VEKTORVEKTOR

OLEH :1. DUDUN SYAMSUDIN (43E57006095023)

2. WILDANUN MUKHOLADUN (43E57006095047)

3. SUFITRI (43E57006095055)

DOSEN : TATANG SPd.STMIK KHARISMA KARAWANG

TEKNIK INFORMATIKA - 2009 FISIKA DASAR

1. 1. VektorVektor didi RuangRuang 22• Besaran Skalar dan Besaran Vektor

– Besaran skalar adalah besaran yang hanyamemiliki besar (panjang/nilai)

• Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa

– Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah

• Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik

– Notasi Vektor

• Ruas garis berarah yg panjang dan arahnyatertentu.

• Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atauu (italic).

• Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A keB, maka ditulis dengan lambang u = AB

• Notasi u dibaca “vektor u”

PenyajianPenyajian VektorVektor

• Vektor sbg pasangan bilangan

–u = (a,b)

• a : komponen mendatar, b : komponenvertikal

• Vektor sbg kombinasi vektor satuan idan j

–u = ai + bj

• Panjang vektor u ditentukan olehrumus

=

b

au

22|u| ba +=

KesamaanKesamaan VektorVektor

• Dua buah vektor dikatakan samabesar bila besar dan arahnya sama.

–Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)

– Jika u = v, maka

• |u| = |v|

• arah u = arah v

• a=c dan b=d

a b

Dua vektor sama, a = b

a b

Dua Vektormempunyai besar

sama, arahberbeda

a b

Dua vektor arahsama, besaran

beda

ab

Dua Vektor besardan arah berbeda

PenjumlahanPenjumlahan VektorVektor

• Penjumlahan vektor menurut aturansegitiga dan aturan jajaran genjang

• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

vu w = u + v

w = u + v

u

v

=u

++

=

+

=+

=

=

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

ElemenElemen IdentitasIdentitas• Vektor nol ditulis 0

• Vektor nol disebut elemen identitas

• u + 0 = 0 + u = u

• Jika u adalah sebarang vektor bukannol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektoryang memiliki besar sama tetapiarah berlawanan.

• u – u = u + (-u) = 0

PenguranganPengurangan VektorVektor

• Selisih dua vektoru dan v ditulis u –v didefinisikan u + (-v)

• Dalam bentukpasangan bilangan

vu

w = u - v -v

u

−−

=

−

=−

=

=

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

au

PerkalianPerkalian VektorVektor dengandenganSkalarSkalar

• mu adalah suatuvektor dg panjangm kali panjangvektor u dansearah dengan u jika m > 0, danberlawanan arahjika m < 0.

u

2u

{ }

=

=

∈

=

mb

ma

b

ammumaka

realbilanganmdanb

auJika

:

,

SifatSifat--SifatSifat OperasiOperasi VektorVektor• Komutatif � a + b = b + a

• Asosiatif � (a+b)+c = a+(b+c)

• Elemen identitas terhadappenjumlahan

• Sifat tertutup-> hasil penjumlahanvektor juga berupa vektor

• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

• 1u = u

• 0u = 0, m0 = 0.

• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

SifatSifat--SifatSifat OperasiOperasi VektorVektor((lanjlanj.).)

• (mn)u = m(nu)

• |mu| = |m||u|

• (-mu) = - (mu) = m (-u)

• Distributif : (m+n)u = mu + nu

• Distributif : m(u+v) = mu + mv

• u+(-1)u = u + (-u) = 0

BesarBesar VektorVektor HasilHasilPenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPengurangan

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenguranga

−+−=−

−−

=

−

=−

=

=

22 )()(|| dbcavu

db

ca

d

c

b

avu

d

cvdan

b

auJika

nPenjumlaha

+++=+

++

=

+

=+

=

=

MenghitungMenghitung BesarBesar VektorVektor HasilHasilPenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPengurangan

θcos||||2|||||| 22 vuvuvu ++=+u + v

u

v

θ

θcos||||2|||||| 22 vuvuvu −+=−u

vu-v

θ

MenentukanMenentukan ArahArah VektorVektor HasilHasilPenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPengurangan

npenjumlaha hasilr arah vekto:

sin

||

)sin(

||

sin

||

βββαα

vuvu =−

=+u + v

u

v

α

u

vu-v

α

β

npenguranga hasilr arah vekto:

sin

||

)sin(

||

sin

||

ββαβα

vuvu =−

=−

β

VektorVektor PosisiPosisi

• OA = a dan OB = b adalah vektorposisi.

• AB = AO + OB

• = OB – OA

• = b – a

X

Y

0

A

B

b

a

Dot Product (Inner Product)Dot Product (Inner Product)• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b)

antara dua vektor a dan b merupakan perkalianantara panjang vektor dan cosinus sudut antarakeduanya.

γcos|||| baba =•• Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1]

dan b = [a2,b2,c2], maka :

332211 ccbababa ++=•

• a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}• a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}• a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

VektorVektor OrtogonalOrtogonal

• Teorema– Hasil perkalian dot product antara dua vektor

bukan-nol adalah nol jika dan hanya jikavektor-vektor tersebut saling tegak lurus

• Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonalthd vektor a.

• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semuavektor.

• Untuk vektor bukan-nol– a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 � γ =

90o = π/2

BesarBesar dandan ArahArah dalamdalamPerkalianPerkalian Dot ProductDot Product

• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

bbaa

ba

ba

ba

•••=•=

||||cosγ

Applications of Vector ProductApplications of Vector ProductMoment of a forceMoment of a force

• Find moment of force P about the center of the wheel.

|P|=1000 lb

30o

1,5 ft

]1299,0,0[500866

5.1000

0500866

05.10

)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[

]0,500,866[

]0,30sin1000,30cos1000[

−=++==×=

=−==

°°=

kji

kji

prm

yr

P

Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda(sumbu z negatif ).

Scalar Triple ProductScalar Triple Product

shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini

,,vac)(b a

] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a

sebagaiandidefinisk)(ditulis

],,[],,,[,],,[

vektor tigadariproduct tripleScalar

21

213

13

132

32

321

332211

321

321321321

cc

bba

cc

bba

cc

bba

vavava

cba

ccccbbbbaaaa

+

−−=

=•=ו==×ו=

===

321

321

321

c)(b ac)b(a

ccc

bbb

bbb

=ו=

Scalar Triple ProductScalar Triple ProductGeometric representationGeometric representation

• a,b,c vektor

• β sudut antara(bxc) dan a

• h tinggiparallelogramb

||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran

cos||

cos|||||)(|

)(

cbarea

hheighta

cbacba

cbaBesar

×=

×=וו

ββ

c

b x c

a

β h

SEKIANSEKIANSEKIANSEKIAN

TERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIH

TEKNIK INFORMATIKA - 2009 FISIKA DASAR