Buktikan Garis-Garis tinggi suatu segitiga berpotongan pada satu titik dengan menggunakan problema Fagnano !

Bukti:Untuk sembarang segitiga ABC akan di buktikan dengan menggunakan problema Fagnano. Perhatikan bahwa ketiga garis tinggi pada segitiga ABC yaitu CD,AE,BF berpotongan pada satu titik sebut titik T sedemikian sehingga harus di tunjukkan (1) BF tegak lurus AC (2) AE tegak lurus BC (3) CD tegak lurus AB sedemikian sehingga untuk T suatu titik potong CD,AE,BF terpenuhi. Selanjutnya, akan dibuktikan untuk (1) yaitu BF tegak lurus AC. Pandang segitiga ABC untuk garis AB titik tengahnya sebut D sehingga terbentuk garis CD yaitu garis yang tegak lurus AB. Akibatnya terbentuk segitiga ACD dan BCD yang kongruen (si,si,si). D' adalah hasil refleksi titik D terhadap AC. Sedangkan, D" adalah hasil refleksi titik D terhadap BC. Hal yang sama juga untuk CD' adalah hasil refleksi CD terhadap AC. Kemudian, titik E adalah titik tengah dari garis BC sedemikian sehingga AE tegak lurus BC. E' adalah hasil refleksi E terhadap AB. Sedangkan, E" adalah hasil refleksi E terhadap AC. Hal yang sama juga untuk AE" adalah sisi yang terbentuk hasil refleksi sisi AE terhadap AC. Perhatikan bahwa ED' dan DE" berpotongan pada suatu titik sebut titik F. Sementara itu, T' adalah hasil refleksi oleh T pada sisi AC sedemikian sehingga terbentuk TT' yang melewati F. Di lain pihak, TT' tegak lurus AC sehingga TF juga tegak lurus AC. Dengan kata lain, BF tegak lurus AC melewati titik T. Selanjutnya, akan di buktikan (2) yaitu AE tegak lurus BC. Perhatikan bahwa F' adalah hasil refleksi F terhadap BC. F" adalah hasil refleksi F terhadap AB. Hal yang sama juga berlaku untuk BF' adalah sisi hasil refleksi sisi BF ke sisi BC. Sedangkan, sisi BF" adalah hasil refleksi sisi BF terhadap AB. Kemudian, sisi DF' dan FD" berpotongan pada suatu titik sebut titik E. T' adalah hasil refleksi T terhadap BC melewati E. Di lain pihak, sisi CD" dan BF' berpotongan pada suatu titik yaitu T'. Pada saat TT', maka TT' tegak lurus BC. Ini berarti TE juga tegak lurus BC. Dengan demikian, AE tegak lurus BC melewati titik T. Selanjutnya, akan di buktikan (3) yaitu CD tegak lurus AB. Perhatikan segitiga ABC. E adalah titik yang membagi sisi BC menjadi dua bagian. Sedangkan, F adalah titik yang membagi sisi AC menjadi dua bagian. E' adalah hasil refleksi titik E terhadap AC. E" adalah hasil refleksi titik E terhadap AB. Ini berarti sisi AE' juga hasil refleksi sisi AE terhadap AC dan sisi AE" adalah hasil refleksi sisi AE terhadap sisi AB. Kemudian, F' adalah titik hasil refleksi titik F terhadap sisi BC. F" adalah hasil refleksi titik F terhadap sisi AB. Hal yang sama juga untuk sisi BF' adalah hasil refleksi sisi BF terhadap sisi BC. Sedangkan, BF" adalah sisi hasil refleksi BF terhadap sisi AB. Perhatikan bahwa sisi BF dan AE berpotongan di T. Jika T di refleksikan terhadap sisi AB, maka diperoleh suatu titik sebut T'. Di lain pihak, T' adalah titik hasil perpotongan sisi AE" dan BF". Sementara itu, sisi EF" dan sisi E"F berpotongan di titik D. Akibatnya TT' tegak lurus AB melewati D. Dengan kata lain, T tegak lurus AB sehingga CD tegak lurus AB melewati T. Oleh karena, BF tegak lurus AC melewati T dan AE tegak lurus BC melewati T dan CD tegak lurus AB melewati T yaitu suatu titik potong garis tinggi pada segitiga ABC dan titik T merupakan satu-satunya titik yang dilewati ketiga garis tinggi segitiga ABC sedemikian sehingga ketiga garis tinggi AE,CD, dan BF berpotongan pada satu titik, yaitu T. Jadi, Terbukti .