tugas 1 transformasi laplace
DESCRIPTION
LaplaceTRANSCRIPT
TUGASKALKULUS LANJUT
DOSEN PENGAMPUH
Prof. Dr. P. Siagian, M.Pd
Oleh
NAMA : WES WARUWUNIM : 8156172048KELAS : B - 2PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA
PENDIDIKAN MATEMATIKA PASCA SARJANAUNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015
1. L {cos at }=F (s )=∫0
∞
e−st cosat dt
Dengan menggunakan integral parsialMisalkan: u=cosat dv=e−st dt
du=−a sinat dt v=∫ e−st dt=−1se−st
∫0
∞
e−st cosat dt=−1s
cosat e−st−as∫
0
∞
e−st sinat dt
Dengan menggunakan integral parsial kembaliMisalkan u=sinat dv=e−st dt
du=acos at dt v=∫ e−st dt=−1se−st
Sehingga
∫0
∞
e−st cosat dt=−1s
cosat e−st−as (−1
ssinat e−st+ a
s∫0
∞
e−st cosat dt) ∫0
∞
e−st cosat dt=−1s
cosat e−st+ as2 sinat e− st−a
2
s2∫0
∞
e− stcos at dt
Dengan menambahkan kedua ruas dengan a2
s2∫0
∞
e− stcos at dt akan diperoleh
∫0
∞
e−st cosat dt+ a2
s2∫0
∞
e−st cosat dt=−1s
cosat e−st+ as2 sinat e− st
(1+ a2
s2 )∫0
∞
e−st cos at dt=−1s
cos at e−st+ as2
sin at e−st
( s2+a2
s2 )∫0
∞
e−st cos at dt=−1s
cos at e−st+ as2
sin at e−st
∫0
∞
e−st cosat dt=
−1s
cos at e−st+ as2 sinat e−st
( s2+a2
s2 ) |0
∞
¿ (−1s
cos at e− st+ as2
sinat e−st)( s2
s2+a2 )|0
∞
¿ −ss2+a2
cos at e−st+ a
s2+a2sinat e−st|
0
∞
¿ [ limt →∞ ( −ss2+a2 cosat e−st+ a
s2+a2 sinat e−st)]−( −ss2+a2 cos 0e0+ a
s2+a2 sin 0e0) ¿ (0+0 )−( −s
s2+a+0)
¿ s
s2+a2
Jadi L {cos at }=F (s )= s
s2+a2
2. L {sinat }=F (s )=∫0
∞
e−st sinat dt
Dengan menggunakan integral parsialMisalkan: u=sinat dv=e−st dt
du=acos at dt v=∫ e−st dt=−1se−st
∫0
∞
e−st sinat dt=−1s
sinat e−st+ as∫0
∞
e−st cosat dt
Dengan menggunakan integral parsial kembaliMisalkan u=cosat dv=e−st dt
du=−a sinat dt v=∫ e−st dt=−1se−st
Sehingga
∫0
∞
e−st sinat dt=−1s
sinat e−st+ as (−1
scos at e−st−a
s∫0
∞
e−st sinat dt) ∫0
∞
e−st sinat dt=−1s
sinat e−st− as2
cos at e− st−a2
s2∫0
∞
e− stsin at dt
Dengan menambahkan kedua ruas dengan a2
s2∫0
∞
e− stsin at dt akan diperoleh
∫0
∞
e−st sinat dt+ a2
s2∫0
∞
e−st sinat dt=−1s
sinat e− st− as2 cos at e−st
(1+ a2
s2 )∫0
∞
e−st sinat dt=−1s
sinat e− st− as2 cos at e−st
s2+a2
s2 ∫0
∞
e− stsin at dt=−1s
sinat e−st− as2 cos at e−st
∫0
∞
e−st sinat dt=
−1s
sinat e−st− as2 cosat e−st
s2+a2
s2|
0
∞
¿ (−1s
sin at e−st− as2
cosat e−st)( s2
s2+a2 )|0
∞
¿ −ss2+a2
sinat e−st− a
s2+a2cosat e−st|
0
∞
¿ [ limt →∞ ( −ss2+a
sinat e−st− as2+a2 cos at e− s t)]−( −s
s2+a2 sin 0e0− as2+a2 cos 0e0)
¿ (0−0 )−(0−a
s2+a2 ) ¿ a
s2+a2
Jadi L {sinat }=F (s )= a
s2+a2
3. L {cosh at }=F ( s )=∫0
∞
e−st cosh at dt
Karena cosh at=12
(eat+e−at ), maka
∫0
∞
e−st coshat dt=∫0
∞
e−st [ 12
(eat+e−at )]dt ¿
12
∫0
∞
e−st (eat+e−at )dt
¿ 12∫
0
∞
(e−st eat+e− st e−at )dt
¿ 12∫
0
∞
(e−t ( s−a )+e−t ( s+a ) )dt
¿ 12 [ −1s−a
e−t ( s−a )− 1s+a
e−t (s+a )]0
∞
¿ 12 {[ limt→∞ ( −1
s−ae−t ( s−a )− 1
s+ae−t (s+a ))]−( −1
s−ae0− 1
s+ae0)}
¿12 [ (0−0 )−( −1
s−a− 1s+a )]
¿12 ( 1s−a
+ 1s+a )
¿12 ( s+a+s−a( s−a ) (s+a ) )
¿12 ( 2 s
s2−a2 ) ¿
s
s2−a2
Jadi L {cosh at }=F ( s )= s
s2−a2