trigonometrija-2
DESCRIPTION
Matematika trigonometrijaTRANSCRIPT
-
Trigonometrija 2
Adicijske formule
Formule dvostrukog kuta
Formule polovinog kuta
Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Razumijevanje postupka izrade sloenijeg matematikog problema iz osnova
trigonometrije
Projektna nastava
-
Formule : Adicijske formule :
( ) yxyxyx sincoscossinsin +=+ ( ) yxyxyx sincoscossinsin = ( ) yxyxyx sinsincoscoscos =+ ( ) yxyxyx sinsincoscoscos +=
( )tgxtgy
tgytgxyxtg +=+
1 ( )
tgxtgytgytgxyxtg +
=1
( )ctgxctgy
ctgxctgyyxctg +=+ 1 ( )
ctgxctgyctgxctgyyxctg
+= 1
Formule dvostrukog kuta:
xxx cossin22sin = xxx 22 sincos2cos =
xtgtgxxtg 21
22 = xctgxctgxctg
212
2 =
Formule trostrukog kuta:
sin sin sin3 3 4 3x x x= cos cos cos3 4 33x x x= Formule polovinog kuta:
2cos1
2sin xx =
2cos1
2cos xx +=
xxxtg
cos1cos1
2 +=
xxxctg
cos1cos1
2 +=
Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto):
2cos
2sin2sinsin yxyxyx +=+ ( ) ([ ]yxyxyx += coscos
21sinsin )
2sin
2cos2sinsin yxyxyx += ( ) ([ ]yxyxyx ++= sinsin
21cossin )
2cos
2cos2coscos yxyxyx +=+ ( ) ([ ]yxyxyx += sinsin
21sincos )
2sin
2sin2coscos yxyxyx += ( ) ([ ]yxyxyx ++= coscos
21coscos )
-
Rijeeni primjeri zadataka :
1. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je
2
3,31sin
-
Rjeenja primjera: 1. a)
23,
31sin
-
( )24
72418
222122
212
22
====
ctgxxctgxctg
Racionalizacija nazivnika: 8
27
24
2722
2472 2 =
==xctg
2. a) Ako je 2,45 == tg odredi tg tg ,2
bez odreivanja vrijednosti kutova.
Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.
Iz zadanih podataka moemo izraunati tg
2/45
==
tgtg
( )
11
45
=
=
tgtgtgtg
tgtg uvrstimo umjesto 2=tg
( ) tg
tgtg 21/1
212 =
tgtg 212 = 212 =+ tgtg
1=tg
Kako je
cos1cos1
2 +=tg potrebno je najprije izraunati cos
=+
= 211cos
tg kut je prvog kvadranta, pa uzimamo predznak +, ispred korijena.
( ) 21
11
1cos2=
+= pa je:
( ) =
=+
=+
=
+
=
12
121212
1212
212
212
211
211
2 2
2tg
2251
12222
2
=+=tg
-
2.b) Odredi 2
cos,2
sin,2
xxxctg bez odreivanja vrijednosti kuta ako je zadano
sin , ,x x= 45
32
2
Kad pogledamo formule za traene vrijednosti polovinog kuta: 2cos1
2sin xx = ,
2cos1
2cos xx += ,
xxxctg
cos1cos1
2 +=
vidimo da iz sinx, moramo izraunati cosx.
xx 2sin1cos = , kao je x iz etvrtog kvadranta, ostavljamo samo + ispred korjena
53
259
251625
25161
541cos
2
====
=x
pa sad moemo izraunati:
( ispred korijena zadravamo predznak + za 2
sin x , predznak za2
cos x , predznak - za
2xctg , jer je 2,
23x pa je ,
43
2x a to je kut drugog kvadranta )
55
55
51
51
252
2531
2cos1
2sin ====
== xx
552
55
52
54
258
2531
2cos1
2cos ====
+=+= xx
24
5258
531
531
cos1cos1
2cos ===
+
=+=
xxx
-
2. c) Odredi i bez odreivanja vrijednosti kutova ako je ( )yxtg xsin 2 ,
2,
54sin = xx i 2,
23,
1312cos = yy
Pogledajmo formule za ono to se trai:
( )tgxtgy
tgytgxyxtg +=
1, xxx cossin22sin =
iz kojih je oito da treba izraunati cosx, tgx, tgy, siny xx 2sin1cos = Uzimamo predznak jer je x u drugom kvadrantu
53
259
541cos
2
==
=x
34
53
54
cossin =
==
xxtgx
xx 2cos1sin = Uzimamo predznak jer je x u etvrtog kvadrantu
135
16925
13121sin
2
==
=x
125
1312135
cossin =
==
yytgy
Sad moemo izraunati:
( )5633
9141211
951
12516
125
341
125
34
1=
=
+
+=
+
=+
=tgxtgy
tgytgxyxtg
169120
1312
1352cossin22sin =
== xxx
3. a) sin sin
sincos cos
cos
3 33 33
x xx
x xx
+ + = Pojednostavljivanjem lijeve strane trebali bi dobiti 3 koji je na desnoj strani:
3cos
3coscossin
3sinsin 33 =++x
xxx
xx
koristimo formule: cos cos cos3 4 33x x x= sin sin sin3 3 4 3x x x=
-
i dobijemo:
3cos
)cos3cos4(cossin
sin4sin3sin 3333 =++x
xxxx
xxx
3cos
cos3cos4cossin
sin3sin3 333 =++x
xxxx
xx
3cos
cos3cos3sin
)sin1(sin3 32 =++x
xxx
xx
3cos
)1cos(cos3)sin1(32
2 =++x
xxx
3)1cos(3)sin1(3 22 =++ xx
3)1cossin1(3 22 =+ xx
3)1cossin1(3 22 =+ xx
3)1)cos(sin1(3 22 =++ xx
3)111(3 =+
3=3
3. b) 1 2 21 2 2 ++ + =
cos sincos sin
x xx x
tgx
Da bi dokazali jednakost treba pojednostavniti izraz na lijevoj strani jednakosti. Pri tome koristimo formule:
xxx cossin22sin = xxx 22 sincos2cos =
i dobijemo:
tgxxxxxxxxx =++
+cossin2sincos1cossin2)sin(cos1
22
22
tgxxxxxxxxxxxxx =+++
+++cossin2sincoscossincossin2sincoscossin
2222
2222
-
tgxxxxxxx =+
+cossin2cos2cossin2sin2
2
2
tgxxxxxxx =+
+)sin(coscos2)cos(sinsin2
tgxxx =
cossin
4. a) Pojednostavi koritenjem adicijskih formula izraz:
( ) ?2
cos2
32 =
+
xxctgxtg Primijenimo adicijske formule za tangens, kotangens i kosinus: ( ) yxyxyx sinsincoscoscos += ( )
tgxtgytgytgxyxtg +
=1
( )ctgxctgy
ctgxctgyyxctg += 1
=++
++
= xxctgxctg
ctgxctg
tgxtgtgtgx sin
2sincos
2cos
23
12
3
212?
=+=++++
= xctgx
tgxxxctgx
ctgxtgx
tgx sin11
sin1cos00
1001
0
xtgxxtgxtgx sin2sin +=++=
-
Zadatci za vjebu:
1. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:
a) 2
3,53sin
-
f) Odredi 2
,2
,2
sin xtgxctgx bez odreivanja vrijednosti kuta, ako je zadano
-
f) 1 2
2+ = +
sincos
sin coscos sin
xx
x xx x
g) xtgxxxx 2
42
42
cos42sinsin42sin =+
+
h) tttt
tcos
12cossinsin
2sin =+
i) xxctg
xctgsin
21
22
2=
+
Zadatak 3. a), b) , c), d), e), f), g), h) i i) mogu se rijeiti pomou rjeenja primjera 3. a) i b). Dapae, oni su znaajno jednostavniji u odnosu na predznanje uenika od kojih se oekuje da ih rijee.
4. Pojednostavi koritenjem adicijskih formula slijedee izraze:
a) = )6
sin( x
b) = )3
cos( x
c) = )4
( xtg
d) = )4
3( xctg
e) ( )tg x ctg x x +
=
2
32
cos
f) =
+
2
cos44
xxctgxtg
g) ( ) ( )sin cos sin sinx x x x +
=
32
22
h) ( ) ( ) =
+
2
sincossin2
cos xxxx
i) ( )
=
+
x
xctgx
23sin
25cos
Rj. xx cossin +
Zadatak 4. a), b) , c), d), e), g), h)i i) mogu se rijeiti pomou rjeenja primjera 4. a) . Dapae, oni su znaajno jednostavniji u odnosu na predznanje uenika od kojih se oekuje da ih rijee.
-
Zadatci za nadobudne:
1. Izraunaj:
813
817
18
98
5
ctgctg
ctgctg
+
Rj. -1
2. Izraunaj: ++
145sin35sin125sin55sin162sin12sin108sin282sin Rj.
23
3. Izraunaj: 12
23sin1241sin Rj.
22
4. Svedi na to jednostavniji oblik: xxxxxx
3sin2sinsin3cos2coscos
++ (uputa: grupirati 2
pribrojnika i primijeniti formulu pretvorbe)
5. Izraunaj:
41cos153sin37sin
2 Rj. 2
6. Napii u obliku umnoka:
6
5cos3
cos 22 Rj.
6
2sin
7. Izraunaj:xx
xxxx22 cos3cos
sin3coscos5sin
8. 14. Izraunaj: cos24
43cos24
85 Rj. 2