Bogot, Buenos Aires, Caracas, GuoU!mnla, Lsboa, Madrld. Mxico,Nueva York, Prutaml,San JUIUl. Sao Paulo,

Aucldanil, Hambu"o. Londrtt, Monlnal. NuevaDelh, ParJ.SanFranelsco. San Luis, Sldne", Toldo. Torooto.

McGRAW.IIlLL

Pr"(re",.k VQlmft,~lI.',1.- '" (. ,.."",~~.A-I 'illIrCttll

IIp T4 I~(.Yt1~!'TRADUOCION y ADAPTACION

ANTONIO LINARES

FRANK AYRES, JR., Ph. D.Profesor y Jefe del Departamento

de Matemtica del3ltvcc Dicklnson College

Plana y Esfrica

TRIGONOMETRIA

DE

TEORIA y PRQBLEMAS

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

~---~---------------

I

;

.'

Se Imprlm ..... n 5.000 E!omplo ...... el m.. d.Julio d.1990.

lmpraor. FORMAS IMPRESOS PANMIF.R1CANA.Bogod. Colombia

91234S67Wl~

Copyright ~1954, by MeGRAWHILL BOOK COMPANY, INC., U.S.A..JSBN 9684511760

'l'raducldo de laprimera edicin de TRIGONOMETR y'Pheory and Problems

Ni este libro ni parte de l puede ser reproducido O transmItido de algunaIorma o por algn medio electrnico o mecnico. incluyendo COloeopia o grabacin.

O por cualquier otro sistema de memoria o archivo. ,In elpermiso escrito del editor.

CopyrlghL ~ 1970, por EDITORIAL M~GRAW.HILL LATlNO.-\ ....ERICANA. S.A.Bogot, Colombia

Rf;SERVADOSTODOS LOS DEltECHOS(D. R.)

~728

Frank Ayres, Jr.

Las ms aenciIIas identidades y ecuaciones requieren un cooocimiento de Iilgebra ele-mental Los -problemas se han seleccionado cuidadosamente, se han explicsdo con todo detallelas soluciones, y todo el material se ha dispuesto de modo que ilustre darementa tanto losprocesoe algebraicoe oomo el uso de las relaciones trigonomtricas baicas.

Los capltul08 dedicados a la trigonometra esfrica estn precedidos de un capitulosobro geometra del espacio. La teora y l8Bf6rmulos necesarias para resolver tringulos esf-ricos fectngulos y oblicungulos se han explanado sufiointemente e incluyen el uso delsemisenoverso y de Ice mtodos del tringulo rectngulo pata resolver tringu.loe oblicungu-los. Las aplicaciones conaisten en problemas relacionados con rumbo y distancia sobre losuperficie de lo Tierra y en algunCM! problemas relativos a lo esfera celeste.

El propsito fundamental de este libro es aervir de ayuda- a loo que se inician en el esta-dio de la higonometJa y para eUo les presenta W14 coleccin de {lI"9b~ representativos,completamente resueltoe, Al mismo tiempo, el arreglo del material que contiene es tal queservir como un manual prctico para quienes deseen repasar los principiCM!fundamentales y8UlI aplicaciones.

El libro, aunque completo, no se ha escrito en el 88010 formal de ICM!libros de tato.Cada capitulo contiene un compendio de las dcfinicionE$y teoromas necesari08, seguido de unconjunto de eje:cicioe cuya dificultad se ha graduado debidamente. Las demoetraciones de losteoremas y las deducciones de las f6rmruaa se incluyen entre 106problemas rE$ucJlo8. Estos,a 8U vez, van seguidos por un conjunto de problemas propuestos con sus respuesto.s.

Los aspectos numrcoe de la trigonometrfa plana se hao tratado ampliamente. Igualatenci6n se ha prestado a 1M soluciones logarltrnicas y no-logartmica8 de Jos trlngulos rec-tngulos y oblicunguloe. Las uplicaoionee son muchas y diversas. Las figures se han trazadoy rotulado cuidudOllament.epara mayor utilidad; las respuestas se han redondeado de acuerdocon loo datos.

Prlogo

2{l1

~l133144152

164176

184194

25

3241

49

54

61\VV73

83

87100

108

8

19

PAGIlIA

1

INDICE

2. Funciones trigonomtricas de un ngulo cualquiera :': ., . ., .. , .

3. Funciones trigoDomtriCllJjde un ngulo agudo ~.,.. ,,,,, , , ..

4. Tablll8 de funciones trigonomtrics-Resoluci6D de tringulosrectngulos _ , ( , .

6. Aplicaciones prctices , C, , ..'6. LOgaritmos , : .

7. Resolucilllogarltmica de uingulos rectngulos ...! ~ ,.., .

8, Reducciones a funciones de ngulos agudoa positivos ................. ,,

~. Variaciones y grficas de las.Iuncones tzgenomtrcea :f , ..10. Relaciones fundamentales e identidades /. , .

11. Funciones trigonomtricea de dos Igul08 ti.. .. .. ../ I

12. F6rmulas para sumas, dlerencias y productos J " , ..

13. Trmnguls eblieungulos. Resoluoi6n nO!Qg\U'tmica : , ..

14. Resoluein IQgaritmica de tringulos oblicungulos , .

15. Areas. Radios dejas circunferencas inscrita y circWlkrita ., .. , , ..

16. Ful;loi,onestrigo)1om6LTiceainversas , ..7 Ecua' .... "'-' "1 clones .ugonom"LnC8S ~ , ..

Q!D Nmeros complejos ' , , ..19. Conceptos_,JlOhregeometra d) esaio ..

(i'rirguIos es(ricsr

EJEMPLO l. o) 1($624') - 9'6' b) 1(12'1'2

303/2

-6]iQ - ro

3 .6 red. c:o;:ndo - y , ae 1.J:.Pft!U-D en pul.adu,

36 rad. cuando I y r .. Upf'4hlln en plee,(V~8ru;e los problemas 4-13.)

111, - .r

EJEMPLO 3. al La lonahud de IU'CO detenninafto por un tfnJ{Ulo central de 1 3 rRdioneten un,. circun(o.renoio de 30 pulsad35 de radio e.

... - SU ,~) LOpulaadu.

6) En l. m.m. ei~We,.nci. \ln ingulo c-entna de 60 dfl~rmiDaun. ..reocnoaya lona.c.ud ...

5. 25"1: - ,.5 - 30 t' -- -3 - pul...dnlf.

e) En l. mlJma cin:.unferencr. u..a ateO CUY. lon,ilud e d. l~ ViM lubtie.nd.un 'na:u1o ntml

es decir,longilud de arco - radio X ngulo eentral en radianes.(Nota . y r pueden medirse en cualquier unidad conve-niente, pero deben expresarse en la misma unidad.)

s - rO,

LONGITUD DE ARCOA. En llIUI circunferencia de radio r, un ngulo central de e

radianes determina un arco d@longitud

(VlllUlC 106]>roblclll8B14-16.)

1609 miles.

C. Se define un mil, unidad ulizada W1los estudios militares, como IR medida delngulo central subtendido por un arco igual.a 1 '6400 de la circunferencia. El nomobre de CIlla unidad proviene de que, aproxilnadamenle,

1 mil _ _1_ radin.1000360' 9'

Como 6400 miles - 360, 1 mil - 6400 - i60 y 1

(Vanse 10$problemas 1-3.)

b 5.5 . -- T_.d - rad180 18'61 50'

1 grado - 1~ radin - 0,017453 md, _!)LOL,

donde" - a,14159.

E:JEM I'LO 2. 1 7 d 7~ 180 105'12-"" -1.2'-.--

y1 rlldi~n

B. Se define un radin (rad) como la medida del n-gulo eentml subtenddo por un arco cuya lougtudes igual a la del radio de lo circunferencia,

La IOngilud de lo crcunfeeenc - 2x (ra-dios) y subtiende un ngulo de 360. Entonces, 2"radianes - 360, de donde,

_ 180 = 57 296 = 57l7' 45":: .

A.'1CUI,oS y LONCITUDES DE; ARCO2

3. Una nleda gira raalo d. 48 -rpm r&yofuci.oon: (lO)' minuto o rev min).~!1Il .... If1Cid-.dAtular- nw ,

Entonc~, en un &egundo la rueda. ~s!sotibo un 6:n,guJo 1) -- 8,,;;/3 m.d y un punto del borde reeerrelUl' ditlJU~~'- re - 2(81

6000R - 1000 - 5, m - 16, Y W - Rm - 5(15) - 76 ya_rdaa.

17. A una diltancia de 6000 yardu una b-.tm. cubre un 'nru1ode 16 mil.. Encontrar elcampn de abrturade la baleo.

16. DemOltta.r que UD mil - 0,001 raclin, .proltinlJulam.nu~..

1 mil - 6!~ eed 3.~;~:9 rad - 0,00098175r.d o. ap'tonmadamente, 0,001 red,

) 100 mil ... 100 (1':,) 5"37.6' Y 100 mIIaa - l00jO.OOU red - 0.1 .. d.

9'a) 40 m.. _ 40 (-50) - 216' Y 40 mil... 40(0.001) .. d - 0.04 .-.d

15. E..preaar en gudoo y r.dl ..... cada uno de loa ' .. ..loa .1.. len....: a) 40 mO... b) 100 mil...9'

PU,Dlto que L mll - i60 - 0,001 red,

el) 1.6 rad - 1,6nOOO) mil.. - 1600 milei.e) 0.22 red - 0.22(1000) mil.. - 220 mil..

.) 16"20' - "': (.:;0) mil.. 290mil..a) J.BO - 18(1:;0)mil.. 320 mllee;

160- T mUea y 1 'red - 1000 milh,

14. Expresar ceda uno de Inl! .if(Uiflntet: tngwOI en mUM: (1) 18', h) 16'20', e) 0,22. rlld, d) 1.6 rad.

E nd ~ a' . d 2(3.14)193.000.000) ~'-- 186 '1'--8 _,__,>_>n UD~ o recorre~ una 1.It.anc:ia 1:, - 366(24)(60)(60) mlulIa - mi ~ u y~~ea d. 18.5 nd/ ....

13" D._lna. l. vel/)C)idadd. l. TI.,.... (en ml/OCll)tn .U ,,,,,omdo a1reclodo. del Sul. Sup6nK". '1uel.6rbtla. ter.testte es UJUI. ctrcunre.renciade 93.000.000mUI.. de r.dl0. y que un do - 366 dlu.

En 3G5d1u l. TIerra .... orre u"," diataDCiad. 2., 213.U) 193.000.0(0) mUlu.

12. Un punto del borde deouna rueda hjd..nfulic:a de: 10 pi.d. d"metro .. muve C'Onuna velocidlld linuJd. 46 piujMjt. E ... nuar l. veloci

21. Un tramo de una vi. Idrru c.urviUnOA~" formarlo por de Orec.'ll .uncttivoe . .E1plM'r:aJ"l!OMnWpondeti un d"ulUlo central de 2()101 con un radjo d.e 2.500 pies, y el Mgundo cOr"1"Hpondea un.~ contral de 26Gcan un radi9 de 3000 pie.. El')COn\.t'ft.f la Icmglt-ud lotal d. 101 dOlf ~(&.

R"p, 82liO.l9pi"" 2182 ,,1..

26. Un ll't'o ee mueve Jl mzeSnde 12 mi Ihr prJr u.na vta. t:urvH'nc"Rde 3000 pi de radiu... ..Qu.f IInluJo rocO.rteen un 'l)lnhto? R~p. 0.352 ftld 6 2001(}'

26, El utnmo el. un pndulo d. 40 cm d. 1~.,.lIud d-.ibe UD orco d. cm. Cul. ti 'naulo d. _la6n del pndulo? Rap, 1 ,8 md 6 7"9'43"

2'. ';nc:onlrnr l radio de uau cl'(!un(~ren.ch, lol que- un Ateo cI.t 16 cm d. longitud subtlend.UDA:QI'\Ilo CMUla) det ,ad, 6)d. 2/3.od. el d. 3 eed, dI d~20. _, d.60',Rnp . ) 16 cm. 6) 22.6 cm. el 6 .m. dI 43.0 cm, rl 17.2 cm

23. U,... CJrcu.n(e.J'\\neu.'lee. UD radio d. 30 Pwl.tad. C\lDtOl radian" mide un '-ngulo c.nuat.ubt.ndldopnr un flt'C'O a) de. 30 pul, A) de 2.0 pul. t: de 60 pul?n.,p,

37. Una

8F;g. 2CPI,. 2-B

yy

n rP(.ro.!)

(-, +) r+. +)YX O X

m IV(-.-) (+, -)

UN SISTEMA DE COORDEjSlADAS RECTANGULARES en un plano consiste en dO!!eec:aIWlnumricaa (llamadas ojea), una horizonW )1 olro vertical, cuyo punto de in-tersecci6n (origen) es el origen de cada escala. Es costumbre esooger el aenlido positivode cada eje. tal como se indica en la figura, esto es, posilivo hacis la derecha en el lijehorizontal o eje do las "', y poeiLivohacia arriba en el eje vertical o eie de las y. Porconveniencia se tomo la misma unidad de medida an amb06 ejes.

En un sistema de esta clase, la posici6n de un punto cualquiera P en el planoqueda determnade por sus disLancias dirigid88, llamadas coordmodaa, a 106ejes. Lacoordenada '" o ob#84 de un punt.o P (vase Ji Fig. 2-B) es la distancia dirigidaBP - OA y la coordenada y u ol'dmlulo lj!8 la distancia dirigida AP - OB. Un puntoP, do abscisa " y ordenada y, se denota P(x, y).

Lt distancia dirigida OB - +4 y la distancia dirigida OC = -2. Es importante ob-servar que, puesto que la recta est dirigido, OE ... BO y OC ,., CO. Lo distancill dir-gida BO - -4, porque se mide en sentido contrario 01 que se ho lomado comopcsitivo, y la distancia dirigida CO = +2. Entonces CB _ CO + 08 - 2 + 4 - 6y Be - BO + oc - -4 + (-2) -...a.

....o-2P. BAoe

ESCALA NUMERICA. Una recta dirigida es una recta en la que se han sealado dos senti-dos: una pOSitivoy otro negativo. El sentido positivo se indica con una fleclul.

Se determina una escola numrica cuando ae escogen un punt.o O (vase la Fig.2-A), llamado origen, y una unidad de medida OA - 1, en una recta dirigida. En esLO.escale, B est situado a 4 unidades a la derecha de O (eslO es, en el sentido positivoa partir de O) y e est a dos unidades a la izquierda de O lealD es, en el sentido ne-gativo a partir de O).

Funciones trigonomtricas de un ngulo cualquiera

CAPITULO 2

seno O 8 ordenalll ~ cotangente O - col O-abscisa x

- ~an - distancia a - ordenada - -r ycoseno 8 cos- 8 abscisa x secanteG O distancia r- - distancia - sec - abscisa --r %langenta O tan O ordenada l coseeante O cae 6 disl.8uci~ r- - aBSCiS = - or(1ellado - ~>: y

l-,

FUNCONES TRlGONOMETRICAS DE UN ANGULO CUALQUfElRA. Sea U UlI ngulo,("O CQIl4rIlJ18'u1ar)colocado en posici6n norml, y _ PI>:,;I'1 un ,pun.to cunlquiel'1l,distinto del erigen, perteneciente al lado termiaal del ngulo. Las eeismciones tri-gonomtdcas de 8 se. definen, en trminos de la abscisa, Ja ordonada y la distanciade P como sigue:

Son 611l1uU1. cotermiaoles los que, colocados en poe:ici6n normal, tienen lados ter-mnales eoincidentes. Por ejemplo, 30' y -330, -lO" Y 710' 90n pares de nguloscotennneles. Dado un ngulo cualquiera, existe un conjunto infinito de ngulos 00-terminales con ~1. (Vase ..,J problema 4.) -

Los 6.ngulosO', OO', 180', 270", y todos sus ngulos cotermiMICII reciben el nombrede 6ngulos clI4drangu/o.ree.

y

ANGULOS"EN POSrCION NORMAL. Un ngulo est en po.tici6n normal, respecto a unIlislema de coordenadas rectangulares, cuando 8U vrtice coincide con el origen y sulado inicial con el semi-eje positivo de las x.

Un a,nguJo Mr:JI!tlte al priTl'u ouadrante O es un dtllfuUJdel prim.er culldrallle cuan-do. colocado en f'O'Iiei61lnormal, su lado lenninal cae en dicbo cuadrante: Deflneonessemejantes se apliCl!lla los otros cuadrantes. Por ejemplo, los ngulos SO'. 59', Y -330'son ngulOSdel primer cuadrante; Ug es un ngulo del segundo cuadrante; 119'es un ngulo del 1_ cuadranl,e; -10' y 710' sou ngulos del cuarto CUlIdranlo.

Los ojee dividen el plano eu cuatro partes, llrunnw cuadrentu, que- Se numeran1, n, ID, IV. En la.Fig. 2C se muesrran los cuadran lES numl!l'8dos y los gllOll ce-rrespondienUls a las coordenadas de un punto en cada uno de los euadrantea,

La dlltancill no dirigIda r de un punto P(", '>') al ongw, llamada disl4Mo de Po radio vector de p. est dachi por

r - vi' + y.AsS, a cada punto del plano estn asociad06 tres nmero&: %, y, r.

(VanB6 los 1>robJem08 1.3.)

9FUNCIONES TRlGONO~fE'I'RICAS DE 1),'1 ANGULO CUALQUIERA.

r-UNCIONF.S TRIGONOMETRJCAS l)E LOS ANGULOS CUADRA.-':om._-\RES.Ellado terminal de un ngulo cuadrangular coincide con uno de 1"" rjOll-Un punto Pldistinlo del origen) del lado terminal tiene por coordenadas :re 11. y ... O ;r: .. O.y ~ 0_En ambos CIIBO!l sucede que dos de les seis funciones no _tn definidos. Por

cot e - ++"'D Las funciones de un ngulo dado eaUn dctlni-

das unvocamente. Sin embargo, C1.IJ\ndoac conoceel valor de la Cuncin de un ngulo. el ngulo noqueda definido unvocamente. Por ejemplo, si se-no O=t entonces O - 30', 160', 390", 510, ...En general existen dos posiciones posibles del ladoterminal; por ejemplo. loe lados terminales de 30' y 150' del ejemplo anterior, Lasexcepciones B esta regla ocurren cuando el ngulo es cuadranculer_ Nanse loe pro-blemas 7-15.)

IVm-------o~------+x

len' - +CIC. +

1'l'odo+

n

ySIGNOS ALGE13RAlCOS DE LAS FUNCIONES_ Co-

mo r es siempre positiva, l!)t1mgnos de las Iuncionesen los distinlD6 cuadrantea dependen de les signosde x y de y, Para determinar e,t.os ..ignoa se puedecolocar (mentalmente) el ngulo en poeicin nor-mal, o se puede utilar algn otro recutIIO, como elque aparece en la figura ~djunla donde nicamenLe80 hanregistrado las funciones cuyo signo es pesit-vo. (II{,ase el problema 6_)

Al observar las tlgunul se hace evidente que loe valores de lea funciones trigono-mtricas de Ovaran CuAndo e vara. En 01 problema 5 se dernuestru que 108valoresde las Cunuionesde un ngull'l dado Oaon independiente; del punto P que se escojaen el lado terminal,

yy

y

14Il&-lcotO

ooI&-lt8110

see 8 = l/coa 8ese O - l/sen O

senO-lese6C09 O - l'see O

Como eonseeuencie inmediata de estas definiciones se obtienen las Ilamadns rel.CIO~ ;nlJUllU:

PUNCIONES 't:RIGONOME1'RICAS DE m ASOUJ.,O CUALQUIERA10

el y," _ pGlltl".?d) rlx u _o'iva?

a) ~ es poativ._ y y " 01b) y .. n.. ft y '" t411?

3. En qv6 cuodraol ..... puede-1oe&Iizar Plr. y) al

a) O.ta .. I&cldoX" + >" - ".-'IA a"tIm + >" - 9: en""nceoy = 6 )' y - : ,,"Ir. Pu.. to que P .. lA6n 01primer cuadrante. la .eoordl'.nada que r.lla el y - ~

b) Acul 9 +:r - 2.5. >" - "16. Y Y - j, 4.PUOI'lOquo P euui en el aegundo cwulJ't\nt." la ct~tde.ruutl que ralla ea y_ 4

l So LI 'lu, z' +:l -:s. X" -11. ,)' :< - 2.1.e.,ftO p .. Id en 01.ro~

6. Uem.o.t1nr gue w (una:O-Dt!Bt.r[Kuno:m'tricns de un ngUlo (j no d.e~ndQD da) punto P que Be e.JeOjBe:n.1 1!uIo t.,.",",,1 do! "'SUM,

p) LOA flngulOll 1250 y -965" - 1..25130- 3860 sOn ttotC!n:nii:w.lel. LO. -':nguJ08-210. -1500- _ 2JOo-360, 930 ~ 210 + 2'36000Y -8700. - 210 - 3

Obat\r:oJl!:Wktta. relllc:onn inveru.t. Por e]omplo, en b) ton' - l/c., - '46. C08. _ 1/.oc:. -- -3/5,I.an ~ l/eot' - -4/3. etc.

el r - ,r-l)ii . (_3)1 - -mr100'- -3/../f1J - -3../f1J/10.... - -l/Vfl1 - - ../f1J/IOtan. - -3f-i - 8COl.' - -..1/-3 .. 1/3, ee e - ,;I'IO1-1 - -.,If!!_ & - JfuI-rJ - -v'i'il'l3

(el

b) r - \1'( -3)'"+ :a' - 5-ae.n' _ 4/&coo. - -3/5ta.ot - 41-8 - -4/S1natloo v.lo ..... d. 1.. fuo\:lo_ trlronomtc .. del lagulo O (.1 menor de I.. dngtil.. poaitivoo~ eb pOlici6n normal) .r p ~ Un punto del lado teimin.al de y 1.. ~men8da. de PeGo:

o) PIS, 4). ~) P( -3, 4). /c) P( -1, -S).

c:os. - .$/1'. Puesto que..ru potitiv. I-D 1_ cuadrant. 1, IV Y negativa en los Cu..dre.ntKU. 111.eo.. el poSIUvoea 101cuadranur' 1, JV y nep1.ivo tn loe c:uadrantes n, m.

tel3' - y/x. Puc.to que-%-y y tlon."n el miamo aigno en lo. cu.d ... .nt_e8 1, 111..tan' e. positiva enloe cue.d:r&ntel J. Ilr y negat-ivJl en lo. cuadrantes TI; IV.

6, Delt.rminar 101.fgnOl de 188 (uncjono.. I6no, C080.00 y tan.onte ~n clda une de! 108CUAdran""!..sen, fJ ... i /1'. Pu6tlt.ogue ~ ~~J)OIltlv. on 1QJ1c:u.adn\n~iI.t, Q y nagllWa. en loe c:uadro.nte. lU, IV,

D\ie!)f~ que r ti Ilempr-e poSitiva, UD Oel pOIftivo_eD 1011cwtdrlilnle.l Jl y.n8lalivo .n 106c",admnt.&."8m. rv,

SUI)6D~ que 1... l>un'Q&P )' pI d. IC)IlatI", """" ..... d. ""d. ""O d. 1.. oIngul", d. 1.. Jig .....antcrioJ:C.I lteD4tn l.f.a Qot>me:nlldu que MI .. hAJ.\8el\ila_do. DeJiduu_ lq,.diJt.&nejaa Of' y OP'#' por 1:' l:r'.... I,.~.!iv~m.nt ,,nlo........... perr>ondlcul."", /.1I y A 'P' aloJe d. la .,:En CAd.n~ur 1 tringuloOAP )' O,A'P", CUYQlIAaoe0., b.,. y o',bl. r' l'u~Liyam.n'. IOnafmuarcs; ~I1-) b/r-b'/r'. 01,.- o'/r', 610- b'/o'. a/.b- G'lb', rlo -r'/4'. rJb- r'/h'.Poelt.o que ...._ razonot obunid .... eone.pondl:G aJ .. funclODMu-Ipnomitrieu d. un 'ncu1odel primercua.dmnt.e. loe vaJo"" de las fo.nciooead.u.n 'ngula cu.-lquH-." del prime-r cuad:raDt. eGO lDdepeDdfente"ldt"J punto P tIICOJido..0.1) 50 .lJUI qua

bl" -- 6,'/"'. -(JI,. - -u' Ir'. bl-tl _ !J' 1-0" .....,fb .. -0'/6', r/-a _ r' I-a, i, rlb - T'lb!,Como ''atl\8 80Dl." rutflClonu- correlfpbndlb~ DI (uncionu d. un nul0 d~l iCg'Uodn tlu8dru..nt~, 101valo ..... de w (upcloMl ele un ingtalb aUIlIcu.ilfr'adel.guncia CUAdrant. O inorptndionletl del punto P......,pdo.

Se d.j..al l..,torla_....,i60 d. 1.,...--6/,.--6'/,.', -a/,_-of/,,e14.. y -6/r--#k'/,', o/,-o'J,',etc.

uPONCIOl'o'ES TRICONOME'I'RICASl)E 111'1ANGULO CUALQUlERA

(11)P(5. VII)

y

11. Encontrar loe valores d... n Oy tan ti. dado cott - 5/6.Como cae el poaitivo pertODOCO.1 primer cuadranto o al c:u.arto.Pu.. to que C08' - -xIr - 6/6 ... toma r -- -5. r - 6; Y - "(6) (5ji -- ~ \ 'TI.

.% _ ~ ?_""1111 - \81 _ 16'.Para truar la 61""'. I_l~ .1 puntoP ,S. 8).n_

COo .1 origen y .&eM1esoel "n.rulo l. Entones~oo1.- "Ir - 15/11 Y 1An. - ylz - 8/15.

BI flIKlogery - 8. r ... 17 el convonc!on.L Omirvee.e quo8/11 - 16/34. lo que nOl p"""lllrla lomar y - 16, r - 3'1. 6:n10" z - 30, COIe - 30/:14 - 1G/11Y LA.O - 16/S0 - 8/16. (V6wI 1 prQbl."", 6.)

Encontrmr loe valo'",! de coa Oy Lan 6, .1.0.n , --Sil?Yopero- yteneee (\1 euadrsnte l.

Seo. _p un punto d."l lado terminal de o. Puesto que.. o, - Y/r - 8n7. se toma y .8 'Y r - 17. Puesto que Operten.c. al euadtante J, x el potIitiv.; t.otoDCet.,

a) PUOlto qua ~ Oes l)QIitivo, y ~ pothJvIl.Entonces. -x puede -"1'- poa-hiYA o ne,ativ., con lo cueOU un Ar4[ulo del prlmercu.adr&nlft o del't'Nundo..

6} Puoato que coa mi neratJvo, .% .. n('atin.EntollCH, y pu.ede ter poeitva o Mpti'\""a, CODlo que' el un "naulo del .&egundoeuad,..nt. O delterc:tro.

t) Pu.to que tan el ne;at puede .loIICIuque y .eA poattiv& y x oeptiv o que y .. Desaliva yx poIitiv . AsI', puede Mr un 'nuJo del segundo euad,.nt. o del cuarto.

d) Puealo que sec es poIitiva, :x. ta poIIltt'i'lIl"_AII Opuede aer un 'nrulo del pum.r: cuadrante o del ctU.&rto.

9. I,En qu cUJldl"llntepuede terminar G i(1) IICInGel FH;IIfitivo? b) ~o. Oft fI(!Jj:"UVO? e) un' CI ne,.ti".? dl tea' C!J poe.it(vo"l

o) PUI.lo que lIen 8 - ~/,. y COI0- %/1', ftmbo'_, ~ y y aon ne;ativ ... (Reeu.rdese que r ullemprepo.IUYa.) Ald. O .1 un A~RU1Qd.1 """", cU4d..... le.

6) PunLo que ..en 1) el po,it[v,)' o. poeiUyo~Como tan I no y ,'r .,. po.Uiv 'l: e:a tambi6n pc:NtaUvI.Alt.a .. un nngulo del primer cUAdran't.

e) Como NO' ee pocitivo. )' ea poeiOv.:como eee I ea MI.ti , x .. MP.tiVa. AJ... H u-n 'nruJo del",UMO ClIJIAhanI e.

d) ComoMe' ea Mgativa, x .. neaaUva: como tan' .. M'P\1 y .. poIitiva. At. ea un '"plodelNfUndo c:uadra:Dl~.

e) ...n' _ ~lt"o yMeante& 8ftga".?d) seo'" neptlva y tan esnegativa?

8. Eo quf cuadrante cae el lado '4nninal de t, a:iel HD' Y C.OIOson ambo. bepUvoe?b) &In IJ y tan. son ambos potitivoe?

FUNCIONES TRIGONOMETBICAS DE UN ANCULO COALQIJ1ERA14

Jl*C Q - 1/:05;$ - -2

GSocoo...... 1.... 1.... do tu. .l_ r"...lon.. d. t. d.ad.. _. - v3 0'2Y coa, - -1/2.Cdmo _n' - y Ir es po5itivo. y .. ~tY.4 Dado que c:o.' - ~ r ol.:Deptivo. :c C. nelJ"ti..... Nt.

O~.D_ al cuadrante H, (V... l. fi....,. d.1TOlDando" _ -1, Y - .Jll'. j - J( -1,. +(v 5,.. - 2. lf~.m..

t... O -Y/" ~ ../!/-l -v'!f

c.lB r-

Se habr6 ob.'geJ'y"dofluO c:ot 0 y ele O no esuin deOnidmJ porque la divisi,6n por cero nO est perml ..tlda. En la figura (01, h. tcmede Oe"mO UD d.ngut.muy pequeo en poIIraln normal y .. 1m aeJ\.t.doen llU lado te:rmin.l un pu..oto pez,y). u.n&d~[a r del oric.en. En 08l.u ClOndkllonf!l. % Cl!lpoC:O menorque r Y. a.d~ y t.Imuy p!'queAa y poctiv.~ EntOneN, co", .. xly y C8C' ~ rly ecn potivu y muygranda SI ahara d.. ,..., boci. O' teo eee ... OP .. _"'" a OX) y P p"""0"_ "la cIl!naDc:io r d.1odaen, lO o_m que x ttr'@Copeto lO mantie:oe liemp,.. menor que r, miMtra8q\le y deeeece pere se m.an..tlono mft.'yorque O.A~.ea\. By ese Oc~en cada vea miJ. (pa.ra U"A eomprobAei6n, t6m ... r .. 1 y cAlcn1..

aan._270~- ylr - -,.Ir" -1e 210' - x/r - O/r - Ot.M 270 -y/x - _COL270(1 - %/y _ 0/-,.,. OMe .27~ .. rlx - .ecee 2700 .. ,./y .. r -r .. -l.

tlfn 1806 .- Ylr .. O/,. - OCOI 180(1-- ~/r - -rlr .. -1-Lo. ISO' -y/x - O/-r - OCO\. 1800' - %/y .. % .oMe leo- -"1. - rJ-,.---lex IW -,./y - t.

d) _ 270C'; ~ - O. ~ .. r-re) - 18Q1l:% - -r, y _ O

b) O - 90; ;t .. O. 'Y - r

Nn90 -ytr . rlr -10_900 -%1,. -011'-0t.a.a.W -y/x .. te:ect 90 - %IY _ O/,. - Oaec 00 - ,-Ix - ~CIC 900' - ro/y - rtr - 1

al e-0; % - -ro y - o10nO -y/r - 01" - oCOI O _ z Ir - r Ir _ 1t.aa O -y/x -Olr - Ocol 00 - x/Y - He: 0 _r/~ -r/r - 1etC 0 - r/:I -

(d)(e)

'X

(o)'X

Yt r---oi...:..._.;.p..:.(r....:.-"o:....) ---X

y~(O,rlr 90

3Detonnln",to& vol..... d. tu (Un

eo'60 - 6.4/1.7 - 0,83.MeW - 10r6.' -1t6.cae 50 - 10(1,7 .. 1.3.

seD 500 - 7,7/10 _ 0.71,coc W - 6,4/10 - O.~.lAIl50 - 7,7/6.4 - 1,2.

19. ObLt:M.r tu runcionea trigono;rnAtrica3 do SO, como ee elprobl..... 18. Conoldrfte l. ~ (1).

Al t_(ectuar Ju medicionOl conveniont., " o))tionequo 1.. eoordenad .. de P I~".dn " JO unidad .. del orlg." un (6.4. 7,7). Entone...

(1)

eer 20- - &.413.4 =- 2.8.aec-2()O - 10/9.4 - 1,1.eIC20 - 10/3.4 - 2.9.

IOn 20' - 3.4/10 - 0.301.coa ~ - 9.4/10 .- 0,94,LAn200 - 3,"'9.4 - 0,:18.

y18. COMtn1y... , modiAnl. un t.t&n.Iip9rtador. un dngulo dft20 Oh potici6n notmal. Oeecrib8l!e. con centre e.Do~UDarec dalO unIdades de_ratUo que eerte ell&do terminal enP. Oesd. P "" __ una ~rpendi.uleT.1 eje d s, 80ftJI el pie d. l. perpeodkulor trauda.Al erOC111M ree-dfciones convenientes se obtiene qu~OA - 9,4 y AP - 3.4d. modo que 1.. eecedeeed .. d. P Ion (9, 3,4). En-tO'ncel,

11. Eyaluar: o) .. n O + 2 COIo- + 3Mil 906 + 4 coe; 90 + S 88CO + 6 eee Wb) n 180' + 2... 80" + 8 IIn 270' + ..... 270' - 5.ec 180' - 6 elC270'

ci) O + 2(1) + 8(1) + 4(0) + 6(1) + 6(1) - 16b) 0+ 2(-1) + 3(-1) + 4(0) - 6(-1) - 6(-1) - 8

Sup6nguo .hon que, como ap&.l"eCt!en la fig:wa (/). qu,& es un '-nruJp eq'utfto y negativo. y HM1... en &&L lado um:n.aJ un punlO P(.%.'1) una diPaorla r d41q.en. Bneatal condieions poIiti Y poco menor que r, mteDl.... que,Y. negativa}" nurnfricemontepequea. Bntoncel coL Oy CIIC' eooncptivu y num6ricamenle IT'ftA-dM. Cuando e oree. hAcia 06 eet ti y cee CIpermaneeen..ncSAtlvu y eon,numtfcamento, ende V~ m..yOJ'Cl!J~POI'3 ncUcaresU COftCllust,Onet,.. l.ndicaca ..O - -., y cee O _ - '10.

1... CK e cuando y -- 0,1. O.Ot. 0,001, . l Para indk:Dt elltasconclUlliones le luelo ea:hir eot 00 - ..y ec)IOO - + . N6teM qu.e. aunque 10 utiliu. el.i.Do -. 0.0.. qukte aipi.fic.u quo cot.O... t.ual e" ;etee que. cuando un '-ngulo poe.itivo pequeAose hM:. cada vez menor, la COLallltnt..e del "',JUlo tomav,tlores posiUvoe cado ve~ mAyor_

17PUNCIONES TRIGONOMETRICAS De UN AI'IGULO CUALQUl~

24. OIlJcull\r cada, uno de 1", aiguienlu pprNionet!

G' ta.n 180 - 2 COlo 1800 + 3 etC 2700 + Ha 9Q-I' O.b1 0 O'+ 3eer 90+ 5..,. tSO'- 4 .

1.9

Estas re1e:cionesaso.clan les- ~ojones en. pares,seno 11 ~seilO, tan~enta y cotan-gente, secante. Y' 'COS! tcingttlo, ~oottlgulo ABC sen eomplementaros, e& decir,A +B'. 90~. En la Fig.' S-A seolien.e que

cot:ti ~!_cateto8,dy.8Jlentea cateto Qllucsto

se-c A =~~ 2~er\U!U1,b mtet"8ayb~ite

_ e _ J:ipp~L!l!8C$ll A - ci - ciifeto ollucirl!o

By

Fm~-et0NES T.RlQ'ON01vl;]rr.$OASDE ,6tN ~G'l.ILO A,(JUDO, Al. trabajar !lGn unbingul.o'J:e,culngulo cualquiera, es conveniente r'lase Fig. a.A:) designar los' vrticesde-loe ngulos CP= A,:8, e, 'Ios-ngulos,de l~ n1ngulos' qpm )le, ti, e"" 90 y losIados-opuestce a. los ngulos; n, lb, e, {espeovalTleJl? CDn rot~oi6h el ngulo A, ellado a ~oobe(1) nombre de ca/lilo q)J(1csw'y b el de,of.e>qd)'4Cf!lIte; coa relac~6naJ ngUloB, el ~aJ.etD ad:laPf!n~ es (l. y el cateto opueslo es b. AJ Jo.c se lIa.mao ;aiE!lXlp.I'ehipotenusa,

Si, ahora.:.al! cqloca el !:iingulo 'en un !jiiltemn Ci coordcnada.s. (vlllJi:Fg, a-B)de taJ ~n'ra que Ji ingufo; A :u.uclEl'lm jij:l9ici6n narmill, ltia ooord_das,del punto 8,en elladc t!rmirtaldel' ngulo A, son (~,'ir) 'ys\< distapcia!.'s ~ e {" + ti.. E:n ~tiJl()Olldic,ioD.CS,laS' fruici_n;sl.r!gonpmLri,cls del' ing\Jl0 A, 1?1,lcchln,definirse en trmirios.dl) loa Isdes del !:tin~-ulorec:tingU)o, iP.xho sill!il':

Funcl~)'~e$'trigonomtricas de un nguo aog',udo

CAPJTULO 3

cotB - '1/24oec B - 25{7.oc B - 25/'1A

son B - 24/i~coa.B - 7/26tan.B - 24/7

""",A __ .;Ii"llp:;;o:.:;ton=",,="==-26...uto l>pueo", - '7

A cateto ~dya"Dt. 24C08- - - ......bil?@teDUla 25

B.z::1..7A L e -24,

" r:alcto .-.;lyconte 24coto -- - -catetO opuesto 7

A ca~eto ,opuesto 7IOn - bipote.nuaa -- 25.

1. Encontrar 101vaJOtH d. las funcionoo higonnmtrla .. d. 1.. tlngulo... ud.. del tmnulo _Uingulo4BC, aado. b - 24 y -20.

Puesto que (l' __ el - b* - (25)' - (24).1 ac 49. o - 7. En'to.Dcea

PROBLEMAS RESUELTOS

Angulo O sen O ces O tito O cot O sec O ese 815~ 0,26 Q,97 0,27 3,7 1,0 3,920 0,34 0,94 0,36 2,7 1,1 2,930 0,50 0,87 O,S& 1,7- 1..2 2,040 0,64 0,77 0,84 1,2 1,3 1,645 0,71 0,71 1,0 1,0 1,4 1,450 -0,77 0;64 1,2 0,84 1';6 1,360 0,87 0,50 1,7 0,68 2,.0 1,270 .0,94 0,34 2;:7 0,36 2,9 1,175 0,97 0,26 3,:7 0,27 3,9 1,0

EN L0S EROBLEl'IitAS 1016 se preo;entah a1~ apli.c1ciQnl!Ssencillas de las funcionestrigonomtricas; en ellas-se utiliz~ la siguiente tabla:

Agulo a sen o ces e tan o col e sec 9 ese O30 , M M. ,r ty"g' 2i'45 +y![ t~ 1 i. ,fl y'2'60 ~ + v'S' ~ 2 W3'

.,..

FUNCIONES TRIGBNOMETRIGAS DE 30, 45" y SO. En los problemas 89 se obtienenlos' resultados siguientes: .. .

FUNCIONES TRlGONOME'rR1CAS DE UN ANGULO A,GUDO20

6. Si A el Aludo y tan A - x - x/l. de.tt!nnh".nN loe v.lo,... d .... otms funcione..

COnllry_ un tringulo "",wlJUlo ASC ",1 cu - .. y 6 - 1 0."'0 .., la Fil_ (el.Entone ... e - .Jii'""'+l y

iIIJI A _ x A J tan A - s, cot A _!. leC A - ~+ .CIC A _ ~Jii + j' ca. = Ji3 + i' z v:.r.- T -& :r

,,'9 4i' A 32.0 ,..., - -.19 '1",'vil - 4%'- a o "1'0 A80DA-':'COlSA

3cecA-z

6. Si A A"udo y sen A - 2r}3. dt:tenntnen.e 10&\'AJOrttl do 1... Olru funcionaConltry un rringulo r..,tngulo ABC tal qu - 2.r < S Ye - 3, como ." 1"FiK. (h).Entone 6 - ve< .i - y9 4:.. y

Fig.(c) Probo 6

.."-..I-_-==--'C A~J....,.......,...__,Cb.~

Fig.(&) Probo 5Fi,.(.) Probo .j

S SS

colB - 2/3eue B - 5V!11/10 - ..;rS/2e B - S,rg/lG - 1Irn/8.

.en B - 16/5,rg - 8VID'/13COI B - 1O/5~ - 2oJ'!!"/18ten S - 15/10 ~ 3/2

4. Encotltta.r lo. valorea de las fu'nclonee t-rionomtrio .. del 'nauJo .,ud B. dada te", B - 1.6.Conllry... un tringulo ....wIngul. ASC ovl!ul l. PfR. (01) u.1 qu",6 -lb Y - 10 unfdad...

(Obe6rvC!lMque 1.6 - S2 COD lo que podrlamoe u.iU.ar un trbfngul0 donde b _ B. o - 2).

Entoneel e - "41 + 6i - "101 + 16' - (;v'i! y

cooA - 2,,1IlJ7 eee A - 7I2,,1IlJ 7 ,n/20tan A 3/2,,1IlJ - 3,m/20 ..., A - 7/3

eet A - 2 Vf6/3Nn A - 3/7

S

V].'3A C

b.21ii

3. Encontrar 101 vaJal'e1I de las-ru_ooioncl trlgonom6trlc8' del ngu-lo AIIUdoA. d.d on A - 3/7.C."",ry un trinulo roctAJllulo ABC, 'al que a - a,

- 7 y b -..,t'fi'='Ji 2.,IW. Boto""

... A - 2~/. - ../G/2- ... S

cacA - 2../G,2 - ../G - _B

cotA - 4/2 - 2 - tan 13..n" - 2/2~- ~/5 - 000 S.00A -412~-2~1(i- ... S

lanA - 2/4 - 1/2 - S

Sj ..2A b. 4 e

1. Enconltar 1011valores d. las fu.netm.e!l trlRonom~tricu d. 101'DlulOlalud .. del tringulo =tngulo ABe. d.d... _ 2. o _ 2 ~

Puooto que ~ - .. - .. - (2v'!i)' - (2)' - 20 -. - 16.6 - 4. Entone61

21f'UNCIOI'o'ES TRIOONOMEl'I'RlCAS DE UN ANGULO AGUDO

12. Una eeeeleee do-...manoHQ opoyada QQntni L?

?, Si A ~ un MlfuJo "8"do: al ,PO!'cunA < 11b) l>u6ndo",.n ,'l - eGO A1el -Por

17. Sobro Wlft.ol.. unr .... nciA .. "bren .fuj""" .. puad.. ea:~ ti por orcO& ia'ual... n.mooll'1lr que l. cfutancift d~enree 10. CQD'Uoede dOIaruJtt'Of auc:tQvcs.. viene dada por" -- 2.r-$en 180 In. do,nde r - nuJiodo La. c1rcunfc.ro.ncia 'Y "- - mlmuo de "l\Ij,",," EncoDtrar d c-u .ndo r - 20 cm y ti - 4.

FiJ-U) PrI>b. 16

B

. ~ t,.D

\

B

r ) :"""'.. ::c~J_--'"' Il~.(i '!'rob. 16 '"

26. Encontrnr el pometl'o do un tridngulo le6ecelos C:~Y"bue mide '"'0cm .i101fEngulOlde lA bese miden 70.Rp. lGG cm

25. Una NCftlemde mano, cuyo pie HiUf en lo call. formA un gulo de-SO-eon el auelo cUAndo I-U extrernollJp6rior te apoya 00 un .difi.c:io ..ituado en uno de 101ladoe ele1. caUe, y tarma un ~naul0 de 4-0'cuando.. apoyo eo un edilicio .h1l&nnl un tdguJo ree i.IlAl"lo can elruolo. Cadl e.. la altura del (,bol,-si la parte que hs cardo baca el aue-lo(orma con "te un ingulo de 50'. -y ..i la pan. d.l tro:neo .ue haqued.do .. pi. Uene .,na a1lurad. 20m? R..". 66 m

21_ On hombre reeo.rre 600 ro a lo lugo d. un camino que tjene \UUl inclwC'i6D de 20" rftpoKU> a 1. borlazonlol. QuJ! altura .Ic.n .. ~...._.0 al punto d. parUd.? R"p. 170 al

20. EnconlraT el valOTde eada u.na de laa queDtft up,..ion.K!~_W+tan. tanW-tan~b) eo' 46"+ cOi50' ., 1 +"n 50' tan ~.l .en 30' COI 60 + .,.30 ... 60' ese SO.+ eee 60' + '* 80"d) C08 300 coa 800 - sen 30 .!MIIl60- /) lea 00 + lOO 30"+ .ec 60Retp. a) 3/2. 11)3/2. e) 1. d) O. e) 1 v1f. 11 1

Sug.ro.c1a; C4 id6..... uo triAl"lo ,,,,"'oglllo tal qua uno d. IUI ,{ngu).. agud.,. lea 11"&1al 'nrulod.do. lIU11. a) .. n 66, b) COI.0, e) col 15', d) ... 55'

e) tan lS o COI16"1di /.leC' 65" o eee 65"1

19. CwlI .. el _yo, y por qu6: el IOn 65 o c:oJ56"?b) .. n 40* o 00140"1

18. Encontrar 1""valo.... d. Iu Funclon.. lrifonotMlrkao d. loo 'OfUlOl .",das del trill..,ulo ""''''nluloABC, dad.. al " - 3. b -1: b) a - 2. e - 5: el b - ../'f. - 4.R..p. a) A: 3/,rrJ. l/v'llI, 3, 1(3. ,'l1l. v'{l)'S: s: l/y'fO', 3/v'llI, lIS, 3, ,ro/S. ,ro

b) Il: 2(6, ,n/5, 2/../'EI, v'!Il/2, 5/v'!l, ~/2: S: V'Ef/5.2/6, ..t'If2.2/..t'If, 6/2, 5/v'21e) A: 814. ,,!'r/4, 3/,,17; ,,!'r/S, 4 -rt: 4/3; 8: .,t'T/4. /4, ""/3,3/"".4/3, 4i ../'f

P.ROBLEMAS PROPUESTOS

Cuando r - 20 Y n - 4, d - 220 t-eD 46 - 220 ";- - 20" Yem.

lBD"2rNn--'"

Su." A Y B 101cent..ro. de dOl .IUJUOI C-

Se obtiene sen 2440' =0,4173sen 2450' = 0,4200

Diferencia en lO' = 0,0027 = diferencia tabularCorreccin - diferencia de 3' = 0,3(0,0027) - 0,00081 o 0,0008cuando se redondea en la cuarta cia decimal.Como el ngulo crece, el seno de! ngulo crece; as,sen 2443' - O"U73 + 0,0008 - 0,4181.

TABLA DE FUNCIONES TRIGONOME'I'RICAS CON CUATROCifRAS DECIMALES

CUANDO EL ANGULO ES MENOR DE 45, se busca e! ngulo en la columna izquierdade 111tabla. y la funcin en el primer rengln superior do la pgina. Cuando el nguloes mayor de .15,se busca el ngulo en 111COJUDlNl derecha de la tabla, y In uncin en elltimo rengln inferior de In pgina.

ENCONTRAR EL VALOR DE UNA FUNCION TRIGONOME'l'RrCA de un nguloagudo dado. Si el ngulo contiene nicamente un nmero exacto de grados, o si contie-ne, adems, un nmero de minUI46.b) COl; 4150' - 1,1171. j3s

0,6330 - col 6740'0,6345 - col A0,0015 = diferencia parcial

Se encuentra 0,6330 = col 5740'0,6371 = cot57"30'

Diferencia tabular = 0,0041

EJEMPLO 8. Encontrar A, dada eot A - 0,6345.

Correccin - ~:=(10') = 2~ (10' l = 3', aproximada alminute ms cer-~aDO.

Cuando se suma la correc:iri (ya que es no seno). se obtiene250' + 3' - 25"3' - A.

0,4226 - sen 25"0'0,4234 - sen A0,0008 diferencia parcial

0.4226 - sen 25 O'0,4253 " sen 25~10'

Diferencia tabular - 0,0027

ENCONTRAR EL ANGULO CUANDO SE CONOCE UNA DE SUS FUNCIONES. Elproceso es el Inverso del que se expuso anteriormente.

EJEMPLO 6. De la lectura directamente de la tabla se obtiene 0,2924 - sen 17,2,7725 - tan 7010'.

EJEMPLO 7. Encontrar A, dado sen A ~ 0,423;1.El valor dado no aparece en la tabla. Sin embargo se tiene que

(Vase tambin el problema L)

Como el ngulo ereee, el ooseno decrece. Por tanto,cos 64~.26' p 0,4331 - 0,0016 = 0,'1315.

Para ahorrar tiempo, en el ejemplo . se proceder de lA siguiMte manera:al Loealeese sen 2440' = 0,4173. POI'ahora. emtase la coma decimal y considrese

nicamente el nmero 4173.b) Bsquese (mentalmente) la diferencia tabular 27, es decir, In diferencia enlre el

nmero 4173, correspcndiente a 2440' y el nmero 4200 correspondiente 8 2450'.e) Celclese 0,3(27) - 8,1 y redondese en el entere ms prximo. Esta es la eorreecin,d) Aildruw (puesto que se trota de un seno) la correccln e 4179. Aai se obtiene el

m1mero 4181. Entonces, sn 2443' - 0,4181.Cuando. como ocurre en el ejemplo anterior, la interpolacin se efecta del ngulo

menor hacia el mayor: 1) Se aade la correccin pera encontrar el seno, la tangentey le secante. 2) Se resta Ia correccin pera encontrar el coseno, la cotangente y la 00-secante,

Si se dispone de una tabla con cinco cifras decimales, se puede leerdirectamente en ella el valor 0,41813 y redondearle en 0,4181.

EJEMPLO 5. Encontl'8r 008 6426'.Se obtiene roe 64"20' - 0,4331

roe &.1"30' - 0,4305Diferencia labular - 0,0026

Correccin - 0,6(0,0026) - 0,00156 o 0,0016 con cuatro cifrasdecimales.

TABLAS DE FUNCrONES TRIGONOMETR1CAS26

EXACTITUD EN LOS RESULTADOS CALCULADOS. Un resul~o no debe tener mscifras decimales que las que tiene el.menos exacto de los dates obt.enid08 en una me-dicin. Es importante tener en cuenta aqul los siuienus relaciones entre el grado deexactitud de las longitudes y loo ngulos:a) Distancias expresadas con dos cifras signficativas y ngulos exprcsad08 con aproxi-

macin al grado mJs cercano.b) D~cias exprcsadas con 3 cifras signillent!v8lI y .ngutos expresados con aproxl-

rnacin al mltiplo ms cercano de 10'.el Distancias exp,,-d88 con 4 cifras llignificativl\II y ngulos expresados con oproxi-

maci6n (le 1'.d) Distancias exprcsadas con 5 cifras significativas y ngulos expresados con aproxi-

macin de 0,1'.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS. En el nmero 35 hay dos cifras signifi~yu, 3 y 5. Tambinhay dos cifras significativas en 3,6. 0,35, 0,035, 0,0035 pero no en 35,0, 3,50, 0.350.0,0350. En loo nm.eros 35,0, 3,50. 0,350. 0,0350 hay tres cifis signi6cativas, 3, 5 y O.Este es otro modo do decir que-35 y 35,0 no expresan lamlSma mcciicin.

Es imposible determlner las cifras sgnmcatl\'IIlf en mediciones re,$'iaLradnscomo:l50 3500, 35000, 'Por ejemplo, 350 puede ignificar que el vrdadero resultadoest- entre 3iI5 y 3.55. O entre 349,5 y 350,5.

-'Vase ol preblama 3,)

LQS ERRORES EN LOS R)lSUL'I'AD0S CA.LCULADOS provienen de:4) Errores en 1081Ia108.Estos errores l)9!.n siempre presentes en los datos que pro-

vienen de mediciones.h) El uso de las tablas de las funcionelt lrigonomtricas naturales. Loe valores que

aparecen en las tablas 80n generalmente aproximaciones de expresiones decimalesinfinitas.Cuando en In medici6n se regist.mn 35 m. se est indicando que el resultado es

correcto en lo que se reere al metro ms cercano, es decir, que la verdadera longitudesLtS.comprendida entre ll''5y .3&,5meeros, Da! mismo mod.a1,;egiatrll1'8Cuna longi-tud de 35,0 metros, se indicu que la verdadera longitud est eemprendda onlxo 34,95'1 35.,05metros, una oD\ltlloin cozrespcndiente ti 35.8 mlltrII'8'gnifica quo u\ verdaderolongitud est entre 36,75 Y 35,85 metros; unn enctacldn de 1l5,8Ometr06 eignilka quela verdadera longitud est entre 35,795 y 35,805 metros, y ssi sucesivamente.

Correc:ci6n _ 0,0015 (10') ~ 15 (10') 4- ' , IIproXimada al minuto ms cercano.0,0041 4.1

Cundo se sustroe la oorrecci6n (ya que es una cotangente), se obtiene5740' - 4' - 57'a6' - A.

Prui 8ho_r tlompo, en el ejll\lplo 7 se puede ptllcccler de la aiguente numera:11) Loealcese el valer ml! cercano, 0,4226 - sen 25"0'. Omtasa la como decimal y

ceusidrese nicnmente el nmero 4226.b) Bsquese la diferencia tabular. 27.e) Bsquese la diferencia parcial, S. entre 4226 )" el mmero 423-1 correspondiente al

valor dado.

d) Calclese :7 (10') - 3' y smese a 25"0'.

21TABLAS DE FUNCIONeS TRlOO'NOME'l'RICAS

8Snlucln: ... B - ~;:: - 0.4668: B - 27~9' .11-90' - B - 6MI '.

af6 - eo\. B. 4 .. h cot.B - 15.25(1.8953) - 28,90.Cnrnllrobucln: _l. - e... B. ft - e e"" B - 32,08(0,88441 - 28.90.

B

tJJI 16.25 e

1&,25. C! - 32.68.7. R_I ve r .1 lringulo reclngulo ABC. donde b

e - 6Me A - 2t.3l2.CJr64.9) - .$0.2. oe blcOl;l - a.,S/O,~84a- 50.2.

- .... A - 43.011.1430) - 6Il.2, Oe _ o ,(len A .. 43.9IOHi49 - 50,2.

COml)robacUSn: (" 6 - Me: A,b/c .. COlA.

l(\nA - ~!.:-1,8066; A -61-2'. B -90- -A 28~'.,e/o - CIO A.

B

6. n-I .... ti trin,ul0 rtelAnguJo ABC. dnDd. o - ~3,9.6 - ~~.3.

Snluei6n:

6 _ eot A 24.3610.5038) - H.70.

e o Ole A. - 2.4,36\1,1681) 28,"6, uc - U 'lInA - 24.30/0,8562 - 28,.16.

b - _A - 28.46(0.5163) 14.70.

b el - Ct'J1. A,e/o eee A.tJ ,o senA,

6. RUlvor el UUngulo roctttSn:guloen al cual" - 24,36. A - ~58'.5

C12. LA _ AD d. l. flcW' .djunta.t,.."ieI.a un pantAno. PIII1l locaJiUrun pu.nto de ost.- ret;ta, At o~olododel Pllntllno. un I.Op.,nfo 8e .iLdaen .1 punto A. gira u_n ._ngulo d.51"8' Yd.uonn;n.e un. diatancia d.ts86 m bula UD PUD'" C. P~ dlll-mo, COI\ 01 triDllito eu e, aire. un J~Io d. OOPJU'~doterOllnafIn _l.(:iJ. SI el punto B .. t~tlt\llldu en l.r.ou." D. qt.:6 dietahOi. ha d reeo-rrer .1 top6gnllo par. ir a-s. ebuta B?

CB - A.C tan 5116'- 151lS(1.2461) - tp76 m.

t l- Al c:.lcuw el encbo de un d,o. un topdcra!Q ~l-. 'u ~to l'n un p'u.nlO e d. uu de tu orillu ylocaliu UDpwuo B en l. oUa opU"". De.j>4!o. Mi", un 401U1o d. 900 y d ..",I"" .._ distanciaCA - 226 m.. Por dlt(mo. tbta el ltlnliw tul A Y comp:rull!~a lid. ,,t!A8 mida ..8:"20 ', Encontrar.1 on.ha del no. --

Vd... l. PIlI-!cl. Sn .1 triJlnjlulo ,""lJInguJo /lC/J,CB _ IIC tan CAB - 225 Jan 48"20' - 22511.1237) ~ 263 m.

.t.AOB par. rorm .... 01 ttlAIngulo .......u.aul.. MOB.-,-lIlQ sen 22'30' - !l;O(.3821) - 67,4, Y .1 ~rilll."Odel 00,6.

Como no el problema 6... blaeeaEnt.ne~./I! B - 08 'n NOB

,auno 16MB _ 16(57.4) - 91.8 cm.

10. Rotontrar el per.fmotl'u de Uh oot641ono l'eguia:r hac::rito en .U.DU circunferoncia d. l50 om dI' radio.&n lA .6gu.ca (6). "han unido oon.l vni'ce O ee la ei.reanle:n:neia dOl VHticN C:OlUleCut'VOl. A y 8.

ct.1 00.60.0_ El 1",,,,,,10 OAS " lo6ocel... .lA Iaclaa r~ mldon 100 y LA08 - 360.8 - '6".

Fil.(') Probo LlF~_r61Probo 10!';g.(a) Probo 9

B

9. Con.tld4rre- la Tie".. (toma una a(elnt. de _GO rutllaa dt! ndip. Enc(tntrar el radio r CQrrtU!lpond'cntcal Iloral.l. cuy. 1 I.ad de. 411".W 1, Fig. (al.

En .1 t.rlJfnltulo ... "'nrule> OCB. OBC - ~O')' on - 39110_P..IO""" CDIIOBC - CSIOIl y r - CB - 3960 005 400 - 3960iO.7660) - 3030 millu.

B8. LA b_ d. UD orlJIngulo ia1101.,.d. 1.. bmldon 4840'. &"".n' .....I... ",a.. !tu. leoy "'.Jlura dal trl.,.uJo.

En 1.. ti"""," 80 "lMrpomIi.cular. la _ AC y 1.. bIRca.En .1 trldtigulu reclAnauJo ABO,

118/AD ., A. liD - 10.2(1.&.141

16. Enco.nlrar lAs funciono ~rltconom'~rlcol.-de cadA uno de loI '-"rulo. .lgu.it:ntd:a) 1.847', b) 3213', ~) 6824', ) 79.6',n..". seno CMelno langnle cCitnngonta Meanl, ealeanta,,) 1841' 0,8220 0,0.68 0,2401 2,9.03 1,0563 3.l06?b) 32"3' 0,6331 0,8460 0,6301 1,6889 1,1820 1,87li7c) 5S024' 0,8517 O,6UO 1,8255 0,6162 I,oos. 1,174111) 711"45' 0,9840 0,1780 5,6304 0,1808 6,8201 1,0162

PROBLE~lAS PROPUESTOS

lol,. D~1$d.lo alto do U.D fAro, n .76 pies ecbre el nivel del .nAr. el t(ngnlo de de-p:retl6n do un bAttCl fltuadQdirtcl.8:mente al aur, ce 1860', Do. minuc.o. mAl tArdo. el ((ngul de d&!p:.r-eD6n.. 1..20 ', o..roul"r 1"'\'olOClidttd del ba.tCO .1 lIIO nbM.rva qua nevtga diroclurnonte haoia el oNte

En la Fig;. (fO). AD e. el taro. e Nel puoto tit,uadu direourndJlLIt al .ur d.J faro dondo .. ItDCOntta.b. el barco cuando fue ublervado l. primC!l'Qvez. y B " la po.-icin del ~o do- mtnulOI IDJ t..atde..

En el tri"",lo '''''''''lIulo CAD, AC - AD COI LACD _ 17& COI 18"&0' 1711(2,9319) - 613.g. el tringulo ""

se La di,lancln enue WUi pa.l"edde 15 I,iude 81tuna y una casa el d. \0 J'th~. Cdl ha do ler l. mepor Ion"citud do un" olCatot'f:l do mnnu que pumita 1I r.1 eztrmo uperlor de Ia pllred y una ventana dela CUA .,lu.da 20,5 pi.. d. altura? Rap. -42.6 pa

23.. Una rueda de 6 dm de diimerro. llJiCiende pOr un plano CUY. ioelinaci6n. rtt:pec.to 1. borUoDtal de 18~'. A qlMlSaltura. rtlpecUl la baJ,e d.l plaQO.".futado .. encuentra elc:enlrO d. l. rueda cuando"'ta ha ,...,.nido 6 cIm a lo larlo del:plaJ>o? Rup. 3,Ba dm

12.. O(lOlOlltrar que el pornel,ro P do un paUgODO relujar de " lado. i.nIcrilQe en una circunre.renci.D doradio r vtene d.do pOr P - 2nr 0 (160' lri).

n. DImoolNr que ai, ee un trilnulo bocIa

32

VECTORES. Toda cantidad flaica, como la fuerza o la velccdad,que poeee magnitud, direccin y sentido, recibe el nom~de cantid4d otCUlrial. Una canlidad vectorial se puede re-presentar mediante un segmento de recte dirigido flechaI1amado_tor. La d~Wn y sentidodel vector son Josde lacantidad dada, y la longitud del vector es proporcional ala magnitud do la cantidad.

EJEMPLO 1. La velocidad de un aeroplano ea de 200 A "'------&millaslhora N 40 E. Su velocidad aparece nlPresentadapor el vector AB de la Fig. 5C.

N N sB

O E O

0- E OA

B B IS S 5 .0;

Orientacl6n: 35 145 21S U5"Fir. 5-B

En acron6.ulCll.la orientaeidn de B rESpecto de _4.uele- e:qa _ e. mguloformado por In l!emi-cecla A B y la semi-eecta que. or'.e!Iada '-- ., D!Ir".e. "*"le suorigen en A. ElIte ngulo se mide, a partir del norte, en el ni&DO CM\) que el delmovimiento do 1aa agujoa dol reloj (es decir. desde el norte bada el_ Pa eanplo,

B

Ori,ent-acl6n: N 35- .E

s

N N 108

O A L .l.EA

B B

" " Ssss-e Sas-O s o

FIl. 6.,.

LA ORIENTAC[ON DE UN PUNTO B RESPECro " t..,; Pt.'NTO -o\. e lID plano hori-zontal, se define, genemJmente, como el ncWo _ pr....,do qIR r.x...an la rectanorte-sur que pa88 por A y la semi-recta CU)'O GrJIIIl-A ...que .- par B La orien-taci6n se lee, entonces, desde los semi-rec\U DOne o __ t.cia .. _ '-da d_t e,

N

Aplicaciones prcticas

CAPITULO 5..

ro) ClIo 6.F .'

En todos los otros casos, la magnitud, la ciireeci6n y el sentido de Ja resultantese obtienen merlio.nte oUlllquiera de los das mto!ll;>i3siguientes.

1) MEfI'ODO 'DEL PARALEt.OCRAMO. Colquense los origenes de ambos vec-tores en un punto cualquiera O de su plano y compltese el parnlelognuno que tiene11 estos "ecllores por lados adyacentes. La diagonal dirigida cuyo origen es O es laresultante o vecllor 8Umn,de los vecl.on;s dadoa, As, en la )"ig. 5-G (h), el vector ResJa feBultanl-ll do los VOOlMeB 2 Y ~ de la Fig. S-G (c.).

60 11R 2~:.=:9 .. 1

~ __ ",,12.5=-_ ...

_"",7::.5_~ _..!7",5_

EJEMPLO 3. En la FiK. 5-1:, el vector AS representa una fuerza de 20 kg queforma 1lIl ngulo de 35 con el sentido positivo del eje de.las X, y el vector CD repre-Bnta una fuerza de 30 kg que forma un ngulo do 150. con al sentido poeitivo delejo de 1M X. Se ha ulUlr.4do la mlsmA eseea para ambos vectores.

Dos vectores 60n iguales si ncnen la misma roagnitud, In miama ilirecci6n y elmismo senlido. On vector no tiene una posiei6n fija en W1 p~no; puede moverse en61, siempre que conserve 8U magnitud, direccin y sentido.

AIDICION DE VEC'rOREs. Ln resuuant o ~'f!d1Jrsuma: de vatifle voohlr!t, situadoe todosen un mismo plano, es el vector del plano que produce el mismo electo que el produ-cido por todos los vectores originales cuando actAn ~njnnlrunente_

Si dos vectores "y ~son plll'aJel08 y del mismo sentido. SU J'el'ullonte es un vector Rcuy magnitud es'ig'ualll In suma de 1118milgnitu,dcs de los d)a vectores y cuyo sentidoes el de los vectores dados. Vase In f'ig. 5F (a).

Si dos veclOre!l paralelos tienen sen1idos opuestos, su resultante es un vector Rcuya magnitud es la djferencia [magnitud del mayor - magnitud del menor) de lasmag:niwdcs de los dos veetcres y cuyo sendo es al del vector d mayor magnitud.Vase ltl Fig. 5-1' eh).

Piy. -EYfg. 6-D

o!fim brD

1)

~-----~~c~L---------x

12 km/""A"I---.....:._ .. /J

EJEMPLO 2. Un bolo de motor que en aguOll tr8.JlquilOll navega a razn de 12kilmetro&!hora, ;e dirige directamente a a:av~ de un ro de UDa onl1a a otra. Lavelocidad de lea '!l:Uas del no es de 4 kil6metro hora. "En la l"ig. 5-D, el vector CDrepresenta la vel0

EJEMPLO 6. En InFig, S.f, la fuerzaF tieneporeomponente horizontal F, - fi' cos 30' '1 por compo-nente vertical F. - F sen 30', Obsrvese que Ti' es elvector suma o resultante de F.y F._

NAVEGACION Al!lREA. La orienl1own. de un aeroplano es 1. direccin delenninnda poruna lectura de la brjulA) en la que csL enfilado el aeroplano. La otienlBci6n se mide,a partir del norte, en el mismo sentido que el del movimiento do Ia.s agujal! de un reloj.

P,

LA COMPO~TE DE UN VECTOR", sobre 1.Il1arecta L Col la proyecd6n pe-rpendiculardel vector" sobreL. Con frecuencia es i.il la descom-potlicin de un vector en dos componentes a lo Iarode un par de rectas perpendiculares,

EJEMPLO 5. En cada una de les Fig. SH (al,(b) y (e) les componentes de R 80n 1) 4 kilmel1'06 honten el sentido de la corriente y 2) 12 kilmetros, hora enun sentido perpendlcular a la corriente,

La magnitud do R = v'(I'2)"-:::-:; ~ 12,6 kHmcuOlt bo...Enton_, el bote !lemueve, a favor de la corriente, Jo Iazo de 1mIl recta que

forma un ngulo 8 - 18"30' con la direccin original que babia 'O"'.d... o un ngulo90 - O- 7t30' con la arma del ro.

Segn w Fig. S-R (a) O 6-H (o), tan O- " 12 = 0,3333) - 1.8'30'_

(a)

EJEMPLO 4. La resultante B d. to. dos \'t'CU0n5 del e _ .qoe ...,x la lArapidez, la direccin y el sentido d~."'.oviunent.o cid ~ La r", ~H G iln> .. elmtodo del paralologramo; la Fic. 5H o ) la rlg. S-H e IlQlQan __ .ocio deltringulo.

(6)M6todo del patalolota.M

f... s-e

(a)

""Q//::;...__It_-_- ,.J 1; O~

*v_ que'hay tres Ve!.LoTes.rela,cOn~~entra,aj, (:lA que J;1lp~taJa r.apidgrz~~t., ill. aire Y la !)}'ien'laci6}I,AB que 'fepresenta la direccin, ell(i.!ntdo y"~trl!pide;r.de! y.ie.nt9y (i)B QUI!' re'J?resehl J/i l'!\pldes rs~~ a lit:'l'i~1! !( ~ rombo. El vectorC1;\.yamiignitu~ es"la rapd~ ~eo~ a I~'1'~ es la feu1iice del \lelO!eF cor~pO.n-di,Cnte 11111rapidez, rfillj)eJ:!g, al aire' ~ el vecWl' C!I~dience" Ia...;a'p\dllz del yent{),

'EJEMPLO 't, 'Isa Fg. SK ilustra J!l caso en que 'UlI ae'rOplano vuela a U{} mi-lIasjhoi'1l 0011w,arEmt.acil1 ce 60' cuando el ,ientosopln,es1Ie:330 a ~Oriullas/hora.

:Bara !;Oils,l:iul,r la flgtrr,l!.t cltl6q~ en e el veltlO~ctrrspo~denle a la,"Ilg.ide'''re~j!Ctcl'l~; '1;r.~!I eontinuacln (o~vlm,;plDs~~tjdci\l9'e 'f8S_'fl~ el v,!cLorcop;espndienb a la rR)?flf~ (1,,1vjentD y, ~r lblmQj I!lUil$e.el tmniuJo. Obsi:v,eSe,ad~, Ilue l I~);Ji!~dien~lllarapid~ tqiP}I!l,~o!!4"Tltih:runo Se !:lit h:$\dQ.a parhif"(1el ~&itqr-Wml5POndinnle11 la rapld~ ~C'llv;iento.

No

Ol( ti la ~ que ~ ~r O y que ~ el norte verddero,L NOA es la orlentao)dn,@A = la m'pid~ ~';C~o al air~# es la t~~"9e ~yor A y que-sej:ialae1 norle verdlldero,Z. 'NAO es fa dii~i.~ clcl, vJn~. medidll! pa,,*ir d~ la 'recta

que Seiililil el 'Dorle,A:B - la t;?pidiZ del ,lento,i$O'Q es el rumlilo,,OB ~ In mpide-r- .f!!6m(o ~'JaTiiTa,;t;AOlJ e4'!il l&ulo ah desv"i8.'ci6n.

En 111Fi!.5~:

La: rapidez re;pecJo al aire; (det8!'l'llinatla por una, l

JI..

,S

- 1\(,

D

CS _ AB ... A 60 ... 40" - 60(0.8428) - 38.57.&1 bo....ha recorrido 46 mlU.. hlOCl 1Dort. y 39 mil'" hacia.l orte.

2. T1"I.Wb.fCOI."'n .h.uado. de tal manrr. que A ao e__nc.ucn..t.ra 2.26 miU.. directamente .J non. de C. y 8 376mil ... ditoo",monl 1 .. t. d. C. Le"'l .. la orio.t.eino) d. S .....peclo d. A? 6) de A ....peclOd. B?

&. el tmn",lo "",naulo ABC,tan CAJ3 _ 875/225 - 1.6667 Y CIIB - 59"0',

o) La ori...... I6. d. 8 ...."""10d. A ('.culo SAB) ..S 69'0' E.

6) Lo o,ionl.oln d. A ... poolod. S ('n",10 N' BAI ..N 59"0' O.

y

14 Un bolede motor nAye,. durante3 hn.... " r,.~cSnde 20 mlllu. hbtllen dlr""dn N 40' r,:. Qu6 dl.tnnco hocltt .1 dOrt. y qui d""'n-cia hAoa ,-1elto U recorrido?

Sup6nla&e que .1 bote .. le d. A: ln1ce.nM la reGl.8 oort&4ur quepu.tl pee A y la Nmi.recta AD d. modo que l.orientaci61lde 1) ro-peciO al punto.A lOAN 40' g. Loc"lkae 1Gb....AD un punto B talque AJ3 _ 3.20) - 60 mm... Deod. B InI._ la pupendiculM. larocta NAS; _ C ti pi. do l. porpondieular. En 01ttin,ulo~14"",,0 ABC.

AC _ AS ... A - 60 _ 40' - 6010,7660) - 46.96

PROBLEMAS RESUELTOS

,/I:MO)' + (30)' 5 242 mpb..30 240 = 0,1250 y = ~lO.60 + e - 67"10'_

s

En el tringulo resultante:La rapid~ respecto 6 16Tierra -

Tan 8 -Rumbo =

APLI('ACTONES PRACTICAS36

\6. ED,elpu:nto O d 11lli'lt;. ro, ...... ilUDa" un auerpoOiObr. tJ_.q!,*1J"I'IlI d~.t'.4'l: ""8 .b;50 k~ haolo.Inorjq,yql,n\' do.2_OI),kll ~JII ~""le. 1!l,,,contnu.l.masnil1la,1.. d~~~)Iy ~!~t1dO d. l. t~ta"'~'

.En .1IdJI'ngulo _UIngulo f!J)SC, e ~ ., (O;Sj~ + ftlOJ' - .(lWQ)' 4 ~lSO~- 2SU '-"8tan .!BOO _ no/2oo - 0;-'1500YL:BOC = 38000'.

~Jn~8'litud d~ 1.. _r"".r> ~14JI"'- .. 2SO JoII)l '"'-rltnlac1611. ... N 6,S~1(j, E;.

PIg. (/1) 1'ro..,. '6Plg,.(o) llrllb. 6

E"m"",", :KT ...,6'1' ~ CX- = '16,6(2;1609 - O,69t6) .." U;2:-mW...5. Q,~(t ~ bll~_ qq4 ,pn\l'g_~droctn.mcl~teb,uctia ~68te.se O~TVll~Up,_aJu;'~,,!I' 9.rientncidn,. N ~aI?10" 8.

Ousnd.o .1 barto liti eec'1....tI~USO .m,J. "ri.rtt ,6n .. N 4&"25' R, s_o;) bar"" """"ll.h 1nlLin'to_dllrzo.t.oJ'(j~cu:n .et 'la! m-a.n6'r dj8tUha.t. n gu~e& ancoDUotlt }" lut?

10. Un hombre tira de 'Uu cuerda que tlUi atada a ue trineo esmuna (.na de 100 te La cue:nb (ormaun 'n,ulo de. 27 eee .1.uelo. a) EnconlrV 1& trucidn .r~tiva que oblJa'a al aiDeo ~ lo lucodel .u.lo y 13 craecl6n .rec:tiva que tlende a le.vantar ve:rti!a1meftl. tl r.na.o.' EnroDuar l. ru~naqUI el hombre debe eJOI'C1!lTpata qun 1" Lraeci6'n e(eetiva ClUBoblitca al trlaG a daUUtM boriwntalmeol.e d. 100 kg.

127 ~81', - 300 IOn 25 - 300(0,4226)F.

~'. - 300 00112& 36OlO,906l!) _ 272 kg

9. Un poi" de t.el~8r",(otM mantiene en 1)C)6ici6nve.rUonJMec,llo.l\t.aun .Irunbm tenso que (ormn un MButQ de 26con el potte y que ejerce un. mecin de F - 300 ",.ubreele:r'remoRperior del mllmo ..Bneonlrar t.a. compononlMhbriaontal y vu'ical F, y F..de la 1,,,16n P.

) Enal trlngulu 0"8 d. la Fl~.lb), .. " 8 - 126/.76 - 0,2682 Y GQ 11;"20'Enl_ la oritnlacicbl inicial del bola ha d. _ N7..w' E y tU nrrid r..w..". .....

08 - " (475)' (126)' - 458 '" mln.

o) En'" triiDculo _"nguJo OAB d.l. Fl.(o) 08 - ..t (4761'+ 0261' - 491'--n I - l.25/415 - O.263! Y' - 14.0~.

entoDC'e.~ el boto recorre: 491 m/mhl en dlrecct6n S 76

12.. L. orienta.cti6n de un IlO.t''O'lt..no 1& y .u....raptd., 1'Hpecto &.1aire! el ck..200 millu nO't'1l. Bneqntrarta,topido.z re,sl*tu ft I.Tierra,y el rum],1o...&i;supla. un Vlttnto dtt 40 mOfa./hoN desde 16S. VE. La Fi$. e,,).

OO'nltracciOn. :T'I'C.ICI, .. pArtir de O, el ,,~L(Jt CfUTClfl)Olldll.ntJ:.:...la iapidn ~~'O ,,1 Aire y. "o~)I,tinuncr6n,~c",c 01"eCWt(lOtt~pbndrenle ul v{ant.chCttil'1"MI'e el triiir.,u.l.b.

SolOl.6~."Rapid -!l'''''o .... Ti.ln- ,(200)' + (4Q)' 2G4m..J,.tan 8 40/200 _ 0,2000 y 6 = 1120'. Y rumba 7~ -. - 6340'.

IS. 1... rapKlet: ra~lO al.tt d, Unaeroplano ~ de 200 mUlaf por hora. Sopla un vientn d. 30 tntlluihonLdude 2100. F!neontrar t. orientaci6n del aemplano 1 la rap5dn r-..peceo t.Tiaa pan que .1 rumbo... O.V~ l."Pi. (AJ.

COlUttucciiSn. El voclor ""rr'IOIJ' .1 al,. y 1 rlcn'""i4_npnrt\ que la ral'tdc.1. 1'eGIpecao~ 1.. Tia mil )' el .tWDbo ... n. ,,"pectiv.atQclltC!:. 250 mlllu por ho.ril y 50:V.... la EI!- (1).

Comtrucc:i6n. Tnce.nt.o. con IU. o~ en O. U. veteo,.. cor.res;porulientesa la velocidad mpecto laTium.Y .1"l.nlo.C~ el ttii01JUIo.

PI"tlll'J'Ob. 12PilI.(/) Probo 11

NN

o E. 1.. Fig. (e) y rdl, l. 48)- 2J2.... F, W """ 29 ~ 600\0.8746) - 491 q.6) 2~l!ka ., la'lO d. la """1" perc> ""a. amo..

E~Ce)

LJ~F. - 100ka

(o)

39APLICAClOl\'E$ PRAl~ICAS

~o.&o onil.nte un tletoplnO(l h.aeill el (.)8l. rnlrnlru .,pla. d_e .t .ur Dft...-..t.D d. 40 ..a!a&. Cul ea r...repidea respecto .1 etee que se neoe.l" l')lt,.,. ~uit un tumbo d~ ~ ';!o O y aJ IS la rapidu. mpeoton In'tw",,9 R.. p, R.~td......."'"'''' 01 .It~. 12amUlns ,p,.s: ",p,d~. _pecW ... n.....I29 rml.... /b ...

21. Se remo.u un lanch6n, hacia e1 norte. ft 18mtlllll bCltll_Un lllllDUr tra,w.la cvbir.u deld. el ceeiehacia el Nle .. retAS"de 6 m 16{OJ. Enconltllr la Dl.Agbl"-td )" la diftC'ri6a da- a. ...w . 1 raM)LaD1r.R.. p. Z'I m I~. N IlMO'E

22~ UD bt&reo h. de navflU' desde- un punto A huut un punto e altuado 56 mm... 8CII14',- 2!a miIJ.aal eete de iI, D"pu," de reco....., 120 mnlaa .,. dlrocci6n ~ ~':'''1n' g batJa _ p:Jl ", tl barco ...orienta. Mela C. Enconlnu' la diawnei" entre P y C. )1 el Nmbo que ha di- t.amat pan lJ,ppt a C.nmtp. 214 mm ... S 7640' E

23. Un Alambro LO-nJtU do 78 dm ~b lRrg~ $6 oxtiendo desde el oxlrcmo ltUpora; l'WIIbo. _ "S...., B.

17. Sobre un cuerpo a.lllanuna fue .... d. 76 ~Jhacia ,1 _l. ,. .... f_" as ...Mc':s ~ lO ne..:Eneonll'llt l. rDl1unhud.1.-direec:i6n y "t..,nUd" d.. la torna f'r.Aha1) ~.s kl' :s: 11 O O

PROBLEMAS PROPUESTOS

oriont.&ci6nFi&.(A) Probo 13

N~~NoS..3s!

Soluci6.n. fUpide; roIpecto al ai.r6 .. (260). + ,a). 262 Inph.1M e - 35/250 - 0,1400 Y o - 8', y orienu.l~n - 60" - so - '2'.

APLICAcro:--ss PRACTICAS40

41

ylag 200 - 2,30103,tog 2,6 - 0,39794.

log 2 - O,aol03log 25 = 1,39794

ELLQCARlTMO COMIJNde un oIneropositivo Iporejemplb,log300 _ 2,47712 ylagO,2 a9,30103 - 10) consta de dos partes: UDAIparte t'nlera lIaJoada corocterisffi:o, y unaparte decimal llamada mtuisa,

En los problemas 3 y 1se ver q1.IO la caraoter{stica depende ntcameme de lapOtros -ejemplos se encuentran en los. problemas ~.

Ieg p.Q = 10gP + log Q,10g P'Q'R - log P + log Q + logR, QU1.

n. Ellojaritmo del cociente de dos umClOl!po8itivQ6 es igual a) logaritmo del divi-dendo menDilel logariLmo del divlllOr. M,

Plog 'Q = lag P - log Q.

IlI. El JOglitmo de una Ilotencia de un ndmero poeltivo es lgual 01 logaritmo delnmero multipliC

ENOONTRAR EL LOGARITMODE UN NUMERO POSITIVO DADO:a) Escribose la mantisa de acuerdo a la "",las dadas anli!rionnente.b.) Cuando el nmero dado colJBta de tuatro cifras signi.ficaws o de menos, lase

directamente In mantisa en la tabla.EJEMPLO 1. .&ee0...... ," 32.86.

lA ~UrfahCa _ 1. Para eJJICOntrar la ment .. 1oeal5eelt ~1 n.r:ouo 51667 .n la filaeorrupondient ... 1DJl.me:roJ2a . D lacol11fD.D8enabe d. pur6. Entont4llq3.2.t)6 - 1.61667.E.JEMPLO 2. Encontrar loa 6.26.

lA C8f11Ctt'rlst.ica ea O. Como S..2S It2O. loc:alumua la mantila, 72016. en la filaeo,,_rulift". al nmero526)'." lo. . Oomo la cat1Iete riot~ ea 1. t..y d... cilmo .. la. iuuiud. d. lo. coma d..,imal.b) Cuando la. menUsa dada no aparece en la tabla, se requiere una inlel'llOlacin.

EJEMPLO 6. AntO., 9,$6677 - 10 - 0.36793.MODllu d. '01 36790 - 0,66573 Man'" dada - 0.66577Manti.. d. 10186800 - 0.56536 M.n._ ...".,. hallo.d. - 0.56578

O(vroncra "eb\oll"r - 0,00012 Diffltonei.a - O.()O()().1

La caracterstica del logaritmo comn de UD nmero cualquiera mayor que 1 esWl8 unidad menor que el nmero de cifrq que aparecen a la izqU!rdllde la comadecimal del nmero dedo.

La caract:i!rsticn del logaritmo comn de un mimero positivo cualquiera menorque 1 se obtiene sustrayendo de 9 el nmero de ceros que aparecen inmediatamentea la derecha de la coma decimal del nmero dado) eecribiendo " continuaci6n - 10.M, la eeracteratlca del logaritmo comn de 0,2 ... 9 -lO, de 0,04 es 8 - lO, de O,()()()5es 6 - 10. (Vase, adems, el problema 6.1

Lamantisa del logaritmo comn de un nmero poNti\'o es generalmente un dec-mal no peri6djco. En este libro nos referiremos a tablas de logaritmo; donde aparez

ti) lOS COI 8842.4' - 9,69708 - lOloe COI 88.Z' - e.69720 -10

Dilueocia labular - 30Corrocci6n - O X dlron""t. tabular - 0.4(80) - 12.S. J'fI!Jta la corrfCci6n. pu.. to que .. trata d. un C~DO.

101 _ 64042.4' - 9.69708 - 10.

(Vase adems el problema 14.)

o) 1011.. " 22"$4' - 9.584OS - 10

t) loe tao 72"J.8' - 0.49602

el 1.'''0 ~,8' - 9.58480 - lOlo Mn 22-$4' 9,58406 - 10lo, 0 2286' - 9.88436- 10

Dif .. ooct. labut.r - 0,000110Correcci6n - 0.8 X di(erenoi. tabl,llar - 0.0002".Se aJ\dde lit di(e~rnClI8_puuto qu. l. trata d. un .. no,

log 0 22"84.8' - 9.68406 - 10 + 0.00024 - 9.~4.30 - 10.Aqul el e6mputo _DciO) e. 68406 + 0,8(80) - 6840S + 24 ~88480.

EJEMPLO 7.

EL COLOGARITMO de un nmero poeitiYO N (se expresa co10gN) es el logaritmo de 8U

inverso ~. Ast, oologN- log ~ - log 1- log N - -Jog N.EJEMPLO 6. Color~.366 - 8.41688 - 10.

Ieclcg- 38.888 - lag 38,388 - 1011I - lo, 38.888

10,1 - 10.00000 - 10(-) 1", 38,888 - 1.58417

8.41688 - 10ObMIrv_ que coIoc N puedo ablo.,.n .. l .. reola d. 9 .,.da cifra de lo, N (comtmando por

la i$Q.ierda). ucepto la ltima que H ,..1. d. 10. SI N .. mayor qu.e uno, se MCrib.. eee-tlau3cfcSn - 10. Por ejemplo:o) lo, 3188 - 3.50010; colag 3188 - 6.49990 - lO.b) 10,0.0899 - 8.50097 - 10: colo,O.0399- 1,89908.

(Vanse adems los problemaa 1213.)

LOGARITMOS DE LA.S FUNCIONES TR1GONOMETRCAS. Nos referimos o una tablade ence ()ifras decimales de logaritmos de llU!funciones t.cigonomtricas seno, coseno,tangente y cotangente. para ngulos desde O hasta SOcon intervalos de un minuto.

El procedimiento _para la utilizoci6n de esta tabla es bsicamente el mismo quese uLUiu en la tabla de los funciones trigonomtricas naturales.

(Vase adems. el problema 8.)

EnIO..... ""tilOC 9,5657'1 - 10 - 0.36790 + 0.00003 - 0.36793. 4 X 10Oblrfrv .. que" aqui el e6mputo .. oc".) ee --- - s.a 6 S..

Co......,16n - ~.=(0.00010) - 0.00001136 0.00008 huta t. quinu clinl d""lmal.,43LOGARrrMOS

(Iog P +1.. Q) ,l., R - q, S- 10(: P .._lo, Q - 1""R - lag S.

P'Qa) lag R'S - 10R IP'Q) - lo, (R'SI

2. Elpreor Jot logaritmos do 11\1tUCI,roll'onea.d~du en tlirrnlnol de cada u.na de 1.. lar....(1 a\lmel"'Of!lque..pAtflCe.n en ell...

l. FuellO qu. Po(} - 10"10" _ 10''. entone.. lo, p.Q '=- J' --9 - la, P + 1.. Q.U. P_IO que P Q 10"/101 - 1.OJ' '. .nl""., .. lo. P Q - p-q IocP -I."Q11l. Puesto que P" - (10")" - 1D"", entnnc.. toe P" np ni,,, P.IV. PUt!:5\.o que. ~1' - (10')'''' = 10"", en\nnc:ea 101 ,1' 1pn --lo, P

"

l. DemOl ... r 1.. lOYeI d. loo 1011Mb ....

LimiLada la dl!mOILnt.e16n 101logaritmos eomun.,. le tiene que . P - 10" Y Q - I~; tnLOnceslo, p - p y IOC Q - q.

PROBLEMAS RESUELTOS

Vase adems, el problema 15.)

Corrocoi6n

A = 76022,8'.

d) Si lag e... JI 9,97888 - lO, ."",.,.,.. JI - 1"'.3,,$lo C()O 1"44' ~ 9,978S6 10 01_ ...... 1""",,,,,,, IIII prx.mol

Olferene bt ...buIu 4 d,r"",1lda - 2.2OorrocM1'I6n i (1') - b.-6'. ~ .... te la fnlnYin po.r lnIIlarv el. un CCIiltt19.

A - 1743,5'.) Si lo, LOn JI - 0,2437'2, enloDOd JI - 611'17,0'

lu tan 60"17" - O.24.lS:I el mttlMlr l"#ariLmo tI2 p6:I.i:noOf.NJICi.II ta.bWar - JO. diflrNhCl. - 19.

Correi6n - ~ "'. _ 0.6. Se aarl. IMI'trat.ne de UM ta.:lip:Du. '" 60"17,6',

f) Si loe co' A ~ 9,U640 - lO, En'O.... JI 76'22,b lo. eet 7&"23' _ 9.41629 - 10Ol(oft'~t" \.ubuL.u ..-52; difrcnC:Ul - 11.

lag .. n 64"17' - 0,0&470- 101,. een JI B,OM7\! - lO

l};(trn!DI.!lI 0.00002

EJEMPLO8.(1) Silo, ",n A - 9.66197 -10. enuu".e_ A - ~".bol Si 101COl A 0,l6262. entonca A - 35~c:) Si JDS:een A - 9.95472 -lO, t!nlOIU:. A a.at17.!l'.

IOH nG~17' =9.9f>.11Q- 10log sen MOj8" - 9,~ - 10

OJrt!t(l_ociatAbular - 0,00006

CorreicSn - 0.000021') _! 1') 0.8'0.00006 6

Se ~de l. eorrecc6nporU'Ua~ cLr. un ~ A - 64,.-;,3.

LOGARIT~10S44

(87218 + 12,6)(94802 + 2,5)(64963 + 5,4)(85944 + 4.8)

.) lo,; 2.8667 - 0.87231

/) lag 88.725 - 1,94~

,> 101 0.44836 - 9,64968 - 10h) 10R0.000723158 - 6,85949 - 10

o) lo,; 88,64 - 1.158704

01 loe 288 - 2.4I58a?

e) lag 0.8814 - 9,158816 - 10d) lo,; 0.00826 - 7,91698 - 10

6. Veri6c:&r eadI. uno d. le lOfarilmoa .IJUie:nl-=

a) a864 el 8.148 .) 0,3874 ,) 0,07295 i) 2,3567 4) 0,448866) 288 dI 982600 /l 0,00826 A) 0,000028 JJ 88,726 1) 0,00072356.

Lu ca:raeteJV'k IOn,:a) 3 e) O .) 9 -10 B/8 -10 i) O k) 9 -10o) 2 d)6 f) 7 -10 la) & -10 J 1 1 1) 6 - 10.

5. Detuminar 1. ca.r.ct.erfttic. del JOlaritmo comd.n d.e cada uno d. le. nlnero.l.J1,e.Dte:S:

~ 1vu.~ - i (l., 2 + 101 3 - 3 log 10)- ~ (0,30103 + 0,.7712 - 8,00000)

-~ (7,77815 -10) -1137.'17815 - 40)- 9,.4.54 -10

108 (0.02)' - 3 lo, 2 - o log 10- 0,90309 - 6,00000_ (10.90309 - 10) - 6.00000 - 4,90809 -10

c{) (0,02)' - (2/10')':

loS 0,6 - 101 1 - 108 2 - 0.00000 - 0.80108- (10.00000 - 10) - 0.3010a - 9.~97 - la

el 0,5 - 1/2:

4. Oadoo 10112 - 0.30103 y lo, 3 - 0. 7712, ... ontro, .1 logaritmo do:

al 0,2, 1 0.003. el 0,6, ti) (0.02, .) ~G) 0,2 - 2/10: 1011'0,2 - 1.. 2 - 101 10 - 0,30108 - 1,00000 - -1+ 0,30103.

E.t.a ltimo 011'... 16n l. _ribo 0,30103 -la.b) 0.003 _ 3f10': log 0.003 - 10K3 - 8 lo, 10 - -3 + O,477J..2- 7,47712 -10

,~I 1101 v - los 2 + ii1.. 8 - 0.30103 +~0.477J..2) - 0.46007

3. DadOI los 2 - 0.30103 y "'1 3 - 077J..2. t.ocol1t.rar .1 I",arilmo de,o) 30. 01 200. el 25. dI 120. '1 :1.6. /l ,R, Bl V'2A.o) 30 - 3 X 10: 1",30 - 1", a + loa 10 - 0.47712 + l._ - 1.477l2bl 200 - 2 X lo': loa 200 - lo. 2 + 21", la - 0.301011+2,00000 - 2,30103ol 25 - 10'/2': 1", 25 - 2 1", 10 - 2 los 2 _ 2.00000 - 0.60206 _ 1.39794d) 120 - 2'.3.10: 10,120 - 21 .. 2 +1 .. 3 +1oc10 -0,60206 +0.-17712+1.00000 - 2,07918.) 2.6 - 10/'i': 1.. 2,6 - 1.. lO - 21.. 2 - 1.00000 - 0.60206 - 0.39794

1 Ifl "'"- (2 X S)H: lo. "'" - :1(10' 2 + !oc 3) -"2 (0.77816) - 11,38908

7P. 1bl 101lT- - lo,.;ns - loe Q' - ii loS P - ~ JOIQ

94(l~)'.l lOS {~91' - 10,34 + 21011~ - 3 1.. 49

(942l'~ 1 Ld) 1.. (9.~). ~ - 2101 94.2+ 1i 10,1.06 - 3 J0I9.8 - 1Ot.2,33

4SLOOARTTMOS

log N - i10B0,4&.116Io,OAB476 - 9,68552 - 10

- 2:9,68562 - SOlag N - 9,89417 - 10

N - 0,7865,1

11. N - VO.-48476.

10. N _ 47.76 )(8,843SC67

9. N - 30,234 X 2,0748 X 0,0071756loa 36,23-1 - 1,55912

(+) IOC2,6,.8 - 0,42729(+) loe 0.0071156 - 7.~ -~o

log N - 9,84:!27 - lON - 0,69646

8. VeriBclU'cadA una d. lu clguienLN (auald.au:

al AnIllos 2,56158 - GSoI,40b) Anlllo~ 5,69002 _ 489500

el An\llog 8,81358 - 10 - 0,06510. n.J ptobl.ma 76), 8,7633 X 0,00742.58 0.06510.dI Anllto 1,43654 27,3U '8 X 10116 - 4)

e) AnUlo, 8.69157 - 10 - 0,04911)6 (5 X 10/9 - 6)f) AnllJo,4,1"7069 - 14814 (13 X 10 '2:9 - 4). 0.1 problema 7.1. 124,,56, 14814 .

) AnUlOlll,"135 - 29,G().j (6 X 10 16 - 4). 0.1 problema 7,), ,1676,4 - 29.604.e".Ju.r mediante 100,aritm-., cad. u.n.a efew uprtllionee ti,uftntes:

~ (9,91745 - 10) - i(19,87745 - 20) - 9,9lI872 - la11) 1011~ - 2 101 0.9464

7. Vorifica1' cad. uno de 1011logaritmo. .iguientft!o) loe (0,07324 X 0,0006235> - IOC0,07324 + loe O,()()C)@35

- 8,86475 -10 + e,'I94SC - 10 - 15,66959 - 20 - 5,66959 - 10b) lo, (8,7633 X 0,0074288) - 10H8,7633 + lo~ 0,0074288

- 0,84266 + 7,87092 - 10 = 8,81368 - 10e) log3-1,72/5,384 - loe 34,72 -Io( 5,384

- l,S.058 - 0.13111-- 0..80947d) lo( 7218/0,0235 - los 7218 - lo, 0,0235

- 3,668~2 - 8,37107 - 10 - 13,86842 - 10 - 8,37107 - 10 _ 5,48735.) loS (3-1,56)' - 3 ln~ 24,68 ~ 3(1,39023) - 4,17099f) 108(O,4893)' - 4 log 0,4883 - 419,88968 - 10) - 38,75632 - 40 - 8,75632 - 10

,) lo, ~ - ~ log 876,4 - i12,9t270} - 1.47135h) 108 ~ - A lor 66,75 - i(1,82445) - 0,00815

12,61663 - 12,61603 - 1.0)

1047,75 - 1,67897(+) 10,8,643 - 0,93666

12,61668 - 10(-1 1016467 3,81070

loeN - 8,8().193 - 10N 0,063816

LOGARITMOS46

47

Al lo, COIA - 9.31142 - 10. 0.10"" .. A _ 18"26.4'

'DtoneM A _ 7~1 #.) lag tan A - 0,372.

fI lag COI A - 9.65216 - 10. mlooo .. A _ 69"6.6'

.) lo RD A - 9.80172 - 10. tolOno .. A - 3918."

e) 101 tan A - 9.87160 - 10. 0010_ A - 36"88.7'

b) loe _ A - 9.93602 - 10. 001000. A _ 30"20.6'

(I~ Xl' _0,6')

(.! Xl' - O...)7~8Xl_0.7')28

(;5 X l' -0.3')

(..!. X 1'=0;4')16

(EXl' - 0.4 ')iI3(:0 Xl'~O.l'):x r- -0,6')

15. Ver.ifioar e.do uno d. Jo. lo,ar1t.mo iuentu:

a) Jo, ae.n A - 8,90020 - 10. e.nloncu A - 6287,6'

139762 + 0.3 X 89)(6966\ - 0.8 X 29)

(71U1\8+ 0,4 X 29)(98685 - 0,6 X 261

(04786 + 0.1 X 7)(96229 - 0.7 X 5)(44685 + 0.6 X 40)(70002 - 0,3 X 66)

a) 101!.. n 1428.S - 9,39777 - 10

b) log e.. 6644,8' - 0.69638 - 10el log t.n aI0264' - 9.78630 -10d) 108'cot 4654.8' - 9.98620 - 10.1 loi .. n 6229.\' - 9.9,1787 - 1.011 log."" 28"33.7' - 9.98220 - I~R) log tln 7020.6' - 0.44709h) log 001 U017.S - 0.69982

14. V~riflca.reede uno do 101 l",,,ritmo. .iguontea~

101 0,002877 - 7,45894 -10colo 0,002871 - 2,54106

~ 8.394 - 9.07603 - 101

(+) '2 001018394 - 9,53802 - 101

(+) 30010,0.002877 - 0.8-1702

loa N - 12.25948 - 102.26848

N - 181,33

1018.39410174.72 - 1.87344

la. N - 1017 72 + ~ coJog 8,394 + ~ colog 0.00287113. 74.72 _ N..,IIf.m JO.0028'l7

(Iog 5467 =3,81070)

10,47.76 - 1.87897(+) lo, 8.543 - 0.93666

(+ 1 001015467 - 6.18930 -lO

101!N - 8,80493 -10N - 0,063816

12. R...,lvar.1 prabl.mo 10mtdlan,. el UIO d. cnlogarllm_ N - 47.75 X 8,543 X 54167

LOGARITMOS

A - 46"26.3'A - 66'18,2'A - 81-10,4"A _ 8448.7'A a9~o.eA .. 4218.8'JI 1~16.7A 62'28.3'

i) I"11Nn A - 9,86000 -10.j) 'lllI.oo A 9.76529 -10.A) 1"IIlan A 9._ - 10.1) lo, COI A - ~,67140 - 10,M) loaMn JI - 9,80513 - 10.n) 10, ... A - 9.SQl.!n - lO,o) lo, lao A - 0.06&10.p) loS co, A - 9.71700 - lO,

i1 lo, IOn 72"15.4' 9,97&0-1- 10J) 1... eoo 20" 9.2' - 9,9726; - 10.ll lo lan 8447.1' - 1.()396;1) loa 86,761 .1

A _ 1110.0'A - 72$ 3.0'A _ 33-a9.0-lA _ 5()

log -6) - 2.5

6. Se lant.11 UM granad" cun una velocIdad iniaial de 3046,8 m/~. y con un iqolo de IR1evacl6ndi 32-4 ,.f;.Encon'Lru tu velocid.dd lntclAl. y.lcal y hori.on1..t

1..0 diolanola b_.da .. d. 48.822 pi...

1.. , - 4,36633(- )Io,.. n A - 9.86218 -10

10r e - 4,68416e - 48.522

e _ o/ .. n A

5. Dado una ,1tu,.. de 23.2~$pie. .1 piloto de un aeroplano obRrv. l. ttR de un- ae.ropuato be';' Uta IinsuJod. deplftl6n d. 28'45,2'. Qut dis ..... I. hay ... 're ~I .eropl.no y la lu.?

Enl. ti,ura adJunta. A .. la pooic6nd. lahu, 8 .. l. poolei6n del pUo'o, y e - "8 .. ladiolanda "'*" - le - ..He + o)

B

loa 2,90029(+)I.... n A - 9,83160-10

1.. .. 2.73!!09Cl - 539.62.

los b - 2,78613(-)los' 2,90029lose .. A - 9,86584 -10

A ,. 4~"'6.4'B _.4'.- ....6'

a-clonACOI! A - ble

3. RMOIver y

9. Pom caleular l. altura de un riKo il\ACCt'eibJe CS. ft'-de.ienninan dOllJ)vntoe A y D, ea un lil'tt'tno Uaoo. di-rec:tam

Ahora bIenCOI' _ 17'32.3'. LECB _ LOeS - L.DCII - 6S..8. L.EIIB - LOAe - 00" -LOCA ~ 0449.8'.y LClJF OBD - "osc _ 190 - LODS) - ,00" - .tDCBI = ()CB - 4JDB - IB'32,6'.

es IOn LEOS CF .. 0.L.EC'B CD_CD, oo. ECS... n LEAS 80nE1I8 .." "CBP- .. o JMS IAln"CSf'

EBEntonca AS - -_.::;~-:-..oaAB

AS -E8 IOn HASES CS oon EeS.C8 - el' IOn LCSFel' CD ... (,DF.

En.t trinlulo ~Io .~EB,En el ,nA.",to eeet.qu)oCE8.E t tri4n,u1orectngulo CFB.Be et tnAn,u1o _!nguto eDF.

Ootd. e Wc:o.e el' ""..".Ddicolar BD y doodo S ,rI... la "".-pendicular SE la ptOIongocl6nd. CII. 1'\'016_ AS """la ......ntnlT la p~n d. OC eno.

10. Sobre un. eolio. ee. eJe.".. una t.o:n"e AB. Eo UD ,.,.,.no llano que 1M! erlW::de al pie de" cnllna.te aitandOll punlOl. e '1 D. en un m!smo plano "tonal COn AB. Ladf1.a.DCia enlre e y D ~ de 200.00 m.LGe ' ..... 1Do d..... voei6. del pie '1 d.l nlremo ""riar d. AB. modJct.. deod. e ...n. _t;yo",.n".U10.2' y 314.8'. mimtru '1"" _id.. _. D IOn 12"67.6' y 17"32,3'. Enccmuar l. alt .... d.la lO......

(Joa 0 1616.6' - 9,42076 - ID)

log 152,75 - 2.18398(+) log.... 29~5.8- 9.68915-lO(+) log~n4432.4'. 0,8.597-10(+) .010&,WlI616.6' - 0.6'1925

loeS - 2._C8 - 18S.77 m

.. n 15'16.6'

AD .. o LBAC ..,o aDe.... LOSE

E.I_ eB _BD sen LBDC _ DE .. n LBDe _.. n OBE

DE - 110..,. aAC.eB SD Mn /loe.so - DE' ... OSE.

En el Lriinulo tJ>gulo AED,t;. el lrihculo ~lo BCD.E 11"" ...... 0 roebl...... o BED.

101"''' 64'.9.8' - 9.95867 - JO)(101 .... 13"32,5' - 9.36960 - lO)

Jo, 200,00 - 2.30103(+) 1"' .... 17'32.3' - 9.4'1906-10(+) 1",eee 6'64.6' - 9.0~-10(+) .oIoc.." 64"49,8' - 0.04338(+l coloc 100 13":12.5' - 0,63060

los AB - 1.46661AB - 29.283 al

RESOLUClON LOGARITbUCA DE TRlANCl1LOS REC'tANGULOS52

24. DOfIpuntoe. A y D. e.tA:n ,ltuad05 en una ~ta hotizontAl que pNA por .1 pje_d~ una torre CS. dec.a' m.M" que A 1Mel'l!CUeDlnh:ae:ia un lado d. l. tone, y 8 hacia cllado OpUet.iO. 1... dia1.aMi. entreA y D H d. 535.4 m" y el inMuto de eleve.c.i6n del eX"tremQ.uperio .. B~modido dNN'feA. et 1~"'6' y.medido doedo D, 01 L828'. Consid6.l'aIo la porpendh,uJar trazad. dude: D 11Ie.TKta (lue po.. por Ay 8. Sea E el pi. d. di.ha p23. O.do un. c,.unIeroncu. d. 338,48 cm d. ,..dl., CJllcuI.r 01 ladD y el r o) del OC.6,ODO 8D .en LBDCCS

19. S. va COnltn.U:r una c:a.JTttra nocla,.ra unir laa ciu.d.dS A y B. Si B es" allu,da a 138.16 kmal este 'Y 266.18km .1nene d.A, encontnlr l. longitud de Ja_ carretera y &uontlntAci6ncon ~lO.. l. ciudad A. R

54

FORMULA GENERAL DE REOUCCION. Toda funciDdonde O es un ngulo cualquiera, es num~rir:01'TWlUa) la misma funcin do O8 n es par,b) la correspondiente coCuncin de 8 si ,. es impar.En cada caso, el signo algebraico es el igual al ....cuadrante al que. pertenece n 90J: e cuando t s _

La verificacin de estea Crmul'sse e.ncu_

Las demostraciones de estas relaciones se encuenlDJll

&en(1SO'-cos{l8O' ~tan(l80' ~cot(180 -r-see(l80' +csc(18O' +

sen(90 + O) coa 005(90 + O)- -_.tan(90 + e) -co~{90'-_(900 -r-csc(90 ...

80n(90 - e) - cos 8cos(90 - O) - sen 8tan(90" - a) - C08 6col(90' - 8) s tan 6_(90" - O) - CIICOeso (90 - O) - see O

sen{lSO - e) - sen OCOS(lSO - e) - -COOt etan(lSO - 8) - - tan8col(l8O - O) - - col Osec(l80 - a) - -1!eC Oese(l80 -8) a ese O

FORMULA DE REDUCClONES. Sen O un ngulo cualquiera; ClllOocea.

Ejemplos. sen{-SO") - -senSOo, cos(-SOO) - cosJO".

Las demostraciones de estas relaciones se encuentren en ti

FUNCIONES DE UN ANGULO NEGATIVO. Sea ~ un ngulo c.-.Eljempl06. sen 400 - sen 40 ... 360', - sen 40

C09 850' - C061l3O+ 2360') - 008130tan (-1000) - 1an\80' - 3 . 6(0) 3 tan 80'

cot( -O) = -COI'aec( -8) = _ ese(-O) = -esel

sen(-O) - -I!eIlOcos( - O) - C08 Otan( -O) - - tan O

ANGULOS COI:'INALES. Sea o un ngulo a .'111'-11; ._-.,sell(a + n 360) - sen U ClO( + ,,360., - cot tcostO+ 11. 360) - C09 6 -= + n 360, -..:tan(e + ,.360) - tan. cae + n 360', - CK

donde n es cualquier nmero entero pomjvo. negalh'o o cero,

Reducciones a funciones de ngulos agudos positivos

CAPITULO 8

ss

Excoplo en 1011eUCMen q" '_ul;\a fund" JIOIIIlf d..onida. la! -r:elac;qn.esftntent'\l'H".o" vt(Udutamb&ncuando' " un "nlulo do UD cu&dta.,u: Joque v4M!da\.riJioa~jifle tieneen cuanta que -Oy 00, -90' Y 270', - teo' y 1Jl(),-270' 7 90" 100 cur_ .....

Por e'"jemplo, M.u( _011') - JOn O - O ca -&eh 0', flIIbl{ _9011.) _ ~en.2.o;Oo::l_ -4. - -un90,1!0I(-1800) - COIlar y cot(-270' - cot 90' - O - -cot.'270~,_

tanl -11 C*:l -t' ---!:!.. - .!_ - - .!..__ -Clllc:')'. -y .Y11 _ ~ - _! _ -tan e~,x r

-(-e) - _!:!.z.1 -t)!. - ce'r".- -r.cot\ -t)- -MIl'..n(-t - .....!.. --- - ! = -('O"-y :!'"--",y. -y- -- --r. r

En ID 6.uru, y -t ..Ufl' (I.()Jocadoeen p:ickSn normal)' &oanumhie:a:ment. ~l"'_ Loe:pu.nw.PI", y) y p'"" Y.) .Un altwul .. en 1...... pecv .. 1aiI... ~ d& tal _""'" cue OP = OP E~cad. u.u. de-lu Gluru 10lldOf t.MnguJoe ecuacongruentes, con loque'1 r; :x,-- % .>', - -y. Ent.ona..

P(x, y)

y

r.

AYyyy1. Ded".I, 1.. (6,mul p~l. l (\]nol.... d. 1-&) en ~rmln",,!le Iaa ru,.cl.,_

p~.JI)y

3. DedU

...

S7

8. Oeduci< la (6rmula i.DO"" do reduccl6n.Al estlmln#r lu rnnuJu dedue:ld". en la. ptobl~mQ.li1-7. ,I!' obterv(t que 1.C6ttnula "n.nl de re-

duccidn el vAUdape,.. 101onlerot ti 1.2,3. Se c:oncfuy ntcuu:s-qu.e la r6'anula es vflida pllr'O cual1luerentero" porque 11 o GO-O el colinat con tltAUDnde: la. 'ngulflft 'f 900.... lW;$. 27cr>lo

cct(21O' + e) - -talI e_mO'+.) = _.ClC-c2'T09 + 6) -!leC: lo

70 DedUciT lu l6nnuw para 1.. tunc.lolllll de. (270' + el C'!Jl &hmi:oo. de lu.. fnncic",W'S de LPu .. re que 270'+ - ISO + (110' .. 'l.

10.(270+ 'l -..n (180" + (90 + ')( - - ... 190 + ,) _ -cao'_(270' +') - COI (160+ (90' + ')1 - -_(90''.l _ .... Ita.(270+ .l tan (180" + 190 + ')] - "nlOOo jo tI - -COI'

coH27O' - t) - .... tRC(270-1' - -CE _(270' -'1 - -lOe ..

6. Dadu.l. 1.. r6""ul .. "aro 1.. (unel.... do 1270'- .) 00 16rmln.. d. 1... (UlJC!Io_ de ..

Puetl0 que 2:70- - - 180. + t9O - 1),..., 270' -') - Hn (ISO' + IKl' - ')1 - - 1110"-.) - - .... t."1270' -.) - COI tl80 + (90' - ')1 - - '90' -') - -R.'... (270"-.) - ""(160' + (90' -')1- ...,1110'-t) - co

5. Oeduclr 1.. (cSrmuJ.. pAra la runclonOtl do (180 + O) ton tl'11'linQI. de tu (unc:iOnM:de ..l'uuto que ISO' + G - 90' + \110"+ el,

",n(lSO'' O) -IOn (90' + (90' + O)) - .. ,.OO' + e) = -oon IoOlI1SO' + O) - ... (90' + (90' + e)}- -_!90"+') - -_8. Ole.

.... Deduoir IIl1 f6rtnula. pArA l runc1ufl1" de (1800 - O) t!.D t6no(no. de lu fun'clolles d. O

.:Puc.to que 180 - fl - 90 + (000 - O), (t80 -1) -IOn (90' + (90' - el) - .01(90' - e) = """G... (ISO' - O) - COI (90' + (90' - O _ - .. n{90 - al _ -COI a. etc.

HD(90' + e) - y, _! - COI o col\9O" + ') - ~ -~ - -\.a.n er, r y, %ca.(OO' + e) ~ - _Z - -lIIn 1) _190' + el __ !!. .r ---C*:tr, r r, :11""{90' + el ~ r - -c:ot.11 "",,(90 + el _!!. ~ -secl

_-'" JI y, "

En 1.. n.u ....., )' w+ ... ",o coJoc:adoa en J)CJ8ieinnorm.1. J...oe puntOll P(x, y) y P,lx.. y,).Un aluadOl. en 101,..pecCYOIlllldae tinoJ. de taJ mAne,. Q.ueOP - OPto En cad. una d. lASfiRU"'"101 dO!S trlnguJoa ~n eon,rutot ... c:on lo que r. _ T, x, _ -y,. y, ~ %. EutoDCel.

PI,.,y)

P,(.... y,)y

+-y

.1. J- +REDUCCIONes A .'UNCIONES DE ANGULOS AGUDOS POSITIVOS

o "'n( -290!) - tan -290" + 860") - tan 70'ft

o COI(-OSOO)1) ",n( - 290>

o .Mn(-1(00) - -..en 100. -ten(.2 90 - 80) - -.leO SO-n ( 100') - .. o( -100' + a600} - ... 260' - .. n(2 90+ 80') ~ -sen 80'., --680" - COI -8' 90+.0") - _ 40

- CGe( -790 - 600, - 81050_(-680 + 2.380) - ... 40'Utn(-4 90 + 70") - ta.70tan -3 90 - 20) ...Col 20

,) .. n 070 - Mn{8 90 - 60) - -Mn 60- _D(7 . 90 + 40) _ -008 ~O

O .e.a 670 --N1I(310- + aoo-) - _n3tO - wn{4 . 90 - SOO)- -"O SO11)cot 930 - COt(10 goc + SOO)- cot aoo

- 00(11 80 - 60') - ten 60o eot 930 - cot(210 + 2 . 3&00) - COl.210 _ cot(2 . 90e + 30) cot SOI! _ 866 - ese (10 ' 900 - 35) - .., ;1&0

- _(9 . so-+66) _..., 66 ... 866 - cscU4G' + 2 . 380') - """ 145' - eee(2 90' - 3~") _..., 35J) an. -1(00) - ten! -2 . 90" ... 80) - -Hn 80

- Na( -~. 900 - lOO)- -_10

.) tAo 166" - ,.. (2' 90 - 15') - -ton 15- lan(1' 90 + 16) - -cot 7So

f) _ 260 _(2900 + 70' -_700- Me(3' ~ - ~ .. -0IC-20

6) ten 32~ - tan(4 90 - 36) - -tan 36- ""'(3 90' + 6a) - -00\ 66

el _ 2000 -..,(2. 90 +~') - -teO 20"... n(3 90" - 70') - __ 700

-.l0, 8qm!ur como Cunc:loDHd. un 'o.uJo _poIIitivo, en dOl (onnu dilerenta cada UJ2a de 1M tivie.Dtes-./ r__

Va' .. nlSO' e) 10.200' .) lan:l66 /,,) _8700 il_866 t) _(-680")..... SU

,o. TJUGONOM(_T814

H. Si JI ,-r.B .+ a - 1SO;e"ton_,u) .ca+ C) =...n(laq - ;4,.) - ... nA,h) ..,t(B + el ~ seniflSOO - A) - n(9O:- tA} - .... fA:

'15~Dam!8tnr'que ilen Oy taotG Ue~ el inismo ,&lino..~, , .,-'_ ~ ,,(,

al'S~6~.I!.~,\u.01' - ~ lf!O. Si" ,. P'!.~'(H>c)y~,.I.Ol'Okp,or",l,.."pIQ~ "to~.,.~ (2m.: ~~') -'bn(m J.~?) - !. S!;~""lurM~~ eiI 'tU,," '" Impar Pl>que enl.dceJI-f' D'1fl1.1ljde!"di.

b)' Su~rip.".CUQ;'=i." 'cltiido .1c!";~l perl;' ee e .1ou*d~to"l o Al eu:e.tlt:fluteU~-"l\,iN.positiYl). mianL'taI que:;'.pertt!.nfKI~.l cQl.C1nmto1 o.tcua.drant.>llI y tnu,H, AApos[.a." SI"" ~ impar .0 Il~.vton""" 01 o....d.. n\! lp' 0 ..1 n Ou,l'Iui~r (U1I.I~n~.~ -MO' y.i~wtIa la -mbfIl1. funoi6n d. -\~,a,9."+ liM~.i,O'en(.-3S0o) - .i!n'80~ -,J,n, ... (~330~ - .I 80 - ,lir/2. tan ( -3(10) - .t"n aQ' .,'S13,

12. -Bnc:-ont.ftlre.n 1& w..~~.'d~fu:nC.o.nQs.lla,tu.ra:l,~.:10$vn1Qre&eO~JX)ndianf6 8;,,) ~n'125~4' ~~",,(~3050 10020! - -'-o,llIase) 't ..nr2oQ~,28!""' ~,(l~j +;20"23:') ~ tan.2jl'll3' = 0137~qel), .o~2!i!l~'- c.t(18\ + 7()'44'J' - cot 7044' = ,O;~49.o) ee...a~1I1Q'= .Ot(300~ -4~!42/) - ..,46'>42' - O.6l!ii$FI n lUl2.1- n(380- lS"81,) ~ - .. ",18'S'~ -0,8L1.2,

1.3. sr tan ~,Ii'- 0, 9ncon~:,

24. DemOltr-.r que c:ua.ndo & es UD 4nulo del le.u:ndo CUAdrante. tal que Lan e - -2/3, ento.ncesal a(90 - tI - coo(16O- el _ _ ~. h) IInl90' + e)+ _1180' + .) _ 2 + V'rn

,oal2700 + tI + 00,(380' - e) VT! Nn (270' - e) - COI(-tI 2 - VT!

28. E""""tt&r U>doo1.. IllruJot, O ~ < 360', taloo q,*a) .. a t - ..!'I/2, h) ... a - -1, el .. o a - -0,6160, d) e... - 0,8125, e) IOn' - -1,6301Rtrp. o) 46",186" el 218'10',821'50' .) l.23"10', 303'10'

h) ISOO d) 59'10'. 300"60'

22. Eneon""T In 1.. tablu opropiac!u loo .01_ ele:a) a 15513' - 0.4192 f) JOBoeo 129 8' - 9~S6 - lOhl ... 104":18' - -0.2628 g) log .en 110'82,7' _ 9~97lj6 -lOe) lan306"24' --1.4071 h) 101J nI82'36,O' -9.47689-10d) sen 11418' - O,9U4 i) 10,Mn 13880,5' - 9.82119-10el COI 108'51' - -0,9738 j) loS"'" 174"22,7' - 8,99104 - 10

21. Encontrar lOJvaloree naotoJi del seno, del cOIen,o y de la llln8,nto de:o) 150', hl 226', el 800'. d) -120'. .) _210. f) _816.RMp. al 1/2, -,/f/2, -I/V'! d) -V'!/2, -1/2, V'!

h) - ../'II2, -../'Frz. 1 .) 1/2, - -./'!2, -1/,:re) - 0/'612, 112, -v'lf n ~/2, ../'I12. 1

/) 110.8100..) ... 46$'1) ese 825

,) ...,,(-200')h) _(-760')1) tone -1386'),) _20' 6eee 70*Al _4G" 6 _GO'1) ..... 55" 6 oot 36"J) eet 70 6 ta.o...) -_36' 6 - ... 6'1) _75 6 ... 16"

a) .. o 145' d) ~ot165'b) ... 216' .) 826'e) tila 0' f) lOO'Rap. a) .. nU 6_55"

6) -_ 86' 6 -teO6$'el w> 110* 6 oot lO"el) -COL W 6 -tan 86-e) .ec 9S 6 c:.c 55f) -elO 10* 6 -Me60'

20. ~ como IUnolonet ele UD"'ruJo .. udo poeifiv e,

PROBLEMAS PROPUESTOS

EntQnceafe. oo,460. &10,... y _ 00, 30041, 640" r..a 001... 10_ buocal.. tOn: 86. 160', S24; 60, saoo.

1'- .EJaccmU'aJ' tOdOl loe valol"Q potitivOl d. t.menores que 360, t.aln que- len' - 0.6428.Lo. '-aul0l x.itiVOl'meno,," que 860 tal. que Nn' .. 0.6428 .on 6 - .0 y - 180 - -40. -

l.ro. Aborw. bIen, al. t... al. incluir todOll101 valore. meno,.. q\ia seo, comprende toct .. loe valora~ qua" aso - 1...0, Por tanto. IOn valoree d to. dOl lula. e.ncoCIJ'SdOly tocloIi loa eo-t5.a.alM con .nOl que NIlD au vez. meno .... qua 14.(00; _to lit

11.. 40, "OO, 760, 11.20; 140, 500, 860, 1~ Yto --10, 100, 190, 280; 86, 126, 216. 305,

19. E.ocootrv todoa tOl 'Valoree poaitlvOI d. t menoTM que 880 tal" que: ten 2&- COIt.Pu"", qu. -t.-....(90 - l') - ....26.2. - 90' -t .450-t 810-tt. l1'1O-tt, ..

E'nUmctaf. - 90, 450-, 810, 1170,... y - sr. ISO, 824. 468, .Pues", que t. - ..a (90+ t~)- ..o U. 2. - 90' + ti. 450" +t., 810'++.....

17. E............... 0

61

Los segmentos de recta MP, OM, AQ, etc., son segmentos dirigid08 Ullee que lamagnitu,d de cada funcidn vienl! dada por la longitud del segmento respectivo, y elsigno de la funcicSncorreeponde al sentido indicado. Los segmentos dlrigld08 OQ y ORBe consideran po6itiV08cuando est.n determlnados sobre el lado final del ngulo, ynegativos cuando eetn detenninados eobre la prolougaci6n, en sentido contrario, dellado .final.

sen 6 - MP/OP - MPcoe 6 - OM/OP - OMtan 6 - MP/OM - AQ/OA ~ AQ

En cada una de las figuras, los tringulos rectngulos OMP, OAQ y OBR sonsemejanta y, en co_uencia,

cot 6 - OM/MP - BR/OB - BRaec 6 - OP/OM - OQ/OA - OQC8C 6 =OP/MP - OR/OB - OR.

Q

yB

yQ

y

REPRESENTACIONES LINIDALES DE LAS FUNOIONES TRIGONOMETRICAS.Sea 6 un ngulo cualquiera dado, en poeicicSnnormal. (En las figuraa que aparecen aoontinuacin 80 muestra 6 en cada uno de loa cuadrantes.) Descrfbue una circunferen-cia con centro en al vrtice O, y cuyo radio 8C tome como unidad. Esta circunferenciaoorta aliado inicial OX de 8 en A, el semi-eje poaitivo de las Yen B, y el lado finalde 6 en P. TrCESe MP perpendicular a OX trcense tambin las tangentes a lacircunferencia en A y B. Las tangentes trazadas cortan el lado final de 6 (o &U pro-longaci6n en sentido conLrario a partir de O) en los puntos Q y R respectivamente.

Variaciones y grficas de las funciones trigonomtricas

CAPITULO 9

",' I.~_Sn% I y e08 % _JI - tan x 'Y .. cot% y --1100% Y-CIC%O O 1,00 O .- 1,00 ...~/6 0,50 0,87 0,58 1,73 1.16 2,00%/4 0,71 0,71 ~L,OO 1,00 1_.41 .1,4z/3 0.87 0.5,0 1.'73 0,68 2,00 .1,6.,/2 1.00 O .:1:" O 11:", 1,00

2%/3 0,87 -0,50 -1J73 -0..8 -2.90 1,16'3%/4 qm -0,71 -l,Oq -1.00 -1,41 1,416.. 6 0150 -0,87 -0;58 -1,73 -j.15 2,00s O -~,OO O :I:~ -1.00 :1:00

,/,,/6 -0;50 -,0.87 o,M 1,73' -1,15. -2,00h4 -0,11 -0.7.1 1,00 1,00 -1.41 -1,41.'/a -0,87 -q,50 1,73 0,68 -2.00 -1,153../2 -1.00 '0 :1> .. O fe -1,.005../a -O,lI7 0.50 -1,73 -0,5S' 2,00 -1,151,*/4 -0,71 0,71 -1.00 -1,00 l,4l -I.nU,,/6 -0,50 0,87 -0,6~ -1,78 i.is -2,00h O 1,00 :1:- ,1,00 ..,;

GRAFICAS DE ~S FUNCIONES TRlGONOMETRICAS. En la siguiente tabla lsvalores del ngulo eX estn eJq)resados en radianes.

O

euandoOeeeee desde O' haata 90 90G bubl 180. lSO' haata 270 27:0' b.. \4 380'

sen 1) I.C. dwl~ Ohaal.3 1 D. Ci""e 1 haat.R O D.'eod. Ohaata e-L V.dosel.. -1 haatt.

COI D D. dosel .1. h.... O D. d.sde Obas" -1 C. d de -1basla'O O. dead. O"""IA 1

C. desde Oinde- C. desde gnuuI.. C. d.ad. OndeB C. dosele.ll'"",d ...an 6 nidame.nle vaJorca nogattvqs rudamente vaIQTOSnttgat.1Y08hastaO h.. tn

(Obaila +..) (-~ bumO) (Ohuta +..) . (- .. basta O)D. desde mnde!! D. de.sd.Oina.H D. desde gra.nde8 D. d.. d.Onde

cot. El vlllor:ea Pottitiv06 nlda,mente -v..lor~ ~ilivos Ilidamentebasta O basta O

I,

IV!,~~--~--~--~_x-e -10 -cl 2..\ i\

I

I

y

y __cols

y - He',r

y

y - tft.Q %

y

y

FUNCION~ PERIODICAS.'I'o.da :ranein do unn llru'llIh19x, [

COMPOSICIONES DE SINUSOIDES. Mediante la combinaci6n de dos o ms ainlOOidease pueden obtener (armas ms complicadu de movimientos ondulAtor08. El .iuienteejemplo ilwotra el mtodo de sumar lea correspondientes ordenadas.

EJEMPLO. Construir la grflca de y - sen x + 3 sen 2%. Vase la fiura (a).Primero Be construyen en 106 mism06 ejee lea grficas de y, - sen % y Y. - 3 sen 2%.Entonces, dado un valor % - OA" la correspondiente ordenada de A ,B do

y - aen x + 3 sen 2x es la sumo a'gebraica de las ordenadas A,S, de y, - sen % yA.C, de Y. - 3 sen 2%. Tambin, A,B - A.B. + A,c" A,B - A.B. + A,C.. etc.

(o)

LA CL'RVA GENERAL DEL SENO. La amplitud (mxima ordenada) y el ])erlodo (Ionsitudde onda) de y - sen % son, respectivamenle, 1 y 2". Dado un valor de x, el valor dey - a sen x, a> 0, es a veces el valor de y _ aen x, A.6!, lAamplitud de y - a aen % esa, y el periodo es 2". Puesto que, cuando 11%_ 2", x - 2,,/b, laamplitud de y - sen 6%,b > 0, es 1 y el perodo es 2:/11.

La amplitud de la curva general del seno (sinusoide) de la ecuaciny - a sen b%, a > 0, b > 0,

es a, y el periodo es 'b::jb. Aal, la amplitud de la grfica y - 3 sen 2% es 3, y el perlodo 1)1) 2,,/2 - :. La Agora (a) muestra, sobre los mismos ejes las grAcas do y - BCn %yy-3son2x.

VAIllACIOXES y ORAFICAS DE I.AS FUNCIONES 'rRIOONOMETRICAS

y

Y-2coi.r

)1 - on ~

yy

O~ ... bo poole16nde 1... boc:lau.ti) y - 2 COI. tlen. e.mpUtud - 2 y porlodo - ~e,t) Y' - 3 .,. % f2 ti.n. amplitud - 3 Y p.rlodo .

En cada CAlO .. utOI. la mlma eut:Ya Y. d.l!lpuft ... eotoc: l Ije d.. tu_ y. 1 l' eKOl'r. en loa .,;e.tu unidad .. quIaatiafAcol1l.... qulllt .. .,.... amplitud y d.l periodo exIJid.. po'< ud. una d. tu CWVQ.o) y - " ~ x ~:oe ampllud 4 Y perlado - 2x.6) )' - 3% tlon' amplitud - 1 Y periodo - 2'0/3.e) y ;;-13 1/2:r {Jon. ampUuf - 3y piDOiIo - 20/1/2 4e,

'1 )' - 3coot< - B IInti-x +t.)el y - 3 111: .VARIACIONES Y GRAFICAS DE !.AS FUNCIONBS '!'R1GONOMETRICAS

f) y 2 ocn S. + 3 eoo 2Je) y - 000 X + eeo 2.

COftlt.nrla ,",6oa correopondlentoa """ lonitud d. oada d. ud.una d. "'" .igU@ot .. eurv... :o) y - _ ;t -t- 2 .... ;t el) y - Nn 2J +....Ss6) y - as. +_ 2J .l y -oon 3% -coa 2z

3. OtUnear la pOca correspondiente a una lOnallud de Qnd. de cad. una de tu .u,WtDl8 c:urvu:

a) JI - 8 aen %. 6) JI - sen b, e) ~ - 4 .n x/2, d) JI - 4 ctOl x, e) JI .. 1 CUIJ x/S .

PROBLEMAS PROPUESTOS

(d)(el

--~o-+~~~~~~-----x-1-2-3

--~-fT----i~--~-7.~-----xy - lon.2.r

(y. 3...,2z + tecas.

3 y .. a san 2.r:2

y .. "D~- coa3.xy - coa3x

yy

.. NnX-1-1

Iry--2z+ ....SSy -'Cln2~

r-,. ." '~7Y- COI;3r ~~~~~~~~~----X

y - Mnx + 1:"011