Le triangle

Bernard Ronk

27 aout 2009

Table des matie`res

1 Le triangle en tant que polygone de Poncelet 21.1 Calcul de la distance d = OI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lieux geometriques des points remarquables . . . . . . . . . . . . 41.3 Autres lieux geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Cercles inscrit et exinscrits - Points lies 102.1 Rappels - Theore`mes de Ceva et de Menelaus . . . . . . . . . . . 102.2 Cercles inscrit et exinscrits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Autres points lies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Transformations pointpoint et pointdroite 213.1 Points isotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Points isogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Correspondance harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Application - Courbes associees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Annexes 27

A Rappel sur les polaires 28

B Syste`mes de coordonnees 32B.1 Coordonnees angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.2 Coordonnees tripolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.3 Coordonnees trilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33B.4 Coordonnees barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

Les proprietes de cette figure ayant ete abondamment etudiees par ailleurs1,il serait sans interet de les reprendre ici. Toutefois, certaines proprietes specifi-quement liees a` lapproche retenue pour cette etude sont signalees dans lapremie`re section. Il sagit essentiellement des lieux geometriques decrits parles points remarquables du traingle lorsque celui-ci tourne entre son cercle cir-conscrit et lun de ses cercles, inscrit ou exinscrits.

La geometrie du triangle presente un nombre incalculable de proprietes dansde multiples domaines et lamateur est a` meme den decouvrir sans arret denouvelles, a` charge pour lui den apporter les demonstrations.

La seconde section rappelle a` cet egard les proprietes classiques des cerclesinscrits et exinscrits auxquels sont lies les points de Gergonne et Nagel et montreensuite comment ces notions de points remarquables peuvent etre generaliseespratiquement sans limite.

Enfin, une troisie`me partie rappellera quelques transformations pointpointet pointdroite pouvant egalement conduire a` des proprietes remarquables.

1 Le triangle en tant que polygone de Poncelet

Le triangle est le polygone possedant le plus petit ordre. A cet egard, sa pro-priete la plus specifique est sans doute que tout triangle est un triangle de Poncelet.

Tout triangle est convexe et posse`de trois cercles exinscrits.

Tout triangle peut tourner entre son cercle circonscrit et son cercle ins-crit.

De la meme manie`re, tout triangle peut tourner en conservant ses som-mets sur son cercle circonscrit et ses cotes tangents a` lun, au choix, de sescercles exinscrits. Bien entendu, les sommets ne peuvent parcourir la partie ducercle circonscrit interieure au cercle exinscrit.

1.1 Calcul de la distance d = OI

On conside`re (voir figure 1 ci-dessus), dans un syste`me de coordonnees ad-mettant A pour origine :

le triangle ABC son cercle circonscrit de rayon R et ayant son centre en O, dabscisse nulle

et dordonnee R son cercle inscrit de rayon r et ayant son centre en I de coordonnees Ix etIy.

Lequation du cercle circonscrit secrit :

x2 + y2 2.R.y = 01Voir en particulier le tre`s complet La Geometrie du triangle par Trajan LUPASCO

Vuibert 1952

2

Fig. 1 Position du triangle dans le repe`re cartesien

tandis que celle du cercle inscrit secrit :

(x Ix)2 + (y Iy)2 = r2

On cherche dabord les pentes m1 et m2 des droites AB et AC, tangentesau cercle inscrit issues de A. Pour cela, il suffit decrire que le syste`me :

(x Ix)2 + (y Iy)2 = r2y = m.x

admet une racine double.

Pour cela, en remplacant y par m.x dans la premie`re equation et en annulantle determinant du trinome en x ainsi obtenu, on trouve :

m2.(r2 I2x) + 2.m.Ix.Iy + (r2 I2y ) = 0

equation dont les racines sont les valeurs cherchees m1 et m2 et dou` on tire enparticulier :

m1 + m2 = 2.Ix.Iyr2 I2x

et m1.m2 =r2 I2yr2 I2x

Dautre part, en resolvant le syste`me :

x2 + y2 2.R.y = 0y = mi.x (avec i = 1, 2)

on trouve les coordonnees de B et de C soit :

Bx =2.R.m11 + m21

et By =2.R.m211 + m21

3

Cx =2.R.m21 + m22

et Cy =2.R.m221 + m22

On peut alors ecrire lequation de la droite BC, par exemple a` partir de :

y Byy Cy =

xBxx Cx

soit, en remplacant par les coordonnees de B et de C ci-dessus et apre`s simpli-fication :

y.(1m1.m2) x.(m1 + m2) + 2.R.m1.m2 = 0puis, apre`s remplacement par les valeurs de m1.m2 et m1 + m2 :

y.(I2x + I2y ) + 2.Ix.Iy.x + 2.R.(r2 I2y ) = 0

Il ne reste plus qua` ecrire que cette droite est tangente au cercle inscrit.Pour cela on tire y de cette dernie`re equation et on le reporte dans celle ducercle inscrit. On annule alors le determinant pour imposer une racine doublesoit, tous calculs effectues :

(r2 I2y ).[(Iy R)2 + I2x R2 + 2.R.r

].[(Iy R)2 + I2x R2 2.R.r

]= 0

Le facteur r2 I2y est une solution parasite introduite au cours du calcul. Il nereste finalement que deux lieux geometriques pour I :

(y R)2 + x2 = R.(R 2.r) correspondant au cercle inscrit

(y R)2 + x2 = R.(R + 2.r) correspondant au cercle exinscritAinsi, la distance d vaut respectivement :

d =R.(R 2.r) pour le cercle inscrit.

di =R.(R + 2.ri) avec i = 1, 2 ou 3 pour les cercles exinscrits.

La distance entre les centres ne depend effectivement que des rayons R et r.

1.2 Lieux geometriques des points remarquables

Dune facon generale, les points remarquables issus de lintersection de 3ceviennes2 admettent pour lieux geometriques des cercles centres sur laxe OItandis que les points remarquables issus dune division des cotes decrivent descourbes plus complexes symetriques par rapport a` laxe OI.

Ainsi, soit un triangle admettant pour cercle inscrit le cercle (CI) de rayonr et de centre I, et pour cercle circonscrit le cercle (C) de rayon R et de centreO. La longueur OI vaut alors d =

R.(R 2.r).

Lorsque ce triangle tourne entre ses deux cercles, les points remarquablessuivants decrivent des cercles dont les centres sont aligne sur laxe OI, trace icien pointille (voir figure 2). :

2Les ceviennes sont des droites passant par les sommets

4

Le centre de gravite G, point dintersection des medianes decrit un cercle

de rayonR 2.r

3et de centre g tel que

Ig =

IO3

Lorthocentre H, point dintersection des hauteurs, decrit un cercle derayon R 2.r et de centre h tel que IH = IO

Dautre part, le cercle inscrit est tangent aux cotes en Ti. On sait queles points de tangence T i de ces memes cotes avec les cercles exinscrits sontsymetriques des Ti par rapport aux milieux Mi. (voir figure 2).

Le point de Nagel N , intersection des droites joignant chaque sommet aupoint de contact du cote oppose avec le cercle exinscrit correspondant,decrit un cercle de centre I et de rayon R 2.r.

Enfin, le point de Gergonne Ge, intersection des droites joignant chaquesommet au point de contact du cote oppose avec le cercle inscrit, decritlui aussi un cercle.

Fig. 2 Lieux geometriques de quelques points remarquables

Les differents cercles references ci-dessus sont rassembles dans le tableau ci-dessous :

5

Abscisse du centre Rayon

Cercle inscrit (c) 0 r

Cercle circonscrit (C) d =R.(R 2.r) R

Lieu du centre de gravite Gd

3R 2.r

3

Lieu de lorthocentre H d R 2.r

Lieu du point de Nagel N d R 2.r

Lieu du point de Gergonne Ge ? ?

TABLEAU des relations entre les differents cercles

1.3 Autres lieux geometriques

Parmi les lieux geometriques autres que des cercles, nous noterons en parti-culier :

Lieux des milieux des cotes.Soit M1 le milieu du cote A2A3 et T1 le point de contact de ce cote avecle cercle inscrit. La droite M1O est orthogonale au cote A2A3. Ainsi, M1decrit la podaire du cercle inscrit par rapport a` O. (voir ci-apre`s figure 3)

Mais ce lieu peut etre egalement vu comme une conchode de cercle, oulimacon de Pascal. On conside`re le cercle (C ) de diame`tre OI. la droiteM10 recoupe (C ) en b. Langle ObI est droit. Par suite, le quadrilate`reT1M1bI est un rectangle et M1b = IT1 = r. On aura de meme bc = r. Parsuite, le lieu du milieu des cotes est la conchode de (C ) obtenue a` partir de Opour un decalage de r.

Lieu des points de contact des cotes avec les cercles exinscrits.

On sait que, pour chaque cote du triangle, les points de contact avec lescercles inscrit et exinscrit sont symetriques par rapport au milieu du cote.Ainsi (voir figure 4), T3M3 = M3T 3 sur le cotes A1A2.Si on appelle alors Q le point symetrique de I par rappoirt a` O, les 3droitres IT3, OM3 et QT3 sont paralle`les entre elles et orthogonales a`A1A2. Par suite, le point T3 decrit la podaire du cercle inscrit par rapport a` Q.

De manie`re analogue au lieu precedent, cette podaire peut etre egalementconsideree comme la conchode du cercle de diame`tre IQ obtenue a` partirde Q pour un decalage de r.

Lieu des pieds des hauteurs.Les pieds de hauteurs decrivent une courbe a` 3 lobes, egalement bitan-

6

Fig. 3 Lieu du milieu des cotes

gente au cercle inscrit, admettant 3 points doubles, lun sur laxe OI enraison de la symetrie, et les deux autres sur le cercle circonscrit (C). (Voirla figure n 5 suivante.)

7

Fig. 4 Lieux des points de contact des cotes avec les cercles exinscrits

8

Fig. 5 Lieu des pieds des hauteurs

9

2 Cercles inscrit et exinscrits - Points lies

2.1 Rappels - Theore`mes de Ceva et de Menelaus

Theore`me de Ceva :

Fig. 6 Theore`me de Ceva

Soit un triangle ABC et 3 ceviennes concourantes en M dont les points din-tersection avec les cotes opposes sont respectivement a, b et c (voir figure 6).Abaissons les perpendiculaires Bb1 et Cc1 de B et C sur Aa. On definit ainsideux triangles semblables Bab1 et Cac1.

Dautre part, les deux triangles AMB et AMC ayant une base communeont des surfaces proportionnelles a` leur hauteur, soit :

SAMBSAMC

=Bb1Cc1

=aB

aC

On etablit 2 autres relations equivalentes pour les rapportsSCMASCMB

etSBMCSBMA

et on multiplie membre a` membre ces 3 relations. On obtient :

aB

aC.cA

cB.bC

bA=SAMBSAMC

.SCMASCMB

SBMCSBMA

= 1

En orientant alors chaque cote, on obtient la relation de Ceva.

aB

aC.cA

vB.bC

bA= 1 (1)

10

Reciproquement, si la relation precedente est satisfaite, les 3 droites Aa, Bbet Cc sont concourantes.

Autre formulation du theore`me de Ceva :

A partir de la figure initiale (triangle ABC et point M), on abaisse les per-pendiculaires Ma, Mb et Mc sur chacun des cotes du triangle.

Fig. 7 Theore`me de Ceva - seconde forme

On peut ecrire :

sin(A1)sin(A2)

=Mb

Mcsin(B1)sin(B2)

=Mc

Masin(C1)sin(C2)

=Ma

Mb

En multipliant membre a` membre ces 3 relations, on obtient alors une secondeforme du theore`me de Ceva :

sin(A1)sin(A2)

.sin(B1)sin(B2)

.sin(C1)sin(C2)

= 1. (2)

Et, reciproquement, si cette relation est satisfaite, les 3 droites concernees sontconcourantes.

Theore`me de Menelaus :

Soit un triangle ABC et une droite transversale coupant respectivement les3 cotes en a, b et c (voir figure 8). Abaissons les perpendiculaires des 3 sommetssur cette droite, respectivement en a1, b1 et c1. On peut ecrire :

aB

aC=Bb1Cc1

bC

bA=

Cc1Aa1

cA

cB=Aa1Bb1

En multipliant membre a` membre ces 3 relations, on obtient :

aB

aC.bC

bA.cA

cB= 1

11

Fig. 8 Theore`me de Menelaus

En orientant enfin les cotes, on obtient la relation de Menelaus :

aB

aC.bC

bA.cA

cB= 1

Reciproquement, si les 3 points verifient la relation precedente, alors ils sontalignes.

12

2.2 Cercles inscrit et exinscrits

Une bissectrice est le lieu des points equidistants des 2 cotes de langle. Parsuite, le point de rencontre des deux bissectrices interieures dun triangle estequidistant des 3 cotes. Il est donc egalement situe sur la 3e`me bissectrice. Cestle centre du cercle inscrit.

On construit de meme les 3 cercle exinscrits a` partir de deux bissectricesexterieures et dune bissectrice interieure.

Soit donc un triangle ABC et I le point de concours des 3 bissectrices, centredu cercle inscrit. Ce dernier est respectivement tangent aux 3 cotes en Ia, Ib etIc.

Fig. 9 Point de Gergonne

On a CIa = CIb et de meme AIb = AIc et BIa = BIc.Par suite la relation :

IaC

IaB.IbA

IbC.IcB

IcA= 1 (3)

est satisfaite.

Donc, dapre`s la reciproque du theore`me de Ceva, les 3 droites AIa, BIb etCIc sont concourantes en un point Ge appele point de Gergonne (voir figure9).

Point de Nagel :

Soit un triangle ABC muni de son cercle inscrit de centre I tangent respec-tivement aux 3 cotes en Ia, Ib et Ic et soit le cercle exinscrit de centre J relatifa` langle A et tangent aux 3 cotes en Ja, Jb et Jc (voir figure 10).

13

Fig. 10 Points de Nagel et de Gergonne

On peut ecrireCIa + CJa = CIb + CJb = IbJb

et de memeBJa + BIa = BJc + BIc = IcJc

Mais les deux segments de droite IbJb et IcJc sont egaux dou` :

CIa + CJa = BJa + BIa

et, finalement, en retranchant IaJa de chaque membre et en divisant par 2 :

BJa = IaC = IaCIaB

=JaB

JaC(4)

On aura de meme, en considerant le point de contact Kb sur AC du cercleexinscrit relatif a` langle A et Lc le point de contact sur AB du cercle exinscrit

relatif a` langle C :IbA

IbC=KbC

KbAet

IcB

IcA=

LcA

LcB.

14

Dou`, en reportant ces rapports dans (3) :

JaB

JaC.KbC

KbA.LcA

LcB= 1 (5)

Et, dapre`s la reciproque du theore`me de Ceva, les 3 droites AJa, BIb et CLcsont concourantes. Dou` :

Les droites joignant chaque sommet au point de contact du cote oppose avecson cercle circonscrit sont concourantes (voir figure 10) en un pointNa appelePoint de Nagel.

Remarque : Dapre`s les relations ci-dessus (voir figure 11), on peut ecrire :

BJc = BJa = IaC = IbC

BLc = BIa = JaC = CJb

soit finalement :IcJc = BC = IbJb (6)

et, de meme :IaKa = AC = IcKc

LaIa = AB = LbIb

Definition : Deux ceviennes issues du meme sommet sont dites isoto-miques si leurs pieds sont symetriques par rapport au milieu du cote oppose.Ainsi AIa et AJa sont isotomiques et il en est de meme pour BKb et BIb ainsique pour CIc et CLc.

Les deux points de concours de deux ensembles de ceviennes deux a` deuxisotomiques sont dits points isotomiques. Ainsi : Les points de Nagel et deGergonne sont deux points isotomiques.

2.3 Autres points lies

On conside`re (voir figure 11) le cercle exinscrit relatif a` langle A, de centreJ et admettant respectivement pour points de contact avec les cotes Ja, Jb etJc. Alors la relation suivante est verifiee :

JbC

JbA.JaB

JaC.JcA

JcB= 1

car JbC = JaC, JaB = JcB et JbA = JcA.

Ainsi, dapre`s la reciproque du theore`me de Ceva, les 3 droites AJa, BJb etCJc sont concourantes en un point Ga.

De la meme manie`re, on peut construire le point Gb relatif a` langle B et lepoint Gc relatif a` langle C.

15

Fig. 11 Generalisation des points de Nagel et Gergonne

On notera que ces points jouent le role de points de Gergonne relativementaux cercles exinscrits.

16

On conside`re maintenant la figure 12 et on repart de la relation (6) en lacompletant :

BJc = BJa = IaC = IbC = AKb = AKc (7)

Ainsi, les points Jc et Kc sont isotomiques. Il en est evidemment de meme despoints La et Ka pour les memes raisons.

Puisque les points Ib et Kb sont egalement isotomiques, les 3 droites ALa,IbB et CJc concourent en un point Gb isotomique de Gb.

On construit de la meme manie`re les points Ga et Gc.

Propositions Les 3 droites GaGa, GbGb et GcGc concourent en un point U (voir

construction en vert sur la figure 13) Les 3 droites JGa, KGb et LGc concourent en un point V (voir construc-

tion en vert sur la figure 14)

17

Fig. 12 Generalisation - La figure comple`te

18

Fig. 13 Les 3 droites GaGa, GbGb et GcGc concourent en un point U

19

Fig. 14 Les 3 droites JGa, KGb et LGc concourent en un point V

20

3 Transformations pointpoint et pointdroiteLe triangle offre plusieurs transformations pointpoint et pointdroite

interessantes. En particulier :

3.1 Points isotomiques

Fig. 15 Points isotomiques

Soit un triangle ABC et un point M quelconque. Les 3 ceviennes issuesdes sommets A, B et C et passant par M recoupent respectivement les cotesopposes en a, b et c (voir figure 15).

Dapre`s le theore`me de Ceva, on a la relation :

aB

aC.cA

cB.bC

bA= 1

Considerons alors le point a symetrique de a sur le cote BC. On a evidemment :

aB

aC=aCaB

En construisant de meme les points b sur AC et C sur AB, on aura des relationsequivalentes. dou`, en reportant dans la relation initiale :

aCaB

.cBcA

.bAbC

= 1

Et dapre`s la reciproque du theore`me de Ceva, les 3 ceviennes Aa, Bb et Cc

concourent en un point M1.

Les deux points M et M1 sont dits isotomiques. La relation est reciproque,chaque point etant isotomique de lautre.

Les points de Gergonne et de Nagel sont isotomiques par rapportau triangle ABC.

21

Fig. 16 Points isogonaux

3.2 Points isogonaux

On conside`re encore le triangle ABC et un point M quelconque. Les 3ceviennes issues des sommets A, B et C et passant par M (voir figure 16)partagent les angles en deux parties satisfaisant, dapre`s la seconde forme dutheore`me de Ceva :

sin(A1)sin(A2)

.sin(B1)sin(B2)

.sin(C1)sin(C2)

= 1

On conside`re maintenant les symetriques de chaque cevienne par rapport a`la bissectrice de langle dont elle est issue. En raison de cette symetrie, la rela-tion ci-dessus implique que ces 3 nouvelles ceviennes concourent egalement enun point, ici M2.

Les deux points M et M2 sont dits isogonaux par rapport au triangle ABC.

La relation est encore reciproque, chacun des 2 points etant lisogonal delautre.

Le centre de gravite G et le point de Lemoine, point de concoursdes symedianes, sont isogonaux par rapport au triangle ABC.

3.3 Correspondance harmonique

Soit un triangle ABC et un point M (voir figure 17). Les ceviennes passantpar M coupent respectivement les cotes opposes en a, b et c.

Dapre`s le theore`me de Ceva :

aB

aC.cA

cB.bC

bA= 1

La droite ab recoupe le cote AB en c et dapre`s la relation de Menelaus :

aB

aC.cAcB

.bC

bA= 1

22

Fig. 17 Correspondance harmonique

En comparant ces deux relations, on peut ecrire :

cAcB

= cAcB

Ainsi, les 4 points A, B, c et c sont en division harmonique.

En construisant de meme les points a et b, respectivement intersectionde BC et bc puis de CA et ca, on obtient deux autres divisions harmoniquessatisfaisant les relations equivalentes :

bCbA

= bCbA

etaBaC

= aBaC

En multipliant membre a` membre ces 3 relations, on obtient :

aBaC

.cAcB

.bCbA

=aB

aC.cA

cB.bC

bA= 1

et, dapre`s la reciproque du theore`me de Menelaus, les 3 points a, b et c sontalignes sur une droite ().

Nous dirons que le point M et la droite () sont en correspondance harmo-nique, soit encore :

La droite () est harmoniquement associee au point M Le point M est harmoniquement associe a la droite ()

On notera au passage que cette correspondance harmonique decoule direc-tement du theore`me de Desargues. Soit :

Si deux triangles sont perspectifs (ici les triangles ABC et abc admettentle point M comme centre perspectif), alors les points de concours des coteshomologues (ici a, b et c) sont alignes (ici sur ()).

23

3.4 Application - Courbes associees

Lorsquun point decrit M une courbe (), son isogonal M decrit une courbe(). Reciproquement, si M decrit (), son isogonal M decrit (). Les deuxcourbes () et () sont des courbes associees isogonales.

Il en est de meme avec la transformation isotomique qui permet de definirdes courbes associees isotomiques.

Enfin, si le point M decrit une courbe (), la droite () associee harmoniquede M se deplace en enveloppant une courbe () a` laquelle elle est tangent en unpoint M . Mais cette transformation nest pas reciproque, car la droite associeeharmonique dun point de () nest pas necessairement tangente a` ().

Generalement, ces transformation gene`rent une courbe complexe, mais ilnen est pas toujours ainsi, en particulier lorsquun point se deplace sur le cerclecirconscrit.

Theore`me 1Lorsquun point decrit le cercle circonscrit a` un triangle, son isogonal parcourtle cercle de linfini.

(voir figure 18)

Soit le point M appartenant au cercle circonscrit du triangle ABCet les 3ceviennes correspondantes AM , BM et CM . On construit les isogonales (ici enrouge) correspondant a` ces 3 ceviennes. On peut ecrire :

A1 = A2 (par construction)A2 = C2 (angles inscrits interceptant le meme arc)C2 = C1 (par construction)

Ainsi, A1 = C1 et les isogonales de AM et CM sont paralle`les.De la meme manie`re, lisogonale de BM leur est paralle`le, ce qui demontre

le theore`me.

Theore`me 2Lorsquun point decrit le cercle circonscrit a` un triangle, son isotomique decritune droite qui est la polaire du centre de gravite du triangle par rapport au cercledes 9 points.

(voir figure 19)

Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit. Les hauteurs sont ici traceesen vert et les mediatrices en rouge. Le centre de gravite G (en rouge) est autiers du segment OH et N , centre du cercle des 9 points, est au milieu de OH.

Soit M un point quelconque du cercle circonscrit. Les ceviennes relatives a`M coupent respectivement les cotes opposes en a, b et c. On construit les iso-tomiques respectifs a, b et c de ces 3 points. Les 3 ceviennes Aa, Bb et Cc

24

Fig. 18 Lisogonal du cercle circonscrit est le cercle de linfini

concourent alors en point nouveau point, M , qui est lisotomique de M .

Lorsque M decrit le cercle circonscrit, le point M decrit une droite (),tracee ici en rouge, qui est la polaire de G par rapport au cercle des 9 points.

Fig. 19 Lisotomique du cercle circonscrit est une droite

25

Theore`me 3Lorsquun point decrit le cercle circonscrit a` un triangle, sa droite associee har-monique passe par le point de Lemoine du triangle, cest a` dire le point deconcours des symedianes. Son enveloppe se reduit donc au point de Lemoine.

(voir figure 20)

Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit. Les 3 symedianes (symetriquesdes medianes par rapport aux bissectrices) concourent au point de lemoine L.

Soit alors M un point quelconque du cercle circonscrit. Les ceviennes rela-tives a` M coupent respectivement les cotes opposes en a, b et c. On construitsur chaque cote les points conjugues a, b et c.

Ces 3 points sont alignes sur une droite et celle-ci passe par le point L.Lorsque M decrit le cercle circonscrit, lenveloppe de cette droite se reduit ainsiau point de Lemoine.

Fig. 20 La droite conjuguee harmonique dun point du cercle circonscrit passepar le point de Lemoine L

26

Annexes

27

A Rappel sur les polaires

On conside`re (voir figure 21) un cercle (C) de centre O et un point Mexterieur au cercle. De M on me`ne les deux tangentes MP et MQ.

Dautre part, la droite MO coupe le cercle en deux points U et V et la cordePQ recoupe le diame`tre UV en T . Alors, par definition :

Le droite PQ est la polaire du point M par rapport au cercle (C).

Fig. 21 Definition de la polaire dune droite par rapport a` un cercle

Les deux angles MPU et UPT sont egaux car ils interceptent des arcs egaux.Langle UPV etant droit, le faisceau des 4 droites PM , PU , PQ et PV estharmonique.

Par suite, les 4 points M , U , T et V sont en division harmonique.

Soit maintenant une corde quelconque AB passant par M (voir figure22).

Les deux angles MQA et MBQ sont egaux car ils interceptent le meme arcAQ. Les deux triangles MAQ et MQB sont donc semblables et on peut ecrireen particulier :

MQ

MA=MB

MQ MA.MQ = MQ2 = cte

Ainsi, le produit MA.MB est constant quelle que soit la corde, il est egal a`la puissance du point M par rapport au cercle (C).

28

Fig. 22 Puissance du point M par rapport au cercle (C)

Fig. 23

Les droites UA et V B se coupent en E et les droites UB et V A se coupenten F (voir figure 23).

En appliquant alors dans le triangle UV E : le theore`me de Menelaus a` la transversale MAB, le theore`me de Ceva aux 3 ceviennes passant par F ,

on montre directement que la cevienne EF coupe la droite UV en un point telquil forme une division harmonique avec les points M , U et V .

29

Donc, cette intersection se trouve au point T .

Mais dans le triangle UEV , les angles UAV et UBV sont droits puisqueUV est un diame`tre. Donc, F est lorthocentre de ce triangle et ET est la 3e`me

hauteur.

Par suite, E et F sont situes sur la polaire de M par rapport a` (C).

Par ailleurs (voir figure 24), la corde MAB recoupe PQ en G et le faisceau(EM,EU,ET,EV ) etant harmonique, les 4 points M , A, G et B sont aussi endivision harmonique. Dou` :

Toute corde MAB recoupe la polaire en un point G tel que les 4 points M ,A, G et B forment une division harmonique.

Fig. 24 La droite AB est la polaire du point G

On conside`re maintenant deux cordes quelconques MAB et MCD (voirfigure 25). Ces deux cordes coupent respectivement la polaire aux points I et Jet, dapre`s la propriete ci-dessus,les 4 points M , C, I et D forment une division

30

harmonique. Il en est de meme des 4 points M , A, J et B.

Fig. 25 La droite MAB est la polaire du point K

Mais, dautre part, en considerant le triangle ECD coupe par la transversaleMAB et F , le point de concours des ceviennes, on demontre que le faisceau EM ,EC, EF et ED est harmonique. Par suite, la droite EF passe par I et par J .

Ainsi, les 4 points E, J , F et I sont alignes sur la polaire de M .

Si on fait tendre maintenant MCD vers MAB, la droite CA tend vers latangente au cercle en A et DB vers la tangente en B et leur intersection, quireste situee sur la polaire de M , tend vers K (construction en bleu).

Finalement, K qui est situe sur la polaire de M admet MAB pour polairepar rapport au cercle. Dou` le theore`me de reciprocite :

Si un point M admet une droite () pour polaire par rapport a` un cercle (C),alors tout point de () admet pour polaire une droite passant par M .

Cette propriete de reciprocite permet detendre la notion de polaire auxpoints interieurs au cercle. Par exemple, MB et PQ sont respectivement les po-laires de E et de M , donc leur intersection J admet la droite ME pour polaire.

31

B Syste`mes de coordonnees

On peut toujours reperer les elements remarquables dun triangle dans unsyste`me general de coordonnees (cartesien, polaire, ...). Toutefois, il est souventcommode de reperer ces elements dans un syste`me de coordonnees intrinse`ques,cest a` dire ne dependant que du triangle lui-meme, independamment de sa po-sition dans un repe`re quelconque.

On distingue ainsi classiquement trois syste`mes de coordonnees : Coordonnees angulaires Coordonnees tripolaires Coordonnees trilineaires Coordonnees barycentriques

B.1 Coordonnees angulaires

Dans un triangle ABC, on appelle coordonnees angulaires de M les 3 anglesAMB, BMC et CMA.

Langle AMB est compte positivement sil C et M sont du meme cote deAB et negativement dans le cas contraire. Il en est de meme pour BMC etCMA.

Ces 3 valeurs verifient evidemment la relation :

AMB + BMC + CMA = 2.

.

B.2 Coordonnees tripolaires

On appelle coordonnees tripolaires dun point P dans un triangle ABC le tri-plet (x, y, z) correspondant respectivement aux distances par rapport aux troissommets x = PA, y = PB et z = PC.

Si on appelle respectivement a, b et c les longueurs des cotes BC, CA et ABet respectivement r et R les rayons des cercles inscrits et circonscrits, alors lescoordonnees des points remarquables suivants peuvent secrire :

Centre du cercle inscrit I :(b.c.(a + b + c)

a + b + c,

a.c.(a b + c)a + b + c

,

a.b.(a + b c)a + b + c

)Centre du cercle circonscrit O :

(R,R,R)

Centre de gravite G :(13.

2.(b2 + c2) a2, 13.

2.(a2 + c2) b2, 13.

2.(a2 + b2) c2)

32

Orthocentre H :

(2.R.|cosA|, 2.R.|cosB|, 2.R.|cosC|)Point de Lemoine L :(b.c.

2.(b2 + c2) a2a2 + b2 + c2

,a.c.

2.(a2 + c2) b2a2 + b2 + c2

,a.b.

2.(a2 + b2) c2a2 + b2 + c2

)

B.3 Coordonnees trilineaires

On appelle coordonnees trilineaires dun point P dans un triangle ABC letriplet (x, y, z) correspondant respectivement aux distances de P aux trois cotesBC, CA et AB.

Ces distances sont comptees positivement si P est du meme cote que langleoppose et negativement dans le cas contraire.

On distinguera : les coordonnees trilineaires exactes3 ou absolues les coordonnees trilineaires, lorsque la somme des 3 coordonnees est

ramenee a` 1 en divisant chaque coordonnee exacte par leur somme.

En coordonnees absolues : En ecrivant que la somme des surfaces des triangles AMB, BMC et CMA

est egale a` laire du triangle ABC, on obtient :

a.x + b.y + c.z = 2.S

Si le triangle est equilateral, x + y + z = h longueur de la hauteur.

Centre du cercle circle circonscrit O :En coordonnee exactes :

(R.cosA, R.cosB, R.cosC)

En coordonnees trilineaires :

(cosA, cosB, cosC)

Orthocentre H :En coordonnees exactes :

(2.R.cosB.cosC, 2.R.cosC.cosA, 2.R.cosA.cosB)

En coordonnees trilineaires

(secA, secB, secC)

Centre de gravite G : En coordonnees exactes :(h13,h23,h33

)En coordonnees trilineaires : (

1a,

1b,

1c

)3Egalement coordonnees normales voir Lalesco page 26)

33

B.4 Coordonnees barycentriques

Quel que soit le point M , tout point P peut etre represente de facon uniquepar le triplet (x, y, z) avec x + y + z = 1 et

MP = x.

MA + y.

MB + z.

MC

Les coefficients x, y et z ne dependent pas du point M .

Le triplet (x, y, z)represente les coordonnees barycentriques de P dans le tri-angle ABC.

On a en particulier :

Centre du cercle circonscrit O :(12.a.R.cosA, frac12.b.R.cosB, frac12.c.R.cosC,

)Centre du cercle inscrit I :(

a2.b.c

4.(a + b + c).R,

a.b2.c

4.(a + b + c).Ra.b.c2

4.(a + b + c).R,

)Orthocentre H :

(a.R.cosB.cosC, b.R.cosC.cosA, c.R.cosA.cosB)

Point de Lemoine L :(a3.b.c

4.(a2 + b2 + c2).R,

a.b3.c

4.(a2 + b2 + c2).R,

a.b.c3

4.(a2 + b2 + c2).R

)Centre de gravite G :(

abc

12.R,

abc

12.R,

abc

12.R

)

34

Quadrilatre de Poncelet

Bernard Ronk

9 dcembre 2007

Table des matires

1 Rappels de gomtrie 2

2 Approche gomtrique du quadrilatre de Poncelet 5

2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Quadrilatre admettant un cercle exinscrit . . . . . . . . . . . . . 10

3 Complments analytiques 11

3.1 Distance entre les centres des cercles (C) et (Ci) . . . . . . . . . 113.2 Point de concours des diagonales de ABCD et de KLMN . . . . 143.3 Recherche de solutions entires en R, r et d . . . . . . . . . . . . 15

4 Quadrilatre non convexe 19

Table des gures

1 Dnition de la polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Rciprocit polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 L'angle EIF est droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Les cordes LN et KM sont orthogonales . . . . . . . . . . . . . . 75 Les diagonales de ABCD se coupent en P . . . . . . . . . . . . . 86 Dtail de la gure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7 Quadrilatre admettant un cercle exinscrit . . . . . . . . . . . . . 10

8 Calcul de la distance d en fonction de R et r . . . . . . . . . . . 119 Solution entire avec R = 35, r = 24 et d = 5 . . . . . . . . . . . 1810 Solution entire avec R = 5, r = 24 et d = 35 . . . . . . . . . . . 1811 Quadrilatre de Poncelet non convexe . . . . . . . . . . . . . . . 19

Liste des tableaux

1 Quadrilatres de Poncelet valeurs {R, r, d} entires . . . . . . . 162 Cas des quadrilatres de Poncelet cercle exinscrit . . . . . . . . 17

1

1 Rappels de gomtrie

On rappelle ici, sans dmonstration, quelques notions lmentaires utilises

dans l'approche gomtrique du quadrilatre de Poncelet

Cercles orthogonaux

Deux cercles sont dits orthogonaux si les tangentes aux points d'intersection

entre les deux cercles sont orthogonales.

Polaire d'un point par rapport un cercle

Soit un point P et un cercle (C) de centre O. La droite PO recoupe (C) endeux points A et B.Soit P un second point tel que le cercle de diamtre PP soit orthogonal aucercle (C). Ce second cercle coupe le diamtre AB en P et en un second pointH.

Fig. 1 Dnition de la polaire

Les 4 points P , A, H et B sont en division harmonique.

Par suite, le point H est xe et le lieu de P est constitu de la droite (D)orthogonale au diamtre AB et passant par H.

La droite (D) est dite la polaire du point P par rapport au cercle (C).Le point P est dit le ple de la droite (D) par rapport (C).

Cas particulier : Si on choisit le point P l'intersection de (D) et ducercle (C), soit au point C, la droite PC est tangente au cercle (C).

2

Cette proprit fournit une mthode simple pour construire la polaire de Psi celui-ci est extrieur au cercle (C).

Rciprocit polaire :

Toute polaire d'un point d'une droite passe par le ple de cette droite et

rciproquement.

Cette proprit est illustre de diverses faons dans la gure 2 suivante.

Fig. 2 Rciprocit polaire

Soit le point P admettant la droite (D) pour polaire par rapport au cercle(C). Deux scantes menes par P recoupent respectivement (C) en G et D, eten F et E. Alors : Les cts opposs GF et DE se coupent en K sur (D). Les diagonales FD et GE se coupent en L sur (D). Les tangentes (C) en G et D se coupent en M sur (D). Il en est videmment de mme des tangentes en F et E (non traces ici).

On note que cette proprit fournit une mthode pour tracer la polaire d'un

point intrieur au cercle.

Par exemple sur cette gure, (D) est la polaire de P et GD est la polaire deM par rapport (C). Donc, leur point d'intersection admetMP comme polaire.

3

Position de la polaire

Si P est extrieur (C), (D) coupe (C) en deux points. Si P est sur (C), (D) est la tangente (C) en P . Si P est intrieur (C) mais pas en son centre, (D) est extrieure (C) Si P est au centre de (C), (D) n'existe plus tant rejete l'inni.

Puissance d'un point par rapport un cercle

Soit un point P et une droite variable passant par P et coupant le cercleen deux points A et B. Le produit PA.PB est indpendant de la droite et estappel puissance de P par rapport au cercle.

En particulier, si une tangent au cercle issue de P s'appuie sur celui-ci en C,alors :

PC2 = PA.PB

Axe radical de deux cercles

On appelle axe radical de deux cercles la droite qui est le lieu des points

d'gale puissance par rapport aux deux cercles.

Si les cercles sont scants, l'axe radical passe par les deux points d'inter-

sections.

Si les cercles sont tangents, l'axe radical est tangent au point de contact.

Si les cercles n'ont aucun point commun, l'axe radical est extrieur aux

deux cercles.

Faisceau de cercles

On appelle faisceau de cercles un ensemble de cercles admettant deux deux

le mme axe radical. De cette dniton dcoule la proprit :

Tout point de l'axe radical d'un faisceau de cercles admet la mme puissance

par rapport tous les cercles du faisceau.

Il existe trois types de faisceaux de cercles :

Les cercles passent tous par deux points communs situs sur l'axe radical.

Les cercles sont tous tangents l'axe radical en un mme point.

Les cercles n'ont aucun point commun entre eux ou avec l'axe radical.

Dans ce cas, le faisceau admet deux cercles limites, de rayon nul, appels

points de Poncelet.

4

2 Approche gomtrique du quadrilatre de Pon-

celet

2.1 Gnralits

Considrons un quadrilatre convexe ABCD admettant un cercle circonscrit(C) de centre O et de rayon R, et un cercle inscrit (Ci) de centre I et de rayonr. Ses cts opposs se coupent respectivement en E et F ,

Proprit : L'angle EIF est un angle droit.

Fig. 3 L'angle EIF est droit

En eet, soient K,L,M, N les points de contact du quadrilatre avec soncercle inscrit.

Le point I est situ sur la bissectrice de KEM d'o :

I2 + I3 = I1 (1)

De mme, I est galement situ sur la bissectrice de LFN , soit :

I3 + I4 = I5 (2)

D'autre part, ABCD tant inscriptible, les angles opposs sont supplmen-

taires, soit en particulier KCL+ MAN = pi.

5

Mais K et L sont des angles droits, donc KCL + I1 + I2 = pi et de mmeMAN + I4 + I5 = pi D'o nalement :

I1 + I2 + I4 + I5 = pi (3)

En ajoutant membre membre les trois relations (1), (2) et (3), on obtient

directement :

I2 + I3 + I4 =pi

2(4)

Rciproquement, si le quadrilatre ABCD admet (Ci) comme cercle inscrit

et si EIF =pi

2, alors ce quadrilatre est inscriptible.

En eet, I tant sur les bissectrices de KEM et de LFN , les relations (1)et (2) sont vries.

D'autre part, (4) est vraie par hypothse.

En multipliant alors (4) par 2 et en lui retranchant membre membre les

deux relations (1) et (2), on obtient directement (3).

Ainsi, les angles KIL et MIN sont supplmentaires et, en raisonnant comme

prcdemment, les angles KCL et MAN le sont galement.

Donc le quadrilatre ABCD est inscriptible.

On notera au passage que KM est perpendiculaire EI, donc parallle IF , et LN est perpendiculaire IF , donc parallle EI. Ainsi :

EI orthogonal IF KM orthogonal LND'o, nalement, le thorme suivant :

Thorme 1 les trois propositions suivantes sont quivalentes :

1. Le quadrilatre convexe ABCD admet un cercle inscrit et un cercle cir-conscrit.

2. Le quadrilatre ABCD admet un cercle inscrit de centre I et, ses cts

opposs se coupant respectivement en E et F , l'angle EIF est un angledroit.

3. Le quadrilatre ABCD admet un cercle inscrit auquel ses cts sont re-sperctivement tangents en K, L, M et N . Les deux segments KM et LNsont orthogonaux.

On remarquera que les propositions 2 et 3 fournissent respectivement les

deux mthodes suivantes de construction d'un quadrilatre de Poncelet :

Construction drive de la proposition 2 :

On considre un cercle et deux diamtres orthogonaux. On choisit un point

extrieur au cercle sur chacun de ces diamtres et on mne, partir de

chacun de ces points, les deux tangentes au cercle. Ces quatre tangentes

dnissent un quadrilatre de Poncelet.

6

Construction drive de la proposition 3 :

On considre un cercle et deux cordes perpendiculaires entre elles. On

construit les tangentes aux deux extrmits de chaque corde. Ces quatre

tangentes dnissent un quadrilatre de Poncelet.

Autres proprits :

Fig. 4 Les cordes LN et KM sont orthogonales

1. Soit P le point d'intersection des deux cordesKM et LN (voir gure4 ci-dessus).

Par construction, la droite LN est l'axe radical de F relativement au cercle(Ci) et la droite KM est l'axe radical de E relativement au cercle (Ci).Donc, d'aprs la rciprocit polaire :

La droite (D), passant par E et F , est la polaire du point P par rapport aucercle (Ci).La droite PI est donc orthogonale (D).

2. Les cts opposs du quadrilatre KLMN se coupent sur (D) (nontracs ici pour viter la surcharge de la gure).

3. Les diagonales CA et DB du quadrilatre de Poncelet ABCD secoupent galement en P .

7

Nous dmontrerons ceci un peu plus loin (voir 3. Complments analy-

tiques).

4. Considrons maintenant les deux scantes (C), ECB et EDA, me-nes du point E (voir gure 5 ci-aprs). Elles dnissent le quadrilatre ABCDet, d'aprs ce que nous avons vu dans les rappels, le point P , intersection deCA et BD, est par construction sur la polaire de E par rapport (C).

De la mme manire, le point P est galement sur la polaire de F par rapport (C).Donc, en vertu de la rciprocit polaire :

La droite (D), passant par E et F , est la polaire du point P par rapport (C).La droite OP est donc orthogonale (D).

Fig. 5 Les diagonales de ABCD se coupent en P

5. En comparant les proprits 1 et 4, il apparait que :

Les trois points O, I et P sont aligns sur une droite orthogonale (D).

8

6. Les mdianes du quadrilatre KLMN (non traces ici) se coupentau milieu du segment PI.

7. Dynamique du quadrilatre :

On considre comme xes le cercle (Ci) de centre I et de rayon r, la droite(D) et le ple P de (D) par rapport (Ci).

On fait maintenant pivoter l'angle droit de sommet I autour de son sommet.Les cts de cet angle coupent (D) en deux points E et F qui balaient cettedroite.

Si de chacun des points E et de F on mne les deux tangentes Ci, on dnitun quadrilatre de Poncelet ABCD admettant (C) comme cercle circonscrit et(Ci) comme cercle inscrit. Finalement :

Lorsque l'angle droit de sommet I pivote autour de son sommet, le quadri-latre ABCD tourne entre son cercle inscrit et son cercle circonscrit.

8. Faisceau de cercles :

Soit Q le point milieu du segment PP . On trace le cercle (Cq) de centre Qet de diamtre PP (voir gure 6 dtaille suivante) :

Fig. 6 Dtail de la gure

Le cercle (Cq) recoupe (Ci) en X. Puisque () est la polaire de P par rap-port (Ci), ces deux cercles sont orthogonaux. Ainsi, la tangente (Ci) en Xpasse par Q.

9

De la mme manire, si (Cq) coupe (C) en Y , la tangente en Y passe par Q.

Ainsi, le point Q a mme puissance par rapport (C) et (Ci) et P , dansla mesure o P peut tre considr comme un cercle de rayon nul. Finalement :

Les cercles (C), (Ci) et le point P , considr comme un cercle de rayon nul,font partie d'un faisceau de cercle admettant comme axe radical la parallle

() passant par Q (non trace ici).Les points P et P sont les points de Poncelet du faisceau

2.2 Quadrilatre admettant un cercle exinscrit

Le quadrilatre de Poncelet, admettant un cercle circonscrit et un cercle ins-

crit, se transpose aisment en un quadrilatre possdant un cercle circonscrit et

un cercle exinscrit (voir gure 7 ci-aprs).

Fig. 7 Quadrilatre admettant un cercle exinscrit

Dans ce nouveau cas, le point P est toujours intrieur au cercle circonscritet sa polaire (D) extrieure ce cercle.

L'angle EIF est toujours un angle droit, donc les deux cordes KM et NLsont toujours orthogonales entre elles. Elles se coupent toutefois maintenant

10

l'extrieur du cercle exinscrit. Cette dernire particularit fournit une mthode

de construction graphique de tels quadrilatres.

Les deux cercles font toujours partie d'un faisceau de cercles admettant la

mdiatrice de PP comme axe radical (non trac ici) et les points P et P commepoints de Poncelet.

A noter que la recherche analytique (voir plus loin) de l'expression de la

longueur d = OI en fonction des r et R, rayons respectifs du cercle (ex)inscritet du cercle circonscrit, fournit deux solutions correspondant chacun des deux

types de quadrilatres de Poncelet.

3 Complments analytiques

3.1 Distance entre les centres des cercles (C) et (Ci)

On calcule, la distance d = OI en fonction des rayons des cercle circonscritet inscrit, respectivement R et r.Pour cela, sachant que le quadrilatre peut tourner entre ses deux cercles,

on va simplier le problme en choisissant une position symtrique par rapport

l'axe des x.

Fig. 8 Calcul de la distance d en fonction de R et r

Soit le cercle inscrit de centre I et les deux axes de coordonnes en x et ypassant par I.

11

On choisit les points E et F symtriques par rapport l'axe des x et ext-

rieurs au cercle (Ci). Puisque l'angle EIF est droit, ces deux points sont chacunsur une des bissectrice des axes de coordonnes.

Si on mne alors, partir des points E et F , les tangentes au cercle (Ci),celles-ci se coupent selon un quadrilatre ABCD inscriptible et symtrique parrapport l'axe des x.Les points B et D se trouvent ainsi tous deux sur l'axe des x (voir gure 8)et BD est un diamtre de (C).Les deux angles DAB et DCB sont des angles droits.

On dnit les coordonnes respectives en x, y de E et F selon E = (m,m)et F = (m,m) avec m > r.L'quation du cercle inscrit est

x2 + y2 = r2 (5)

L'quation d'une droite passant par E et de pente p s'crit :

y m = p.(x+m) (6)

En reportant dans (5) la valeur de y tire de (6), on obtient l'quation desabscisses des points d'intersection de cette droite avec (Ci), soit :

x2 + p2.(x+m)2 + 2.p.m.(x+m) +m2 = r2

Soit en ordonnant en x :

(1 + p2).x2 + 2.m.(p2 + p).x+m2.p2 + 2.p.m2 +m2 r2 = 0

On recherche des tangentes, donc des racines doubles cette quation. Il

sut pour cela d'annuler le dterminant soit, tout calcul eectu :

(m2 r2).p2 + 2.m2.p+m2 r2 = 0

Cette quation admet les deux solutions p1 et p2, pentes des deux tangentes (Ci) issues de E. Ces solutions sont relies directement par les relations :

p1.p2 = 1

p1 + p2 =2.m2m2 r2

D'autre part, leur forme en

m2.p r.2.m2 r2m2 r2 permet d'crire :

|p1 p2| = 2.r.

2.m2 r2m2 r2Les deux tangentes issues de E admettent respectivement pour quation :

y m = p1.(x+m) et y m = p2.(x+m)

12

et en faisant y = 0 dans chacune d'elles, on trouve les abscisses de B et D, soit :

Bx = m mp1et Dx = m m

p2

On peut alors crire R et d selon :

R =|Dx Bx]

2=m

2.

1p1 1p2 = m2 .|p1 p2|

d =Dx +Bx

2= m m

2.(p1 + p2)

Soit en utilisant les valeurs de p1 + p2 et |p1 p2| tablies ci-dessus :

R =m.r.

2.m2 r2m2 r2 (7)

d = m+ m3

m2 r2 =m.r2

m2 r2 (8)

Il ne reste plus qu' liminer m entre ces deux relations.

On peut par exemple crire

d

r=

m.r

m2 r2 partir de (8) et reporter cette valeurdans (7). D'o :

R =d

r.

2.m2 r2

pour obtenir nalement la valeur de m :

m2 =r2.(R2 + d2)

2.d2(9)

que l'on peut alors reporter dans (8) selon :

d2.

(r2.(R2 + d2)

2.d2 r2

)=r2.(R2 + d2)

2.d2.r4

soit, tous calculs eectus :

d4 2.(R2 + r2).d2 +R4 2.r2.R2 = 0 (10)

Equation bicarre dont les racines sont fournies par :

d2 = R2 + r2 r.4.R2 + r2 (11)

La condition d'existence de solutions (d2 0) conduit R r.2, ce caslimite correspondant au carr.

La solution avec le signe - correspond au quadrilatre de Poncelet avec cercle

inscrit tandis que celle avec le signe + correspond au quadrilatre de Poncelet

avec cercle exinscrit.

13

3.2 Point de concours des diagonales de ABCD et deKLMN

On considre le point P comme le point d'intersection des diagonales deABCD. Il a donc la mme abscisse que les points A et C.

L'quation de la droite EA s'crit

y m = p1.(x+m)

.

L'quation de la droite FA, qui est perpendiculaire EA, s'crit

y +m = 1p1.(x+m) = p2.(x+m)

En soustrayantla seconde quation de la premire, on trouve directement

2.m = (p1 + p2).(x+m)

d'o on tire immdiatement :

x = m.2 + p1 + p2p1 + p2(12)

soit galement, en remplaant p1 + p2 par2.m2m2 r2 :

x =r2m

et, enn, en remplaant m par sa valeur tire de (9) :

x =r.d.2R2 + d2(13)

On va montrer maintenant que la droite LN , diagonale du quadrilatreMNPQ, passe par P .

L'quation de la droite EN s'crit :

y m = p1.(x+m)

L'quation de la droite IN qui lui est orthogonale, donc de pente1p1s'crit :

y =1p1.x = p2.x

En soustrayant membre membre ces deux quations, on obtient :

m = (p1 + p2).x+ p1.m

d'o l'abscisse de N :

Nx =m.(1 + p1)p1 + p2

14

et en reportant dans l'quation de IN :

Ny = m.m.p2.(1 + p1)

p1 + p2

En changeant les pentes p1 et p2, on ntrouve directement les coordonnesde L, soit :

Lx =m.(1 + p2)p1 + p2et Ly =

m.p1.(1 + p2)p1 + p2

L'quation de la droite LN peut s'crire :

xNxNx Lx =

y NyNy Ly

mais on vrie facilement que

Nx LxNy Ly = 1, l'quation de LN devient alors :

xNx = y NyEt en faisant y = 0, on obtient directement l'abscisse de l'intersection de LNavec l'axe des x, soit :

x = Nx Ny = m.(1 + p1)p1 + p2

m.m.p2.(1 + p1)p1 + p2

=m.(1 + p1).(1 + p2

p1 + p2=

1 + p1 + p2 + p1.p2p1 + p2

=m.(2 + p1 + p2

p1 + p2

En comparant avec l'abscisse du point P clacule en (12), on voit que LN passepar P .

Il en est ncessairement de mmen pour MK. Ainsi :

Les diagonales du quadrilatre ABCD et celles du quadrilatre KLMNpassent toutes par le mme point P .

3.3 Recherche de solutions entires en R, r et d

On peut se poser la question de savoir s'il est possible de construire un

quadrilatre de Poncelet partir de valeurs R, r et d entires.En d'autres termes, existe-t-il des solutions l'quation diophantienne :

d2 = R2 + r2 r.

4.R2 + r2

Il faut d'abord que 4.R2 + r2 soit un carr parfait. On utilise la solutionclassique du triangle de Pythagore en nombres entiers, soit :

R = . r = 2 2 4.R2 + r2 = (2 + 2)2

15

L'quation ci-dessus prend alors la forme :

d2 = 2.(2.2 2)

Et il faut maintenant trouver des solutions 2.2 2 = 2, quationdiophantienne dont la solution gnrale

1

est alors fournie par :

= (a+ b)2 2.a2 = a2 + b2 = (a+ b)2 2.b2

Il sut de choisir a et b premiers entre eux, ce qui permet de calculer et. D'o un triplet de valeurs {d,R, r} entires.

Il faut encore liminer les solutions o les variables sont non premires entre

elles et on peut obtenir en particulier :

R r

4.R2 + r2 d

35 24 74 5

221 120 458 91

775 336 1586 425

1189 840 2522 29

1739 840 3578 851

2009 720 4082 1271

... ... ... ...

12019 3960 24362 7979

Tab. 1 Quadrilatres de Poncelet valeurs {R, r, d} entires

On peut se poser la mme question en ce qui concerne les quadrilatres

de Poncelet admettant un cercle exinscrit. Il faut alors trouver des solutions

l'quation diophantinne :

d2 = R2 + r2 + r.

4.R2 + r2

De la mme manire, on pourra trouver en particulier :

On remarque l'tonnante correspondance entre le triplets de ces deux ta-

bleaux, par exemple pour la premire ligne :

R = 35, r = 24 et d = 5 pour une solution avec cercle inscrit.R = 5, r = 24 et d = 35 pour une solution avec cercle exinscrit.

et, de la mme manire, pour chaque triplet solutioin.

1

Il sut de poser = u v et = u+ v. On trouve alors 2 = u2 + v2 et on est ramen un problme connu.

16

R r

4.R2 + r2 d

5 24 26 35

91 120 218 221

425 336 914 775

29 840 842 1189

851 840 1898 1739

... ... ... ...

7979 3960 16442 12019

Tab. 2 Cas des quadrilatres de Poncelet cercle exinscrit

Ceci provient du fait que les deux variables R et d peuvent s'changer dansl'quation diophantienne initiale. En eet, partons de :

d2 = R2 + r2 r.

4.R2 + r2

soit :

(d2 R2 r2)2 = r2.(4.R2 + r2)En dveloppant et en ordonnant par rapport R, on obtient :

R4 2.(d2 + r2).R2 + d2.(d2 2.r2) = 0

Equation dont les racines sont fournies par :

R2 = d2 + r2 r.

4.d2 + r2

soit une forme symtrique en R et d par rapport (11). Ces deux variablespouvant galement tre mises en relation selon :

(R2 d2)2 = 2.r2.(R2 + d2) (14)

Le lecteur vriera que la relation suivante est quivalente :

1r2

=1

(R+ d)2+

1(R d)2 (15)

Cette symtrie entre R et d dans ces relations explique pourquoi le mmetriplet peut permettre de construire, au moyen d'un change R d, les deuxtypes de quadrilatres.

D'une faon gnrale :

A chaque quadrilatre de Poncelet avec cercle inscrit correspond un quadri-

latre de Poncelet avec cercle exinscrit, et rciproquement.

On trouvera dans les gures 9 et 10 suivantes une reprsentation des deux

cas possibles avec le plus petit des triplets en valeur entire, soit {35, 24, 5}.

17

Fig. 9 Solution entire avec R = 35, r = 24 et d = 5

Fig. 10 Solution entire avec R = 5, r = 24 et d = 35

18

4 Quadrilatre non convexe

Enn, on ne peut pas ne pas voquer le cas du quadrilatre de Poncelet non

convexe ou quadrilatre crois.

Partons du cercle inscrit CI de centre I et choisissons deux points U et Vextrieurs ce cercle tels que les trois points U , V et I soient aligns.

Menons alors partir des points U et V les tangentes au cercle CI . Celles-cise coupent respectivement en quatre points A, B, C et D (voir gure 11) d-nissant un quadrilatre non convexe ABCD.

En raison de la symtrie de la gure, le quadrilatre ABCD ainsi dni estinscriptible dans un cercle C de centre O. D'autre part, ses quatre cts sonttangents au cercle CI , ce dernier jouant ainsi le rle d'un cercle exinscrit. ABCDsemble rpondre ainsi la dnition de Poncelet.

Toutefois, ce quadrilatre n'est pas convexe car ses sommets ne sont pas

obtenus en parcourant rgulirement les quatre sommets sur le cercle. Il en

rsulte qu'il ne peut pas prsenter les proprits habituelles des quadrilatres de

Poncelet. En particulier :

Ses deux cercles, exinscrit et circonscrit, sont scants.

Le quadrilatre ne peut pas tourner entre ses deux cercles. Si on dplace

l'un de ses sommets sur CO, le quadrilatre se dforme tout en restantsymtrique.

Fig. 11 Quadrilatre de Poncelet non convexe

19

Etude des polygones de Poncelet

Bernard Ronk

11 janvier 2008

Table des matires

1 Gnralits 2

2 Proprits gnrales tous les polygones 4

3 Proprits des polygones de rang impair 6

4 Proprits des polygones de rang pair 8

5 Relations entre les longueurs R, r et d. 10

1

1 Gnralits

Dnitions :

On appelle polygone de Poncelet un polygone dont les sommets sont si-

tus sur un mme cercle (C), ou cercle circonscrit, et dont les cts sonttangents un mme cercle, ou cercle inscrit.

Considrons N points situs sur le cercle (C). Le polygone obtenu entraant les N segments entre points adjacents est un polygone convexe.Nous noterons PN un polygone de Poncelet convexe. Mais on peut aussi joindre les sommets de m en m. On obtient alors unpolygone toil rgulier

1

. Nous noterons PN,m un tel polygone de Poncelettoil rgulier, obtenu en joignant de m en m les sommets de PN .Si N n'est pas un nombre premier, PN,m peut se dcomposer de plusieurspolygones distincts. Par ailleurs, on notera que PN,1 est quivalent PN . PN,m sera dit polygone d'ordre (ou de rang) N, toil de type m.

Thorme 1 Thorme d'existence

Soit un cercle (C) de centre I et de rayon R. Alors, le point O pris l'intrieur de (C), c'est dire satisfaisant d = OI < R, un cercle (c) decentre O et de rayon r permettant la construction d'un polygone, convexe outoil, PN,m (N 3) admettant (C) pour cercle circonscrit et (c) pour cercleinscrit.

La dmonstration est vidente. Raisonnons sur un polygone convexe.

Considrons un cercle (CI) de rayon r, trs petit, centr en I et entirementcontenu l'intrieur d'un cercle (C).Construisons le premier ct du polygone partir d'un sommet A1 situ surle cercle (C). Pour cela, menons, partir de A1, une tangente au cercle (CI).Ce premier ct recoupe (C) en A2. A partir de ce second sommet, itronsl'algorithme pour obtenir A3.

En choisissant r arbitrairement petit, on peut rendre l'arc_

A1A3 aussi petitqu'on le dsire. Par suite, le 4eme sommet A4 se situera ncessairement au-del

de A1, la somme des arcs successifs_

A1A2 +_

A2A3 +_

A3A4 dpassant alors 2.pi

Augmentons progressivement le rayon r. L'arc_

A1A4 diminue en consquenceet, pour une valeur r3 de r, sa longueur sera nulle. A4 concide alors avec A1 eton a un triangle de Poncelet A1A2A3, les arcs vriant la relation

_

A1A2 +_

A2A3 +_

A3A1= 2.pi

On peut poursuivre l'algorithme. Augmentons la valeur de r au-del de r3,la sommet A4 se direncie de nouveau de A1, mais c'est A5 qui se trouvemaintenant au-del de A1.En poursuivant l'augmentation de r, on passe ncessairement par une va-leur r4 pour laquelle A5 concide avec A1. On obtient alors un quadrilatre dePoncelet A1A2A3A4, les arcs vriant maintenant

_

A1A2 +_

A2A3 +_

A3A4 +_

A4A1= 2.pi1

Sauf mention explicite, tous les polygones toils considrs seront rguliers

2

Et ainsi de suite ...

Le raisonnement s'applique de la mme manire aux polygones toils mais

cette fois la relation gomtrique recherche est

_

A1A2 +_

A2A3 + +_

An1A1= 2.k.pi avec k > 1

car un polygone toil eectue plusieurs tours avant de se fermer sur lui-mme.

Ainsi, il existe des polygone de Poncelet de tous ordres et de tous types.

Proprits On peut classer les proprits de ces polygones par ordre de

gnralit dcroissante, en fonction de l'ordre du polygone :

Proprits gnrales tous les polygones

Proprits des polygones de rang impair

Proprits de rang pair

Proprits spciques au rang

Remarques sur la prsentation des gures gomtriques :

Les gures prsentent rapidement un nombre important de lignes lorsque

le rang du polygone augmente, en en rendant ainsi la comprhension plus

dicile. Dans la mesure du possible, nous viterons de reprsenter plu-

sieurs proprits sur la mme gure.

La notation des dirents lments du polygone sera indicielle. Ces l-

ments, selon leur nature et le rang du polygone, pourront ou non tre mis

en correspondance entre eux. Par exemple, si on note respectivement Aiet Ti les sommets et points de contact des cts d'un polygone PN avecson cercle inscrit, alors :

Si N est impair, ces lments peuvent tre mis en correspondance et,dans ce cas, Ti sera systmatiquement le point de contact du ct appos Ai.Si N est pair, il n'y a plus de correspondance. Les Ti pourront treplacs arbitrairement.

Quel que soit le cas, les indices seront toujours disposs de manire crois-

sante dans le sens trigonomtrique.

Le cercle circonscrit sera not (C) et admettra O pour centre.Le cercle inscrit du polynome convexe sera cot (CI) et admettra I pourcentre.

Les cercles inscrits d'ordre suprieurs 1 seront nots (CIn) et admettrontrespectivement In pour centre, avec n = 1, 2, ....

Il est clair que les proprits gnrales ne pourront tre illustres que sur

des polygones particuliers, typiquement pentagones et heptagones pour les

rangs impairs et hexagone pour les rangs pairs.

3

2 Proprits gnrales tous les polygones

Soient respectivement (C) et (CI) les cercles circonscrits et inscrits d'unpolygone de Poncelet PN et ses sommets Ai (i = 1, ..., n).Soient Ti les points de contact des cts de PN avec (CI)Soient Mi les milieux des arcs sous-tendus sur (C) et Ni les points diam-tralement opposs (voir gure 1 un pentagone en exemple).

On peut choisir n'importe quel point de (C) comme nouveau sommetpour dterminer un nouveau polygone. Le trac se fermera eectivement sur le

sommet de dpart.

Par suite, on peut faire tourner le polygone entre ses deux cercles.

Cette proprit peut tre reformule de la manire suivante :

Le cercle (C), de centre O et de rayon R, et le point I, centre de (CI),tant dnis, le rayon du cercle (CI) est indpendant du point de dpart dela construction du polygone. Si on pose d = OI, alors il existe une relationf(R, r, d) = 0, liant R, r et d.Cette relation f(R, r, d) ne dpend que de l'ordre et du type du polygone.

Fig. 1 Convergence des droites BiMi et BiNi

Les droites MiTi convergent en un point K, xe, centre d'homothtiedirecte des deux cercles (C) et (CI), car les tangentes chaque cercle en ces 2points sont parallles.

Les droites NiTi convergent galement en un point xe K, xe, centre d'ho-

mothtie inverse des cercles (C) et (CI).

4

Les 4 points O, I, K et K sont aligns et forment une division harmonique.

Considrons un ensemble de N sommets situs sur (C) et dterminant unpolygone convexe de Poncelet PN . Pour n > 4, on peut construire des polygonestoils

2

, en joignant de m en m les sommets de PN .Tous les polygones toils construits partir des sommets d'un polygone

de Poncelet convexe sont des polygones de Poncelet. (Voir gure 2 un hepta-

gone et ses deux variantes toiles P7,2 et P7,3).

Si l'ordreN du polygone n'est pas un nombre premier,N = a.b (a et b 6= 1),le polygone obtenu en joignant les sommets de a en a est constitu en fait dea polygones d'ordre b. Ces a polygones possdent le mme cercle inscrit (CI1).Ceci rsulte directement du fait que le polygone de Poncelet d'ordre b peut"tourner" entre les (C) et (CI1).

Fig. 2 Heptagone et ses deux variantes toiles

2

Pour n = 5, il y a 2 pentagones : P5 et P5,2.Pour n = 6, il y a galement 2 hexagones, mais l'hexagone toil se dcompose en fait endeux triangles.

Pour n = 7, il existe 3 heptagones : P7, P7,2 et P7,3....

5

Considrons un ensemble de polygones de Poncelet possdant les mmessommets situs sur un cercle (C). Le polygone convexe admet (CI) comme cercleinscrit et les polygones toils admettent respectivement (CI1), (CI2), ... commecercles inscrits. (Voir gure 2)

L'ensemble des cercles (C), (CI), (CI1), (CI2), ... constitue un faisceau de cercles.

Enn, on peut projeter un polygone de Poncelet sans perdre les propritsd'alignement, de convergence et de tangence. Les proprits de ces polygones

peuvent tre ainsi tendues en substituant des cniques aux cercles inscrit et

circonscrit. Nous n'aborderons pas cette gnralisation.

3 Proprits des polygones de rang impair

Soit un polygone P2.n+1 de rang impait N = 2.n + 1 inscrit dans un cercle(C) et admettant pour sommets les points Ai avec i = 1, 2, , 2.n+ 1.Il admet galement un cercle inscrit (CI), tangent ses cts aux points Ti aveci = 1, 2, , 2.n+ 1. (Voir gure 3 ci-aprs - Cas du pentagone)

Fig. 3 Pentagone et sa variante toile

6

Considrons maintenant le polygone P2.n+1,j toil obtenu en joignant lessommets Ai de j en j. (ici, P5,2 en rouge)

Ce polygone admet un cercle inscrit (CI1) tangent ses cts aux points Diavec i = 1, 2, , 2.n+1. Par ailleurs, ses cts se coupent 2 2, en N pointsBi sommets d'un polygone convexe.

Considrons enn le polygone toil P 2.n+1,j obtenu en joignant les pointsTi de j en j. (ici en bleu)

Les cts de P 2.n+1,j se coupent aux points de contact Di.

Deux cts non contigus de P2.n+1 spars par un seul ct sont concou-rants avec la droite AiDi issue du sommet oppos ce ct (Seuls sont tracs,sur la gure 3, les cts A2A3 et A4A5 qui se coupent en M sur A1D1.)

Les 3 cercles (C), (CI) et (CI1) font partie d'un mme faisceau de cercles.On peut en construire gomtriquement les points de Poncelet, ici P et P , etl'axe radical qui est la mdiatrice de PP .A la dirence des polygones de rang pair (voir plus loin), ces points ne d-

coulent pas directement des proprits de la gure.

Chaque droite AiTi passe par Bi. (Voir gure n 4 ci-aprs, traits en bleu)ATTENTION : Les droites AiTi ne sont pas concourantes.

Fig. 4 Autres alignements

7

4 Proprits des polygones de rang pair

Soit maintenant un polygone P2.n de rang pair N = 2.n inscrit dans uncercle (C) et admettant pour sommets les points Ai avec i = 1, 2, , 2.n.Il admet galement un cercle inscrit (CI), tangent ses cts aux points Tiavec i = 1, 2, , 2.n.

Le polygone toil P2.n,2 construit partir des points Bi se dcompose endeux polygones convexes P n et Pn. L'un d'eux admet pour sommets tous lesTi de rang i pair et l'autre tous les Ti de rang i est impair.On sait que P n et Pn admettent le mme cercle inscrit (CI1) auquel ils sonttangents en des points Di. (Voir gure 5 ci-aprs. Un hexagone de dcomposeen deux triangles, ici en traits rouges).

Fig. 5 Alignements dans l'hexagone

Les droites joignant les sommets opposs de P2.n, ou diagonales, sontconcourantes en un point P.

Il sut de considrer les n diagonales comme des polygones dgnrs deuxcts, obtenus en reliant les sommets de n en n.Ces polygones admettent le mme inscrit, mais celui-ci tant de rayon nul,

c'est donc un point.

Le point P est l'un des points de Poncelet du faisceau de cercles.Ceci dcoule directement du fait que le point P est en fait un cercle inscritlimite, c'est dire de rayon nul.

8

Les cts opposs de P2n se coupent sur la polaire de P par rapport (C).(Voir point N sur gure 5)On note P l'intersection de cette polaire avec l'axe OI (qui lui est videm-ment orthogonal par raison de symtrie).

Les tangentes (C) relatives deux sommets opposs de P2n se coupentsur la polaire de P par rapport (C). (Voir points M et Q sur gure 5)

Le point P est le second point de Poncelet ou, ce qui revient au mme,la mdiatrice de PP est l'axe radical du faisceau de cercles.

Les droites TiTi+n sont galement concourantes et leur point de concoursest le point P.

Le petit polygone P N , intersection des deux polygones P n et Pn (repr-sent en jaune sur la gure 6 suivante), bien que n'tant pas un polygone de

Poncelet, car il n'admet pas de cercle circonscrit, possde galement les deux

proprits de PN : Ses diagonales se coupent en P . Le segments joignant les points de contact opposs avec son cercle inscrit

se coupent en P .

Fig. 6 Autres alignements

9

5 Relations entre les longueurs R, r et d.

On dmontre les relations ci-aprs pour les rangs 3, 4 et 5 (voir mes supports

analytiques sous MathCad).

Par ailleurs, le site http ://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

fournit un ensemble de relations plus compltes, jusqu'au rang 16, en utilisant

toutefois des rsultats (non rappels) sur les intgrales elliptiques.

Cas du triangle

Le calcul fournit la solution :

d4 2.R2.d2 +R2.(R2 4.r2) = 0 (1)Le dterminant tant un carr parfait, la solution en d peut s'crire :

d2 = R2 2.r.R soit :

d =R.(R 2.r) pour le cercle inscrit

de =R.(R+ 2.re) pour chaque cercle exinscrit (e = 1,2,3) (2)

Ces 4 solutions (1 cercle inscrit, 3 cercles exinscrits) existent simultanment

pour tout triangle.

Cas du quadrilatre

Le calcul

3

fournit la solution :

d4 2.(R2 + r2).d2 +R4 2.r2.R2 = 0 (3)L encore, cette quation se dcompose en 2 quations selon :

d2 = R2 + r2 r.

4.R2 + r2 pour le cercle inscrit

d2e = R2 + r2e + re.

4.R2 + r2e pour le cercle exinscrit

Cette fois-ci, les deux solutions obtenues ne peuvent pas exister simultan-

ment. Un quadrilatre inscriptible ne peut pas possder la fois un cercle inscrit

et un cercle exinscrit. Il existe donc deux types de quadrilatres de Poncelet.

A noter que l'quation (3) peut tre mise sous une forme plus lgante. On

peut en eet l'crire :

(R2 d2)2 2.r2.(R2 + d2) = 0

soit encore

(R d)2.(R+ d)2 r2.(R d)2 r2.(R+ d)2 = 0

et enn, en divisant par r2.(R d)2.(R+ d)2 :1r2

=1

(R+ d)2+

1(R d)2 (4)

3

voir document PDF sur le quadrilatre pour plus de dtails

10

Cas du pentagone

Avec le pentagone, on aborde le premier polygone orant, outre la con-

guration convexe, une conguration toile. Pour ce qui concerne le polygone

convexe, le calcul fournit la relation suivante entre les quantits R, r, et d :

r2.(R2 2.R.r d2)2 + (d2 (R r)2) .(R2 + 2.R.r d2)2 = 0 (5)On peut ordonner les termes de l'quation selon les puissances de d selon :

d6 + (3.R2 2.R.r).d4 + (4.R2.r2 + 8.r3.R+ 3.R4 + 4.R3.r).d2 + (4.r2.R4 R6 2.R5.r) = 0(6)

Cette quation du 6e`me degr en d, ne prsentant que des puissance pairesde d, est en fait de degr 3 en d2. On peut la ramener la forme canonique en

posant d2 = D +3.R2 + 2.R.r

3soit, aprs simplication :

D3 +(8.r3.R 16

3.R2.r2

).D +

(163.r4.R2 +

12827

.R3.r3)

= D3 + p.D + q = 0

On peut calculer la quantit caractristique

(p3

)3+(q2

)2=

(8.r3.R 163 .R2.r2

3

)3+( 16

3 .r4.R2 + 12827 .R

3.r3

2

)2=

51227

.r9.R3 83227

.r8.R4 +102427

.r7.R5

=6427.R3.r7.(8.r2 13.r.R+ 16.R2)

Le dterminant de ce dernier trinme tant positif, celui-ci ne change jamais de

signe. Etant positif pour r = R, il est toujours positif.

Par suite, (6) admet toujours une et une seule racine, fournie par la formule

de Cardan, soit :

d2 =3

q2+

(p3

)3+(q2

)2+

3

q2(p

3

)3+(q2

)2+3.R2 + 2.R.r

3(7)

avec p =(8.r3.R 16

3.R2.r2

)et q =

(163.r4.R2 +

12827

.R3.r3)

11

La droite de Simson

Bernard Ronk

25 janvier 2015

En principe, ce chapitre devrait logiquement se trouver dans le documentsur le triangle. Toutefois, la recherche de lenveloppe de la droite de Simsondans le cas dune figure dynamique entraine une grande richesse de resultatset justifie une redaction separee.

Dans une premie`re partie, on rappellera ce quest la droite de Simsonainsi que quelques proprietes.

Dans une seconde partie, on conside`rera la figure sous son aspect dy-namique (deplacement du point generateur ou deformations continues di-verses du triangle) et les enveloppes qui en resultent pour la droite de Sim-son.

Nous limitant a` des resultats geometriques simples, nous verrons ainsiapparatre comme enveloppe le point (droites de Simson convergentes), lecercle, une epicyclode ou une hypocyclode.

1

Table des matie`res

1 Proprietes classiques de la droite de Simson 31.1 Theore`me central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Quelques proprietes dynamiques 62.1 Rappels sur les epicyclodes et hypocyclodes . . . . . . . . . . 62.2 Le point N parcourt le cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . 62.3 Triangle tournant entre ses cercles inscrit et circonscrit . . . . 82.4 Triangle tournant sans deformation dans son cercle circonscrit 102.5 Triangle dont lun des cotes pase par un point fixe . . . . . . . 112.6 Triangle dont lun des cotes reste tangent a` un cercle . . . . . 12

2

1 Proprietes classiques de la droite de Sim-

son

1.1 Theore`me central

On conside`re un triangle ABC et son cercle circonscrit (C).Dun point fixe N du cercle, on abaisse les perpendiculaires sur chacun

des 3 cotes. Soit respectivement les points D, E et F, les pieds des perpen-diculaires sur AC, AB et BC.

Theore`me 1 Les 3 points D, E et F sont alignes sur une droite appeleedroite de Simson.

Figure 1 Droite de Simson

Pour demontrer lalignement des 3 points D, E et F, il suffit de demontrer

que AED = BEF .

Le quadrilate`re NEDA est inscriptible car NEA = NDA = pi/2 donc

AED = AND.Dautre part, les deux angles ANB et DNF sont egaux entre eux car

chacun est supplementaire a` ACB. (Il suffit pour le voir de considerer lesdeux quadrilate`res inscriptibles ANBC et AFCD.)

3

Dou`, en soustrayant DNB a` chacun des angles ANB et DNF , on peut

ecrire AND = BNF .Enfin, dans le quadrilate`re inscriptible NEBF on a BNF = BEF .

Ainsi, AED = AND = BNF = BEF . C.Q.F.D.

Par suite, les 3 points D, E et F sont effectivement alignes sur la droitede Simson.

1.2 Quelques proprietes

Theore`me 2 La pendiculaire issue de N a` un cote du triangle recoupe lecercle en un second point. La droite joignant ce point au troisie`me sommetest paralle`le a` la droite de Simson.

Figure 2 Le droite BP est paralle`le a` la droite de Simson

La demonstration est evidente. Soit la perpendiculaire DN a` AC qui re-coupe le cercle en P.

Dans le quadrilate`re inscriptible ANBP, on a BPN = BAN .

Dans le quadrilate`re inscriptible ANED, on a EAN = EDN .

Soit finalement BPN = EDN .

4

Ainsi, la droite BP (en bleu) est bien paralle`le a` la droite de Simson.

Il en est evidemment de meme pour les deux autres perpendiculaires.

Theore`me 3 Si on appelle H lorthocentre du triangle ABC, la droite deSimson coupe NH en son milieu.

Theore`me 4 Si N est confondu avec un des sommets du triangle, la droitede Simson se confond avec la hauteur issue de ce sommet. (evident par con-struction)

Si N est diametralement oppose a` lun des sommets, la droite de Simsonse confond avec le cote oppose.

Figure 3 La droite de Simson est ici confondue avec lun des cotes

Le point N est ici diametralement oppose au sommet C et la droite deSimson se confond avec le cote AB. Les points E et K sont symetriques parrapport au milieu ce cote.

Theore`me 5 Les droites de Simson relatives a` deux points du cercle diametralementopposes sont perpendiculaires.

5

2 Quelques proprietes dynamiques

Nous qualifions ici de dynamiques les proprietes liees a` une deformationcontinue de la figure.

2.1 Rappels sur les epicyclodes et hypocyclodes

Soit un cercle fixe appele base sur lequel roule sans glisser un second cercleappele roulante. Tout point fixe de la circonference de la roulante decrit uneepicyclode si celle-ci roule a` lexterieur de la base et une hypocyclode sielle roule a` lexterieur.

Les points de contact avec la base sont des points de rebroussement deces cyclodes.

Si le rapport entre les rayons des deux cercles est rationnel, la cyclodeest fermee et posse`de un nombre fini de points de rebroussement. Dans le cascontraire, la cyclode est ouverte et posse`de un nombre infini de points dxerebroussement.

Cas particuliersOn pose q = rapport des rayons roulante/base.

Roulante exterieure :Si q = 1, chacun des points de sa circonference decrit une epicyclode

a` un rebroussement appelee cardiode.Si q = 2, chacun des points de la circonference decrit une epicyclode

a` 2 rebroussements appelee nephrode. Roulante interieure :

Si q = 1/2, chacun des points de sa circonference decrit un diame`trede la roulante.

Si q = 1/3, chacun des points de sa circonference decrit une hypocy-clode a` 3 rebroussements appelee deltode.

Si q = 1/4, chacun des points de sa circonference decrit une hypocy-clode a` 4 rebroussements appelee astrode.

2.2 Le point N parcourt le cercle circonscrit

Theore`me 6 Si N parcourt le cercle circonscrit du triangle, le triangle ABCrestant fixe, la droite de Simson admet une deltode (ou tricuspide) pourenveloppe. Cest la deltode de Steiner.

6

Cette deltode admet pour cercle circonscrit un cercle dun rayon triple decelui du cercle dEuler et de meme centre que celui-ci.

Elle est tangente aux 3 cotes et entie`rement exterieure au triangle, a` lex-ception des 3 points de tangence. Sur chacun des cotes, le point de tangenceest le symetrique du pied de la hauteur par rapport au milieu du cote.

Elle est egalement tangente a` chacune des 3 hauteurs.

Soit le triangle ABC et son cercle circonscrit (C).(Voir figure 4)Du point N du cercle, on abaisse les perpendiculaires aux 3 cotes du triangle.Les pieds des perpendiculaires, respectivement Na, Nb et Nc, sont alignes surla droite de Simson. (construction en traits bleus)

La deltode, enveloppe de la droite de Simson lorsque N decrit le cerclecirconscrit est ici figuree en rouge.

Conformement au theore`me 4, cette deltode est tangente aux 3 cotes endes points symetriques des pieds des hauteurs par rapport aux milieux descotes. (construction en vert relative au point Cb sur AC)

Elle est egalement tangente aux 3 hauteurs mais les points de tangence,situes pre`s des points de rebroussement, sont difficiles a` mettre en evidencesur la figure comple`te. Voir neanmoins le point Y sur la hauteur issue de B.Ce point Y est le symetrique de Hb par rapport au milieu du segment BH.

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Figure 4 La deltode, enveloppe de la droite de Simson lorsque N parcoursle cercle

2.3 Triangle tournant entre ses cercles inscrit et cir-conscrit

Si le cercle circonscrit (C) admet un rayon R et le cercle inscrit (c) unrayon r, alors la distance entre les deux centres vaut

R.(R 2.r).

Les deux cercles etant ainsi positionnes lun par rapport a` lautre, quelque soit le point A choisi sur (C), on peut mener deux tangentes a` (c) a`

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partir de ce point. Ces deux tangentes recoupent (C) en B et C et la droiteBC est tangente a` (c).

Ainsi, le triangle ABC peut tourner, en se deformant, entre ses deuxcercles (C) et (c).

Si a` partir dun point N de (C), on trace alors la droite la droite deSimson (S) relative au triangle ABC, celle-ci passe passe par un point fixeQ independant de la position du triangle ABC. (voir figure 5)

(En rouge, le trace dun triangle ABC et de la droite de Simson (S )correspondante.)

Figure 5 La droite de Simson passe par Q, fixe, lorsque ABC tourne entreson cercle inscrit et son cercle circonscrit.

Theore`me 7 Si le triangle ABC tourne entre le cercle inscrit et le cerclecirconscrit, la droite de Simson passe par un point fixe Q.

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2.4 Triangle tournant sans deformation dans son cerclecirconscrit

Le triangle ABC ne se deforme plus mais tourne a` linterieur de soncercle circonscrit (C). Dans ce cas, lenveloppe de la droite de Simson est unecardiode.

Le centre du cercle de la base de cette cardiode est situe au milieu dusegment joignant le centre de (C) au point N . (Voir figure 6)

Theore`me 8 Si le triangle tourne sans deformation dans son cercle cir-conscrit (C), la droite de Simson relative au point N de (C) admet commeenveloppe une cardoide dont le cercle de base admet pour centre le milieu dusegment NO.

Figure 6 Enveloppe de la droite de Simson lorsque le triangle tourne

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2.5 Triangle dont lun des cotes pase par un point fixe

Si lun des cotes tourne autour dun point fixe, le sommet oppose etantfixe, la droite de Simson passe egalement par un point fixe.

Soit le cercle circonscrit (C) de centre O, A le sommet fixe et BC le coteastreint a` passer par le point fixe J (voir figure 7). N est le point generateurde la droite de Simson du triangle ABC.

On conside`re le cercle (C1) defini par son diame`tre JN. Ce cercle (C1)recoupe (C) en M et la droite AM recoupe (C1) en K.

La droite de Simson relative au point N passe par ce point fixe K.

Figure 7 Si AC passe par J, la droite de Simson passe par K.

Theore`me 9 Soit un triangle, admettant (C) comme cercle circonscrit, sonsommet A fixe sur (C) son cote BC pivotant autour duun point fixe J quel-conque. Soit egalement le point N de (C) generateur de la droite de Simson.

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On conside`re le cercle de diame`tre JN. Celui-ci recoupe (C) en M et ladroite AM recoupe (C1) en K.

Alors, la droite de Simson relative a` N passe par K.

2.6 Triangle dont lun des cotes reste tangent a` uncercle

On conside`re maintenant un second cercle (C1), lun des cotes du triangle(ici BC) restant tangent a` ce cercle. Le 3e`me sommet, A, reste, lui, fixe sur lecercle circonscrit (C).

Dans ce cas, lenveloppe de la droite de Simson est un second cercle (C2).Dans la figure qui suit (voir figure 8), le cercle (C2) est dessine en rouge.

Theore`me 10 Si un triangle, admettant (C) comme cercle circonscrit, sedeforme de telle manie`re que lun de ses cotes reste tangent a` un cercle fixe(C1), son 3e`me sommet restant fixe sur (C), la droite de Simson, relative a`un point N de (C), admet pour enveloppe un second cercle (C2).

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Figure 8 Enveloppe de la droite de Simson lorsque BC reste tangent a` uncercle

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