transformasi laplace

LAPLACE TRANSFORMSLaplace transforms provide a method for representing and analyzing linear systems

using algebraic methods

2

Outline Overview Definisi Transformasi Laplace Transformasi Laplace Balik Menyelesaikan TF menggunakan MATLAB

3

Overview Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan

matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya

Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).

Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.

Introduction

It was discovered by Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (1749-1827)

Laplace Transform provides: Representation of Input, output, and

system as separate entities Simple Algebraic interrelationship

between Input, Output, and System Limitation of Laplace Transfrom:

Works in Frequency Domain Valid when the system is LINEAR

Definition

00

)()()()( dtetftfdtesFtf ststL

Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.

Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t)

)( )( 1 sFtf -L Inverse Transformasi Laplace

6

Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s.

Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s.

Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi Laplace

Teorema Transformasi Laplace

sFsFtftfL

saFtafL

2121

dt

dffsFs

dt

tfdL

fssFdt

tdfL

00

0

22

2

dt

s

f

s

sFdttfL

0

ssFtfst

limlim0

ssFtfst 0limlim

sFetfL s

• Differensiasi

• Integrasi

• Nilai awal

• Nilai akhir

• Pergeseran waktu

• Linearitas

Laplace Transforms x(t) X(s) ROC

Impulse: δ(t) 1 Semua s

Step: u(t) Re(s)>0

Ramp: t u(t) Re(s)>0

Exponential: e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0

Cos ω0t u(t) Re(s)>0

Sin ω0t u(t) Re(s)>0

s1

2

1

s

as 1

20

2 s

s

20

20

s

Properties of Laplace Transforms

Sifat-sifat Transformasi Laplace

Linearitas

Perubahan Skala

Translasi Fungsi

Geseran frekuensi e-at f(t)= F(s+a)

Konvolusi waktu x(t) * y(t) =X(s) Y(s)

)()()()( 2121 sFsFtftf L

)(asaFa

tf

L

)()(1)( sFeatatf asL


Konvolusi frekuensi (modulasi)

x(t) y(t)

Diferensiasi frekuensi (-t)n f(t)

Diferensiasi waktu

Untuk TL dua sisi

)(*)(2

1sYsX

j

)(sFds

dn

n

)(tfdt

dn

n

1

0

)()0(

1)(n

k

kknn fssFs

)(sFsn


Integrasi waktu

Teorema nilai awal

Teorema nilai akhir

0

)( dttfs

sF )(

dttf )(

0

)(1)(

dttfss

sF

)(lim0

tft

)(lim ssFs

)(lim0

ssFs

)(lim tft

TRANSFORMASI LAPLACE BALIK

Transformasi Laplace Balik (Invers)

13

1. Pengantar Menyelesaikan persoalan dalam domain-s relatif lebih

mudah daripada dalam domain waktu Untuk mendapatkan penyelesaian/ solusi dalam domain

waktu diperlukan transformasi Laplace balik (Invers) Pada pokok bahasan ini akan diuraikan metode

mendapatkan Invers dengan menggunakan metode Pecahan Parsial


14

2. T-Laplace Balik Hubungan T-Laplace dan T-Fourier :

Dari relasi invers dapat diperoleh

dteetxjX tjt ])([)(

dejXetx tjt )(21

)(

TLB-1

TLB-2

dejXtx tj )( )(21

)(

atau


15

2.1. Integral KonturDengan s=σ+jω diperoleh formulasi transformasi Laplace Balik (Invers):

Mencari Invers dengan metode melibatkan Integral Kontur dalam bidang kompleks yang relatif sulit, karena itu akan digunakan metode yang lain.

j

j

ts- dsesXtxsX 1 )(21

)()( L TLB-3


16

2.2. Metode Pecahan Parsial

dimana Ti berbentuk

kTTTsDsN ....)()(

21

mnbass

CBsatau

ps

A

2

Suatu fungsi rasional dalam s dapat ditulis


17

►Beberapa Bentuk Pecahan Parsial• Polinomial (s2+as+b) dalam persamaan di atas adalah

polinomial yang tidak dapat direduksi.

• Bergantung kepada bentuknya , maka terdapat beberapa kasus yang berbeda :

Kasus 1 :- Faktor orde-1 tidak berulang.

Kasus 2 :- Faktor orde-1 berulang.

Kasus 3 :- Faktor orde-2


2.3. Faktor Orde-1 Tidak Berulang

nnn pssD

sNpsA

)()(

)(

)()(

)(sDsN

sX

n

n

n

psA

psA

psA

psA

pspspspssN

sX

.....

))....()(()(

)(

3

3

2

2

1

1

321


19

► Laplace Balik Orde-1 Tidak Berulang

tp

ntptp neAeAeA

sXtx

.....

)()(21 21

1

L

n

nps

Aps

Aps

AsX

.....)(

2

2

1

1


20

►Contoh 1 : Orde-1 Tidak Berulang (1)

?158

1)( 2

1

ss

ssXL

)5()3()5)(3(1

)( 21

sA

sA

sss

sX

13)5)(3(

1)3(1

ssss

sA

25)5)(3(

1)5(2

ssss

sA


21


)5(2

)3(1

)(

sssX

)(2)()( 531 tueesXtx tt

L


22


)4()1(

)4)(1(2

45

2)(

321

23

sA

sA

sA

ssss

sss

ssX

21

0)4)(1(2

1

ssss

ssA

?45

2)( 23

1

sss

ssXL


23


21

4)4)(1(2

)4(3

ssss

ssA

)4(5.0

)1(15.0

)(

sss

sX

)()( 1 sXtx L )(21

21 4 tuee tt

11)4)(1(

2)1(2

sssss

sA


24

2.4. Faktor orde-1 berulang

nn

n

ps

A

ps

A

ps

Aps

A

ps

sNsDsN

sX

.....

)()()(

)(

33

221

pssDsN

psA nn

)()(

)(

1,...,2,1

)()(

)()!(

1

nk

pssDsN

psds

dkn

A nkn

kn

k


25

►Contoh 3 : Orde-1 Berulang (1)

22 )1(

2

12

2)(

s

s

ss

ssX

221

2 )1()1()1(

2)(

s

AsA

s

ssX

11)1(

2)1(

22

2

ss

ssA

?12

2)(

21

ss

ssXL

►


26


2)1(

1)1(

1)(

sssX

)()()( 1 tuteesXtx tt L

11)1(

2)1(

!11

22

1

ss

ss

dsd

A


27


?593

48)( 23

1

sss

ssXL

221

2 )1()1()5()1)(5(

48)(

s

AsA

sB

ss

ssX

15)1)(5(

48)5(

2

sss

ssB

21)1)(5(

48)1(

22

2

sss

ssA


28


11)5(

)48()5(8)5(48

1)1)(5(

48)1(

!11

2

22

1

ss

ssss

dsd

sss

ss

dsd

A

2)1(

2)1(

1)5(

1)(

ssssX

)()( 1 sXtx L )(25 tuteee ttt


29

2.5. Faktor Orde-2

)()(

)(sDsN

sX

Jika D(s) memiliki faktor )( 2 qpss

)(...

)(

)).....((

)()(

211

211

211

2

nn

nn

nn

qsps

BsA

qsps

BsA

qspsqsps

sNsX


30

►Contoh 5 : Orde-2 (1)?

44

6)( 23

1

sss

ssXL

11)4)(1(

6)1(

2

sss

ssC

)1()4()4)(1(

6)(

22

sC

s

BAs

ss

ssX►


31

►Contoh 5 : Orde-2 (2)

)1)(4(

4

)1)(4(

)(

)1(4

)4(

1)1(

1

)4()(

2

2

2

2

2

22

ss

s

ss

BsBAAs

ss

s

sBAsss

BAssX

)1)(4(

6)1)(4(

4)(1)(

2

2

2

ss

sss

BsBAsAsX

A+1=0→A=-1A+B=1→B=2


32


)1(1

)2(

2

)2()(

2222

sss

ssX

)(2sin2cos)()( 1 tuettsXtx t L

)1(1

)4(

2)(

2

ss

ssX

20

20

020

20 )( sin;)( cos

s

tuts

stut LL


33

►Contoh 6 : Orde-2 (1)?

)54(

562)( 2

21

sss

sssXL

10)54(

5622

2

ssssss

sC

►sC

ss

BAs

sss

sssX

)54()54(

562)( 22

2

sss

BAssX

1

)54()( 2


34


sss

s

sss

ssX

1

1)2(

12

1)2(

)2(

1

)54(

10)(

22

2

1 21 AA1064 BB

)( 1sin12cos)()( 221 tutetesXtx tt

L

)54(

5)4()1()( 2

2

sss

sBsAsX ;

35

Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab

Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):

0,

...

...

)(

)(

011

1

011

1

mn

nn

nn

mm

mm

ba

asasasa

bsbsbsb

den

num

sD

sN

• Ekspansi pecahan parsialnya adalah

]...[

]...[

01

01

aaaden

bbbnum

nn

mm

)()(

)(...

)2(

)2(

)1(

)1(

)(

)(sk

nps

nr

ps

r

ps

r

sD

sN

• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya

k(s) adalah direct term

• Perintah

>>[r,p,k]=residue(num,den)

Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term dari ekspansi

pecahan parsial N(s)/D(s)

Contoh

32 )1(

2

)1(

0

)1(

1

)(

)(

ssssD

sN

• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:

Solusi dengan MatLab:

>>num=[1 2 3];

>>den=[1 3 3 1];

>>[r,p,k]=residue(num,den)

r = 1.0000 0.0000 2.0000

p = -1.0000 -1.0000 -1.0000

k = []

133

32

)(

)(23

2

sss

ss

sD

sN

Ekspansi pecahan parsialnya:


37

3. Ringkasan•Transformasi Laplace-Balik :

•Metode Pecahan Parsial :

j

j

ts- dsesXtxsX L )(21

)()(1

kTTTsDsN

sX ....)()(

)( 21

mni

ibass

CBsatau

ps

AT

2:

Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:Transformasi Laplace

1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.

2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.

3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.

4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.

Contoh:Solusi Persamaan Differensial

s

sYyssYysysYs1

5)(2)0(33)0´(02

tftydt

tdy

dt

tyd523

2

2

Diberikan persamaan differensial sbb:

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:

)23(

5)(

5)()23(

5)(2332

2

2

22

2

sss

sssY

sssYsss

ssYssYssYs

Fungsi unit step dari tabel transformasi

Laplace

Menggunakan properti diferensiasi

transformasi Laplace

Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers

transformasi Laplace

40

)2)(1(

5

)23(

5)(

2

2

2

sss

ss

sss

sssY

2

3

)1(

5)]()2[(

5)2(

5)]()1[(

2

5

)2)(1(

5)]([

2

2

2

1

2

0

ss

sssYsC

ss

sssYsB

ss

ssssYA

s

s

s

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

)2)(1(

5

)2()1()(

2

sss

ss

s

C

s

B

s

AsY

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

)2(2

3

)1(

5

2

5)(

ssssY

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

tt eety 2

2

35

2

5)(

Dengan t≥0

Examples Selesaikan

x’’+3x’+6x=0 x(0)=0 dan x’(0)=3

21)0(

1)0(

0,)(

3107

y

y

tetx

dengan

xxyyy

t

transformasi laplace

Education

e s f s

s f s n

d s n s x s

pn n s d s s

dengan s

lim sf s t s

f1 s f2 s t

f2 s integrasif s f