1

Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk

Medan dan Gelombang EM

2

Dasar-dasar Vektor

zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA

Konvensi: Vektor ditulis dengan anakpanah diatas atau cetak tebal

Vektor biasanyafungsi dari koordinatspasial

Konvensi:

vektor satuan dilambangkandengan topi diatasnya

magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z)ke arah sumbu-y

A

Aaor a

212z

2y

2x AAAA

3

Penjumlahan vektor

zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC

Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)

4

Vektor posisi dan vektor jarak

z2y2x22

z1y1x11

azayaxR

azayaxR

Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

z12y12x12

1212

azzayyaxx

RRR

21212

212

212

12

zzyyxx

Rd

5

Vektor posisi dan vektor jarak

Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)

Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az

Vektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az

Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az

6

Perkalian titik (perkalian skalar)

ABBABA cos

• Selalu menghasilkan bilangan skalar• A cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B.• Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar

nol:• A·A=|A|2=A2

0ˆˆ yx

7

Perkalian titik (perkalian skalar)

332211

z3y2x1

z3y2x1

AB

BABABABA

aBaBaBB

aAaAaAA

θcosBABA

8

Perkalian silang (perkalian vektor)

Aturan sekrup putar bisa dipakai:Pemutaran A ke B menggerakkansekrup ke arah vektor hasil

Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal.

!!!!PENTING!!!

9

Perkalian silang (ljt)

Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

xa

yaza

yzx

yxz

zyx

aaa

aaa

aaa

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

10

Triple ProductsHasil operasi lain yang penting:

BACACBCBA

Scalar triple product

Vector triple product (aturan bac-cab)

BACCABCBA

Menghasilkan skalar

Menghasilkan vektor

11

VECTOR REPRESENTATION

3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS:

• RECTANGULAR

• CYLINDRICAL

• SPHERICAL

Choice is based on symmetry of problem

Examples:

Sheets - RECTANGULAR

Wires/Cables - CYLINDRICAL

Spheres - SPHERICAL

12

Sistem Koord. Kartesian

x

y

z

(x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d!

yxz

zyx

a dz dxa dz dyady dxsd

a dzady adx ld

dzdy dx dv

xaya

za

13

Sistem Koord. Kartesian

yxz

zyx

a dz dxa dz dyady dxsd

a dzady adx ld

dzdy dx dv

14

Sistem Koord. Tabung atau Silindris

z

y

x

(, , z)Perhatikan kuantitas diferensial:dV, dS and d!

dz d d dv

a dz d sd

a dza d a dld z

za

a

a

15

Sistem Koord. Tabung atau Silindris

dz d d dv

a dz d sd

a dza d a dld z

16

Sistem Koordinat Bola

z

y

x

r

(r, ,

nb : harga adalah 0 sampai , bukan 0 sampai 2

Lihat lagi kuantitas diferensial:dV, dS and d!

d dθdr sinθ r

a d dθ sinθ r

a d sinθr a dθr adr ld

2

r2

θr

dv

sd

a

a

ra

17

Sistem Koordinat Bola

d dθdr sinθ rdv

a d dθ sinθ rsd

a d sinθr a dθr adr ld

2

r2

θr

18

Transformasi KoordinatKadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola :

cosAsinAA

sinAsincosAcoscosAA

cosAsinsinAcossinAA

yx

zyx

zyxr

Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

19

Soal2

1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)Cari :

– Vektor dari A ke C– Vektor satuan dari B ke A– Jarak dari B ke C

•-ax+8ay-4az

•0,762ax-0,127ay-0,635az

•12,45

20

Soal2

2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh

W=4x2y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2) az

Cari : – Besar medan di P(2,-3,4)

– Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P

– Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan

• 53,4• -0,899ax-0,412ay+0,150az• +- 0,455

21

Soal2

3. Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2az

Cari : – F.G– Sudut antara F dan G– Panjang proyeksi F pada G– Proyeksi vektor F pada G

• -27,0• 130,8 o

• -4,38

• -2,13ax-3,55ay-1,42az

Medan Elektromagnetik. Sukiswo 22

23

Soal2

4. Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2az

Cari : – F x G– ax (ay x F)– (ay x ax ) x F– Vektor satuan yang tegak lurus F pada G

• 215ax+190ay-145az• -45ay• -70ax-45ay

• +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)

24

Soal2

5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)

Cari : – Jarak dari P ke titik asal– Q tegak lurus pada sumbu z– P ke Q

• 6,71• 3,16• 11,20

25

Soal2

6. a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung

b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya 23 cos2

2

ze

• 240+z2 –ρ2 sin 2φ• 8,66

26

Soal2

7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung

b. Cari medan F dalam koord cartesian jika

F= ρ cosφ aρ

• ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ

•

yx yaxayx

x

22

27

Operator Del =

Bola a sin r

a r

ar

Tabung az

aa

Cartesian az

ay

ax

r

z

zyx

28

Grad, Div dan Curl

an vektormenghasilkuntuk vektor pada beroperasi :CurlAAA

zyx

aaa

A CurlA

skalaran menghasilkuntuk vektor pada beroperasi :Divz

A

y

A

x

AA DivergensiA

an vektormenghasilkuntuk skalar fungsi pada beroperasi :Grad

az

ay

ax

Gradien

EMmedan teoridalammendasar sangat yang halmerupakan dan ldiferensiaoperator adalah Ketiganya

zyx

zyx

zyx

zyx

29

Gradien dari medan skalar

Jika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut:

dibaca“del phi”

Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu-kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu.Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadifungsi vektor.

az

ay

ax

Grad zyx

30

Contoh gradien

2

2

, ,

ˆ ˆ ˆMaka 2

z

z z

x y z x y xe

x e x x y xe z

Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan

ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y z

Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan munculpada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah 28

21P

turunanberarah

31

Rapat fluksOperator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor !Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber

Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor).

Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya).

medanseragam

medan tak seragam

32

DivergensiDivergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasanMendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya:

Secara matematika:

Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.

z

E

y

E

x

EE DivergensiE zyx

33

Contoh divergensi

x6x

x0x6E

zzxyz2xx3E

2

2

22

Di titik (2,-2,0)

160,2,2

E

Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.

34

Curl (Rotasi=Pusaran)

Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya.

Medan B seragam,curl-nya nol.

medan tak-seragam,Curl-nya tidak nol.

35

Perhitungan curl

teksbookpadaditemukan bisalain koordinat sistemUntuk

Cartesian

BBBzyx

aaa

B CurlB

zyx

zyx

36

Operator penting lainnya

2

2

2

2

2

22

z2

y2

x22

2

z

V

y

V

x

VV

AAA

0

0

A

A

AAA

Dua rumus ini sangatbermanfaat pd pembaha-san mendatang.

Operator Laplacian

37

Operator Laplacian (1)

Ingat: ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆx y z

x y zx y z

A x A y A z

Sekarang 2 2 2

2 2 2

yx zAA A

x y z

x y y

Untuk praktisnya ditulis: 2 baca “del kuadrat”

38

Laplacian (2)

Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor

ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE

Jika

Maka,2 2 2

22 2 2

2 2 2ˆ ˆ ˆx y z

E Ex y y

x E y E z E

Dapat juga ditunjukkan bahwa:

2E E E

“curl curl dari E”

39

Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl

zyx

zyx

AAAzyx

zyx

z

A

y

A

x

Az

zy

yx

x

ˆˆˆ

ˆˆˆ

A

A

40

Teorema integral

(teorema divergensi)v S

E dv E dS

Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan.

(teorema Stokes)S C

B dS B dl

Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaanmenjadi integral garis.

permukaan atau lintasan tertutup

41

Integral garis/permukaan

Contoh: teorema Stoke

rn ˆˆ

(teorema Stoke)S C

B dS B dl

Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan.

Hitung integral ini sepanjang garis-batasdari segmen.

42

Permasalahan nilai batas

Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas.

Secara umum ada tiga jenis syarat batas:•Syarat batas jenis Dirichlet•Syarat batas jenis Neumann•Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

43

Syarat batas jenis Dirichlet

S

Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukansuatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada .

gV

Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.

44

Syarat batas jenis Neumann

Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .f

dn

dV

S

f

dn

dV

Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.

45

Contoh (1) batas bidang (planar)

Hi EiEr

Hr

x

r i

tHtEt

22

11

Kita perlu pernyataan mengenai medan normaldan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus-kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yanglainnya (y<0).

y

incidentreflected

transmitted

46

Contoh (2): bumbung gelombang

0y,xEkyx

z2c2

2

2

2

02

2

2

2

2

yxHkyx zc ,

X

Y

a

b ,

Perlu Ez=0 pada semua dinding syarat batas Dirichlet

perlupada dinding. syarat batas Neumann

dan 0z zH H

x y

47

Syarat batas dalam EM

Et1 n111

222 Et2

E tangensial kontinyu

n111

222 Ht2

Ht1

n × (H1-H2)=Js

n111

222

Bn1

Bn2

B normal kontinyu

n111

222D2n

D1n

n·(D1-D2)=s

Ekivalen

48

Lihat contoh berikut

Et1 n111

222 Et2

E tangensial kontinyu

Hal ini menyatakan bahwamedan (listrik) tangensial dalamdaerah-1 adalah sama denganmedan (listrik) tangensial padadaerah-2.Ini tdk menyatakan apapunmengenai kompenen lain dr E.

Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE

Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!n E

49

Dan satu contoh lagi

n111

222 Ht2

Ht1

n × (H1-H2) = Js

Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus.

Hal ini umum terjadi. Jikamedium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi:

1ˆ sn H J Ini berarti bahwa komponen

tangensial dari medan H adalah arus permukaan.

“permukaan”

50

Contoh:

0

0

2 20

2 2

ˆ memenuhi 0

ˆ

ˆ memenuhi 0d

j zi i

j zr r

j zt t d

E xE eE

E xE e

E xE e E

z0

d

Ei atau Er

Et

Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa(pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.

0

1i r t

ti r

d

E E E

EE E

Z Z