Trójkąty - ich Trójkąty - ich właściwości i rodzajewłaściwości i rodzaje

Co to jest trójkąt?

Podstawowe pojęcia związane z trójkątami

Podział trójkątów

Własności wybranych trójkątów

Twierdzenie Pitagorasa

Przystawanie trójkątów

Trójkąty – ich właściwości Trójkąty – ich właściwości i rodzajei rodzaje

Co to jest trójkąt?Co to jest trójkąt?

Trójkąt to figura mająca trzy boki.Trójkąt to figura mająca trzy boki.

W trójkącie jeden bok (dowolny) nazywa W trójkącie jeden bok (dowolny) nazywa się podstawą a pozostałe dwa – ramionami.się podstawą a pozostałe dwa – ramionami.

RamięRamię RamięRamię

PodstawaPodstawa

Podstawowe pojęcia Podstawowe pojęcia związane z trójkątamizwiązane z trójkątami

Co to jest:

a) wysokość

b) dwusieczna kąta

c) odcinek środkowy

d) środkowa trójkąta.

Wysokość trójkątaWysokość trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony prostopadle z wierzchołka do przeciwległego boku lub jego przedłużenia. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia), na który została opuszczona wysokość, nazywa się spodkiem tej wysokości.

Wysokości w trójkącie ostrokątnym

Wysokości w trójkącie prostokątnym

Wysokości w trójkącie rozwartokątnym

Wysokości w trójkącie Wysokości w trójkącie ostrokątnymostrokątnym

Wysokość

Wysokość

Wysokość

Wysokości w trójkącie Wysokości w trójkącie prostokątnymprostokątnym

Wysokość

Wysokość

Wysokość

Wysokości w trójkącie Wysokości w trójkącie rozwartokątnymrozwartokątnym

Wysokość

Wysokość

Wysokość

Dwusieczna kąta w trójkącieDwusieczna kąta w trójkącie

Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwa kąty równe. Przez dwusieczną kąta w trójkącie należy rozumieć odcinek będący częścią wspólną trójkąta i dwusiecznej odpowiedniego kąta wewnętrznego.

½α½α

Dwusieczna kąta α

Odcinek środkowy w Odcinek środkowy w trójkącietrójkącie

Odcinek środkowy to odcinek łączący środki dowolnych dwóch boków w trójkącie. W dowolnym trójkącie odcinek środkowy jest równoległy do trzeciego boku i jego długość jest równa połowie długości boku trzeciego.

odcinek środkowy

Środkowa trójkątaŚrodkowa trójkąta

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, licząc od środka boku.

środkowa

Trójkąty możemy podzielić ze względu na:Trójkąty możemy podzielić ze względu na:

a)rodzaje kątów,a)rodzaje kątów,

b)długości boków.

Podział trójkątówPodział trójkątów

aaaa

cccc

bbbb

Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na:Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na:

a) a) różnoboczneróżnoboczne, jeśli wszystkie , jeśli wszystkie boki są różnej długości,boki są różnej długości,

b) b) równoramiennerównoramienne, jeżeli co , jeżeli co najmniej dwa boki mają tę samą najmniej dwa boki mają tę samą długość,długość,

aaaa aaaa

bbbbc) c) równobocznerównoboczne, jeżeli trzy boki , jeżeli trzy boki mają tę samą długość,mają tę samą długość, aaaa

aaaa

aaaa

Podział trójkątów ze względu Podział trójkątów ze względu na długości bokówna długości boków

Własności trójkąta:Własności trójkąta:

a) równobocznego,

Własności wybranych Własności wybranych trójkątówtrójkątów

Środkowa trójkątaŚrodkowa trójkąta

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2, licząc od środka boku.

środkowa

aaaa

cccc

bbbb

Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na:Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na:

a) a) różnoboczneróżnoboczne, jeśli wszystkie , jeśli wszystkie boki są różnej długości,boki są różnej długości,

b) b) równoramiennerównoramienne, jeżeli co , jeżeli co najmniej dwa boki mają tę samą najmniej dwa boki mają tę samą długość,długość,

aaaa aaaa

bbbbc) c) równobocznerównoboczne, jeżeli trzy boki , jeżeli trzy boki mają tę samą długość,mają tę samą długość, aaaa

aaaa

aaaa

Podział trójkątów ze względu Podział trójkątów ze względu na długości bokówna długości boków

Ze względu na rodzaje kątów trójkąty dzielą się na:Ze względu na rodzaje kątów trójkąty dzielą się na:

a) a) ostrokątneostrokątne, jeśli wszystkie kąty , jeśli wszystkie kąty są ostre ,są ostre ,

b) b) prostokątneprostokątne, jeżeli jeden z kątów , jeżeli jeden z kątów jest prosty (ma miarę 90°),jest prosty (ma miarę 90°),

c) c) rozwartokątnerozwartokątne, jeśli jeden z , jeśli jeden z kątów jest rozwarty,kątów jest rozwarty,

αααα ββββ

γγγγ

γγ > 90° > 90°

γγγγ

ββββαααα

αα, , ββ, , γγ < 90° < 90° γγγγ

ββββαααα

ββ = 90° = 90°

Podział trójkątów ze względu Podział trójkątów ze względu na rodzaje kątówna rodzaje kątów

Własności trójkąta Własności trójkąta równobocznegorównobocznego

2

32AP

2

3AH

HH

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równe 60długości i wszystkie kąty równe 60°°..

αα,, β β,, γ γ = 60 = 60°°

AA

AAAA

αα ββ

γγ

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.przyprostokątnych.

Kim był Pitagoras?

Rysunek odzwierciedlający Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa

a

cbc2c2

a2a2

b2b2

a2 + b2 = c2a2 + b2 = c2

Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa

PITAGORAS (ok. 572 - 497)PITAGORAS (ok. 572 - 497), gr. , gr. matematyk i filozof z Samos; matematyk i filozof z Samos; półlegendarny założyciel półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejczyków słynnej szkoły pitagorejczyków w Krotonie; jest uważany w Krotonie; jest uważany również za twórcę początków również za twórcę początków teorii liczb, autora twierdzenia teorii liczb, autora twierdzenia Pitagorasa, koncepcji harmonii Pitagorasa, koncepcji harmonii kosmosu.kosmosu.

Kim był Pitagoras?Kim był Pitagoras?

Przystawanie trójkątówPrzystawanie trójkątów

Dwa Dwa trójkątytrójkąty są są przystająceprzystające, jeżeli boki i kąty jednego z , jeżeli boki i kąty jednego z nich są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego.nich są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego.

A B

C

A1B1

C1

I cecha przystawania trójkątów (bbb)

II cecha przystawania trójkątów (bkb)II cecha przystawania trójkątów (bkb)

III cecha przystawania trójkątów (kbk)III cecha przystawania trójkątów (kbk)

Cecha przystawania trójkątów prostokątnychCecha przystawania trójkątów prostokątnych

I cecha przystawania I cecha przystawania trójkątów (bbb) trójkątów (bbb)

Jeżeli długości trzech boków w jednym trójkącie są Jeżeli długości trzech boków w jednym trójkącie są odpowiednio równe długościom trzech boków w odpowiednio równe długościom trzech boków w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

A B

C

A1B1

C1

∆∆ ABC ABC ≡≡ ∆∆ A A11BB11CC11

II cecha przystawania II cecha przystawania trójkątów (bkb)trójkątów (bkb)

Jeżeli dwa boki i kąt zawarty między tymi bokami Jeżeli dwa boki i kąt zawarty między tymi bokami w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm bokom i kątowi zawartemu między tymi bokami w bokom i kątowi zawartemu między tymi bokami w drugim trójkącie to trójkąty te są przystające. drugim trójkącie to trójkąty te są przystające.

A B

C

A1B1

C1

∆∆ ABC ABC ≡≡ ∆∆ A A11BB11CC11

III cecha przystawania III cecha przystawania trójkątów (kbk)trójkątów (kbk)

Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające. trójkąty te są przystające.

A B

C

A1B1

C1

∆∆ ABC ABC ≡≡ ∆∆ A A11BB11CC11

Cecha przystawania Cecha przystawania trójkątów prostokątnychtrójkątów prostokątnych

Jeżeli przeciwprostokątna i przyprostokątna Jeżeli przeciwprostokątna i przyprostokątna jednego trójkąta równają się odpowiednio jednego trójkąta równają się odpowiednio przeciwprostokątnej i przyprostokątnej drugiego przeciwprostokątnej i przyprostokątnej drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające. trójkąta, to trójkąty te są przystające.

A B

C

90° 90°

B1A1

C1

∆∆ ABC ABC ≡≡ ∆∆ A A11BB11CC11