n Probabilidad2 0,003

5 0,027

15 0,253

25 0,569

35 0,814

40 0,891

45 0,941

60 0,994

¿Cómo contar?

Decimos que dos conjuntos “tienen la misma canti-dad de elementos”, si podemos establecer una rela-ción uno-a-uno entre los elementos de estos conjun-tos (es decir, si existe una función biyectiva entre estosconjuntos).

1

2

3

El conjunto de chanchitos (que lo llamamos C) está encorrespondencia con el conjunto {1, 2, 3}, por lo tantotiene 3 elementos, esto lo representamos por |C| = 3.

Esta idea la podemos aplicar a cualquier par de con-juntos, por ejemplo, con la función

f :N −→ Z

n 7−→ f (n) =

{

n/2 si n es par,

−(n + 1)/2 si n es impar,

se tiene que N y Z “tienes la misma cantidad de ele-mentos”, y lo representamos como |N| = |Z|.

Infinitos más grades que otros

Sí, existen infinitos “más grandes” que otros, en es-pecial, el infinito más pequeño es el de los númerosnaturales, a este lo llamamos ℵ0, y se tiene que

ℵ0 = |N| = |Z| = |Q|.

Pero, existe un infinito “más grande” que este, y es elde los números reales, es decir:

No existe una función biyectiva entre los númerosnaturales y los números reales.

Demostración. Basta demostrar que no existe una fun-ción biyectiva entre los naturales y el intervalo (0, 1),para esto, supongamos que existe tal función f , se tie-ne que f es, por ejemplo:

f (1) = 0, 2 5 1 1. . .f (2) = 0, 9 3 5 0. . .f (3) = 0, 6 7 0 3. . .f (4) = 0, 0 1 2 7. . .

Consideremos ahora el número x cuyo n-ésimo deci-mal es el n-ésimo decimal de f (n) aumentado en 1(en caso de que fuera 9, se asigna el 0). En nuestroejemplo, tenemos x = 0,3418 . . ., luego, se tiene quex 6= f (m), para todo m, es decir, f no es biyectiva, porlo tanto no existe dicha función.

Este razonamiento se lo llama Argumento diagonal deCantor. Con esto se tiene que el infinito de los núme-ros reales es “más grande” que el infinito de los nú-meros naturales, es decir

|N| < |R|,

es más, dado un conjunto cualquiera, siempre se pue-de construir otro conjunto “más grande”, por lo tanto,existen infinitos tipos de infinitos, y muchos más. . .

Las matemáticas chocaroncontra lo imposible. . .

y siguieron de largo.

CASA ABIERTA DE

MATEMÁTICAS

ASO iMath

Asociación de estudiantes de Matemáticae Ingeniería Matemática

10 de septiembre de 2013

PARADOJAS

INFINITOS Y

DEMOSTRACIONES

p ∧ ¬p

∞ ℵ�

por:

Carlos AjilaAndrés MerinoJonathan Ortiz

p ∧¬p

∞

ℵ�

Paradoja de Russell

También conocida como la paradoja del Barbero, esuna paradoja lógica que fue descrita por BertrandRussell en 1901, y prueba que la teoría de conjuntosoriginal de Cantor lleva a contradicciones. Enunciadaen base al barbero dice lo siguiente:

En un lejano poblado de un antiguo emirato habíaun barbero llamado As-Samet. Un día el emir se diocuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenóque los barberos sólo afeitaran a aquellas personas queno pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emirllamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó susangustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitaral barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago,entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no meafeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡peroyo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos,que lo premió con la mano de la más virtuosa de sushijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

Si la expresamos en términos de conjuntos: Sea S el“conjunto de todos los conjuntos que no son elemen-tos de sí mismos”, es decir

S = {x : x 6∈ x}.

Para el conjunto S se tiene que

S ∈ S ⇐⇒ S 6∈ S,

la cual es la contradicción que encontró Russell.

Paradoja de Berry

Es una paradoja de carácter semántico, y muestra quela utilización del lenguaje a nivel matemático puedetener consecuencias contradictorias. Se enuncia de lasiguiente manera:

Todas las palabras del idioma español se encuentran en-listadas en el D.R.A.E. Sea T el “conjunto de todos losnúmeros naturales que pueden describirse con menos de20 palabras”. Como hay un número finito de palabras,las posibles combinaciones de 20 palabras forman unconjunto finito, entonces T es un conjunto finito. Luego,T tiene un máximo, y por ende existe un “menor núme-ro natural que no puede ser descrito en menos de veintepalabras”. Este número por definición no pertenece a T,sin embargo ha sido descrito con trece palabras, por lotanto es elemento de T.

Las paradojas anteriores funcionaban en la Teoría deConjuntos de Cantor, sin embargo, en la actualidad,las nuevas teorías de conjuntos son mucho más “fuer-tes” y no dan lugar a la presentación de estas parado-jas.

Aquiles y la tortuga

Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el más hábilguerrero, decide salir a competir en una carrera contrauna tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, yseguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja ini-cial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempola distancia que los separaba inicialmente, pero al lle-gar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que haavanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin des-animarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo dondeestaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De es-te modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortugaestará siempre por delante de él.

Esta paradoja fue desmentida por los matemáticos delos siglos XVII y XVIII cuando éstos demostraron quela suma de infinitos números positivos. puede ser fi-nita.

Infinidad de primos

Existe una infinidad de números primos.

Demostración. Sea P el conjunto de números primos,supongamos que solo hay finitos. Como son finitos,digamos que hay n, además los podemos numerar:

P = {p1, p2, p3, . . . , pn}.

Tomemos x = 1 + p1 · p2 · . . . pn, se tiene que x > pi

para i = 1, 2, . . . n, por lo tanto x 6∈ P, además no esdivisible para pi, con i = 1, 2 . . . n, pues su residuo es1.

Hemos encontrado un número que no es divisible pa-ra ningún número primo menor, esto implica que x esprimo, es decir, x ∈ P, lo cual es una contradicción,por lo tanto debe existir una infinita cantidad de pri-mos.

Probabilidad de cumpleaños

Si en una habitación están 25 personas, ¿cuál es laprobabilidad que dos de ellas cumplan años el

mismo día?

Muchas personas creerían que esta probabilidad es re-lativamente baja, pero esto no es así; para esto, resol-vamos el problema:

Solución. Supongamos que tenemos n personas, cal-culemos la probabilidad de que ninguna haya nacidoel mismo día.

favorables

posibles=

365·364...·(365−n)n!

365n

n!

= 365Pn

365n.

Por lo tanto la respuesta es: 1 − 365Pn365n .

Es decir, la probabilidad es del 56.9 %. Con diferentesvalores de n se tiene: