trao đổitrựctuyếntại li/tai_lieu/tai_lieu_ly_moi_1... · 4- các phƣơngpháp...
TRANSCRIPT
Trao đổi trực tuyến tại:
http://www.mientayvn.com/chat_box_li.html
BỘ MÔN
CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN
Mục đích:
Chƣơng 3
PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN
TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ
Cung cấp cho sinh viên các phƣơng
pháp cơ bản phân tích mạch điện bằng số
phức.
Yêu cầu sinh viên phải nắm đƣợc:
1- Khái niệm về số phức, các số phức đặc
biệt, các phép tính về số phức và tính toán
số phức trên máy tính kỹ thuật thành thạo.
Yêu cầu sinh viên phải nắm đƣợc:
2- Các phép biểu diễn các dòng điện, điện
áp cùng tần số, các loại công suất trong
mạch điện bằng số phức.
3- Các luật Kiếchôp dƣới dạng số phức.
4- Các phƣơng pháp cơ bản phân tích mạch
điện bằng số phức: Phƣơng pháp dòng điện
các nhánh, Phƣơng pháp dòng điện mạch
vòng, Phƣơng pháp điện thế các nút.
5- Cách tính công suất bằng số phức.
6- Khái niệm, ý nghĩa và cách vẽ đồ thị
Tôpô của mạch điện.
Chƣơng 3
PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN
TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ
3.1 BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC
3.2 BIỂU DIỄN CÁC CẶP TH«NG SỐ CỦA MẠCH
BẰNG SỐ PHỨC.
3.3 BIỂU DIỄN ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM
ĐIỀU HOÀ BẰNG SỐ PHỨC
3.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH
MẠCH ĐIỆN
3.5 ĐỒ THỊ t«p« CỦA MẠCH ĐIỆN
3.1 BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC
3.1.1 Định nghĩa
Số phức là một lƣợng gồm hai thành
phần: a+jb. Trong đó:
a;b – là các số thực
j = -1Hai thành phần này khác hẳn nhau về
bản chất: Với mọi giá trị a, b khác số 0, không
làm cho tổ hợp a+jb triệt tiêu. Theo nghĩa ấy
ta bảo a và jb là hai thành phần độc lập tuyến
tính và trực giao nhau của số phức và coi số
phức nhƣ một vectơ phẳng.
số ảo hay j2 = -1
Quy ước:Các số phức biểu diễn những lƣợng
biến thiên theo thời gian bằng những chữ
cái in hoa có dấu chấm (.) ở trên đầu:
U; I;... Ví dụ:
Còn những phức biểu diễn các lƣợng
khác thì không có dấu chấm: Z, Y...
3.1.2 Hai dạng viết của số phức
a, Dạng đại số
Là dạng viết theo tổng đại số phần thực và
ảo:V a jb
Số phức này đƣợc biểu
thị trên mặt phẳng
phức (+1; j) gắn vào tọa
độ cực, bằng một điểm
có:
+1
j
0a
b
- Hoành độ là phần thực a
- Tung độ là phần ảo b
V
+1
j
0a
b
V
Hoặc gắn vào hệ tọa độ
Đề-các bằng vectơ nối
gốc tọa độ đến điểm đó,V
V
V
khoảng cách từ điểm
đến gốc toạ độ gọi là
mô đun V của số
phức ;
V
V
góc hợp giữa trục thực và là - gọi là
argymen của số phức .V
V
Từ đồ thị ta có:
+1
j
0
a
b
V
V2 2V a b
barctg
a
và
a V.cos
b Vsin
b, Dạng số mũ
Theo công thức Ơle:j xcosx jsinx e
V a jb Vcos jVsin jV.e
Viết tắt: jV Ve V đọc là V góc ,
gọi là dạng số mũ.
3.1.3 Số phức cần lƣu ý
je- số phức có mô đun bằng 1, argymen
bằng
j2e
- số phức có mô đun bằng 1, argymen
bằng :2
j2
j2
1 1e j
je
j2e j;
1
jj
3.1.4 Đẳng thức hai phức
Hai số phức gọi là bằng nhau nếu có
phần thực, phần ảo thứ tự bằng nhau.
3.1.5 Hai phức liên hợp
Hai phức gọi là liên hợp nếu chúng có
phần thực bằng nhau, phần ảo trái dấu:
Nếu V a jb V thì phức liên hợp của nó là
V̂ hoặc *
V = a- jb = V -ψ
3.1.6 Các phép tính về số phức
+ Tổng (hoặc hiệu) hai phức:
là một phức có phần thực, phần ảo thứ
tự là tổng (hiệu) các phần thực và hiệu
thành phần:
1 1 1 2 2 2V a jb ; V a jb
1 2V V V
1 2(a a ) 1 2j(b b ) a jb
+ Tích (thƣơng) hai phức:
+ Tích (thƣơng) hai phức là một phức có
mô đun bằng tích (thƣơng) các mô đun,
argymen bằng tổng (hiệu) các argymen:
1 2j j1 1 2 2V = V e ; V = V e
1 2V = V .V =
1
2
VV = =
V
1 2V Vj
Ve 1 2j( + )
e
1 2j( ) j1
2
Ve =Ve
V
+ Luỹ thừa, khai căn số phức?
0j30
25.e =0
2 j2.155 .e =
0j15
5.e = 05 15
Chƣơng 3
PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN
TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ
3.2 Biểu diễn các cặp thông số của
mạch bằng số phức.
3.2.1 Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà
3.2.2 Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn
của nhánh với kích thích có dạng điều hoà
3.2.3 Biểu diễn quan hệ dòng điện, điện
áp trong nhánh
3.2 BIỂU DIỄN CÁC CẶP THÔNG SỐ
CỦA MẠCH BẰNG SỐ PHỨC.
3.2.1 Biểu diễn các biến trạng thái điều hoà
Các biến trạng thái điều hoà của
mạch nhƣ dòng điện, điện áp, sức điện
động có cùng tần số đƣợc đặc trƣng bởi
cặp thông số (trị hiệu dụng – góc pha
đầu). Do đó ta có thể biểu diễn chúng
bằng những số phức có:
- Mô đun bằng trị số hiệu dụng
- Argymen bằng góc pha đầu
Tƣơng tự
u
sinu U 2 t
cos
e
sine E 2 t
cos
ujuU Ue U
ejeE Ee E
Mũi tên hai chiều , kí hiệu phép biểu diễn
dóng đôi. Ta gọi không gian các số phức
đẳng cấu với không gian các điều hoà.
ijiI Ie I
Ví dụ i
sini I 2 t
cos
3.2.2 Biểu diễn phức tổng trở, tổng dẫn của
nhánh với kích thích có dạng điều hoà
a, Tổng trở phức
Phản ứng của nhánh đặc trƣng bởi cặp
(tổng trở; góc lệch pha)- (z; ), hoặc cặp
(điện trở; điện kháng)– (r; x), ta biểu diễn
chúng bằng một số phức có:
- Mô đun bằng tổng trở z- Argymen bằng góc lệch pha
Ta ký hiệu bằng chữ in hoa Z: Z = z ej cặp số (z; ).
Z - tổng trở phức của nhánh đối với dòng
hình sin, có đơn vị là Ôm ()
Ta còn có:
Z = zej = zcos + jzsin = r + jx
cặp số (r; x)
Z = zej = r + jx
b, Tổng dẫn phức
Đƣợc định nghĩa là nghịch đảo của
tổng trở phức, ký hiệu Y, có đơn vị là
Simen (S):
-jφ=
jφg - jb
1 1Y = = = ye
Z ez
3.2.3 Biểu diễn quan hệ dòng điện,
điện áp trong nhánh
Ta đã biết quan hệ dòng điện, điện áp
trong nhánh đƣợc mô tả:
U = zI và
u = + i
UI =
zvà
i u
Nếu biểu diễn bằng số phức:
ujψU= U.e ; ijψ
I=I.e ; jφZ= ez
ujψU= U.e = Iz ij(φ+ψ )
e =jφ
ez ijψIe = Z I
U
IZ
YU
3.2.4 Biểu diễn các loại công suất trong nhánh
Với dòng điện hình sin đã có hai loại công suất
khác hẳn nhau về bản chất là công suất tác
dụng P và công suất phản kháng Q, ta có thể
biểu diễn cặp số (P; Q) của một nhánh bằng một
số phức có: phần thực bằng P, phần ảo bằng Q:
P + jQ
Ta có: mô đun của (P + jQ) =2 2
P + Q = S
Arg của (P + jQ) =Q
arctgP
P + jQ cặp số (P; Q) jS=P+ Q= jSe
S - gọi là công suất biểu kiến
phức đơn vị volampe - VA.
k kf t
k k
P = P
k kf tk k
S S
k kf tk k
Q = Q
Vì: Phát biểu: tổng công suất phức biểu
kiến phát bằng tổng công suất phức biểu
kiến thu.
Ta còn có: *jφ
S= Se = U.I =P+ jQ
jφ jφ 2S=Se =UI.e =ZI.I= ZI = P+ jQ
*
jφ jφ jφ 2US =Se = UI.e = U e = U = P + jQYz
jj S=P+ Q=Se
I
2UI U Y 2S= = = Z
Công suất biểu kiến phức trong một nhánh
lấy dương khi cùng chiều với
ngược lại thì lấy dấu âm
I J
k kk kE ;U ;
kk kkE U
I J k k;
I J j
k kF k k F FS = E + U =P + Q
Tổng công suất biểu kiến phát: Là tổng CS nguồn
Tổng công suất biểu kiến thu: Là tổng CS trên Z
jI 2T k k T TS = Z =P + Q
Cân bằng công suất phát và thu (so sánh)
F T F TS =S P =P F TQ =Qvµ
Tính sai số
F T
F
P -PP%= 100%
P
F T
F
Q -QQ%= 100%
Q
3.3 BIỂU DIỄN ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM
ĐIỀU HOÀ BẰNG SỐ PHỨC
)tsin(2Xxx
biểu diễn hàm điều hoà này dƣới dạng
số phức:x
jXe.XX x
3.3.1 Các phép biểu diễn
x
dx d= 2Xsin(ωt +ψ ) =
dt dtxω 2Xcos(ωt +ψ ) =
x
π2Xωsin(ωt +ψ + )
2
- Đạo hàm hàm x theo thời gian:
Xω.
Tức làdx
dt
x
π2Xωsin(ωt +ψ + )
2
Đạo hàm hàm điều hoà theo thời gian sẽ
tƣơng ứng biểu diễn bởi phép nhân số
phức biểu diễn hàm điều hoà với tích (j).
Biểu diễn dƣới dạng số phức
π
j(ψ + )x2e =
πj2ωe . jψxXe = jω.X
x
jXe.XX x
jω.X
- Tích phân hàm x theo thời gian:
xx.dt = X 2sin(ωt +ψ ) =
Xx.dt
jω
x
1X 2cos(ωt +ψ ) =
ω x
1 πX 2sin(ωt +ψ - )
ω 2
Tích phân hàm điều hoà theo thời gian sẽ
biễu diễn bằng phép chia số phức biễu
diễn hàm điều hoà cho tích (j).
Biểu diễn dƣới dạng số phức
Qua các phép biểu diễn số phức ở các
mục trên, ta rút các hệ quả sau:
a, Nhờ phép biểu diễn các hàm điều hoà
có cùng tần số bằng số phức, những
quan hệ vi tích phân giữa các lƣợng điều
hoà đƣợc biểu diễn bằng những quan hệ
hàm đơn giản giữa các phức biễu diễn.
Ví dụ: Quan hệ hàm đơn giản giữa dòng
điện và điện áp trên các phần tử điện trở,
điện cảm, điện dung đƣợc biểu diễn
bằng những quan hệ hàm đơn giản giữa
các phức biểu diễn:
R Ru =Ri
rirZr
ur
Đối với phần tử điện trở
RI
RU
RU =
RRI =R RZ I
RZ =R
Đối với phần tử điện cảmLiL
uL
ZLLI
LU
LL
diu =L
dt
LjωLI =LU =
L LZ I
LZ = j L
Đối với phần tử điện dung
C C
1u = i dt
C
iC
uC
CZC
CI
CU
C C C C
1U = I = Z I
jωC
C
1Z =
jωC
1jωC
+ Nhánh gồm r-L-C nối tiếp:
RuC+ uu= L+ u
R L CU = U + U + U =
Ci
u
Lr
uruL uC
CL= R + j x - x I =
1R + j ωL - I =
ωC
(R +jx)I = ZI
ZI
U
U = ZI Luật Ôm dƣới dạng phức
b, Cũng nhờ phép biểu diễn bằng số phức mối
quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên các
phần tử suy ra hệ phƣơng trình vi phân mô tả
mạch có dòng điều hoà sẽ biểu diễn bằng hệ
phƣơng trình đại số với các số phức biểu
diễn. Vì vậy có thể chuyển đƣợc phép giải hệ
phƣơng trình vi phân thành hệ phƣơng trình
đại số đơn giản để tìm nghiệm phức. Từ
nghiệm phức này dễ dàng chuyển về nghiệm
theo thời gian.
Ví dụ: Cho mạch điện hình 3.2.
r1
L1 C2
L3
r3
r2
e1
e2
Hình 3.2
i1 i2
i3
Hệ phƣơng trình
vi phân mô tả
trạng thái của
mạch theo các
luật Kiếchốp 1 và
2 độc lập:
1 2 3 (1)i -i - i = 0
11 1 1
diR i L
dt 3
3 3 3
di+R i + L
dt(2)1= e
2 2
2
2
1R i +
Ci dt
33 3 3
diR i + L
dt-
2= e (3)
1 2 3 (1)i -i - i = 0
Chuyển hệ phƣơng trình sang dạng
phức ta có hệ phƣơng trình đơn giản:
(1) ,1 2 3I I I =0
(2)311 1 1 3 3 3 1
didiR i L + R i + L = e
dt dt
1 1 1R + jωL I
2 2
2
1R - j I
ωC
,
(2)1= E 3 3 3R jωL I
(3)2 2
2
33 3 32 2
di- R i + L = e
dt
1R i +
Ci dt
3 3 3R + jωL I ,
(3)2= E
Chuyển hệ phƣơng trình sang dạng phức
ta có hệ phƣơng trình đơn giản:
(1) ,1 2 3I I I =0
,
(2)1 1 1 3 3 3 1R + jωL I R jωL I = E
,
(3)2 2 3 3 3 2
2
1R - j I R + jωL I = E
ωC
Từ hệ phƣơng trình dƣới dạng phức ta vẽ
đƣợc sơ đồ hình 3.3 gọi là sơ đồ phức.
Hay:(1) ,
1 2 3I I I =0
,
1 (2)1 3 3 1Z I Z I = E
,
(3)2 2 3 3 2Z I Z I = E
Z1 Z2Z3
1E
2E
Hình 3.3
3.3.2 Sơ đồ và các luật Kiếchốp dạng phức
- Sơ đồ phức là sơ đồ biểu diễn các
tổng trở phức (tổng dẫn phức) và các biến
ảnh phức: .J,E,U,I
- Đồng thời dùng sơ đồ phức ta đƣa ra
luật Kiếchốp 1 và 2 dƣới dạng phức:
pm
k lk=1 l=1
I = Jm m
k k kk=1 k=1
Z I = E
Trong đó p- số nguồn dòng bơm vào
nút đang xét
Phát biểu: " Tổng đại số các dòng điện
phức tại một nút bằng tổng đại số các
nguồn dòng phức bơm vào nút đó"
và " Đi theo một vòng khép kín bất kỳ
với chiều tuỳ ý, tổng đại số các điện áp
phức bằng tổng đại số các sức điện động
phức trong vòng đó"
* Chú ý: Quy luật dấu cho các luật Kiếchốp
dạng phức giống nhƣ hệ phƣơng trình
Kiếchốp dƣới dạng tức thời.
3.3.3 Cách thành lập sơ đồ phức: tự đọc
3.4 CÁC PHƢƠNG PHÁP CƠ BẢN PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN
3.4.1 Phƣơng pháp dòng điện các nhánh
Đây là phƣơng pháp cơ bản nhất để lập
phƣơng trình mô tả và khảo sát mạch điện
tuyến tính ở chế độ xác lập hình sin bởi vì
nó áp dụng trực tiếp các luật Kiếchốp để
tìm ra ẩn số trực tiếp là dòng điện trong các
nhánh của mạch.
Nội dung các bƣớc giải mạch:
Giả sử tổng quát mạch có m nhánh
có dòng cần tìm, n nút:
Bƣớc 1: Chọn ẩn số là m dòng điện phức
các nhánh, với chiều dƣơng tuỳ ý.
K1 = n - 1 K2 = m - n + 1pm
k lk=1 l=1
I = J m m
k k kk=1 k=1
Z I = E
Bƣớc 2: Viết hệ phƣơng trình cho mạch
theo các luật Kiếchôp 1 và 2 độc lập:
Bƣớc 3: Giải hệ phƣơng trình vừa viết, tìm ra
ẩn số là dòng điện phức các nhánh. bài toán.
Từ các dòng điện phức ta đƣa về dòng điện dƣới
dạng tức thời (dạng hình sin). Có thể tiếp tục tìm
điện áp hay công suất tuỳ theo yêu cầu bài toán.
Ví dụ: Cho mạch điện hình 3.4. Các
thông số của mạch cho nhƣ- sau:
Hình 3.4
L1L3
r3
e1e2
i1 i2
i3
L2L
1= L
2= L =
= 31, 848 mH;
r3= 10 ;
3
LL =
2
2e = 220 2sin314t;
1e = 210 2sin314t;
Yêu cầu: Tính dòng trong
các nhánh của mạch?
Giải:Từ sơ đồ mạch điện đã cho ta đƣa về sơ đồ phức
tƣơng đƣơng (đại số hoá sơ đồ) nhƣ hình 3.5.
Z1 = Z2 = Z = jL =
= j314.31,848.10-3 j10
Z1 Z2
Z31E
2E
Hình 3.5
Trong đó:
V0210E 01
V0200E 02
Z1 = r3 + jL3 = 10 + j5
Ta tính toán với sơ đồ phức:
Chọn ẩn số là 3 dòng điện phức với chiều
dƣơng nhƣ hình vẽ
1I
3I
2I
Hệ phƣơng trình viết
cho mạch hình 3-5
dƣới dạng phức theo
các luật Kiếchôp 1 và
2 độc lập:
Z1 Z2
Z31E
2E
Hình 3.5
1I
3I
2I
(1) 1 2 3I I I =0
1 (2) 1 3 3 1Z I Z I = E
(3) 2 2 3 3 2Z I Z I = E
Giải hệ phƣơng trình
0
310210I)10j5(I10j
032 0200I)10j5(I10j
1 2 3I I I =0
Thay số:
0
-j42 341I = 5,652- j5,125 = 7,6096.e A
0
-j47 942I = 4,652- j5,125 = 6,903.e A
0
-j453I = 10,25- j10,25 = 14,496.e A
Giải ra ta tìm đƣợc:
(Làm phép thử:
1 2 3I I I =0 )
2 03i = 14,496 sin(314t - 45 )A
2i =
1i = 2 07,6096 sin(314t - 42 34)A
2 06,903 sin(314t - 47 94)A
* Phƣơng pháp dòng điện các nhánh
có ƣu điểm là tìm đƣợc ẩn trực tiếp là
dòng các nhánh và có thể giải đƣợc bất kỳ
mạch nào.
Nhƣng cũng có hạn chế là nếu mạch
có số nhánh, số nút hoặc cả hai nhiều thì
số phƣơng trình viết cho mạch nhiều, việc
giải mạch sẽ khó khăn hơn.
3.4.2 Phƣơng pháp điện thế các nút
Đây cũng là một phƣơng pháp cơ bản
để giải mạch điện, nhƣng ẩn số của
phƣơng trình là điện thế của các nút.
Ta đã biết mạch điện có tính chất thế, vì
vậy có thể đo (hoặc xác định) trạng thái
của mạch điện bằng điện thế của (n - 1)
nút so với một nút tuỳ ý chọn làm mốc
(chuẩn) coi là có điện thế bằng không. Từ
các điện thế này có thể dễ dàng tìm đƣợc
điện áp, dòng điện, công suất của nhánh.
Xây dựng nội dung phƣơng pháp
a. Luật Ôm cho đoạn mạch có nguồn:
ZI
U
EA BPhƣơng trình theo
luật Kiếchôp 2 cho
đoạn mạch:
ABZI- U =E
ABE + UI =
Z
A B(E + ).Y
Trong đó:
- mang dấu dƣơng (+) nếu cùng
chiều dòng điện giả thiết
- mang dấu âm (-) nếu ngƣợc chiều
dòng điện giả thiết.
E; U
E; U
Ví dụ:Áp dụng luật Ôm cho đoạn mạch có nguồn
viết phƣơng trình tìm dòng điện trong các
nhánh của mạch điện sau:
Z1 Z2
Z31E
2E
1I
3I
2Ia
b
1I =
1 ba
1
E + U=
Z( ) 1 b a 1E + - Y
2I =
2 ab
2
E + U=
Z 2 a b 2(E + )Y
3I =
ab
3
U=
Z a b 3( )Y
b. Xây dựng hệ phƣơng trình
Trong n nút chọn một nút làm chuẩn với
thế tuỳ ý (thƣờng chọn bằng số 0), tìm (n-1)
ẩn số là điện thế các nút còn lại, đánh số từ
; b a; ;n-1
Do tính chất thế của mạch nên điện thế các
nút tự chúng đã thoả mãn luật Kiếchôp 2. Vì
vậy chỉ còn dựa vào luật Kiếchôp 1 để lập
các phƣơng trình cho mạch, vậy ta sẽ lập
đƣợc (n - 1) phƣơng trình cho mạch.
Xét nút thứ k:
p
kl kl=1
I = J
kl klkl
kl
E + UI = =
Z
Zk1
1E
ZklklI
klE
Zk2
lk
21
kJ
2E
p
Trên nút thứ k chỉ có một nguồn dòng
bơm vào nút, những dòng điện khác có
chiều đi từ nút k ra ( để tiện ta đặt n-1 = p).
Phƣơng trình theo
luật Kiếchốp 1 cho
nút k: k1I
Theo luật Ôm cho đoạn
mạch có nguồn ta có:
kl kl k l klE Y +( Y
(3.21a)
(3.22)
Thay (3.22) vào (3.21a)
Thay (3.22) vào (3.21a) :P
l 1kl kl k l kl kE Y +( - Y J
Cho l biến thiên:
k1 k1 k k1 1 k1E Y Y - Y k2 k2 k k2 2 k2E Y + Y Y
kp kp k kp p kpE Y Y - Y k= J
1 k1- Y 2 k2- Y k1 k1 kp k(Y Y Y -
p kp- Y k= J
p
kl kll=1
+ E Y
p
k1 1 k2 2 kk k kp p k kl kll=1
-Y -Y - ... - ... + Y - ... -Y = J + E Y
Là phƣơng trình điện thế cơ bản cho nút thứ k
+ Ykk - Là tổng các tổng dẫn nối trực tiếp
vào nút k, là tổng dẫn riêng của nút thứ k,
luôn mang dấu (+).
+ Ykl - Gộp các tổng dẫn nối trực tiếp giữa 2
nút k và l, gọi là tổng dẫn tƣơng hỗ giữa nút
thứ k và nút thứ l, luôn mang dấu (-).
- Là các nguồn dòng, nguồn
dòng tƣơng đƣơng.
;kJ
kl klE Y
Mang dấu dƣơng (+) nếu có chiều đi vào nút;
p
k1 1 k2 2 kk k kp p k kl kll=1
-Y -Y - ... - ... + Y - ... -Y = J + E Y
mang dấu âm (-) nếu có chiều đi ra khỏi nút.
Tổng quát mạch có n nút, ta sẽ viết
đƣợc (n - 1) = p phƣơng trình điện thế
cơ bản cho (n - 1) nút nhƣ sau:
11 1Y .φ 12 2- Y .φ 1p p-Y .φ p p
l k kl=1 k=1
J + E Y nót 1nót 1
21 1-Y .φ 22 2+ Y .φ 1p p-Y .φp p
l k kl=1 k=1
J + E Y nót 2 nót 2
p p
p1 1 p2 2 pp p l k kl=1 l=1
-Y .φ - Y .φ -... + Y .φ = J + E Y nót p nót p
(N)
Bƣớc 1:Qua phân tích trên ta có các bƣớc giải nhƣ sau:
Bƣớc 2:
Bƣớc 3:
chọn một nút tiện nhất làm
chuẩn và coi là có điện thế bằng số 0.
viết hệ phƣơng trình cho mạch
theo dạng (N) cho các nút, ẩn số là điện
thế (n - 1) nút
giải hệ phƣơng trình (N) tìm ra
ẩn số là điện thế của (n - 1) nút.
Từ điện thế tìm đƣợc, áp dụng luật Ôm
cho đoạn mạch có nguồn ta tìm đƣợc dòng
trong các nhánh, rồi tiếp tục tìm điện áp hay
công suất tuỳ theo yêu cầu bài toán
Ví dụ:Viết phƣơng trình
tìm dòng điện
trong các nhánh
của mạch điện sau
Z1
1E
a b
Z2
2E
Z3
5E
Z4
Z5
J
J
c
Chọn nút c làm
mốc:c =0
a1 4 5
1 1 1+ +
Z Z Z
a4 5
1 1+
Z Z
b4 5
1 1+
Z Z
11
1
Z
55
1
Z
b2 3 4 5
1 1 1 1+ + +
Z Z Z Z 5
5
1
Z 2
2
1
ZJ
(1)
(2)
Áp dụng
luật Ôm cho
đoạn mạch
có nguồn, ta
có:
1E
b
Z2
2E
Z3
J
J
c
Z1
a
5E
Z4
Z5
1I
3I
2I
4I
5I
1I = ;
1 a
1
E -
Z
2I = ;
2 b
2
E +
Z
3I = ;
b
3Z
4I = ;
a b
4Z
5I =
5 a b
5
E -
Z
* Chú ý:
- Trong hệ phƣơng trình (N) các tổng dẫn
Ykl = Ylk (theo tính chất tƣơng hỗ của mạch điện).
- Phƣơng pháp này tiện dùng cho mạch có
nhiều nhánh nối song song. Lúc đó mạch đƣợc
miêu tả bởi ít phƣơng trình.
Ví dụ:
tìm dòng
điện trong
các nhánh
của mạch
Z1 Z3
Z21E3E
a
b
Z4
4E
J
Ví dụ:
Giả thiết chọn
nút b làm mốc
tức , mạch
chỉ có một
phƣơng trình:
bφ 0
abU 1 1E Y
a
Z1 Z3
Z21E
3E
a
b
Z4
4E
J
3 3E Y 4 4E Y J
J
1 2 3 4Y Y Y Y
m
k k lk 1 l
m
kk 1
E Y J
Y
Z1 Z3
Z21E
3E
1I
3I2I
a
b
Z4
4E
J
4I
Dòng
điện các
nhánh:
1 a1
1
EI ;
Z
a2
2
IZ
;
3 a3
3
I ;E
Z
4 a4
4
EI .
Z
Những dòng điện vòng này là kết quả sự
phân tích dòng nhánh mà ra.
Đây cũng là một phƣơng pháp cơ bản để phân
tích mạch. Nhƣng ẩn số của hệ phƣơng trình
là dòng điện mạch vòng độc lập coi nhƣ khép
kín qua các nhánh của mạch.
3.4.3 Phƣơng pháp dòng điện mạch vòng
Ví dụZ1
Z2
Z3
1E
1I
2I
A
aI bI
Dòng điện trong nhánh 1
bằng dòng điện vòng :aI
1 aI I
Ví dụ
Z1
Z21E
1I
2I
A
aI
Dòng điện trong nhánh 1
bằng dòng điện vòng :aI
bI
1 aI I
Dòng điện trong nhánh 2
bằng hiệu của và :aI bI
;2 a bI I I …
Cách phân tích này thể hiện đúng tính
chất liên tục của dòng điện các nhánh, do
đó có một ý nghĩa vật lý.
Thật vậy với cách phân tích nhƣ trên
ở mỗi nút, ví dụ nút A dòng vòng và sau
khi đi vào nút đều lại rời khỏi nút, nghĩa là
với dòng vòng ở mọi nút đều có:
aI bI
kvk
I =0
Tức là về mặt toán học cách đặt vấn đề
dòng vòng tự nó đã thoả mãn luật Kiếchốp
1 rồi, các phƣơng trình viết theo luật
Kiếchốp 1 cho dòng vòng sẽ vô nghĩa, do
đó chỉ cần viết các phƣơng trình theo luật
Kiếchốp 2 cho dòng vòng.
- Mọi nhánh Zk thuộc vòng k đều chảy qua bởi
dòng vòng ; gọi tổng các tổng trở thuộc
vòng k là Zkk (còn gọi là tổng trở riêng của
vòng thứ k) thì điện áp tổng do dòng vòng
gây ra trong vòng k là: - tích này
luôn mang dấu (+).
kvI
kvkk IZ k
vI
1
2
lk
Từ hình vẽ ta thấy:
1
2
lk
lvI- Tích này mang dấu (+)
nếu cùng chiều với
trên phần tử Zkl.kvI
- Cũng thấy mỗi dòng vòng khác, ví dụ chỉ
chảy qua một số nhánh nhất định thuộc vòng
k, gọi tổng trở các nhánh chung của vòng k
với vòng l là Zkl (còn gọi là tổng trở tƣơng hỗ
giữa 2 vòng thứ k và l) thì điện áp do dòng
vòng gây ra trong vòng k là:lvkl IZ
lvI
lvI
lvI- Tích này mang dấu (-)
nếu ngƣợc chiều với
trên phần tử Zkl.kvI
Các bƣớc của phƣơng pháp nhƣ sau:Bƣớc 1: Chọn ẩn số là các dòng điện
vòng độc lập, tiện nhất là cho các mắt lƣới
với chiều dƣơng trùng với chiều dƣơng của
vòng. Số dòng điện vòng độc lập bằng
K2 = m - n + 1.
Bƣớc 2: lập hệ phƣơng trình độc lập theo
luật Kiếchốp 2 với các dòng điện vòng cho
mạch :1 2 3 q 1 1
1 2 3 q 2 2
1 2 3 q q q
11 v 12 v 13 v 1q v v j
21 v 22 v 23 v 2q v v j
q1 v q2 v q3 v qq v v j
Z I + Z I + Z I + ... + Z I = E + E
Z I + Z I + Z I + ... + Z I = E + E
..............................................................
Z I + Z I + Z I + ... + Z I = E + E
(V)
Bƣớc 3: Giải hệ phƣơng trình (V), tìm ẩn
số là (m-n+1= q) dòng điện vòng , ,
…, .2
vI1
vI
- Từ các dòng vòng tiếp tục tìm
dòng điện các nhánh: Dòng điện các
nhánh bằng tổng đại số các dòng vòng
qua nhánh đó (kể cả nguồn dòng j nếu
có).
- Tiếp tục tìm điện áp, công suất tuỳ
theo yêu cầu bài toán.
Chọn cho khép mạch qua Z4
Ví dụ
Viết phƣơng trình tìm
dòng điện trong các
nhánh của mạch sau
theo phƣơng pháp
dòng điện mạch vòng
Bƣớc 1: Chọn ẩn số
là 3 dòng điện vòng
độc lập , ,aI bIcI
aI
cI4E
1E
J
J
Z1
Z2 Z3
Z6
Z4 Z5
bI
J
Bƣớc 2: Hệ phƣơng trình cho mạch
aI
cI4E
1E
J
J
1 2 3 aZ Z Z I 2 bZ I 3 cZ I 1E
2 aZ I 2 4 6 bZ Z Z I 6 cZ I 4E
3 aZ I 6 bZ I 3 5 6 cZ Z Z I
4Z J
0
Z1
Z2 Z3
Z6
Z4 Z5
bI
Chọn cho
khép mạch qua Z4
J
Bƣớc 2:
Hệ phƣơng trình
cho mạch
Giải hệ phƣơng trình tìm
đƣợc các dòng vòng:
aI ,bI ,
cI
Từ dòng vòng ta suy
ra dòng nhánh:
1I
3I
2I
4I
aI
cI4E
1E
J
J
Z1
Z2 Z3
Z6
Z4 Z5
bI
5I
6I
1 aI I
2 b aI I I
3 a cI I I
4 bI I J
5 cI I
6 b cI I I
Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp
dòng điện vòng và điện thế các nút so
với phƣơng pháp dòng điện các nhánh:
+ Phƣơng pháp dòng điện các nhánh:
- Giải đƣợc tất cả các mạch
- Nhƣng nếu mạch có số nút, nhánh
nhiều thì việc giải phƣơng trình sẽ gặp
khó khăn trong tính toán.
Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp
dòng điện vòng và điện thế các nút so
với phƣơng pháp dòng điện các nhánh:
+ Phƣơng pháp dòng điện vòng và
điện thế các nút:
- Giảm đƣợc số phƣơng trình viết cho
mạch, nhƣ vậy giảm đƣợc khối lƣợng
tính toán.
- Nhƣng có những trƣờng hợp không
dùng 2 phƣơng pháp này để giải đƣợc.
3.5 ĐỒ THỊ TÔPÔ CỦA MẠCH ĐIỆN
3.5.1 Định nghĩa
Đồ thị tôpô là đồ thị các ảnh phức điện
thế của các đỉnh (điểm nút cũng nhƣ
điểm nối giữa hai phần tử trên sơ đồ
mạch) kèm theo một quy ƣớc mô tả cấu
trúc hình học của mạch điện.
3.5.2 Cách vẽ
- Giả sử đã biết sự phân bố điện thế của các
đỉnh trên sơ đồ mạch, ta đặt chúng lên mặt
phẳng phức vào các điểm có giá trị 0, a; b ...;
n-1 , với thế đỉnh mốc gắn trên gốc toạ độ và
đánh dấu những điểm đó bằng tên các đỉnh
trên sơ đồ mạch a, b, ..., (n-1) - ta đƣợc đồ thị
véctơ các điện thế.
- Tiếp đó nếu trong sơ đồ mạch 2 đỉnh nào nối
với nhau bằng một phần tử thì trên đồ thị cũng
nối 2 điểm tƣơng ứng bằng một đoạn thẳng.
Làm nhƣ vậy đồ thị tôpô đã chép lại kết cấu
của mạch trên mặt phẳng phức.
O
bc
d
eg
1E
r1 L3
L1
r3
r2
c2
2E
a
+1
j
0
c
ge
d
ba
a
b
- Tiếp đó nếu trong sơ đồ mạch 2 đỉnh nào nối
với nhau bằng một phần tử thì trên đồ thị cũng
nối 2 điểm tƣơng ứng bằng một đoạn thẳng.
- Làm nhƣ vậy đồ thị tôpô đã chép lại kết cấu
của mạch trên mặt phẳng phức.
- Ngoài ra đồ thị tôpô cũng biểu diễn rõ sự
phân bố điện áp giữa mọi cặp đỉnh trên sơ
đồ mạch (hoặc điện áp trên một phần tử).
c
O
b
d
eg
1E
r1 L3
L1
r3
r2
c2
2E
a
a
a b- =
abU
+1
j
0
b
a
b
abU
R1
= U
= 0a - 0b ba
- Theo các quy ƣớc trên, để vẽ đồ thị
tôpô cho một sơ đồ mạch điện ta thực
hiện theo các bƣớc sau:
+ Bằng các phƣơng pháp đã học tính ra
dòng điện các nhánh và điện áp trên các
phần tử của mạch
+ Chọn một đỉnh làm mốc coi là có điện
thế bằng không (đặt trùng với gốc tọa độ),
theo kết cấu của mạch tính điện thế các
đỉnh theo các dòng điện, để tiện nên đi từ
đỉnh mốc tính dần thế các đỉnh khác.
Rồi đặt liên tiếp các véctơ điện áp của
các phần tử vừa tính lên mặt phẳng
phức theo thứ tự nhƣ kết cấu của
mạch, ta sẽ đƣợc đồ thị tôpô của mạch
Ví dụ: vẽ đồ thị
Tôpô của mạch
điện sau
c
O
b
d
eg
1E
R1 L3
L1
R3
R2
C2
2E
a
c
O
b
d
eg
1E
R1 L3
L1
R3
R2
C2
2E
a
1I
2I
3I
Đỉnh mốc chọn là O:
; dòng
điện các nhánh có
chiều dƣơng nhƣ
hình vẽ:
0 = 0
* Tính điện thế của các
đỉnh so với đỉnh O
theo nhánh 1:
aOU
a aO 1;= U = E
1b bO a 1ab R= U = + EU U ;= -
.11c O a ac 1 LRc= U = E - U -U = U+
* Tƣơng tự ta
tính điện thế của
các đỉnh so với
đỉnh O theo
nhánh thứ hai,
thứ ba:
33c O Lc R= U = U + U ;
c Oc= U =
c
O
b
d
eg
R1 L3
L1
R3
R2
C2
2E
a
1I
2I
3I
aOU
.222 CR-E + U + U
1E
+1
j
0
c
.1 1Rc O a ac 1 Lc= U = + U = E - U - U
3 3Rc O Lc= U = U + U ;
.2 2Rc O 2 Cc= U = - E + U + U
1E
R1-U
1
-UL
2-E
R2U
2CU
R3U
3I
2I
1I
3LU
c
O
b
d
eg
R1 L3
L1
R3
R2
C2
2E
a
1I
2I
3I
aOU1E
3.5.3 Ý nghĩa đồ thị Tôpô
Đồ thị Tôpô cho biết:
- Điện thế của các điểm trên trên sơ
đồ mạch điện.
- Điện áp trên các phần tử của
mạch.
- Kết cấu hình học (số nhánh, nút,
vòng) của mạch điện.
Vấn đề cần nhớ
2. Các phƣơng pháp cơ bản giải
mạch điện.
3. Tính công suất nguồn, tải bằng số
phức.
4. Khái niệm và cách vẽ đồ thị Tôpô.
1. Cách biểu diễn số phức
CẢM ƠN!