Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las TunasUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas

TRIGONOMETRÍA

Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez;Salvador Ochoa Rodríguez

PÁGINA LEGAL

374.852-Riq-P

Riquenes Rodríguez, Milagros

Trigonometría en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- LaHabana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-959-16-1958-7 . -- 77 pág.

1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.

2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto

ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, (torri@reduniv.edu.cu)Depósito Legal: 9789591619587

Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador OchoaRodríguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012

La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas.

Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cubae-mail: torri@reduniv.edu.cu En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos

TABLA DE CONTENIDO

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones linealesEcuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadráticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadráticas

2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.Método de adición algebraica.Método de Sustitución.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales

3. Trigonometría (este capítulo).Ángulos y medición de ángulosFórmulas de reducciónFunción PeriódicaGráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades∈ ∈Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonométricasDemostración de identidades trigonométricasEcuaciones trigonométricasEjercicios

PRÓLOGO DE LOS AUTORES

El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos:

• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales.

• Sistema de ecuaciones lineales y

• Trigonometría (este capítulo).El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.

Los autores, junio 2012

3. TrigonometríaMilagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y

Salvador Ochoa Rodríguez

Trigonometría

3

Ángulos y medición de ángulos. Un ángulo orientado es un par ordenado )(h, k de rayos

kh y de origen común. En lo sucesivo supondremos que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo, que es el sentido contrario a las manecillas del reloj (Fig. 1)

BOA)h,k(AOB)k,h(

∠→∠→

0 → Vértice del ángulo Medidas de ángulos. Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado, estas medidas pertenecen a los sistemas circular y sexagesimal de medidas de ángulos respectivamente. Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma:

ººarcº180

α→α→π

↔ º180º

ºarc π=

αα ;

π=

αα o180

arcº ó

º180ººarc α

=πα , donde arc °α es la

medida en radianes del ángulo α y °α la medida en grados del ángulo α . Ejemplos a) Convertir 30º en radianes.

b) Convertir 4

3π en grados.

Solución:

a) 6180

30

30

180 πππ==→

→

→o

o

o

o .xx

b) ( ) oo

oo

1354

3 18043180

43

180===→

→

→

π

π

ππ .

xx

En conclusión, para convertir del sistema sexagesimal al circular y viceversa se utiliza

la relación

α→α→π

ººarcº180

como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte

del circular al sexagesimal, puede hacerse sustituyendo π por 1800 y se calculan las

operaciones indicadas, es decir: ( ) oo

1354

18034

3=⇔

π

k

h

B

A

Fig. 1

O

Trigonometría

4

Ejemplos.

a) Para llevar 45º al sistema circular: 4180

45

45

180 πππ==→

→

→o

o

o

o .xx

b) Para llevar 6

5π al sistema sexagesimal:

⇔ 6

5π ( ) 00

1506

1805=

Ampliación del concepto de ángulo. Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta rotación se le asocia la medida °+ 360α , la medida °+ 360 2 .α en la segunda vuelta y la medida °+ 360 .nα con Zn ∈ en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de °360 se les llama coterminales. Ejemplos

Los ángulos 1820º y 2540º son coterminales porque 360º . 2 720º 1820º - 2540º ==

Los ángulos 461ºy 1582º no son coterminales porque 1121º 461º - 1582º = no es divisible por 360º

1050º-y 30º son coterminales porque 360º . 3 1080º )(-1050º - 30º ==

3

4y

310 ππ son coterminales porque ππππ 2

36

34 -

310

==

2. Determinemos a qué ángulo )( °≤≤° 3600 αα es coterminal cada uno de los siguientes ángulos. a) 1725º

b) 3

20π

c) -1820º Soluciones: a) αº) n (º += 3601725

Para hallar los valores de n y de α , realizamos la división 360º : 1725º donde el cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir:

285º 360º . 4 1725º += R/ 1725º es coterminal con 285º ya que 285y 4 == αn 0

Trigonometría

5

b) En este caso, expresamos el ángulo en el sistema sexagesimal y posteriormente apliquemos el procedimiento anterior.

b) ( )°=

°⇔ 1200

318020

320π

°+°=° 12036031200 .

32 ó 120con coterminal es

320 ππ

°/R

Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté expresado en el mismo sistema (sexagesimal o circular) que el ángulo dado. c) 20º.- )5(-360º 1820º- =

R/ 20º. -con coterminal es 1820º-

Los ángulos 270ºy 180º ,90º ,0º )2

3y ,2

(0, πππ se denominan ángulos axiales.

Los ángulos: 60ºy 45º ,30º

3y

4 ,

6πππ

se denominan ángulos notables. Definición de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante de un ángulo cualquiera. En la enseñanza media se dan las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo α como relación de los lados de un triángulo rectángulo. (Fig. 2).

hipotenusaadyacentecateto:cos

hipotenusaopuestocateto:sen

cbα

caα

=

=

opuetocatetoadyacentecateto:cot

adyacentecatetoopuestocateto:tan

abα

baα

=

=

a

Aα

c β

δ

bC

Fig. 2

B

Trigonometría

6

Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo )( °≤≤° 900 αα , no se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como

,120º ,90º ,0º : etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de manera que ellas correspondan a cualquier ángulo. Sea r) C(O, una circunferencia de centro “O” en el origen de coordenadas y radio r, tomemos un ángulo central x de la misma y un punto P de la circunferencia de coordenadas v).(u, (Fig.3)

El triángulo OPQ rectángulo en POQ∠ , siendo

r OP v u, PQ OQ === y , se cumple:

rv

rPQx ==sen

ru

rOQx ==cos

xx

rurv

uv

OQPQx

cossentan ====

xx

rvru

vu

PQOQx

sencoscot ====

A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones trigonométricas: Definición. La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales sen x) (x; con

Rx ∈ y se denota por x. f ( x ) x y sen ósen ==

Definición. La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales

R x x x ∈con)cos;( y se denota por x.y cos=

y

Fig. 3

P (u;v)

x O Q x

Trigonometría

7

Definición. La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales

)tan;( x x con Rx ∈ ; Zkπ)k(x ∈+≠ ,2

12 y se denota por .tan xy =

Definición. La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales )cot; ( xx con Rx ∈ ; Zkkπx ∈≠ , y se denota por .cot xy =

De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante:

xxy

cos1sec == con Zk)k(x ∈+≠ ,

212 π

xxy

sen1csc == con Zk ∈≠ ,kx π .

TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES (N) Y AXIALES (A).

0º (A) 30º (N) 45º (N) 60º (N) 90º (A) 180º (A) 270º (A)

0 6π

4π

3π

2π π

23π

sen x 0 1 / 2 2 / 2 3 / 2 1 0 -1

cos x 1 3 / 2 2 / 2 1 / 2 0 -1 0

tan x 0 3 / 3 1 3 - 0 -

cot x - 3 1 3 / 3 0 - 0

sec x 1 2 3 / 3 2 2 - -1 -

csc x - 2 2 2 3 / 3 1 - -1

Todo ángulo α y sus coterminales °+ 360.nα con Z∈n , tienen el mismo valor para cada función trigonométrica. El círculo trigonométrico ( ur 1= ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. 4). Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto cuadrante (IVC).

Trigonometría

8

Si 900 º x º << → x ∈ I C

Si º x º 18090 << → x ∈ II C

Si º x 270180 <<o → x ∈ III C

Si 360º 270º << x → x ∈ IV C

Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante.

I II III IV

sen x + + - -

cos x + - - +

tan x + - + -

cot x + - + -

sec x + - - +

csc x + + - -

Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de reducción.

Reducir un ángulo x al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el signo con respecto a las funciones del ángulo. 1. -αxx °=→∈ 180Cuadrante II Si ó α πx −=

α = sen)180(sen º - α

( ) αº - α − = cos180cos

( ) α − = tan180tan º - α

α − = α cot) - (180ºcot

α − = α sec) - (180ºsec

α = α csc) - (180º csc

y

Fig. 4

O x

IC II C

IIIC IVC

Trigonometría

9

2. α+°=→∈ 180Cuadrante III Si xx ó α πx += ( ) α αº − = + sen 180sen

( ) α αº − =+ cos 180cos

( ) α αº tan180tan = +

( ) α αº = + cot180cot

( ) α αº − = + sec180sec

( ) α αº − = + csc 180csc

3. αxSi x −°=→∈ 360Cuadrante IV ó αx α π x −=−= ó 2 ( ) ααº − = − sen360sen

( ) α αº = − cos360cos

( ) ααº tan360tan − = −

( ) ααº − = − cot360cot

( ) α αº = − sec360sec

( ) α αº − = − csc360csc

Ejemplos. Calcular:

a) º 120cos c) )45(cos °− e) °300ens

b) º 225tan d) 3

4sen π f) 6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

Solución: Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo x que no está en el primer cuadrante (x ∉ I C), se debe conocer:

En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α.

Qué signo tiene la función en el cuadrante dado. º 120cos a)

II 120º∈ C, porque °<°<° 18012090 0120cos <∴ º α - 180º 120º =

°=

°−°=60

120180αα

Trigonometría

10

Como II 120º∈ C, y para todo ángulo del segundo cuadrante se cumple: α − = α cos) - cos(180º º -º 60cos120cos = , 1/2- 120º cos =

°225tan a)

C III 225º∈ 0 225º tan >∴ 45º tan 225º tan = α 180º 225º += , 180 − 225° =α , °= 45 α 1 225º tan =

a) °300sen -α º °=°→∈ 360300CIV300 y 0300sen <° °−°= 300360α , °= 60α º -º 60sen300sen =

23 - = 300ºsen

)(-45º cos b)

0)(-45º cos Cuadrante IV45 >∴∈°− y por la forma en que está expresado el ángulo tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula -αx =

°==

45 - 45º-

αα

22 )45( cos = )45(- cos = ºº

34 sen b) π

034 senC III240

31.180. 4 es

34

<∴∈°=°ππ

αππ+=

34

33

343

4 πππππα =−

=−=

23

3sen

34sen −=−=

ππ

f) 6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

( ) IV3003

18053

5∈== o

oπ Cuadrante (Aquí el seno es negativo)

23

3sen

35en −=−=

ππs

Observa que si el ángulo esta expresado en el

sistema circular en la forma n

kπdonde k y n

son números enteros diferentes de cero,

entonces nπα =

Trigonometría

11

Cuadrante IV3306

11∈°⇔

π (Aquí el coseno es positivo), 23

6cos

611cos =

π=

π

Cuadrante III2254

5∈°⇔

π (Aquí el coseno es negativo), 22

4cos

45cos −=

π−=

π

π

−=π axial ánguloun es

23 1

23sen

π

=π notable ánguloun es

6

23

6cos

Sustituyendo en la expresión original se tiene:

6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

Función Periódica. Una función f (x)y = se llama periódica si existe un número 0k ≠

R)( k ∈ tal que para todo R)( k ∈ se cumple:

. f (x) k ) f (x =+

- Al número k se le denomina período de la función. - El menor intervalo de valores positivos de x que corresponde a un ciclo completo de la función, se le llama período principal de la función. - Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen período principal π2 y las funciones tangente y cotangente π . Gráfico de la Función [ ]π, x y 20 ensen= (Fig. 5) y sus propiedades fundamentales

x 0 2π

π

23π

2π

sen x 0 1 0 -1 0

4/62/3.2/2.12/3.1

2/2.2/32/3

−=−=−

−−=

y

Fig. 5

π/2 π x

2π 3π/2

1

-1 0

Trigonometría

12

Algunas propiedades Dominio de la función Rxf ∈ :) (Dom

Imagen de la función 1 1- : ) (Im ≤≤ yf

Período principal π 2 : (PP)

,x,Zkk: ππ 20 para ;Ceros ≤≤∈ 2} 1, {0, k = y los ceros en su período principal son: { }ππ 2, 0,

Monotonía:

Creciente para πππ 22

3 ó 2

0 <<<< xx

Decreciente para 2

32

ππ<< x

Valores de las abscisas de los extremos: En 2

π=x tiene un punto de máximo

1 ;

2π y en

23 π

=x tiene un punto de mínimo

1- ;

23π .

Funciones de la forma sen bx a y = con RbR a ∈∈ y y sus propiedades

Para representar gráficamente este tipo de función es necesario conocer: El conjunto imagen, ceros y valores de las abscisas de los extremos así como período principal. Imagen: ay-a ≤≤

Los ceros en el dominio de la función se obtienen resolviendo la ecuación: πkbx = , con Zk ∈ y con valores tales que fx Dom∈ .

Las abscisas de los puntos extremos se obtienen resolviendo la ecuación

( )2

12 π+= kbx , con Zk ∈ , es decir, los ceros y las abscisas de los puntos de extremos

se obtienen con la expresión b

k2π , si k es un número par se obtiene un cero y si k es

impar se obtiene la abscisa de un punto de extremo. Para los extremos debe tenerse en cuenta lo siguiente:

El primer extremo a la derecha es máximo si el signo del producto de a por bxsen es mayor que cero o mínimo si el producto es menor que cero y los restantes extremos alternan.

Período principal:bπ2

Trigonometría

13

Ejemplos Representar gráficamente las siguientes funciones. a) [ ]π,x y 20en 2sen3=

b) [ ]π, x y 30en 2

sen2=

c) π≤≤−= 3x0en 3sen 5,2 x y

d) [ ]π x y 2 ,2en 3

sen π−=

Solución:

a) [ ]π,x y 20en 2sen3= → a = 3 y b = 2 (Fig. 6)

Imagen: 3 3- ≤≤ y

Ceros:4πkx = Para 8} 6, 4, 2, {0,k = →Ceros:

ππππ 2,

23,,

2,0

Nota: obsérvese que los valores de k dependen del dominio de la función, en este caso

π20 ≤≤ x . Cada cero se obtiene sustituyendo en la expresión 4πk por cada uno de los

valores de k

Abscisas de los extremos: 4πkx = para k:{ }7 5 3 1 ,,,

Min. Max. Min. Max.

47 ,

45 ,

43 ,

4:

↓↓↓↓

ππππ

b) [ ]π, x y 30en 2

sen2= → a = 2; b = 1/2

(Fig.7) Imagen: ] 2 2,- [

Ceros: ( ) πππ kkb

kx ===2

122 con { }2 0,:k

Ceros:{ }π2 0,

Abscisa de los extremos:

π/2 π 2π

x

y

Fig. 6

-3

3

3π/2 0

π/2 3π/2 2π

x 3π

Fig. 7

y

0 π

2

-2

Trigonometría

14

( ) πππ kkb

kx ===2

122 con { }3 ,1:k

{ }mín):3 ,máx: ππ

( ) 22

2 ==ππ senf

( )2 ;Max π→

( ) 22

323 −==ππ senf

( )2 ;3Min −π→

c) π≤≤−= 3x0con 3sen 5,2 x y

→ a = -2.5 y b =3 (Fig .8) Imagen: [ ]2,5 ;5,2− ,

( ) 6322πππ kk

bkx === con

{ }18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 ,,,,,,,,,:k

Ceros:

πππππππππ 3,

38,

37,2,

35,

34,,

32,

3,0

Abscisas de los extremos:

( ) 6322πππ kk

bkx === con

{ }17 15 13 11 9 7 5 3 1 ,,,,,,,,:k

617,

25,

613,

611,

23,

67,

65,

2,

6πππππππππ

d) [ ]π x y 2 ,2en 3

sen π−=

→ 31 by 1 a ==

(Fig. 9) Imagen: 1] [-1,

π/2 7π/6

3π/2 13π/6

y

3π

π/6

11π/6

5π/2

17π/6 x

Fig 1.8

-2,5

2,5

π/2 7π/6

3π/2 13π/6

y

3π

π/6

11π/6

5π/2

17π/6 x

Fig. 8

-2,5

2,5

0 5π/6

Fig. 9

y

- 3π/2

3π/2

-1

0

1

x

Trigonometría

15

Ceros: 2

3

32

3122

ππππ kkkb

k==

=

con { }0:k

Abscisas de los extremos: 2

3

32

3122

ππππ kkkb

k==

= con { }1 1,:k −

:

−

23;

23 ππ

En este caso, en los límites del dominio de la función la misma no posee valor extremo, ni se hace cero por lo que es necesario que se evalúe la función para los valores límites:

0.86 - 23- =

3sen - = )

32-(sen = ) (-2 =

πππf

0.86 23 =

3sen = )

32(sen = ) (2 =

πππf

1. Dado los siguientes datos, obtenga la ecuación de la función bxsen a y =

a) Imagen: 3,2 2,3- ≤≤ y

PP: π3 b) Imagen: 7,0 0,7- ≤≤ y

PP: 3

5π

Solución: a) Como la imagen está dada por 3,23,2 2,3- =→≤≤ ay

bπ

=2PP por esto se tiene

bππ 23 =

32 ,

32

== bbππ

x32sen 2,3 y =

b) Como 7,0 0,7- ≤≤ y → a = 0.7

352 ππ

=b

Trigonometría

16

56

=b

x 56sen 0.7 y =

Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente. b) cos x y = (Fig.10)

x cos x

0 1

π /2 0

π -1

3π /2 0

2π 1

Algunas propiedades

Rx ∈ :f Dom Im f: 1 1- ≤≤ y

Período principal: π2 Monotonía: Creciente )2,( ππ Decreciente ),0( π

Ceros:

∈+=∈ ZkkxRx :

2)12(/ π

c) x y tan= (Fig. 11)

23

2-en :

2)12( πππ

<<

∈+≠ xZkkx

x -π / 4 0 π / 4

tanx -1 0 1

x

y

Fig. 10

π/2 π 3π/2 2π

-1

1 0

y

π/2 -π/2

Fig. 11

x0

Trigonometría

17

El gráfico de la función se obtiene en

los intervalos )2

3,2

();2

,2

( ππππ−

y así sucesivamente, es decir, es periódica en Zk ∈ ;kπ ; y su período principal esπ .

Domf: ZkkxR ∈+≠∈ :2

)12(/x π

Im f: R∈y

Monotonía: Creciente en los intervalos de la forma

Zk,)k(x)k( ∈+<<−2

122

12 ππ

d) { } πx -π ZkkπxRx x, y <<∈≠∈= para ,:cot (Fig. 12)

Propiedades Dom f: { }ZkkxRx ∈π≠∈ ,:

Im f: Ry∈

Período principal: π Monotonía: Decreciente en los intervalos de la forma: Zkkxk ∈+<<− ,)12()12( ππ

Ceros: Zkk ∈+ ,2

)12( π

Algunas identidades trigonométricas. En esta sección daremos al estudiante algunas identidades trigonométricas, tan importantes, que recomendamos memoricen.

1) x x 1cossen 22 =+

2) Zkkxxxx ∈

π+≠= :

2)12(con

cossentan ,

3) Zkkxxxx ∈π≠= ;con

sencoscot

4) 1cscsen x x . = 5) 1seccos x x . = 6) 1cot.tan =xx

7) xx 22 tansec1 =+

y

π/2 -π/2 π -π

Fig. 12

x

0

Trigonometría

18

8) xx 22 cotcsc1 =+ 9) x x . x cossen22sen =

10) x x- x 22 sencos2cos =

11) x)(x x - x 2cos121sensen212cos 22 −=→=

12) x) (x x - x 2cos121cos1cos22cos 22 +=→=

Ejemplos.

1. Sea 0x un ángulo del intervalo ππ≤≤ x

2

Existe exactamente un valor 0x en este intervalo para el que se cumple:

32 sen 0 =x . Calculemos 000 coty tan, cos xxx

Solución:

1cossen 02

02 x x =+

132cos

2

02 x =

+

941cos 0

2 −= x

95cos 0

2 = x como 0x ∈ II cuadrante se cumple: cos 0 0 <x

35

95cos 0 −=−= x

252/3.3/5

3/23/5

sencos

cot

552

5.55.2

52

53.3

23/5

3/2cos

tan

0

00

0

00

−=−=−

==

−=−

=−=−=−

==

xxx

xxsenx

Demostración de identidades trigonométricas. En la trigonometría se tropieza frecuentemente con dos expresiones de diferentes aspectos, pero, para todos los valores admisibles de los ángulos, adquieren iguales valores numéricos. Estas dos expresiones se llaman idénticas y la igualdad entre ellas se llama identidad trigonométrica. Para comprobar que la igualdad dada es una identidad

Trigonometría

19

trigonométrica no existen reglas de validez general que lo permitan, no obstante, recomendamos que se tenga en cuenta: 1. Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mayor posibilidad para transformarlo en el otro, sino trabaje en ambos miembros por separado para luego concluir que son iguales. 2. Si es posible, utilice la descomposición factorial y la simplificación. 3. Si no encuentra un camino propicio para empezar las transformaciones, reduce todas las funciones trigonométricas a senos y cosenos. 4. Tenga en cuenta que todas las transformaciones efectuadas sean válidas en el dominio de la identidad. Ejemplos. Demuestre las siguientes identidades para los valores admisibles de la variable.

a) 2cos(sen)cos(sen 22 x) x - x x =++

b) 1)cot1(sen 22 =α+α

c) x

xx2cos1

2sentan+

=

Soluciones:

( ) ( ) MD211cossencossen

coscos.sen2sencoscos.sen2sena)MI2222

2222

==+=+++=

+−+++=

xxxx

xxxxxxxx

( ) MD1sen

1.sencsc.sencot1enMIb) 222222 ==

αα=αα=α+α= s

( )

( )( )( ) ( )

( ) MItancoscos.sen2

2cos.sen2

211

cossen42cos1cos.en2

2sen2cos12sen

2cos12cos12cos12senMDc)

22

222

====−−

=

−=

−=

−+−

=

xxxsen

xxxsen

xxxsen

xxxxxs

xxx

xxxx

Otra vía de solución:

MItancossen

1cos21cos.sen2

2cos12sen

2 ===−+

=+

xxx

xxx

xx

Ecuaciones trigonométricas. Una ecuación se llama trigonométrica si ella contiene la incógnita (o variable) sólo bajo los signos de las funciones trigonométricas y se satisfacen para algunos de los valores admisibles de la variable.

Trigonometría

20

Ejemplos

a) 1sen x = 01tan b) =−x 1cosc)sen2 =+ xx

No es ecuación trigonométrica: x x 2sen =+ ya que la incógnita x se encuentra no solo bajo el signo seno. Resolver una ecuación trigonométrica significa hallar todos los ángulos que satisfacen dicha ecuación, es decir que reducen la ecuación a una proposición verdadera después de la sustitución de la incógnita. Para resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta los siguientes pasos:

Expresar todas las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación con el mismo argumento aplicando identidades. Expresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Resolver la ecuación, haciendo transformaciones algebraicas considerando como

incógnita la función trigonométrica en que quedó expresada la ecuación (factorizando o de cualquier otra forma). Determinar los valores de la incógnita que satisfacen las ecuaciones

transformadas. Ejemplos

a) x x = π20 ;23sen ≤≤

b) x - 01cos2 2 =

c) 0sen2cos3 2 =α−α d) 0cos2sen t t - = Solución:

a) x ; x = π≤≤ 2023sen

En este caso no hay que hacer ninguna transformación porque la función sen x está despejada. Para hallar los valores de x , se debe analizar en qué cuadrantes está situado el ángulo x teniendo en cuenta el signo de la función, como en este caso sen x es positivo , se cumple que x pertenece al primer cuadrante (IC) o x pertenece al segundo cuadrante (IIC)

I C: →= αx α es un ángulo del primer cuadrante cuyo seno es 23 ∴ °= 60α .

º x 60 :C I =

Trigonometría

21

º - α x 180 :C II = 12060180 º º º - x ==

{ }

ππ

=°°=3

2;3

ó 120 ;60 SS

b) 01cos 2 2 x - =

21cos2 x =

21cos ó

21cos x = - x =

Racionalizando en ambos casos se tiene:

ºα = x = - x = 4522cos ó

22cos →

22cos x = → IVC ó IC ∈∈ xx

I °== 45 :C αx °=°== 31545360360 :IVC º - º - α x

Cxx x III ó IIC 22 - =cos ∈∈→

°=°−°== 13545180180 :C II º - α x 0

°=°+=+= 22545180180 :C III º αº x Como todo ángulo y sus coterminales tienen el mismo valor para cada función trigonométrica, al dar el conjunto solución se debe tener en cuenta. Si el dominio de la variable no está restringido a cada solución se le debe sumar πk2 ó ko360 con Zk ∈ .

{ } Zkkkkk ∈ 360° + 315° ,360° + 225° ,360° + 135° °+°= ,,36045 S . Observe que la diferencia entre cada solución y su consecutiva es de 90º por lo que la solución anterior se puede simplificar expresándose en la forma siguiente:

{ } Zkk ∈

+°⋅+°= kcon

24 ó 9045 S ππ

0sen2cos3 c) 2 =α−α

En este ejemplo para expresar la ecuación en función de una sola función trigonométrica, es necesario sustituir a α2sen .

0)cos1(2cos3 2 =−− α α

0cos22cos3 2 =+− α α

Trigonometría

22

0cos32cos2 2 =α+−α

02cos3cos2 2 =−α+α

↓ ↓

°=°°=α°=α

∈α∈αα

<α<→−=α=α

=+α=−α=+α−α

α=α−αα

α

30060-360 :C IV60 : C I

C IV ó C I que tienese positivo, es cos como

1cos1- que ya imposible2cos 21 cos

02cos 01cos20)2)(cos1cos2(

cos3coscos42 cos1- 2cos

( ){ }

circular SistemaZk ,23

5 ;23

lsexagesima SistemaZk ,360 300 );360 60(

→

∈++=

→∈°+°°+°=

ππππ kkS

kkS

d) 0cos2sen t t - = En este ejemplo debe transformarse la ecuación de forma tal que en la misma se utilice el mismo argumento para cada función.

0)1sen2(cos0coscossen2

==

t - t t t- t

∈+++=

===∈+=

===

==

∈∈→==

==

Zk πkkππkππS

πππ-π-α tZ ; kπk t

πα t π t

π α π t

CC ó t t t t

t - t

;2

)12( ;26

5 ;26

65

6:C II

2)12(

6:IC

23

6

2

III21sen 0cos

01sen2 ó 0cos

Trigonometría

23

Ejercicios Ejercicio # 1 1) Determine si los pares de ángulos siguientes son coterminales o no. a) 2652º y 1572º b) 1370º y 5204º c) 3280º y 320º d) 270º y -90º 2) Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes:

°⋅°°⋅°

°+⋅

°+

°⋅

30sen cos45sen0tan60cot

066

csc

45cos4

sec

60cot6

cos

π- d)

sen πsenπc)

πb)

πa)

°⋅°

°+⋅

°⋅

°+

°−+°⋅

°

⋅°

270sen60csc

60sec3

cotcos

60sec332

3sen-6

tan60cotcos

45sec3

tan30cos3

sen

60sec3

tan270sen

ππh)

ππ - πg)

ππ f)

π

e)

3) Si 6π

=a , π=b , 2π

=c , 2

3π=d , e=45º y

3π

=f . Halla el valor numérico de las

expresiones siguientes:

a. dcba

sencotcossen

2

2

−+

b. ba

dcbsec.tan2

cos5csc7sen5 +−

c. e

a.fcot

cossenaf

tansec

d. fa

c.fcsccossencot

+

e. a.

dafbsec33

sentancotcos −−+

Trigonometría

24

4) Probar que:

a ) 0180sen .6

cos.3

cot3 22 =ππ o

b) 2360cot23cot

30sen3tan /ºπ/

º.π/=

+

c) αα.απ cotcsc2

sen =

−

d) 1

2sec

cotsen 2

22 =

−

+xπ

xx

e) αα

αα

αse

α2cos

sec2

coscot

n 2

cos=

−

••

−

ππ

5) Halla:

a) 4

7cot π b) o315csc c) 3

2cot π

d) 3

4cos π e) 6

11sen π

6) Calcula el valor numérico de las restantes funciones trigonométricas del ángulo x:

a) 31cos =x y 0sen <x

b) 43tan =x y 0csc >x

c) 135sen −=x y 0cos <x

d) 25tan =x y 0sec >x

e) 41sen =x y 0cot <x

7) Halle el valor numérico de las expresiones siguientes:

a) 65seccos

32csc35tan45cotπ/.π

π/.π/.π/

b) 6/cos.2/3sen4/5cos.

6/11cos3/5sen

πππ

ππ

c) 4/3tan.3/4sen

4/sec.6/7cos.6/5cscππ

πππ

Trigonometría

25

d) 3/5sec2/sen6/11cos.

4/3tan3/2cos

π−ππ

ππ

8.-Prueba que:

a) 32/3sen.3/5cot

0cos.6/5csc.6/11sen−=

ππππ

b) 3/16º150cot2º30secº210sen4 22 =++

c) 36/7csc4/5sen4/13cos 22 =π−π+π

d) 06/5sec2/sen

4/7tan.2/cos.3/2csc=

π−ππππ

e) 2

31)º120cot(2

cos)º120cot( −=

−π+−

f) 4/33/sec.4/cot

2/3sen.6/cos.2/sen−=

πππππ

9.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes con los valores dados para a:

a. 6/ ;)sec(

)cot()2/cos(cosπ=α

α+πα−πα−πα

b. 3/;)2(sen)2/(sen

4/cot)cos(π=α

α−πα−ππ+α+π

c. 4/;cot)2/(sensen)2/tan(cos

π=ααα−πα

α−πα

d. 6/);csc(.)2cot(tan

)2/(sen)2/cos(π=αα+π

α−παα−πα−π

10.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) xy sen 5,4= ππ 22 ≤≤− x

b) xy 3sen= ππ 22 ≤≤− x

c) xy 2sen 5,2= ππ 2≤≤− x

d) xy 3sen 5,0= ππ 2≤≤− x

Trigonometría

26

e) 2

sen 4 xy = π50 ≤≤ x

11.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables.

i. ( ) α−=α−α 2sen1cossen 2

ii. ( )222 cos.cotcoscot xxxx +=

iii. ( )( )xxxxxxs cos.sen1cossencosen 33 −+=+

iv. xx 2cos2

2cos1=

+

v. α=α

α− tan2sen

2cos1

vi. yy

yy 22

2cot

cos1sen2cos

=−

+

vii. ( ) ( ) ( )( )senxsenxxsenx 21211tan1 22 +−=−−

viii. ( ) 21coscos

1cos22cos=

+++

xxxx

8) Resolver las siguientes ecuaciones:

a. 0sen2en 2 =+ xxs

b. 01cos3cos2 2 =++ xx c. 2 cos2 x + sen x = 2 d. 2 sen2 x + 3cos x = 0

e. sen2 α - 2cos α + 1/4 = 0

f. 0cos3sen2 2 =+ xx

g. cos 2x – senx = 0

h. 3cos x – 2 sen2 x = 0 i. cot x . sen 2x = cos x j. 2 sen2 2x + 4 sen x. cos x =0 k. Sen4 x – cos 4 x=1 l. Cos 2x + cos x = -1 m. 4sen2 x + sen2 2x = 3 n. (1 + cos x) [1/(sen x) - 1 ] = 0

9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 ≤ x ≤ 2π a. 3 sen2 x = cos2 x

b. 2 3 cos2 x = sen x

c. 3(1 + cos x) = sen 2x. tan x d. cos 2x + 5cos x = 2

Trigonometría

27

e. cos 2x + 3sen2 x – cos2 x = 5sen x – 2 f. sen2 2x – sen 2x = 2

g. π20 para 0cos212cos 2 ≤≤=+− xxsenxx

h. 1)cos(

2222 =

++−

xsenxxsensenxxsen

10) Si cos x = 31 y x pertenece al primer cuadrante, hallar: sen x; tan x; sen 2x y

cos 2x

11) Si sen x = 43 y x es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos x y sen 2x

12) Si x = 3

2π . Calcule sen 2x. tan 2x

13) Si 4

5tan −=x ; 53cos −=x y ππ ≤≤ x2 ; Hallar senx, cos2x, y sen2x

14) Halle el valor de o2cos225 4

7tan +π

15) Halle los valores de x, que satisfagan la ecuación 33tan3 =x

16) Sea π≤≤2π

= 23 , 31cos xx

a) Determine el valor de sen x. b) Determine el valor de cot x. 17) Compruebe que para los valores admisibles de x, se cumple que :

2)(sen).(sen

)tan().cos().2

cos(2−=

−π+π

−π+π−π

xx

xxx

18) Pruebe que: 2

23

4sen

6cos.

3cot

6cos

4sen.

3tan

=π

ππ

+π

ππ

19) Calcule.

47tan

90cos150sen )π

+ oo

a b)

4π

+

π+

π−

9tan1560cot

35tan

23cos225sen 2

o

o

Trigonometría

28

20) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: I ) 2sen2x + 5cos x = 4 en el intervalo [0; 2π ]

II) 2sen2x - 5cos x + 1 = 0

III) IV)

sen2x - cosx = 0

xxxxsen cos32coscot22 =−

21) Hallar los valores de x; π20 << x que son soluciones de la ecuación: sen2x - 5senx - cos2x - 2 = 0. Dar la respuesta en grados sexagesimales.

22) Para qué valores de x, las funciones xg(x)xxf seny 2cos)( == alcanzan el mismo valor.

23) Sean las funciones: xsenxxf

2cos32)( −= y g(x) =3x-4 . Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4). 24) Sea la ecuación: 01)1(24 2 =++− xsenkxsen con °≤≤° 900 x

a) Halla las soluciones de esta ecuación para 23=k .

b) ¿Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución? 25) Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:

( )( ) 25cos722coslog cos =++−− xxsenxxsenx

26) Sean: ( ) xxsenxf tan2213−= y ( ) senxxg += 1

a) Calcula

4πf

b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que ( ) ( )xgxf =

27) Halla la abscisa x (0 < x < π/2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones dadas por las ecuaciones: xxgyxxf cos3)(cos2

910)( +=+=

28) Dada la igualdad xAx

xA cot2sen

2cos2

=+

a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable x.

b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida.

Trigonometría

29

BIBLIOGRAFÍA

Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.- Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial Pueblo y Educación 1989.

Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición, 1991. —152p.