1. transformasi geometri disini akan dibahas bangun geometri
TRANSCRIPT
1. Transformasi Geometri
Disini akan dibahas bangun geometri pada bidang dua dimensi yaitu bisa berupa titik, garis dan bidang Ada 4 macam proses perubahan ukuran atau letak yang akan dipelajari yaitu
(1) Pergeseran (Translasi) (2) Pencerminan (Refleksi) (3) Perputaran (Rotasi) (4) Dilatasi (Perkalian)
Prose perubahan ukuran atau letak bisa juga berupa gabungan atau kombinasi dari proses transformasi tunggal di atas yang disebut transformasi komposisi Pada proses transformasi pergeseran, pencerminan dan perputaran merubah letak bangun geometri tanpa merubah ukuran dan bentuk semula Pada proses transformasi perkalian merubah ukuran bentuk bangun geometri
Transformasi geometri adalah proses perubahan letak atau ukuran suatu bangun geometri
Transformasi pada bidang dua dimensi diwakili dengan matriks kolom 2×1 atau baris 1×2 atau mariks bujur 2×2
𝑇 = 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏
𝑇 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
2. Pergeseran (Translasi)
Gambar 1 Pada gambar titik 𝑃 𝑥,𝑦 digeser dengan transformasi 𝑇 = 𝑎
𝑏 ke titik 𝑃′ 𝑥!,𝑦′
Titik 𝑃′ 𝑥′,𝑦′ disebut bayangan titik 𝑃 𝑥,𝑦 oleh transformasi 𝑇 = 𝑎𝑏
Absis dan ordinat bayangannya adalah 𝑥! = 𝑥 + 𝑎 dan 𝑦! = 𝑦 + 𝑏 sehingga dapat ditulis dalam bentuk aljabar matriks sebagai berikut 𝑥′𝑦′ =
𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏
𝑥′𝑦′ =
𝑥𝑦 + 𝑎
𝑏
Jika fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 digeser dengan transformasi 𝑇 = 𝑎
𝑏 hasilnya adalah
Pergeseran (Translasi) adalah transformasi yang memindahkan setiap titik sepanjang ruas garis lurus dengan jarak dan arah tertentu. Karena pemindahan ditentukan dengan jarak dan arah tertentu maka transformasi pergeseran (translasi) dapat diwakili oleh sebuah vektor yang penulisannya berupa matriks kolom atau matriks baris
𝑇 = 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏
dimana 𝑎 mewakili pergeseran sejajar sumbu X 𝑏 mewakili pergeseran sejajar sumbu Y
𝑦′ = 𝑓 𝑥′𝑦 + 𝑏 = 𝑓 𝑥 + 𝑎
Gambar 2 Titik 𝑃 ,𝑄 dan 𝑅 di geser dengan transformasi 𝑇 = 𝑎
𝑏 hasilnya adalah titik
𝑃′ ,𝑄′ dan 𝑅′ sehingga 𝑃𝑃! = 𝑄𝑄! = 𝑅𝑅′ = 𝑎𝑏
Panjang 𝑃𝑄 adalah 𝑃𝑄 = 𝑥! − 𝑥!! + 𝑦! − 𝑦!
!
Hasil transformasi pergeseran titik 𝑥,𝑦 oleh pergeseran (translasi) 𝑇 = 𝑎𝑏
adalah
𝑥′𝑦′ =
𝑥𝑦 + 𝑎
𝑏
Panjang 𝑃′𝑄′
𝑃′𝑄′ = 𝑥!! − 𝑥!!!+ 𝑦!! − 𝑦!!
!
𝑃′𝑄′ = 𝑥! + 𝑎 − 𝑥! + 𝑎! + 𝑦! + 𝑏 − 𝑦! + 𝑏
!
𝑃′𝑄′ = 𝑥! + 𝑎 − 𝑥! − 𝑎! + 𝑦! + 𝑏 − 𝑦! + 𝑏
!
𝑃′𝑄′ = 𝑥! − 𝑥! + 𝑎 − 𝑎! + 𝑦! − 𝑦! + 𝑏 + 𝑏
!
𝑃′𝑄′ = 𝑥! − 𝑥!!+ 𝑦! − 𝑦!
!
𝑃′𝑄′ = 𝑃𝑄
Dengan cara yang sama bisa diperoleh 𝑃′𝑅′ = 𝑃𝑅 dan 𝑄′𝑅′ = 𝑄𝑅 sehingga ∆𝑃𝑄𝑅 = ∆𝑃′𝑄′𝑅′
Pada proses translasi pergeseran bentuk geometri tidak berubah hanya tempat yang berubah
3. Rotasi
Tiga hal yang menentukan rotasi
(1) Titik pusat putaran (2) Besar sudut putar (3) Arah putaran – searah jarum jam dan + berlawanan arah jarum jam
Titik 𝑄 𝑥,𝑦 di putar dengan sudut 𝛼 dan hasilnya adalah titik 𝑄′ 𝑥!,𝑦′ Lihat garis 𝑃𝑄 𝑥 − 𝑎 = 𝑟 cos𝛽 𝑦 − 𝑏 = 𝑟 sin𝛽 Lihat garis 𝑃𝑄′ 𝑥! − 𝑎 = 𝑟 cos 𝛼 + 𝛽𝑥! − 𝑎 = 𝑟 cos𝛽 cos𝛼 − sin𝛽 sin 𝛼𝑥! − 𝑎 = 𝑟 cos𝛽 cos𝛼 − 𝑟 sin𝛽 sin 𝛼𝑥! − 𝑎 = 𝑥 − 𝑎 cos𝛼 − 𝑦 − 𝑏 sin 𝛼
𝑦! − 𝑏 = 𝑟 sin 𝛼 + 𝛽𝑦! − 𝑏 = 𝑟 sin𝛽 cos𝛼 + cos𝛽 sin 𝛼𝑦! − 𝑏 = 𝑟 sin𝛽 cos𝛼 + 𝑟 cos𝛽 sin 𝛼𝑦! − 𝑏 = 𝑦 − 𝑏 cos𝛼 + 𝑥 − 𝑎 sin 𝛼𝑦! − 𝑏 = 𝑥 − 𝑎 sin 𝛼 + 𝑦 − 𝑏 cos𝛼
Dengan menggunakan cara aljabar matriks dapat ditulis 𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = 𝑥 − 𝑎 cos 𝛼 − 𝑦 − 𝑏 sin 𝛼
𝑥 − 𝑎 sin 𝛼 + 𝑦 − 𝑏 cos 𝛼𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏
Perputaran (rotasi) adalah transformasi dengan proses memutar sebuah titik terhadap titik pusat perputaran
Jika diputar dengan pusat 𝑂 0,0 maka 𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏
𝑥! − 0𝑦! − 0 = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 0𝑦 − 0
𝑥!𝑦! = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥𝑦
Hasil transformasi putar titik 𝑥,𝑦 dengan pusat 𝑎, 𝑏 dengan sudut sebesar 𝛼 berlawanan arah jarum jam adalah
𝑥! − 𝑎𝑦! − 𝑏 = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏
Hasil transformasi putar titik 𝑥,𝑦 dengan pusat 𝑂 0,0 dengan sudut sebesar 𝛼 berlawanan arah jarum jam adalah
𝑥!𝑦! = cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼𝑥𝑦