tsk205 kuliah4 kmap print4
TRANSCRIPT
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 1 / 42
Rangkaian Logika Optimal: Peta Karnaugh dan Strategi Minimisasi
Eko Didik Widianto ([email protected])
Sistem Komputer - Universitas Diponegoro
Review Kuliah
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 2 / 42
• Sebelumnya dibahas sintesis rangkaian logika dari deskripsi kebutuhan
fungsinya berupa tabel kebenaran, diagram pewaktuan
◦ Implementasi dengan gerbang AND-OR (SOP) dan NAND-NAND
◦ Implementasi dengan gerbang OR-AND (POS) dan NOR-NOR
◦ Penyederhanaan ekspresi logika hasil sintesis (SOP/POS) menggunakan
prinsip-prinsip aljabar
• Selanjutnya adalah penyederhanaan menggunakan peta Karnaugh beserta
strategi minimalisasi SOP/POS. Dikenalkan fungsi dengan don’t care dan juga
rangkaian dengan keluaran rangkap
http://didik.blog.undip.ac.id/
Bahasan
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 3 / 42
Peta Karnaugh
Recall:Penyederhanaan
Peta Karnaugh
Grouping K-Map
K-Map 3 Variabel
Tips Grouping
K-Map 4 Variabel
K-Map 5 Variabel?
Strategi - Terminologi
Prime Implicant
Minimisasi POS
Minimisasi Ekspresi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
Rangkaian Multi-Keluaran
Peta Karnaugh
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 4 / 42
Recall: Menyederhanakan Ekspresi
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 5 / 42
• Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi
◦ SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)
◦ POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) ·
(
x + y
)
= x)
• Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau
14b jika berbeda hanya di satu variabel saja
f (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3
m1 dan m5 berbeda di x1, dan m4 dan m6 berbeda di x2
f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3
=
(
x1 + x1
)
x2x3 + x1(x2 + x2)x3
= x2x3 + x1x3
f
(
x, x, x
)
=
(
x + x + x
)(
x + x + x
)(
x + x + x
)(
x + x + x
)
M0 dan M2 berbeda di x2, dan M4 dan M7 berbeda di x1
f =
(
(x1 + x3) + x2x2
)(
x1x1 +
(
x2 + x3
))
= (x1 + x3)
(
x2 + x3
)
Peta Karnaugh
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 6 / 42
• Peta Karnaugh (K-map) menyediakan cara sistematik dan grafis untuk
mencari rangkaian SOP minimum (dan POS)
◦ Mencari minterm yang berbeda di satu variabel
◦ Menggabungkan minterm sesuai hukum 14a untuk SOP dan 14b
untuk POS
• K-map juga merupakan alternatif untuk menyatakan suatu fungsi logika
selain tabel kebenaran
◦ K-map disusun atas sel-sel. Satu sel, satu minterm
Grouping K-Map
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 7 / 42
• Minterm-minterm yang berdekatan dapat dikombinasikan karena mereka
hanya berbeda di satu variabel saja –> Grouping
• Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatan
• Melingkari dua nilai ’1’ bersama, berarti mengeliminasi satu term dan
satu variabel dari ekspresi output
◦ Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai perbedaan nilai di
group, vertikal/horizontal
◦ Group merah: x1 dieliminasi, Grup biru: x2 dieliminasi
Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 8 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 3) dan f =∑
m(1, 2)
Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 8 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 3) dan f =∑
m(1, 2)
• f =∑
m(0, 3) = x1x2 + x1x2–> fungsi SOP tidak dapat
disederhanakan
• f =∑
m(1, 2) = x1x2 + x1x2–> fungsi SOP tidak dapat
disederhanakan
Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 9 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 1) dan f =∑
m(1, 3)
Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 9 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 1) dan f =∑
m(1, 3)
• f =∑
m(0, 1) = x1x2 + x1x2 = x1, x2dieliminisi
• f =∑
m(1, 3) = x1x2 + x1x2 = x2, x1dieliminasi
Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 10 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 1, 2) dan f =∑
m(1, 2, 3)
Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 10 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 1, 2) dan f =∑
m(1, 2, 3)
• f =∑
m(0, 1, 2) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2
• f =∑
m(1, 2, 3) = x1x2 + x1x2 + x1x2 = x1 + x2
K-Map 3 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 11 / 42
• K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanya
mempunyai perbedaan 1 variabel
x1 x2 x3 minterm mj
0 0 0 m0 = x1x2x3
0 0 1 m1 = x1x2x3
0 1 0 m2 = x1x2x3
0 1 1 m3 = x1x2x3
1 0 0 m4 = x1x2x3
1 0 1 m5 = x1x2x3
1 1 0 m6 = x1x2x3
1 1 1 m7 = x1x2x3
Ketentuan dan Tips Grouping
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 12 / 42
• Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatan
• Hanya dapat menggabungkan 2n minterm (1,2,4,8,16, dst)
• Bentuk group sebesar mungkin
• Group yang sudah dicover oleh group lain tidak perlu digabungkan
lagi
Contoh K-Map 3 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 13 / 42
• Sederhanakan f =∑
m(0, 1, 2, 5)
f =∑
m(0, 1, 2, 5)
= x1x3 + x2x3
Contoh K-Map 3 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 14 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(1, 3, 5, 7), f =∑
m(0, 2, 3, 6, 7)
Contoh K-Map 3 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 14 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(1, 3, 5, 7), f =∑
m(0, 2, 3, 6, 7)
f =∑
m(1, 3, 5, 7)
= x3
f =∑
m(0, 2, 3, 6, 7)
= x2 + x1x3
Contoh K-Map 3 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 15 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 1, 3, 4, 5, 7) dan f =∑
m(0, 1, 3, 4, 5, 6)
Contoh K-Map 3 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 15 / 42
• Sederhanakan: f =∑
m(0, 1, 3, 4, 5, 7) dan f =∑
m(0, 1, 3, 4, 5, 6)
f =∑
m(0, 1, 3, 4, 5, 7)
= x2 + x3
f =∑
m(0, 1, 3, 4, 5, 6)
= x2 + x1x3 + x1x3
K-Map 4 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 16 / 42
Bentuk K-map 4 variabel:
Contoh Grouping K-Map 4 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 17 / 42
• Sederhanakan f =∑
m(2, 3, 8− 11, 13)
Contoh Grouping K-Map 4 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 17 / 42
• Sederhanakan f =∑
m(2, 3, 8− 11, 13)
f =∑
m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)
= x1x2 + x2x3 + x1x3x4
Latihan Grouping K-Map 4 Variabel
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 18 / 42
Sederhanakan fungsi 4 variabel:
• f =∑
m(3− 7, 9, 11, 12− 15)
• f =∑
m(0− 4, 6, 9, 11, 12, 14)
• f =∑
m(0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15)
K-Map 5 Variabel?
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 19 / 42
• K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudut pandang praktis –>
butuh perangkat CAD
Strategi Minimalisasi: Terminologi
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 20 / 42
• Literal : variabel di suatu term
◦ Contoh: x1x2x3x4(term dg 4 literal), x2x3(term dg 2 literal)
• Implicant : sebarang term bernilai ’1’ atau grup term bernilai ’1’ yang
dapat digabungkan di K-map
◦ minterm adalah implicant dasar. Untuk fungsi n-variabel, minterm
adalah implicant dengan n literal
• Prime Implicant : implicant yang tidak bisa digabungkan dengan
implicant lain untuk menghilangkan sebuah variabel
◦ Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untuk mendapatkan
implicant valid
• Cover : suatu koleksi implicant yang menghasilkan nilai fungsi ’1’
• Cost : jumlah gerbang ditambah jumlah total masukan ke semua
gerbang dalam rangkaian logika
Contoh Terminologi
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 21 / 42
• Terdapat 10 implicant valid
◦ 7 buah minterm
◦ 1 term 3-literal (grup 2 minterm)
◦ 2 term 2-literal (grup 4 minterm)
• Terdapat 3 prime implicant
◦ x1x2, x2x3, x1x3x4
◦ Untuk x1x2, jika sebuah literal dihapus
menyisakan x1 atau x2
• x1bukan implicant valid karena
{1,1,0,0} menghasilkan f = 0
Contoh Terminologi: Cover dan Cost
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 22 / 42
• Cover untuk f =∑
m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)
1. Persamaan dengan semua minterm
2. f = x1x2 + x1x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid
3. f = x1x2 + x2x3 + x1x3x4 merupakan cover valid yang berisi
prime implicant
• Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau tidak
mempunyai cost 0)
1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semua gerbang=7*4+8*1,
total=8+28+8=44
2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3,
total=4+11=15
3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3,
total=4+10=14
• Cover yang berisi prime implicant cenderung menghasilkan implementasi
dengan cost terendah
Prime Implicant: Esensial dan Non-Esensial
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 23 / 42
SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namun tidak
semua prime implicant)
• Essential: diperlukan untuk membentuk SOP minimum
• Nonessensial: tidak diperlukan untuk SOP minimum (dapat dihilangkan)
• Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x3x4
dan x2x3x4
• Esensial: x1x2, x2x3, dan x2x3x4
• non-esensial: x1x3x4
• fmin = x1x2 + x2x3 + x2x3x4 ,
x1x3x4 dihilangkan
Contoh Prime Implicant
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 24 / 42
• Prime implicant: x1x2, x2x3, x1x2x3,
x1x2x4 dan x1x3x4
• Esensial: x1x2, x2x3, dan x1x2x3
• non-esensial: x1x2x4 , x1x3x4 (harus dipilih
salah satu)
• fmin =
x1x2 + x2x3 + x1x2x3 +
{
x1x2x4
x1x3x4
}
Ringkasan
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 25 / 42
• SOP minimum berisi semua prime implicant esensial dan beberapa prime
implicant non-esensial
• Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum:
1. Cari semua prime implicant dari f
2. Cari set prime implicant esensial
3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana f = 1,
maka set ini adalah cover dari f yang diinginkan. Jika tidak, tentukan
prime implicant non-esensial yang harus ditambahkan agar minimum
• Menentukan prime implicant non-esensial? heuristik (mencoba semua
kemungkinan untuk mendapatkan cover dengan cost minimum)
Latihan di Rumah
Peta Karnaugh
• Recall:Penyederhanaan
• Peta Karnaugh
• Grouping K-Map
• K-Map 3 Variabel
• Tips Grouping
• K-Map 4 Variabel
• K-Map 5 Variabel?
• Strategi - Terminologi
• Prime Implicant
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 26 / 42
• Cari semua prime implicant dari f
• Cari set prime implicant esensial
• Cari cover dengan cost terendah dari
semua kombinasi prime implicant
non-esensial
Minimisasi POS
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
• Minimisasi Ekspresi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 27 / 42
Minimisasi Ekspresi POS
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
• Minimisasi Ekspresi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 28 / 42
• Menggunakan prinsip dualitas
• K-map dapat langsung dibentuk baik dari ekspresi∑
m maupun∏
M
• Shortcut:
◦ Maxterm mempunyai valuasi fungsi ’0’
◦ Grouping Maxterm sebesar mungkin
◦ Bentuk persamaan POS dari set Maxterm minimum
• Prinsip prime implicant esensial berlaku? bisa, dengan
pengertian implicant adalah Maxterm atau group Maxterm
POS Minimal dari∑
m atau∏
M
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
• Minimisasi Ekspresi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 29 / 42
Diberikan: f =∑
m(0, 1, 2, 5)
f =∑
m(0, 1, 2, 5)
= (x1 + x3) (x2 + x3) ; POS
= x1x3 + x2x3; SOP
=∏
M(3, 4, 6, 7)
Diberikan: f =∏
M(1, 4, 5)
f =∏
M(1, 4, 5)
= (x1 + x2) (x2 + x3) ; POS
= x2 + x1x3; SOP
=∑
m(0, 2, 3, 6, 7)
POS 4-Variabel Minimal
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
• Minimisasi Ekspresi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 30 / 42
f =∑
m(2, 3, 8, 9, 10, 11, 13)
=∏
M(0, 1, 4, 5, 6, 7, 12, 14, 15)
• Prime implicant: x1 + x3, x2 + x3, x2 + x4
dan x1 + x2
• Esensial: x1 + x3, x2 + x3, dan x2 + x4
• non-esensial: x1 + x2 (biru)
• fmin = (x1 + x3) (x2 + x3) (x2 + x4)
Latihan di Rumah
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
• Minimisasi Ekspresi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 31 / 42
• Persamaan POS
• Cari semua prime implicant dari f
• Cari set prime implicant esensial
• Cari cover dengan cost terendah dari
semua kombinasi prime implicant
non-esensialFungsi Tidak Lengkap
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
• Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 32 / 42
Fungsi Tidak Lengkap
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
• Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 33 / 42
• Dalam sistem digital, sering terjadi beberapa kondisi input yang tidak
akan pernah terjadi
• Kombinasi input seperti itu disebut kondisi don’t care
• Dalam desain rangkaian, kondisi don’t care dapat diabaikan
(keluaran untuk kondisi tersebut dapat diberikan 0 atau 1 di tabel
kebenaran)
• Fungsi yang mengandung kondisi don’t care disebut fungsi yang
dispesifikasikan tidak lengkap (incompletely specified)
Contoh Don’t Care
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
• Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 34 / 42
x1 x2 x3 f
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 d
0 1 1 d
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
• Asumsi fungsi 3 variabel. Kombinasi
masukan x1x2 = 01 tidak pernah terjadi,
selebihnya f =∑
m(1, 4, 5, 6)
f =∑
m(1, 4, 5, 6) +D(2, 3); atau
f =∏
M(0, 7) ·D(2, 3)
Contoh Don’t Care 4 variabel
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
• Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 35 / 42
• SOP: f =∑
m(2, 4, 5, 6, 10) +D(12, 13, 14, 15)
• POS: f =∏
M(0, 1, 3, 7, 8, 9, 11) ·D(12, 13, 14, 15)
• SOP: fmin = x2x3 + x3x4, POS: fmin = (x2 + x3) (x3 + x4)
• Jika don’t care tidak disertakan: misalnya menganggap nilainya selalu 0
◦ SOP: f = x1x2x3 + x1x3x4 + x2x3x4
◦ POS: f = (x2 + x3) (x3 + x4) (x1 + x2)
◦ Cost mungkin lebih tinggi
Rangkaian Multi-Keluaran
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 36 / 42
Rangkaian dengan Banyak Keluaran
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 37 / 42
• Sebelumnya dibahas fungsi dengan keluaran tunggal berikut dengan
implementasi rangkaiannya
• Dalam prakteknya, beberapa fungsi tunggal tersebut merupakan
bagian dari rangkaian logika yang lebih besar
• Rangkaian-rangkaian dari fungsi tersebut mungkin dapat
dikombinasikan ke dalam rangkaian tunggal dengan cost lebih
murah dengan keluaran multiple
◦ Pemakaian bersama blok gerbang oleh beberapa rangkaian
fungsi tunggal
Contoh Rangkaian Multi-Keluaran
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 38 / 42
• f1 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)
• f1 = x1x3 + x1x3 + x2x3x4, Cost=4 gerbang + 10 input (=14)
• Cost total jika kedua fungsi diimplementasikan terpisah: 8 gerbang + 20
input (=28)
Contoh Rangkaian Multi-Keluaran
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 39 / 42
• Mengkombinasikan (prime) implicant yang sama dari dua/lebih fungsi
mungkin bisa mengurangi cost
• Rangkaian multi-keluaran:
{
f1f2
}
= x1x3 + x1x3 +
{
x2x3x4
x2x3x4
}
• Cost=6 gerbang + 16 input (=22)
Contoh Rangkaian Multi-Keluaran
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 40 / 42
• Di contoh sebelumnya, terdapat prime implicant yang shared. Kalau tidak
ada yang shared?
• f1 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3, Cost=4 gerbang + 10 input(=14)
• f1 = x1x4 + x2x4 + x1x2x3x4, Cost=4 gerbang + 11 input (=15)
• Tidak ada gerbang prime implicant yang dapat dishared, sehingga cost total
dari kombinasi 2 rangkaian adalah 8 gerbang + 21 input (=29)
Contoh Rangkaian Multi-Keluaran
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 41 / 42
• Tapi ada alternatif realisasi lainnya: menggunakan implicant bersama
antara 2 fungsi
• f1 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x1x4
• f1 = x1x2x4 + x1x2x3x4 + x2x4
• Cost gabungan total= 6 gerbang + 17 input (=23)
Latihan di Rumah
Peta Karnaugh
Minimisasi POS
Fungsi Tidak Lengkap
Rangkaian Multi-Keluaran
• Rangkaian Multi-Keluaran
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 42 / 42
• Cari cost terendah untuk POS dari soal sebelumnya!