadap y=x

Terhadap y=-x

Terhadap titik asal

Terhadap garis x=h

Terhadap garis y=k

Pusat O(0,0) Pusat (a,b)

DILATASI SHEAR

tugas kelompok transformaus

Education