türev 01

Ana menüAna menü

Ana menüAna menü

Tanım: f : A R , y = f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli

Olmak üzere ,

ax

afxfax

)()(lim

Limiti bir reel sayı ise; bu değere , f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir.

f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi f’(a) veya )(adx

df

sembolleri ile gösterilir.

Ana menüAna menü

Bir fonksiyonun türevini daha kısa yoldan bulmamızı sağlayacak bazı teoremler:

Raxnaxfaxxf nn ,..)()( 1

0)(')(,)( xfRaaxf

)(')(')('')()()( xwxvxuyxwxvxuy

devam etmek için tıklayınız devam etmek için tıklayınız

Ana menüAna menü

)('.)(..')(. 1 xuxuanyxuay nn

'.'.)(')().()( vuvuxfxvxuxf

2

'.'.'

)(

)(

v

uvvuy

xv

xuy


Ana menüAna menü

2)'(

x

c

f

c

n nn

fn

ff

1.

')'(

Örneğin;

3 23

.3

')'(

f

ff


Ana menüAna menü

'.'

' ff

fyfy

')( yxfy

')sgn( yhy

0, f Z ise

yoktur, f Z

isehyoktur

iseh

0 ,

0 ,0

f(x), f(x)>0 ise

yoktur, f(x)=0 ise

-f’(x), f(x)= -1 ise

Ana menüAna menü

A y

x

t

f(x)

t doğrusunun eğimi:

tantm

tmxf )('


Ana menüAna menü

f fonksiyonunun A noktasındaki teğet doğrusunun denklemi;

A y

x).( 11 xxmyy t

Ana menüAna menü

Bir hareketli cismin t zamana bağlı yol denklemi S=f(t) olsun.

)(')(

)()( tf

td

sdtv

)(")(

)()( tf

td

vdta

Ana menüAna menü

Tanım = x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.

)('

)(')(

yf

xfxf

Bu durumda;

f’(x)= x’e göre türev (y sabit)

f’(y)= y’ye göre türev (x sabit)

Ana menüAna menü

Tanım : y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri

olmak üzere t parametresine bağlı olarak

Rt

x = h(t)

y =g(t)Biçiminde tanımlanırsa, bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.

olur. )('

)('

durumda;bu

th

tg

dtdxdtdy

dx

dy

Ana menüAna menü

axxa ln.

1)'(log

au

uua ln.

')'(log

u

uu

')'(ln

xx

1)'(ln

Ana menüAna menü

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = -sinx

xx

x 22

2 seccos

1tan1 (tanx)'

(secx)’ = secx.tanx

(cosecx) = -cosecx.cotx

x2cosecx2sin

1)cot(1 (cotx)' 2x

örnekleri görmek için tıklayınız örnekleri görmek için tıklayınız

Ana menüAna menü

ff

1f

xyf )(1 )(xfy Birebir olmalıdır!Birebir olmalıdır!

BAf : ABf 1

dir. ))(('

1

)('

1)()'(

11

yffxfyf

ise, 0(x)f' var ve(x)f'için Ax


Ana menüAna menü

21

1)'(arcsin

xx

21

1)'(arctan

xx

1x , 1.

1)'sec(

2

xxxarc

21

1)'(arccos

xx

21

1)'(arccos

xx

1x , 1

1)'cot(

2

xxxarc


Ana menüAna menü

aa x ln.a )'( xxe)(ex

aaua uu ln.'.)( uu eue '.)'(

Ana menüAna menü

ise;fonksiyon bir türevlikümesindeA

fonksiyonu f(x)y , RA:f üzereolmak RA

e'dx

dy(x)f'y'

dx

df

f fonksiyonun 1. mertebeden türevi denir. f fonksiyonun 1. mertebeden türevi denir.

edx

fd

dx

ydxf ')(y

2

2

2

2''''

f fonksiyonun 2. mertebeden türevi denir.f fonksiyonun 2. mertebeden türevi denir.

üzere;olmak 1n ven şekilde, aynı N

denir. türevidereceden n.nun fonksiyonu f e')(ynn

nn

dx

xdxf

Ana menüAna menü

6'2 3 yxy

?(1)f' ise 6754)( 23 xxxxf

0.7.2.5.3.4 1213 xxx 1071012 =

?dx

dy ise )13(2 2 xy

)6.()13.(6'dx

dy 22 xxy

Konuya devam etmek için tıklayınız

Örneklere devam etmek için tıklayınız

Ana menüAna menü

?')1.()13(2 322 yxxy

32 )1(3).13(2.2' xxy xxx 2).1(3.)13(2 22

u v



Ana menüAna menü

?(1)f' ise -1(1)g' 2g(1) , 3

)()(

3

x

xgxf

)3(x

)(.2)3(x).(xg'f(x)

22

3 xgx

16

))1((2)1(' gg

2

1

16

44



Ana menüAna menü

3 32)( xxf

3 2)32(.3

)'32()('

x

xxf

İse f’(12) nedir?

2)32(.3

2)('

xxf=

9.3

2

27

2)12('

3 2f

27

2



Ana menüAna menü

türevin geometrik yorumu

1

)(x

xxf

fonksiyonunun x=1 noktasındaki teğetinin

ve normalinin eğimi kaçtır?

2

)1.(1.1

x

xx 2

1

x

xx 1

12

x

nmxxy 2 eğrisinin apsisi x=1 noktasındaki teğetinin denkleminin y=x+1 olması için n-m=?

Ana menüAna menü

Ana menüAna menü

?(x)f' ise 4.)( 2 xxxf

042 x x=2, x=-2 (k.n.)

)4sgn(.2.4.1)(' 22 xxxxxf

)49sgn(.9.249.1)3(' f

23185)3(' f



Ana menüAna menü

32)( 2 xxxf ise ?)2

1(f' ?,(2)f' ?,)1(' f

g(x)

33)( 2 xxxg 22)(' xxg

g(x)için 1x y=1-2+3=2 0(1)f' , min f

yokfx )2('2

)(0)2

1('

2

1 gfx



Ana menüAna menü

)2sgn()( 2 xxxf

22)(' xxg

0622.2)2(' g

0)2(' f

ise f’(2)=?

)2sgn()( 2 xxxf

g(x)


Ana menüAna menü

Hareket denklemi: 132 3 ttd olan bir hareketlininin

3sn. Sonraki aldığı yolu , hız ve ivmesini hesaplayınız.

.58127.33.23 mst

snmt

dt

dsv 839.9292 2

2543.1818sn

mtdt

dva


Ana menüAna menü

22 32 yxyx ise f’(1)=?

221 3 yyx

0)1( 2 yy

0y

022),( 32 yxyxyxf

23

4

'

')1('

yx

yx

yf

xff

tm

401

04


Ana menüAna menü

4

322

2

ty

ttx

dx

dy ise ‘in t =-1 için değeri nedir?

16

22

t

t

dtdxdtdy

dt

dy

7

2


Ana menüAna menüKonuya devam etmek

için tıklayınız

?)1ln( 52 xxdx

d

)1(

'..5'2

4

xx

uu

u

u

dx

d52

42

)1(

)12.()1.(5

xx

xxx

)1(

)12.(52

xx

x=

Ana menüAna menü

?)(f' ise cos3sin)( 2 xxxf

)sin.(cos.23cos.3 xxx 3)(' f

?)))3(cos((sin3 xdx

d

3).3sin).(3cos(cos).(cossin.3 2 xxx


Ana menüAna menü

123)( 2 xxxf ?))(()'( ise 1 xff

29

1

)('

12

xxf

Rf 7,1: 42)( 2 xxxf ?)4)((f ise -1

)2('

1

)('

1))(( 1

fxfyf ?4 xy 424 2 xx

24 xx -4 olamaz

42

1

42

1

x 6

1


Ana menüAna menü

? ise 41arccos dx

dyxy

)41(1

)41(

x

x

dx

dy

)4

412

4

(xx

2164

2

xx

u


Ana menüAna menü

12

4)( xxf fonksiyonun türevini bulunuz.

4ln.4).1()('122

xxxf 4ln.4.212

xx

xexf sin)( fonksiyonunun türevini bulunuz.

xexxf sin' )'.(sin)( xex sin.cos


Ana menüAna menü

xxfy

1)( fonksiyonunun n. türevi ne olur?

21

22

!1.)1(

1.1

1)('

xxxxf

32

33

!2.)1(

1.2

2)(''

xxxxf

43

44

!3.)1(

1.3

3)('''

xxxxf

)1()( !

)( n

n

x

nxf

Olur.



Ana menüAna menü

?y ise . (40) xexy

xxx exexey ).1(..1'

xxx exexey )2().(.2''

xexy ).40()40(


Ana menüAna menü

)(.)()()( ''' xgxgfxfog '1.. uunyuy nn

)(ufy )(tgu )(xht Olsaydı;, ,

dx

dt

dt

du

du

dy

dx

dy.. (zincir kuralı)

Ana menüAna menü

37)( xxxf 55)( 2 xxxg ise (fog)(-1)=?

)1('.)1(' ggf

352)1(' g52)(' xxg

1037)1(' f

26 37)(' xxxf 10 3.

= 30


türev 01

Education