tratamiento estadistico
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Def in ic ión de Es tad í s t i ca
La Estad í s t i ca t r a t a de l r ecuen to , o rdenac ión y c l a s i f i cac ión de los da tos
ob ten idos po r l a s obse rvac iones , pa ra pode r hace r comparac iones y saca r
conc lus iones .
Un es tud io e s tad í s t i co cons t a de l a s s igu ien te s f a ses :
Recog ida de da tos .
Organ izac ión y r ep resen tac ión de da tos .
Aná l i s i s de da tos .
Ob tenc ión de conc lus iones .
Conceptos de Es tad í s t i ca
Poblac ión
Una poblac ión e s e l con jun to de todos los e l emen tos a l o s que se somete
a un e s tud io e s t ad í s t i co .
Ind iv iduo
Un ind iv iduo o unidad es tad í s t i ca e s cada uno de los e l emen tos que
componen l a pob lac ión .
Muestra
Una muestra e s un con jun to r ep resen ta t ivo de l a pob lac ión de r e fe renc ia ,
e l número de ind iv iduos de una mues t r a e s menor que e l de l a pob lac ión .
Muestreo
El muestreo e s l a r eun ión de da tos que se desea e s tud ia r , ob ten idos de
una p roporc ión r educ ida y r ep resen ta t iva de l a pob lac ión .
Valor
Un va lor e s cada uno de los d i s t i n tos r e su l t ados que se pueden ob tene r en
un e s tud io e s t ad í s t i co . S i l anzamos una moneda a l a i r e 5 veces ob tenemos dos
va lo res : ca ra y c ruz .
Dato
Un dato e s cada uno de los va lo res que se ha ob ten ido a l r ea l i za r un
e s tud io e s t ad í s t i co . S i l anzamos una moneda a l a i r e 5 veces ob tenemos 5 da tos :
ca ra , ca ra , c ruz , ca ra , c ruz .
Def in ic ión de var iab le
Una var iab le e s tad í s t i ca e s cada una de l a s carac ter í s t i cas o cua l idades
que poseen los i ndiv iduos de una poblac ión .
Tipos de var iab le e s tad í s t i cas
Var iab le cua l i t a t iva
Las var iab les cua l i ta t ivas s e r e f i e ren a carac ter í s t i cas o cua l idades que
no pueden se r med idas con números . Podemos d i s t ingu i r dos t i pos :
Variab le cua l i ta t iva nomina l
Una var iab le cua l i ta t iva nomina l p re sen ta modal idades no numér icas
que no admi ten un cr i t er io de orden . Po r e j emplo :
E l e s t ado c iv i l , con l a s s igu ien te s moda l idades : so l t e ro , ca sado ,
s epa rado , d ivo rc i ado y v iudo .
Variab le cua l i ta t iva ord ina l o var iab le cuas icuant i ta t iva
Una var iab le cua l i ta t iva ord ina l p re sen ta modal idades no númer icas ,
en l a s que ex i s t e un orden . Po r e j emplo :
La no ta en un examen : suspenso , ap robado , no tab le , sob resa l i en te .
Pues to consegu ido en una p rueba depor t iva : 1 º , 2 º , 3 º , . . .
Meda l l a s de una p rueba depor t iva : o ro , p l a t a , b ronce .
Variab le cuant i ta t iva
Una var iab le cuant i ta t iva e s l a que se expresa med ian te un número , po r
t an to se pueden r ea l i za r o perac iones ar i tmét icas con e l l a . Podemos d i s t ingu i r
dos t i pos :
Variab le d i scre ta
Una var iab le d i scre ta e s aque l l a que toma va lores a i s lados , e s dec i r no
admi te va lores in termedios en t r e dos va lo res e spec í f i cos . Por e j emplo :
El número de he rmanos de 5 amigos : 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .
Variab le cont inua
Una var iab le cont inua e s aque l l a que puede tomar va lores
comprendidos entre dos números . Po r e j emplo :
La a l tu ra de lo s 5 amigos : 1 .73 , 1 .82 , 1 .77 , 1 .69 , 1 .75 .
En l a p rác t i ca med imos l a a l tu ra con dos dec ima les , pe ro t ambién se
podr í a da r con t r e s dec ima les .
Dis tr ibuc ión de f recuenc ias
La dis tr ibuc ión de f recuenc ias o tab la de f recuenc ias e s una
ordenac ión en fo rma de tab la de lo s datos e s tad í s t i cos , a s ignando a cada dato
su f recuenc ia correspondiente .
Tipos de f recuenc ias
Frecuenc ia abso lu ta
La f recuenc ia abso luta e s e l número de veces que apa rece un
de t e rminado va lor en un e s tud io e s t ad í s t i co .
Se r ep resen ta po r f i .
La suma de las f recuenc ias abso lutas e s i gua l a l número to t a l de da tos ,
que se r ep resen ta po r N .
Pa ra ind ica r r e sumidamen te e s t a s sumas se u t i l i za l a l e t r a g r i ega Σ
( s igma mayúscu la ) que se l ee suma o sumato r i a .
Frecuenc ia re la t i va
La f recuenc ia re la t iva e s e l coc iente en t r e l a f recuenc ia abso luta de un
de t e rminado va lo r y e l número to ta l de datos .
Se puede expresa r en t an tos po r c i en to y se r ep resen ta po r n i .
La suma de l a s f r ecuenc ia s r e l a t ivas e s i gua l a 1 .
Frecuenc ia acumulada
La f recuenc ia acumulada e s l a suma de las f recuenc ias abso lutas de
todos los va lores in fer iores o igua les a l va lor cons ide rado .
Se r ep resen ta po r F i .
Frecuenc ia re la t i va acumulada
La f recuenc ia re la t iva acumulada e s e l coc iente en t r e l a f recuenc ia
acumulada de un de t e rminado va lor y e l número to ta l de datos . Se puede
expresa r en t an tos po r c i en to .
Ejemplo
Duran te e l mes de ju l io , en una c iudad se han r eg i s t r ado l a s s igu ien te s
t empera tu ras máx imas :
32 , 31 , 28 , 29 , 33 , 32 , 31 , 30 , 31 , 31 , 27 , 28 , 29 , 30 , 32 , 31 , 31 , 30 , 30 ,
29 , 29 , 30 , 30 , 31 , 30 , 31 , 34 , 33 , 33 , 29 , 29 .
En l a p r imera co lumna de l a t ab l a co locamos l a va r i ab le o rdenada de
menor a mayor , en l a segunda hacemos e l r ecuen to y en l a t e rce ra ano tamos l a
f r ecuenc ia abso lu t a .
x i Recuento f i F i n i N i
27 I 1 1 0 .032 0 .032
28 II 2 3 0 .065 0 .097
29 6 9 0 .194 0 .290
30 7 16 0 .226 0 .516
31 8 24 0 .258 0 .774
32 III 3 27 0 .097 0 .871
33 III 3 30 0 .097 0 .968
34 I 1 31 0 .032 1
31 1
Es te t i po de tab las de f recuenc ias s e u t i l i za con var iab les d i scre tas .
Dis tr ibuc ión de f recuenc ias agrupadas
La dis tr ibuc ión de f recuenc ias agrupadas o tab la con datos agrupados
se emplea s i l a s var iab les t oman un número grande de va lores o l a var iab le
e s cont inua .
Se agrupan l o s va lores en in terva los que t engan l a misma ampl i tud
denominados c lases . A cada c lase s e l e a s igna su f recuenc ia correspondiente .
Lími te s de la c lase
Cada c lase e s t á de l imi tada po r e l l ími te in fer ior de la c lase y e l l ími te
super ior de la c lase .
Ampl i tud de la c lase
La ampl i tud de la c lase e s l a di ferenc ia en t r e e l l ími te super ior e
in fer ior de l a c lase .
Marca de c lase
La marca de c lase e s e l punto medio de cada in terva lo y e s e l va lor que
r ep resen ta a t odo e l in terva lo pa ra e l cá lcu lo de a lgunos parámetros .
Construcc ión de una tab la de datos agrupados
3 , 15 , 24 , 28 , 33 , 35 , 38 , 42 , 43 , 38 , 36 , 34 , 29 , 25 , 17 , 7 , 34 , 36 , 39 , 44 ,
31 , 26 , 20 , 11 , 13 , 22 , 27 , 47 , 39 , 37 , 34 , 32 , 35 , 28 , 38 , 41 , 48 , 15 , 32 , 13 .
1 º Se loca l i zan los va lo res menor y mayor de l a d i s t r ibuc ión . En e s t e
caso son 3 y 48 .
2 º Se r e s t an y se busca un número en te ro un poco mayor que l a d i f e renc ia
y que sea d iv i s ib l e po r e l número de in t e rva los que ramos e s t ab lece r .
Es conven ien te que e l número de in t e rva los osc i l e en t r e 6 y 15 .
En es t e caso , 48 - 3 = 45 , i nc remen tamos e l número has t a 50 : 5 = 10
in t e rva los .
Se fo rman los in t e rva los t en i endo p resen te que e l l ími t e i n fe r io r de una
c l a se pe r t enece a l i n t e rva lo , pe ro e l l ími t e supe r io r no pe r t enece in t e rva lo , s e
cuen ta en e l s igu ien te in t e rva lo .
c i f i F i n i N i
[0 , 5 ) 2 .5 1 1 0 .025 0 .025
[5 , 10 ) 7 .5 1 2 0 .025 0 .050
[10 , 15 ) 12 .5 3 5 0 .075 0 .125
[15 , 20 ) 17 .5 3 8 0 .075 0 .200
[20 , 25 ) 22 .5 3 11 0 .075 0 .275
[25 , 30 ) 27 .5 6 17 0 .150 0 .425
[30 , 35 ) 32 .5 7 24 0 .175 0 .600
[35 , 40 ) 37 .5 10 34 0 .250 0 .850
[40 , 45 ) 42 .5 4 38 0 .100 0 .950
[45 , 50 ) 47 .5 2 40 0 .050 1
40 1
Diagrama de barras
Un diagrama de barras s e u t i l i za pa ra de p re sen ta r datos cua l i ta t ivos o
datos cuant i ta t ivos de t ipo d i scre to .
Se r ep resen tan sobre unos e j e s de coordenadas , en e l e je de absc i sas s e
co locan los va lores de la var iab le , y sobre e l e je de ordenadas l a s
f recuenc ias abso lutas o re la t ivas o acumuladas .
Los datos s e r ep resen tan med ian te barras de una a l tura proporc iona l a
l a f recuenc ia .
Ejemplo
Un es tud io hecho a l con jun to de los 20 a lumnos de una c l a se pa ra
de t e rmina r su g rupo sangu íneo ha dado e l s igu ien te r e su l t ado :
Grupo
sanguíneof i
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
Pol ígonos de f recuenc ia
Un pol ígono de f recuenc ias s e fo rma un iendo los extremos de l a s barras
median te segmentos .
También se puede r ea l i za r t r azando los puntos que r ep resen tan l a s
f recuenc ias y un iéndo los med ian te segmentos .
Ejemplo
Las t empera tu ras en un d í a de o toño de una c iudad han su f r ido l a s
s igu ien te s va r i ac iones :
HoraTemperatur
a
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
Un diagrama de sec tores s e puede u t i l i za r pa ra todo t i po de var iab le s ,
pe ro se usa f r ecuen temen te pa ra l a s var iab les cua l i ta t ivas .
Los datos s e r ep resen tan en un c írcu lo , de modo que e l ángulo de cada
sec tor e s proporc iona l a l a f recuenc ia abso luta co r re spond ien te .
E l d i ag rama c i r cu la r s e cons t ruye con l a ayuda de un t r anspor t ador de
ángu los .
Ejemplo
En una c l a se de 30 a lumnos , 12 juegan a ba lonces to , 3 p rac t i can l a
na t ac ión , 4 juegan a l fú tbo l y e l r e s to no p rac t i ca n ingún depor t e .
Alumnos Ángulo
Balonces to 12 144°
Natac ión 3 36°
Fútbo l 9 108°
S in deporte 6 72°
Tota l 30 360°
Un his tograma e s una representac ión gráf i ca de una var iab le en fo rma
de barras .
Se u t i l i zan pa ra var iab les cont inuas o pa ra var iab les d i scre tas , con un
g ran número de da tos , y que se han ag rupado en c lases .
En e l e je absc i sas s e cons t ruyen unos rec tángulos que t i enen por base la
ampl i tud de l in terva lo , y po r a l tura , l a f recuenc ia abso luta de cada
in terva lo .
La super f i c i e de cada barra e s proporc iona l a l a f recuenc ia de lo s
va lores r ep resen tados .
Pol ígono de f recuenc ia
Para cons t ru i r e l pol ígono de f recuenc ia s e t oma l a marca de c lase que
co inc ide con e l punto medio de cada rec tángulo .
Ejemplo
El peso de 65 pe r sonas adu l t a s v i ene dado por l a s igu ien te t ab l a :
c i f i F i
[50 , 60 ) 55 8 8
[60 , 70 ) 65 10 18
[70 , 80 ) 75 16 34
[80 , 90 ) 85 14 48
[90 , 100) 95 10 58
[100 , 110) 110 5 63
[110 , 120) 115 2 65
65
His tograma y po l ígono de f recuenc ias acumuladas
Si se r ep resen tan l a s f recuenc ias acumuladas de una tab la de datos
agrupados s e ob t i ene e l his tograma de f recuenc ias acumuladas o su
co r re spond ien te pol ígono .
His togramas con in terva los de ampl i tud d i ferente
Para cons tru ir un his togramas con in terva lo de ampl i tud d i ferente
t enemos que ca lcu lar l a s a l turas de lo s rec tángulos de l his tograma .
h i e s l a a l tu ra de l i n t e rva lo .
f i e s l a f r ecuenc ia de l i n t e rva lo .
a i e s l a ampl i tud de l i n t e rva lo .
Ejemplo
En l a s igu ien te t ab l a se mues t r a l a s ca l i f i cac iones ( suspenso , ap robado ,
no tab le y sobresa l i en te ) ob ten idas po r un g rupo de 50 a lumnos .
f i h i
[0 , 5 ) 15 3
[5 , 7 ) 20 10
[7 , 9 ) 12 6
[9 , 10 ) 3 3
50
Def in ic ión de parámet ro e s tad í s t i co
Un parámetro e s tad í s t i co e s un número que se ob t i ene a pa r t i r de lo s
datos de una dis tr ibuc ión e s tad í s t i ca .
Los parámetros e s tad í s t i cos s i rven pa ra s in t e t i za r l a i n fo rmac ión dada
por una t ab la o po r una g rá f i ca .
Tipos de parámetros e s tad í s t i cos
Hay t res t ipos parámetros e s tad í s t i cos :
De cen t ra l i zac ión .
De pos i c ión
De d i spe r s ión .
Med idas de cen t ra l i zac ión
Nos ind ican en to rno a qué va lo r ( cen t ro ) se d i s t r ibuyen los da tos .
La medidas de centra l i zac ión son :
Media ar i tmé t i ca
La media e s e l va lo r promedio de l a d i s t r ibuc ión .
Mediana
La mediana e s l a puntac ión de l a e sca l a que separa la mi tad super ior
de l a d i s t r ibuc ión y l a in fer ior , e s dec i r d iv ide l a se r i e de da tos en dos par tes
igua les .
Moda
La moda e s e l va lor que más se rep i te en una d i s t r ibuc ión .
Medidas de pos i c ión
Las medidas de pos i c ión d iv iden un con jun to de da tos en g rupos con e l
mi smo número de ind iv iduos .
Pa ra ca l cu la r l a s medidas de pos i c ión e s necesa r io que los datos e s t én
o rdenados de menor a mayor .
La medidas de pos i c ión son :
Cuar t i l e s
Los cuart i l e s d iv iden l a s e r i e de da tos en cuatro par tes igua les .
Dec i l e s
Los dec i l e s d iv iden l a se r i e de da tos en diez par tes igua les .
Percen t i l e s
Los percent i l e s d iv iden l a se r i e de da tos en c ien par tes igua les .
Medidas de d i spers ión
Las medidas de d i spers ión nos in fo rman sobre cuan to se a l e j an de l
cen t ro lo s va lo res de l a d i s t r ibuc ión .
Las medidas de d i spers ión son :
Rango o recorr ido
El rango e s l a di ferenc ia en t r e e l mayor y e l menor de lo s datos de una
d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca .
Desv iac ión med ia
La desv iac ión media e s l a media ar i tmét i ca de lo s va lores abso lutos de
l a s desv iac iones r e spec to a l a media .
Var ianza
La var ianza e s l a media ar i tmét i ca de l cuadrado de las desv iac iones
r e spec to a l a media .
Desv iac ión t íp i ca
La desv iac ión t íp i ca e s l a ra íz cuadrada de l a var ianza .
Def in ic ión de moda
La moda e s e l va lor que t i ene mayor frecuenc ia abso luta .
Se r ep resen ta po r M o .
Se puede ha l l a r l a moda pa ra var iab les cua l i ta t ivas y cuant i ta t ivas .
Hal lar l a moda de l a d i s t r ibuc ión :
2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 M o = 4
Si en un g rupo hay dos o var ias puntuac iones con l a misma frecuenc ia
y e sa f r ecuenc ia e s l a máx ima , l a dis tr ibuc ión e s bimodal o mult imodal , e s
dec i r , t i ene var ias modas .
1 , 1 , 1 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9 , 9 , 9 M o = 1 , 5 , 9
Cuando todas l a s puntuac iones de un g rupo t i enen l a misma frecuenc ia ,
no hay moda .
2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 , 9 , 9
S i dos puntuac iones adyacentes t i enen l a f recuenc ia máxima , l a moda
es e l promedio de l a s dos pun tuac iones adyacen te s .
0 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 Mo = 4
Cálcu lo de la moda para datos agrupados
1º Todos los in t e rva los t i enen la misma ampl i tud .
L i e s e l l ími t e i n fe r io r de l a c l a se moda l .
f i e s l a f r ecuenc ia abso lu t a de l a c l a se moda l .
f i - - 1 e s l a f r ecuenc ia abso lu t a inmed ia t amen te in fe r io r a l a c l a se moda l .
f i - + 1 e s l a f r ecuenc ia abso lu t a inmed ia t amen te pos t e r io r a l a c l a se moda l .
a i e s l a ampl i tud de l a c l a se .
También se u t i l i za o t r a fórmula de l a moda que da un va lor aprox imado
de é s t a :
Ejemplo
Calcu lar l a moda de una d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca que v iene dada por l a
s igu ien te t ab l a :
f i
[60 , 63 ) 5
[63 , 66 ) 18
[66 , 69 ) 42
[69 , 72 ) 27
[72 , 75 ) 8
100
2º Los in t e rva los t i enen ampl i tudes d i s t in tas .
En p r imer luga r t enemos que ha l l a r l a s a l tu ra s .
La c l a se moda l e s l a que t i ene mayor a l tu ra .
La fórmula de l a moda aprox imada cuando ex i s t en d i s t in t a s ampl i tudes
e s :
Ejemplo
En l a s igu ien te t ab l a se mues t r a l a s ca l i f i cac iones ( suspenso , ap robado ,
no tab le y sobresa l i en te ) ob ten idas po r un g rupo de 50 a lumnos . Calcu lar la
moda .
f i h i
[0 , 5 ) 15 3
[5 , 7 ) 20 10
[7 , 9 ) 12 6
[9 , 10 ) 3 3
50
Def in ic ión de med iana
Es e l va lor que ocupa e l lugar centra l de todos los datos cuando é s tos
e s t án ordenados de menor a mayor .
La mediana s e r ep resen ta po r M e .
La mediana s e puede hal lar só lo pa ra var iab les cuant i ta t ivas .
Cálcu lo de la mediana
1 Ordenamos l o s datos de menor a mayor .
2 Si l a se r i e t i ene un número impar de medidas l a mediana e s l a
puntuac ión centra l de l a mi sma .
2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6 Me= 5
3 Si l a se r i e t i ene un número par de pun tuac iones l a mediana e s l a
media en t r e l a s dos puntuac iones centra le s .
7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 Me= 9 .5
Cá lcu lo de la mediana para datos agrupados
La mediana s e encuen t ra en e l in terva lo donde l a f recuenc ia acumulada
l l ega has t a l a mitad de la suma de las f recuenc ias abso lutas .
Es dec i r t enemos que busca r e l i n t e rva lo en e l que se encuen t re .
L i e s e l l ími t e i n fe r io r de l a c l a se donde se encuen t ra l a med iana .
e s l a s emisuma de l a s f r ecuenc ia s abso lu t a s .
F i - 1 e s l a f recuenc ia acumulada an t e r io r a l a c l a se med iana .
a i e s l a ampl i tud de l a c l a se .
La mediana e s independiente de l a s ampl i tudes de lo s in terva los .
Ejemplo
Calcu lar l a mediana de una d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca que v i ene dada por
l a s igu ien te t ab l a :
f i F i
[60 , 63 ) 5 5
[63 , 66 ) 18 23
[66 , 69 ) 42 65
[69 , 72 ) 27 92
[72 , 75 ) 8 100
100
100 /2 = 50
Clase de l a med iana : [66 , 69 )
Def in ic ión de med ia ar i tmé t i ca
La media ar i tmét i ca e s e l va lor ob ten ido a l sumar t odos lo s datos y
div id ir e l r e su l t ado en t r e e l número t o t a l de datos .
e s e l s ímbo lo de l a media ar i tmét i ca .
Ejemplo
Los pesos de se i s amigos son : 84 , 91 , 72 , 68 , 87 y 78 kg . Ha l l a r e l peso
med io .
Media ar i tmét i ca para datos agrupados
Si lo s datos v i enen agrupados en una t ab la de f r ecuenc ia s , l a expres ión
de l a media e s :
Ejerc i c io de med ia ar i tmé t i ca
En un t e s t r ea l i zado a un g rupo de 42 pe r sonas se han ob ten ido l a s
pun tuac iones que mues t r a l a t ab l a . Calcu la la puntuac ión media .
x i f i x i · f i
[10 , 20 ) 15 1 15
[20 , 30 ) 25 8 200
[30 ,40) 35 10 350
[40 , 50 ) 45 9 405
[50 , 60 55 8 440
[60 ,70) 65 4 260
[70 , 80 ) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media ar i tmét i ca
1 . La suma de l a s desv iac iones de todas l a s pun tuac iones de una
d i s t r ibuc ión r e spec to a l a media de l a mi sma igua l a cero .
La suma de l a s desv iac iones de lo s números 8 , 3 , 5 , 12 , 10 de su med ia
a r i tmé t i ca 7 .6 e s i gua l a 0 :
8 − 7 .6 + 3 − 7 .6 + 5 − 7 .6 + 12 − 7 .6 + 10 − 7 .6 =
= 0 . 4 − 4 .6 − 2 .6 + 4 . 4 + 2 . 4 = 0
2 . La suma de lo s cuadrados de l a s desv iac ione s de lo s va lo res de l a
va r i ab le con r e spec to a un número cua lqu ie ra se hace mínima cuando d i cho
número co inc ide con l a media ar i tmét i ca .
3 . Si a t odos los va lo res de l a va r i ab le se l e s suma un mismo número , l a
media ar i tmét i ca queda aumentada en d i cho número .
4 . Si todos los va lo res de l a va r i ab le se mult ip l i can po r un mismo
número l a media ar i tmét i ca queda mult ip l i cada po r d i cho número .
Observac iones sobre la media ar i tmét ica
1 . La media s e puede hal lar só lo pa ra var iab les cuant i ta t ivas .
2 . La media e s independiente de l a s ampl i tudes de lo s in terva los .
3 . La media e s muy sens ib l e a l a s puntuac iones ex tremas . S i t enemos
una d i s t r ibuc ión con los s igu ien te s pesos :
65 kg , 69kg , 65 kg , 72 kg , 66 kg , 75 kg , 70 kg , 110 kg .
La media e s i gua l a 74 kg , que e s una medida de centra l i zac ión poco
r ep resen ta t iva de l a d i s t r ibuc ión .
4 . La media no se puede ca l cu la r s i hay un in t e rva lo con una ampl i tud
indeterminada .
x i f i
[60 , 63 ) 61 .5 5
[63 , 66 ) 64 .5 18
[66 , 69 ) 67 .5 42
[69 , 72 ) 70 .5 27
[72 , ∞ ) 8
100
En es t e caso no e s pos ib l e ha l l a r l a media po rque no podemos ca l cu la r l a
marca de c lase de ú l t imo in t e rva lo .
Los cuart i l e s son los t res va lores de l a va r i ab le que div iden a un
conjunto de datos ordenados en cuatro par tes igua les .
Q 1 , Q 2 y Q 3 de t e rminan los va lo res co r re spond ien te s a l 25%, a l 50% y a l
75% de lo s datos .
Q 2 co inc ide con l a mediana .
Cálcu lo de los cuar t i l e s
1 Ordenamos l o s datos de menor a mayor .
2 Buscamos e l l uga r que ocupa cada cuart i l med ian te l a expres ión
.
Número impar de da tos
2 , 5 , 3 , 6 , 7 , 4 , 9
Número par de da tos
2 , 5 , 3 , 4 , 6 , 7 , 1 , 9
Cálcu lo de los cuar t i l e s para datos agrupados
En p r imer luga r buscamos l a c lase donde se encuen t ra ,
en l a tab la de las f recuenc ias acumuladas .
L i e s e l l ími t e i n fe r io r de l a c l a se donde se encuen t ra e l cua r t i l .
N e s l a suma de l a s f r ecuenc ia s abso lu t a s .
F i - 1 e s l a f recuenc ia acumulada an t e r io r a l a c l a se de l cua r t i l .
a i e s l a ampl i tud de l a c l a se .
Ejerc i c io de cuar t i l e s
Calcu lar los cuar t i l e s de l a d i s t r ibuc ión de l a t ab l a :
f i F i
[50 , 60 ) 8 8
[60 , 70 ) 10 18
[70 , 80 ) 16 34
[80 , 90 ) 14 48
[90 , 100) 10 58
[100 , 110) 5 63
[110 , 120) 2 65
65
Cálcu lo de l p r imer cuar t i l
Cá lcu lo de l s egundo cuar t i l
Cálcu lo de l t e rcer cuar t i l
Los dec i l e s son los nueve va lores que div iden l a s e r i e de datos en diez
par tes igua les .
Los dec i l e s dan los va lo res co r re spond ien te s a l 10%, a l 20%. . . y a l 90%
de los da tos .
D 5 co inc ide con l a mediana .
Cálcu lo de los dec i l e s
En p r imer luga r buscamos l a c l a se donde se encuen t ra
, en l a t ab l a de l a s f r ecuenc ia s acumuladas .
L i e s e l l ími t e i n fe r io r de l a c l a se donde se encuen t ra e l dec i l .
N e s l a suma de l a s f r ecuenc ia s abso lu t a s .
F i - 1 e s l a f recuenc ia acumulada an t e r io r a l a c l a se e l dec i l . .
a i e s l a ampl i tud de l a c l a se .
Ejerc i c io de dec i l e s
Calcu lar los dec i l e s de l a d i s t r ibuc ión de l a t ab l a :
f i F i
[50 , 60 ) 8 8
[60 , 70 ) 10 18
[70 , 80 ) 16 34
[80 , 90 ) 14 48
[90 , 100) 10 58
[100 , 110) 5 63
[110 , 120) 2 65
65
Cálcu lo de l p r imer dec i l
Cá lcu lo de l s egundo dec i l
Cá lcu lo de l t e rcer dec i l
Cá lcu lo de l cuar to dec i l
Cá lcu lo de l qu in to dec i l
Cálcu lo de l s ex to dec i l
Cá lcu lo de l s ép t imo dec i l
Cá lcu lo de l oc tavo dec i l
Cá lcu lo de l noveno dec i l
Los percent i l e s son los 99 va lores que div iden l a s e r i e de datos en 100
par tes igua les .
Los percent i l e s dan los va lo res co r re spond ien te s a l 1%, a l 2%. . . y a l
99% de los da tos .
P 5 0 co inc ide con l a mediana .
Cálcu lo de los percent i l e s
En p r imer luga r buscamos l a c l a se donde se encuen t ra
, en l a t ab l a de l a s f r ecuenc ia s acumuladas .
L i e s e l l ími t e i n fe r io r de l a c l a se donde se encuen t ra e l pe rcen t i l .
N e s l a suma de l a s f r ecuenc ia s abso lu t a s .
F i - 1 e s l a f recuenc ia acumulada an t e r io r a l a c l a se de l pe rcen t i l .
a i e s l a ampl i tud de l a c l a se .
Ejerc i c io de percen t i l e s
Calcu lar e l percent i l 35 y 60 de l a d i s t r ibuc ión de l a t ab l a :
f i F i
[50 , 60 ) 8 8
[60 , 70 ) 10 18
[70 , 80 ) 16 34
[80 , 90 ) 14 48
[90 , 100) 10 58
[100 , 110) 5 63
[110 , 120) 2 65
65
Percen t i l 35
Percen t i l 60
Desv iac ión respec to a la media
La desv iac ión respec to a la media e s l a di ferenc ia en va lo r abso lu to
en t r e cada va lor de l a va r i ab le e s t ad í s t i ca y l a media ar i tmét i ca .
D i = | x - x |
Desv iac ión media
La desv iac ión media e s l a media ar i tmét i ca de lo s va lores abso lutos de
las desv iac iones respec to a la media .
La desv iac ión media s e r ep resen ta po r
Ejemplo
Calcu la r l a desv iac ión media de l a d i s t r ibuc ión :
9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18
Desv iac ión media para datos agrupados
Si lo s da tos v i enen ag rupados en una tab la de f recuenc ias , l a expres ión
de l a desv iac ión media e s :
Ejemplo
Calcu la r l a desv iac ión media de l a d i s t r ibuc ión :
x i f i x i · f i | x - x | | x - x | · f i
[10 , 15 ) 12 .5 3 37 .5 9 .286 27 .858
[15 , 20 ) 17 .5 5 87 .5 4 .286 21 .43
[20 , 25 ) 22 .5 7 157 .5 0 .714 4 .998
[25 , 30 ) 27 .5 4 110 5 .714 22 .856
[30 , 35 ) 32 .5 2 65 10 .714 21 .428
21 457 .5 98 .57
La var ianza e s l a media ar i tmét i ca de l cuadrado de las desv iac iones
respec to a la media de una d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca .
La va r i anza se r ep resen ta po r .
Var ianza para da tos agrupados
Para s impl i f i ca r e l cá lcu lo de la var ianza vamos o u t i l i za r l a s s igu ien te s
expres iones que son equ iva len te s a l a s an te r io re s .
Var ianza para da tos agrupados
Ejerc i c ios de var ianza
Calcu lar la var ianza de l a d i s t r ibuc ión :
9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18
Calcu lar la var ianza de l a d i s t r ibuc ión de l a t ab l a :
x i f i x i · f i x i2 · f i
[10 , 20 ) 15 1 15 225
[20 , 30 ) 25 8 200 5000
[30 ,40) 35 10 350 12 250
[40 , 50 ) 45 9 405 18 225
[50 , 60 55 8 440 24 200
[60 ,70) 65 4 260 16 900
[70 , 80 ) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la var ianza
1 La var ianza s e rá s i empre un va lor pos i t ivo o cero , en e l ca so de que
l a s pun tuac iones sean igua le s .
2 Si a t odos los va lores de l a va r i ab le se l e s suma un número l a
var ianza no var ía .
3 Si todos los va lores de l a va r i ab le se mult ip l i can po r un número l a
var ianza queda mult ip l i cada po r e l cuadrado de d i cho número .
4 Si t enemos va r i a s d i s t r ibuc iones con l a misma media y conocemos sus
r e spec t ivas var ianzas s e puede ca l cu la r l a var ianza to ta l .
S i t odas l a s mues t r a s t i enen e l mi smo t amaño :
S i l a s mues t r a s t i enen d i s t in to t amaño :
Observac iones sobre la var ianza
1 La var ianza , a l i gua l que l a med ia , e s un índ ice muy sens ib l e a l a s
pun tuac iones ex t r emas .
2 En los casos que no se pueda ha l lar la media t ampoco se rá pos ib l e
ha l l a r l a var ianza .
3 La var ianza no v i ene expresada en l a s mismas un idades que los da tos ,
ya que l a s desv iac iones e s t án e l evadas a l cuadrado .
La desv iac ión t íp i ca e s l a ra íz cuadrada de la var ianza .
Es dec i r , l a r a í z cuadrada de l a med ia de lo s cuadrados de l a s
pun tuac iones de desv iac ión .
La desv iac ión t íp i ca s e r ep resen ta po r σ .
Desv iac ión t íp i ca para da tos agrupados
Para s impl i f i ca r e l cá l cu lo vamos o u t i l i za r l a s s igu ien te s expres iones
que son equ iva len te s a l a s an te r io re s .
Desv iac ión t íp i ca para da tos agrupados
Ejerc i c ios de desv iac ión t íp i ca
Calcu la r l a desv iac ión t íp i ca de l a d i s t r ibuc ión :
9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18
Calcu lar la desv iac ión t íp i ca de l a d i s t r ibuc ión de l a t ab l a :
x i f i x i · f i x i2 · f i
[10 , 20 ) 15 1 15 225
[20 , 30 ) 25 8 200 5000
[30 ,40) 35 10 350 12 250
[40 , 50 ) 45 9 405 18 225
[50 , 60 ) 55 8 440 24 200
[60 ,70) 65 4 260 16 900
[70 , 80 ) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la desv iac ión t íp i ca
1 La desv iac ión t íp i ca s e rá s i empre un va lor pos i t ivo o cero , en e l ca so
de que l a s pun tuac iones sean igua le s .
2 Si a t odos los va lores de l a va r i ab le se l e s suma un número l a
desv iac ión t íp i ca no var ía .
3 Si todos los va lores de l a va r i ab le se mult ip l i can po r un número l a
desv iac ión t íp i ca queda mult ip l i cada po r d i cho número .
4 Si t enemos va r i a s d i s t r ibuc iones con l a misma media y conocemos sus
r e spec t ivas desv iac iones t íp i cas se puede ca l cu la r l a desv iac ión t íp i ca to ta l .
S i t odas l a s mues t r a s t i enen e l mi smo t amaño :
S i l a s mues t r a s t i enen d i s t in to t amaño :
Observac iones sobre la desv iac ión t íp i ca
1 La desv iac ión t íp i ca , a l i gua l que l a med ia y l a va r i anza , e s un índ ice
muy sens ib l e a l a s pun tuac iones ex t r emas .
2 En los casos que no se pueda ha l lar la media t ampoco se rá pos ib l e
ha l l a r l a desv iac ión t íp i ca .
3 Cuan ta más pequeña sea l a desv iac ión t íp i ca mayor se rá l a
concentrac ión de datos a l r ededor de l a media .
Coef i c i ente de var iac ión
El coe f i c i ente de var iac ión e s l a r e l ac ión en t r e l a desv iac ión t íp i ca de
una mues t r a y su media .
E l coe f i c i ente de var iac ión s e sue l e expresa r en porcenta jes :
E l coe f i c i ente de var iac ión pe rmi t e compara r l a s dispers iones de dos
d i s t r ibuc iones d i s t i n t a s , s i empre que sus medias s ean pos i t ivas .
Se ca l cu la pa ra cada una de l a s d i s t r ibuc iones y lo s va lo res que se
ob t i enen se comparan en t r e s í .
La mayor d i spers ión co r re sponderá a l va lo r de l coe f i c i ente de var iac ión
mayor .
Ejerc i c io
Una d i s t r ibuc ión t i ene x = 140 y σ = 28 .28 y o t r a x = 150 y σ = 24 . ¿Cuá l
de l a s dos p re sen ta mayor d i spe r s ión?
La p r imera d i s t r ibuc ión p resen ta mayor d i spe r s ión .
Puntuac iones t íp i cas
Puntuac iones d i f erenc ia l e s
Las puntuac iones d i f erenc ia l e s r e su l t an de res tar le s a l a s puntuac iones
d irec tas la media ar i tmét i ca .
x i = X i − X
Puntuac iones t íp i cas
Las puntuac iones t íp i cas son e l r e su l t ado de div id ir l a s puntuac iones
d i f erenc ia l e s en t r e l a desv iac ión t íp i ca . Es t e p roceso se l l ama t ip i f i cac ión .
Las puntuac iones t íp i cas s e r ep resen tan por z .
Observac iones sobre puntuac iones t í p i cas
La media ar i tmét i ca de l a s puntuac iones t íp i cas e s 0 .
La desv iac ión t íp i ca de l a s puntuac iones t íp i cas e s 1 .
Las puntuac iones t íp i cas son adimens iona les , e s dec i r , son
independ ien te s de l a s un idades u t i l i zadas .
Las puntuac iones t íp i cas s e u t i l i zan pa ra comparar l a s puntuac iones
ob ten idas en d i s t in t a s d i s t r ibuc iones .
Ejemplo
En una c l a se hay 15 a lumnos y 20 a lumnas . E l peso med io de los a lumnos
e s 58 .2 kg y e l de l a s a lumnas y 52 .4 kg . Las desv iac iones t í p i cas de lo s dos
g rupos son , r e spec t ivamen te , 3 .1 kg y 5 .1 kg . E l peso de José e s de 70 kg y e l
de Ana e s 65 kg . ¿Cuá l de e l lo s puede , den t ro de l g rupo de a lumnos de su sexo ,
cons ide ra r se más g rueso?
José e s más g rueso r e spec to de su g rupo que Ana r e spec to a l suyo .
Estadística, Estadística descriptiva, conceptos, definiciones, apuntes, fórmulas, teoría, ejemplos
prácticos, ejercicios y problemas resueltos. 2º 3º 4º de ESO, 1º de Bachillerato.
1 . Ind ica que var iab les son cua l i ta t ivas y cua le s cuant i ta t ivas :
1 Comida Favor i t a .
2 Profes ión que t e gus t a .
3 Número de go le s marcados por tu equ ipo f avor i to en l a ú l t ima
t emporada .
4 Número de a lumnos de tu Ins t i t u to .
5 El co lo r de lo s o jos de tu s compañeros de c l a se .
6 Coef i c i en te in t e l ec tua l de tu s compañeros de c l a se .
2 . De l a s s igu ien te s var iab les i nd ica cuá le s son discre tas y cua le s
cont inuas .
1 Número de acc iones vend idas cada d í a en l a Bo l sa .
2Tempera tu ras r eg i s t r adas cada hora en un obse rva to r io .
3 Per íodo de durac ión de un au tomóvi l .
4 El d i áme t ro de l a s ruedas de va r ios coches .
5 Número de h i jos de 50 f ami l i a s .
6 Censo anua l de lo s e spaño les .
3 . Clas i f i ca r l a s s igu ien te s var iab les en cua l i ta t ivas y cuant i ta t ivas
d i scre tas o cont inuas .
1 La nac iona l idad de una pe r sona .
2 Número de l i t ros de agua con ten idos en un depós i to .
3 Número de l i b ros en un e s t an te de l i b re r í a .
4 Suma de pun tos t en idos en e l l anzamien to de un pa r de dados .
5 La p ro fes ión de una pe r sona .
6 El á rea de l a s d i s t i n t a s ba ldosas de un ed i f i c io .
4 . Las pun tuac iones ob ten idas po r un g rupo en una p rueba han s ido :
15 , 20 , 15 , 18 , 22 , 13 , 13 , 16 , 15 , 19 , 18 , 15 , 16 , 20 , 16 , 15 , 18 , 16 , 14 ,
13 .
Cons t ru i r l a tab la de d i s tr ibuc ión de f recuenc ias y d ibu ja e l pol ígono
de f recuenc ias .
5 . El número de e s t r e l l a s de lo s ho te l e s de una c iudad v i ene dado por l a
s igu ien te se r i e :
3 , 3 , 4 , 3 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 2 , 3 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 ,
2 , 3 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 , 1 .
Cons t ru i r l a t ab l a de d i s t r ibuc ión de f r ecuenc ia s y d ibu ja e l d i ag rama de
ba r ra s .
6 . Las ca l i f i cac iones de 50 a lumnos en Matemá t i cas han s ido l a s
s igu ien te s :
5 , 2 , 4 , 9 , 7 , 4 , 5 , 6 , 5 , 7 , 7 , 5 , 5 , 2 , 10 , 5 , 6 , 5 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 0 , 8 , 4 , 8 ,
6 , 6 , 3 , 6 , 7 , 6 , 6 , 7 , 6 , 7 , 3 , 5 , 6 , 9 , 6 , 1 , 4 , 6 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 .
Cons t ru i r l a tab la de d i s tr ibuc ión de f recuenc ias y d ibu ja e l diagrama
de barras .
7 . Los pesos de lo s 65 empleados de una f áb r i ca v i enen dados por l a
s igu ien te t ab l a :
Peso [50 , 60 ) [60 , 70 ) [70 , 80 ) [80 ,90) [90 , 100) [100 , 110) [110 , 120)
f i 8 10 16 14 10 5 2
1 Cons t ru i r l a tab la de f recuenc ias .
2 Represen ta r e l his tograma y e l pol ígono de f recuenc ias .
8 . Los 40 a lumnos de una c l a se han ob ten ido l a s s igu ien te s pun tuac iones ,
sob re 50 , en un examen de F í s i ca .
3 , 15 , 24 , 28 , 33 , 35 , 38 , 42 , 23 , 38 , 36 , 34 , 29 , 25 , 17 , 7 , 34 , 36 , 39 , 44 ,
31 , 26 , 20 , 11 , 13 , 22 , 27 , 47 , 39 , 37 , 34 , 32 , 35 , 28 , 38 , 41 , 48 , 15 , 32 , 13 .
1 Cons t ru i r l a tab la de f recuenc ias .
2 Dibu ja r e l his tograma y e l pol ígono de f recuenc ias .
9 . Sea una d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca que v i ene dada por l a s igu ien te t ab l a :
x i 61 64 67 70 73
f i 5 18 42 27 8
Calcu la r :
1 La moda, mediana y media .
2 El rango , desv iac ión media , var ianza y desv iac ión t íp i ca .
10 .Calcu la r l a media , l a mediana y l a moda de l a s igu ien te se r i e de
números : 5 , 3 , 6 , 5 , 4 , 5 , 2 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 4 , 8 , 2 , 5 , 4 .
11 Hal l a r l a var ianza y la desv iac ión t íp i ca de l a s igu ien te se r i e de
da tos :
12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 .
12 Hal l a r l a media , mediana y moda de l a s igu ien te se r i e de números :
3 , 5 , 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8 , 6 .
13 . Hal l a r l a desv iac ión media , l a var ianza y la desv iac ión t íp i ca de l a
se r i e s de números s igu ien te s :
2 , 3 , 6 , 8 , 11 .
12 , 6 , 7 , 3 , 15 , 10 , 18 , 5 .
14 Se ha ap l i cado un t e s t a l o s empleados de una f áb r i ca , ob ten iéndose l a
s igu ien te t ab l a :
f i
[38 , 44 ) 7
[44 , 50 ) 8
[50 , 56 ) 15
[56 , 62 ) 25
[62 , 68 ) 18
[68 , 74 ) 9
[74 , 80 ) 6
Dibu ja r e l his tograma y e l pol ígono de f recuenc ias acumuladas .
15 . Dadas l a s se r i e s e s t ad í s t i ca s :
3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 .
3 , 5 , 2 , 7 , 6 , 4 , 9 , 1 .
Ca lcu la r :
La moda , l a mediana y l a media .
La desv iac ión media , l a var ianza y l a desv iac ión t íp ica .
Los cuart i l e s 1 º y 3 º .
Los dec i l e s 2 º y 7 º .
Los percent i l e s 32 y 85 .
16 . Una d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca v i ene dada por l a s igu ien te t ab l a :
[10 , 15 ) [15 , 20 ) [20 , 25 ) [25 , 30 ) [30 , 35 )
f i 3 5 7 4 2
Hal l a r :
La moda, mediana y media .
E l rango , desv iac ión media y var ianza .
Los cuart i l e s 1 º y 3 º .
Los dec i l e s 3 º y 6 º .
Los percent i l e s 30 y 70 .
17 . Dada l a d i s t r ibuc ión e s t ad í s t i ca :
[0 , 5 ) [5 , 10 ) [10 , 15 ) [15 , 20 ) [20 , 25 ) [25 , ∞)
f i 3 5 7 8 2 6
Calcu la r :
La mediana y moda .
Cuart i l 2 º y 3 º .
Media .
1 . A un con jun to de 5 números cuya med ia e s 7 .31 se l e añaden los
números 4 .47 y 10 .15 . ¿Cuá l e s l a med ia de l nuevo con jun to de números?
2 . Un den t i s t a obse rva e l número de ca r i e s en cada uno de los 100 n iños
de c i e r to co leg io . La in fo rmac ión ob ten ida apa rece r e sumida en l a s igu ien te
tab la :
Nº de car ie s f i n i
0 25 0 .25
1 20 0 .2
2 x z
3 15 0 .15
4 y 0 .05
1 . Comple ta r l a tab la ob ten iendo los va lo res de x , y , z .
2 . Hacer un diagrama de sec tores .
3 . Calcu la r e l número med io de ca r i e s .
3 . Se t i ene e l s igu ien te con jun to de 26 da tos :
10 , 13 , 4 , 7 , 8 , 11 10 , 16 , 18 , 12 , 3 , 6 , 9 , 9 , 4 , 13 , 20 , 7 , 5 , 10 , 17 , 10 ,
16 , 14 , 8 , 18
Obtene r su mediana y cuart i l e s .
4 . Un ped ia t r a ob tuvo l a s igu ien te t ab l a sobre lo s meses de edad de 50
n iños de su consu l t a en e l momento de anda r po r p r imera vez :
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
1 . Dibu ja r e l pol ígono de f recuenc ias .
2 . Calcu la r l a moda , l a mediana , l a media y l a var ianza .
5 . Comple ta r l o s da tos que f a l t an en l a s igu ien te t ab l a e s t ad í s t i ca :
x i f i F i n i
1 4 0 .08
2 4
3 16 0 .16
4 7 0 .14
5 5 28
6 38
7 7 45
8
Calcu la r l a med ia , med iana y moda de e s t a d i s t r ibuc ión .
6 . Cons idé rense los s igu ien te s da tos : 3 , 8 , 4 , 10 , 6 , 2 . Se p ide :
1 . Calcu la r su med ia y su va r i anza .
2 . Si lo s t odos los da tos an te r io re s lo s mul t ip l i camos por 3 , cúa l s e rá l a
nueva med ia y desv iac ión t í p i ca .
7 . El r e su l t ado de l anza r dos dados 120 veces v i ene dado por l a tab la :
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
1 . Calcu la r l a media y l a desv iac ión t íp i ca .
2 . Hal l a r e l po rcen ta j e de va lo res comprend idos en e l i n t e rva lo (x − σ , x
+ σ ) .
8 . Las a l tu ra s de lo s jugadores de un equ ipo de ba lonces to v i enen dadas
po r l a t ab la :
Altura[170 ,
175)
[175 ,
180)
[180 ,
185)
[185 ,
190)
[190 ,
195)
[195 ,
2 .00 )
Nº de
jugadores1 3 4 8 5 2
Calcu la r :
1 . La media .
2 . La mediana .
3 . La desv iac ión t íp i ca .
4 . ¿Cuán tos jugadores se encuen t ran por enc ima de l a media más una
desv iac ión t íp i ca ?
9 . Los r e su l t ados a l l anza r un dado 200 veces v i enen dados por l a
s igu ien te tab la :
1 2 3 4 5 6
f i a 32 35 33 b 35
Dete rmina r a y b s ab iendo que l a pun tuac ión med ia e s 3 .6 .
10 . El h i s tog rama de l a d i s t r ibuc ión co r re spond ien te a l peso de 100
a lumnos de Bach i l l e ra to e s e l s igu ien te :
1 . Formar l a tab la de la d i s tr ibuc ión .
2 . Si Andrés pesa 72 kg , ¿cuán tos a lumnos hay menos pesados que é l ?
3 . Calcu la r l a moda .
4 . Hal l a r l a mediana .
5 . ¿A pa r t i r de que va lo res se encuen t ran e l 25% de lo s a lumnos más
pesados?
11 . De es t a dis tr ibuc ión de f recuenc ias abso lutas acumuladas , c a l cu la r :
Edad F i
[0 , 2 ) 4
[2 , 4 ) 11
[4 , 6 ) 24
[6 , 8 ) 34
[8 , 10 ) 40
1 . Media ar i tmét i ca y desv iac ión t íp i ca .
2 . ¿En t re qué va lo res se encuen t ran l a s 10 edades centra le s ?
3 . Represen ta r e l pol ígono de f recuenc ias abso lutas acumuladas .
12 . Una pe r sona A mide 1 .75 m y r e s ide en una c iudad donde l a e s t a tu ra
med ia e s de 1 .60 m y l a desv iac ión t í p i ca e s de 20 cm. Ot ra pe r sona B mide
1 .80 m y v ive en una c iudad donde l a e s t a tu ra med ia e s de 1 .70 m y l a
desv iac ión t í p i ca e s de 15 cm. ¿Cuá l de l a s dos se rá más a l t a r e spec to a sus
conc iudadanos?
13 . Un pro feso r ha r ea l i zado dos t e s t s a un g rupo de 40 a lumnos ,
ob ten iendo los s igu ien te s r e su l t ados : pa ra e l p r imer t e s t l a media e s 6 y l a
desv iac ión t íp i ca 1 .5 .
Pa ra e l s egundo t e s t l a media e s 4 y l a desv iac ión t íp i ca 0 .5 .
Un a lumno ob t i ene un 6 en e l p r imero y un 5 en e l s egundo . En r e l ac ión
con e l g rupo , ¿en cuá l de lo s dos t e s t s ob tuvo me jo r pun tuac ión?
14 La as i s t enc ia de e spec tadores a l a s 4 sa l a s de un c ine un de t e rminado
d í a fue de 200 , 500 , 300 y 1000 pe r sonas .
1 . Calcu la r l a dispers ión de l número de a s i s t en te s .
2 . Calcu la r e l coe f i c i ente de var iac ión .
3 . Si e l d í a de l e spec tador acuden 50 pe r sonas más a cada sa l a , ¿qué
e fec to t endr í a sobre l a dispers ión ?