transportni problem lp-a optiplanpok

Katedra za upravljanje proizvodnjom

Transportni problem LP-a

Optimiranje i planiranje pokusa

Miro [email protected]

1


Sadraj

Uvod

Osnovne znaajke TP-a

Opi sluaj

Matematiki model TP-a

Odreivanje poetnog rjeenja

Odreivanje optimalnog rjeenja

2


Cilj transportnog problema

Prvi objavili radove iz ovog podruja L.V.Kantorovi 1939.godine

L.F.Hikok 1941.god.

Cilj transportnog problema LP-a:

Odrediti najbolji nain transporta od vie izvora sredstava tj. ishodita (npr.skladita sirovina, materijala, proizvodna poduzea koja opskrbljuju potroaa) do korisnika izvora sredstava tj.odredita.

3


Problem minimizacije

Najee se razmatra problem minimizacijetransportnih trokova prijevoza neke robe.

4

Izvor: J.Heizer, B.Render: Operations Management, 10th edition


Osnovne znaajke transportnoga problema

Izvori sredstava, tj. ishodita (npr. skladita sirovina, materijala, proizvodna poduzea koja opskrbljuju potroaa) oznaavaju se s R1, R2, ...., Ri (i = 1, 2, ..., r), a njihov kapacitet s xi0.

Korisnici izvora sredstava, tj. odredita oznaavaju se sa S1, S2, ..., Sj (j = 1, 2, ..., s), a njihovi kapaciteti s x0j.

xij - koliina materijala koja se preveze iz bilo kojeg i-tog ishodita u bilo koje j-to odredite,

cij - troak transporta jedinice tereta iz bilo kojeg i-tog ishodita u bilo koje j-to odredite.

5


Opi sluaj

Mogu nastupiti dvije situacije:

1. Suma ponude jednaka je sumi potranje, u kojem sluaju se govori o zatvorenom modelu transporta, tj.

2. Suma ponude nije jednaka sumi potranje, a u tom se sluaju govori o otvorenom modelu transporta, tj.

Za drugi sluaj: potrebno je model zatvoriti uvoenjem fiktivnog ishodita, odnosno odredita (ovisno o tome nedostaje li ponude ili potranje).

6

r

1i

s

1j

ojio xx

r

1i

s

1j

ojio xx


Rjeavanje transportnog problema

1. Za zadani problem potrebno je definirati:1. Funkciju cilja F(x)

2. Sistem ogranienja.

Iz definicije transportnog problema:

Potrebno je odrediti nenegativne vrijednosti varijable xij (i = 1, 2, ..., r ; j = 1, 2, ..., s) tako da se ostvare minimalni ukupni trokovi transporta iz r-tog ishodita u s-to odredite, a da se pri tome zadovolje uvjeti ponude i potranje.

7


Primjer 1

8

TRANSPORTNI PROBLEM LP-a

Jedinini trokovi ci,jOdredita

Ponuda ishodita xioS1 S2 S3 S4

Ishodita

R1 8 18 9 10 60

R2 10 12 3 15 80

R3 12 15 16 4 60

Potranja odredita xoj 40 60 30 70 200


Prevezene koliine xi,jOdredita


Ishodita

R1 x11 x12 x13 x14 60

R2 x21 x22 x23 x24 80

R3 x31 x32 x33 x34 60



Primjer 1

9

F(x) = 8 x11 + 18 x12 + 9 x13 + 10 x14 + 10 x21 + 12 x22 + 3 x23 + 15 x24 + 12 x31 + 15 x32 + 16 x33 + 4 x34 MIN

Funkcija cilja glasi:

ponude uvjeti

60xxxx

80xxxx

60xxxx

34333231

24232221

14131211

uz ogranienja:

potranje uvjeti

70xxx

30xxx

60xxx

40xxx

342414

332313

322212

312111




Ishodita

R1 8 18 9 10 60

R2 10 12 3 15 80

R3 12 15 16 4 60



Matematika formulacija problema:

10

minxcF(x)r

1i

s

1j

ijij

ponude uvjeti

xx

.............

xx

xx

s

1j

r0rj

s

1j

202j

s

1j

101j

potranje uvjeti

xx

.............

xx

xx

r

1i

0sis

r

1i

02i2

r

1i

01i1

xij 0 (i = 1, 2, ..., r ; j = 1, 2, ..., s) - uvjet nenegativnosti varijabli


U opem sluaju

11

Moe se postaviti ukupno (r+s) jednadbi r jednadbi za ishodita s jednadbi za odredita

Zbog uvjeta jednakosti sume ponude i sume potranje broj neovisnih jednadbi bit e (r + s - 1)

Broj neovisnih varijabli odreuje broj varijabli xij koje mogu poprimiti vrijednost veu od nule (xij > 0) u nekom otvorenom nedegeneriranom rjeenju.

Varijable koje imaju vrijednost strogo veu od nule (>), zovu se bazne varijable.


U opem sluaju (1)

12

Ako je broj baznih varijabli manji od (r + s - 1), tada e nastupiti degeneracija, a takvo se rjeenje u teoriji LP-a naziva osnovno degenerirano rjeenje.


Znaajke metoda za rjeavanje TP-a

Problem rjeavaju u dvije faze:

a) Odreivanje poetnog rjeenja,

b) Poboljanje poetnog rjeenja ( to je u veini sluajeva iterativni postupak pronalaenju konanog, tj.

optimalnog rjeenja)

13



14

Metoda sjeverozapadnog kuta (Northwest corner rule)Kao polaznu tablicu, uzima tablicu u kojoj su dane ponude

ishodita i potranje odredita.1. Polazi se od lijevog gornjeg kuta, te se usporeuju potrebe

x10 i x01.

a) Ako je x10 > x01 x11 = x01,a razlika x10 - x01 stavlja se u sljedei stupac u istom redu( x12 = x10 -x01 )

Ako je potranja odredita S2 manja od ove razlike:x12 = x02,a razlika x10 - x01 - x02 prenosi se u trei stupac u istom redu(sve dok se ponuda ishodita R1 ne iskoristi)



15

Metoda sjeverozapadnog kuta (Northwest corner rule)

b) Ako je x10 = x01 x11 = x10 = x01zatim se prelazi na odreivanje varijable x22(tj. ide se dijagonalno od lijevog gornjeg kuta do donjeg desnog kuta).

c) Ako je x10 < x01, x11 = x10, razlika (x01 - x10 stavlja se u drugi redak u istom stupcu (prelazi se na odreivanje varijable x21).

Postupak dalje slino kao pod a), samo se mora uzeti u obzir da je ovdje prelazak vertikalan.


Primjer 2

16

Metoda sjeverozapadnog kuta (Northwest corner rule)


ci,j S1 S2 S3 S4 S5 xioR1 4 2 5 7 6 20

R2 7 8 3 4 5 110

R3 2 1 4 3 2 120

xoj 70 40 30 60 50 250/250

F(x) = 4 x11 + 2 x12 + 5 x13 + 7 x14 + 6 x15 + 7 x21 + 8 x22 + 3 x23 + 4 x24 + 5x25 +2 x31 + 1 x32 + 4 x33 + 3 x34 + 2 x35 MIN

ponude uvjeti

201xxxxx

101xxxxx

20xxxxx

3534333231

2524232221

1514131211

potranje uvjeti

05xxx

06xxx

30xxx

04xxx

07xxx

352515

342414

332313

322212

312111


Primjer 2

17

Metoda sjeverozapadnog kuta (Poetno rjeenje)


xi,j S1 S2 S3 S4 S5 xioR1 20

R2 110

R3 120

xoj 70 40 30 60 50 250/250

c) Ako je x10 < x01, x11 = x10, razlika (x01 - x10 stavlja se u drugi redak u istom stupcu (prelazi se na odreivanje varijable x21).

Postupak dalje slino kao pod a), samo se mora uzeti u obzir da je ovdje prelazak vertikalan.

20

50 40 20

10 60 50

F(x)=1130



18

Vogelova metodaVrlo efikasna u odreivanju prvog osnovnog rjeenja transportnog

problema.

Postupak rada moe se prikazati u etiri faze:1. Za svako ishodite i odredite potrebno je odrediti kaznu za nekoritenje najjeftinijeg puta:

Kazna se rauna kao razlika dviju najmanjih cijena za svaki redak i stupac.

Ako su u nekom retku (stupcu) dvije cijene iste, kazna je za to odredite (ishodite) jednaka nuli.



19

Vogelova metoda

2. Izabrati redak ili stupac sa najveom kaznom i u njemu polje (i, j) s minimalnim trokom transporta. U to se polje matrice unosi vrijednost varijable xij = min (xio, xoj). Time se iscrpljuje i-ti redak ili stupac, pa se izostavlja iz daljnjeg razmatranja.

3. Kad je redak (stupac) izostavljen, ponovo se rauna kazna za svaki redak (stupac).

4. Potrebno je ponoviti faze 2 i 3 dok se ne dobije cijelo poetno osnovno rjeenje.



20

Vogelova metoda (Posebni sluajevi)

U drugoj fazi postoji vie redaka ili stupaca sa jednakim maksimalnim kaznama.

Postupak:1. Pogleda se je li minimalna cijena u jednom od tih redaka (stupaca) ujedno i minimalna u stupcu (retku) u kojem se nalazi?

Ako je, bira se taj redak (stupac). Ako nije, raunaju se sekundarne kazne za retke i stupce koji imaju istu kaznu.



21

Vogelova metoda (Posebni sluajevi)

2. Raunanje sekundarne kazne

Izrauna se razlika izmeu drugog najmanjeg troka u retku i najmanjeg troka u stupcu to sadri taj najmanji troak. (Sekundarna kazna za stupac rauna se na isti nain).

3. Odabere se redak ili stupac sa najveom sekundarnom kaznom.



22

Vogelova metoda (Primjer 3) (1)




Ishodita

R1 8 18 9 10 60

R2 10 12 3 15 80

R3 12 15 16 4 60


PRIMJENA VOGELOVE METODE

ci,jOdredita

xio c'ioS1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 8 18 9 10 60 1

R2 10 12 3 15 80 7

R3 12 15 16 4 60 8

xoj 40 60 30 70 200

c'oj 2 3 6 6

xij = min (xio, xoj)

x34 = min (60, 70) = 60



23



xi,jOdredita

S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1

R2

R3 60


x23 = min (80, 30) = 30

SUPTABLICA 2x4

ci,jOdredita

xio c'ioS1 S2 S3 S4

Ish

od

ita R1 8 18 9 10 60 1

R2 10 12 3 15 80 7

xoj 40 60 30 10 140

c'oj 2 6 6 5

30



24



xi,jOdredita

S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1

R2 30

R3 60


x23 = min (50, 60) = 50

SUPTABLICA 2x3

ci,jOdredita xio c'io

S1 S2 S4

Ish

od

ita R1 8 18 10 60 2

R2 10 12 15 50 2

xoj 40 60 10 110

c'oj 2 6 5

50



25



xi,jOdredita

S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1

R2 50 30

R3 60

SUPTABLICA 1x3

ci,jOdredita xio c'io

S1 S2 S4

R1 8 18 10 60 2

xoj 40 10 10 60

=40 100 500 0

030

100

0 60

= 40 8 + 10 18 + 10 10 + 50 12 + 30 3 + 60 4 =

: = 1640

40 10 10


Primjer 4

26

Vogelovom metodom pronai rjeenje

F(x) = 3 x11 + 9 x12 + 8 x13 + 10 x14 + 4 x15 + 6 x21 + 10 x22 + 3 x23 + 2 x24 + 3 x25 + 3 x31 + 2 x32 + 7 x33 + 10 x34 + 3 x35 + 3 x41 + 5 x42 + 3 x43 + 2 x44 + 8 x45 MIN

ponude uvjeti

81xxxxx

91xxxxx

13xxxxx

28xxxxx

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

potranje uvjeti

8xxxx

20xxxx

10xxxx

16xxxx

24xxxx

45352515

44342414

43332313

42322212

41312111


ci,j S1 S2 S3 S4 S5 xio

R1 3 9 8 10 4 28

R2 6 10 3 2 3 13

R3 3 2 7 10 3 19

R4 3 5 3 2 8 18

xoj 24 16 10 20 8 78/78


Primjer 4

27



ci,j S1 S2 S3 S4 S5 xio c'io

R1 3 9 8 10 4 28 1

R2 6 10 3 2 3 13 1

R3 3 2 7 10 3 19 1

R4 3 5 3 2 8 18 1

xoj 24 16 10 20 8 78/78

c'oj 0 3 0 0 0


xij/ci,j

S1 S2 S3 S4 S5 xio c'io

R1 3 9 8 10 4 28 1

R2 6 10 3 2 3 13 1

R3 3 16 7 10 3 19 3 1

R4 3 5 3 2 8 18 1

xoj2

416 10 20 8 78/78

c'oj 0 3 0 0 0


Primjer 4

28



xij/ci,j

S

1

S2 S3 S4 S5 xio c'io Cio

R1 3 8 10 4 28 1 1

R2 6 3 2 3 13 1 0

R3 3 16 7 10 3 3 0

R4 3 3 2 8 18 1 0

xoj2

410 20 8 78/78

c'oj 0 0 0 0


xij/ci,j

S1 S2 S3 S4 S5 xio c'io Cio

R1 24 8 10 4 28 4 1 1

R2 6 3 2 3 13 1 0

R3 3 16 7 10 3 3 0

R4 3 3 2 8 18 1 0

xoj 24 10 20 8 78/78

c'oj 0 0 0 0



xij/ci,j


R1 24 8 10 4 4 4 5

R2 3 2 3 13 1

R3 16 7 10 3 3 4 4

R4 3 2 8 18 1

xoj 10 20 8 4 78/78

c'oj 0 0 0

Primjer 4

29



xij/ci,j


R1 24 8 10 4 4 4 5

R2 3 2 3 13 1

R3 16 7 10 3 3 4 4

R4 3 2 8 18 1

xoj 10 20 8 78/78

c'oj 0 0 0


Primjer 4

30



xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 3 13 1

R3 16 7 10 3 3 4

R4 3 2 8 18 1

xoj 10 20 4 78/78

c'oj 0 0 0


xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 3 13 1

R3 16 7 10 3 3 4

R4 3 2 8 18 1

xoj 10 20 4 1 78/78

c'oj 0 0 0


Primjer 4

31



xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 3 13 1

R3 16 3

R4 3 2 8 18 1

xoj 10 20 1 78/78

c'oj 0 0 5


xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 1 13 12 1

R3 16 3

R4 3 2 8 18 1

xoj 10 20 1 78/78

c'oj 0 0 5


Primjer 4

32



xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 1 12 1

R3 16 3

R4 3 2 18 1

xoj 10 20 78/78

c'oj 0 0


xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 1 12 1

R3 16 3

R4 3 18 18 1

xoj 10 20 2 78/78

c'oj 0 0


Primjer 4

33



xij/ci,j


R1 24 4

R2 3 2 1 12 1

R3 16 3

R4 18

xoj 10 2 78/78

c'oj 0 0


xi,j S1 S2 S3 S4 S5 xio c'io

R1 24 4

R2 10 2 1 12

R3 16 3

R4 18

xoj 10 2 78/78

c'oj

F(x) = 24 3 + 4 4 + 10 3+ 2 2+ 1 3+ 16 2+ 3 3+ 18 2 = 202


Odreivanje optimalnog rjeenja

34

Mogu se koristiti sljedee metode (Posebni sluajevi)

1. Stepping-Stonova metoda2. MODI metoda3. Ford-Fulkersonova metoda

Postupak:1. Provjerava se je li poetno osnovno rjeenje optimalno.2. Pronalazi se bolje rjeenje.


Stepping-Stonova metoda (Metoda skakanja s kamena na kamen)

35

Ispitivanje optimalnosti osnovnog rjeenja

1. Raunanje relativnih trokova za nezauzeta polja matricetransporta.

DEGENERACIJA KOD TP-a

ci,j xi,j

Odredita xio

S1 S2 S3

Ishod

ita

R1 8

10 4 30

R2 9 3

6 20

R3 6 8

5 40

R4 7 9 3 30

xoj 30 40 50 120

120


Stepping-Stonova metoda (Metoda skakanja s kamena na kamen)

36

Ispitivanje optimalnosti osnovnog rjeenja

1. Raunanje relativnih trokova za nezauzeta polja matricetransporta.

Relativni trokovi (dij) pokazuju za koliko bi se promijeniliukupni trokovi transporta, ako bi se jedinica robe transportiralapreko nezauzetog polja.

a. Pozitivni relativni trokovi poveanje transportnih trokova.b. Negativni relativni trokovi smanjenje transportnih

trokova.

Optimalni plan transporta u osnovnom rjeenje ne postoji nitijedan negativni relativni troak.


Degeneracija kod TP-a

37

Nastupa kad je broj bazinih varijabli manji od (r+s-1)

Primjer 5DEGENERACIJA KOD TP-a

ci,jOdredita

xioS1 S2 S3

Ish

od

ita

R1 8 10 4 30

R2 9 3 6 20

R3 6 8 5 40

R4 7 9 3 30

xoj 30 40 50 120/120

Prvo osnovno rjeenje dobiveno Metodom sjeverozapadnog kuta


ci,j xi,j

Odredita xio

S1 S2 S3

Ishod

ita

R1 8

10 4 30

R2 9 3

6 20

R3 6 8

5 40

R4 7 9 3 30

xoj 30 40 50 120

120

r+s-1 = 4+3-1 = 6 Broj bazinih varijabli = 5

*Degeneracija F(x) = 650

Varijable koje imaju vrijednost strogo veu od nule (>), zovu se bazne varijable.

fiktivna bazna varijabla



38


ci,j Odredita

xio S1 S2 S3

Ish

od

ita

R1 8

10 4 30

R2 9 3

6 20

R3 6 8

5 40

R4 7 9 3 30

xoj 30 40 50 120 120

d12 = c12 - c32 + c31 - c11 = 10 8 + 6 8 = 0

d13 = c13 - c33 + c31 - c11 = 4 5 + 6 8 = -3

d21 = c21 - c22 + c32 c31 = 9 3 + 8 6 = 8

d23 = c23 - c33 + c32 - c22 = 6 5 + 8 3 = 6

d41 = c41 - c43 + c33 - c31 = 7 3 + 5 6 = 3

d42 = c42 - c43 + c33 - c32 = 9 3 + 5 8 = 3

c12

(1,2)

c11

c31 c32

-

+-

min (20-x=0, 30-x=0)x=20

x11 = 10, x33 = 0x13 = 20, x31 = 20



39


ci,j Odredita

xio S1 S2 S3

Ishod

ita

R1 830

10 4 + 30

R2 9 3 20

6 20

R3 6 + 820

520 40

R4 7 9 3 30 30

xoj 30 40 50 120 120

d13 = c13 - c33 + c31 - c11 = 4 5 + 6 8 = -3

c13

(1,3)

c11

c31 c33

-

+-

min (20-x=0, 30-x=0)x=20

x11 = 10, x33 = 0x13 = 20, x31 = 20



40

Primjer 5


ci,j Odredita

xio S1 S2 S3

Ishod

ita

R1 810

10 4 20 30

R2 9 3 20

6 20

R3 6 20 820

5 40

R4 7 9 3 30 30

xoj 30 40 50 120 120

min (20-x=0, 30-x=0)x=20

x11 = 10, x33 = 0x13 = 20, x31 = 20

F(x) = F(x)+d13*xF(x) = 650+(-3)*20F(x) = 590


Primjer 6

41


xi,j S1 S2 S3 S4 S5 xioR1 20 20

R2 50 40 20 110

R3 10 60 50 120

xoj 70 40 30 60 50 250/250

Stepping-Stoneovom metodom pronai optimalno rjeenje.

r+s-1 = 5+3-1 = 7Broj bazinih varijabli = 7

*nema degeneracija


xi,j S1 S2 S3 S4 S5 xioR1 20 -3 5 8 8 20

R2 50 40 20 2 4 110

R3 -6 -8 10 60 50 120

xoj 70 40 30 60 50 250/250

Prvo optimalno rjeenje

F(x) = 1130


Primjer 6

42

Stepping-Stoneovom metodom pronai optimalno rjeenje.


xi,j S1 S2 S3 S4 S5 xioR1 20 -3 5 8 8 20

R2 50 40 20 2 4 110

R3 -6 -8 10 60 50 120

xoj 70 40 30 60 50 250/250

Prvo optimalno rjeenje


xi,j S1 S2 S3 S4 S5 xioR1 20 20

R2 50 30 30 110

R3 10 60 50 120

xoj 70 40 30 60 50 250/250

F(x) = F(x)+d32*xF(x) = 1130+(-8)*10F(x) = 1050

x = 10


Zadatak 1

43

1. Za transportni problem zadan tablicom potrebno je odrediti matematiki model transporta te izraunati vrijednost funkcije cilja za optimalno rjeenje


ci,jOdredita

xioS1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 7 3 2 10 400

R2 4 12 6 8 150

R3 1 9 10 6 500

xoj 350 300 200 100950\

1050


Zadatak 1

44

Rjeenje


xi,jOdredita

xioS1 S2 S3 S4 S5

Ish

od

ita

R17 / 350

x

3 / 50

+x2 / (-2) 10 / (10) 0 / (6) 400

R2 4 / (-12) 12 / 150 6 / (-7) 8 / (-1) 0 / (-3) 150

R31 / (-12)

+x

9 / 100

-x10 / 200 6 / 100 0 / 100 500

xoj 350 300 200 100 100950\

1050


Zadatak 1

45

Rjeenje Stepping Stoneova Metoda


xi,jOdredita

xioS1 S2 S3 S4 S5

Ish

od

ita

R1 7 / 250 3 / 150 2 / (-2) 10 / (10) 0 / (6) 400

R2 4 / (-12) 12 / 150 6 / (-7) 8 / (-1) 0 / (-3) 150

R3 1 / 100 9 / 0 10 / 200 6 / 100 0 / 100 500

xoj 350 300 200 100 100950\

1050


Zadatak 2

46

2. Za transportni problem zadan tablicom potrebno je odrediti matematiki model transporta te izraunati vrijednost funkcije cilja za optimalno rjeenje. (Vogelovametoda)


ci,jOdredita

xioS1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 18 2 3 15 300

R2 6 12 7 6 250

R3 4 6 10 2 200

xoj 200 250 250 150850\

750


Zadatak 2

47

Rjeenje


xi,jOdredita xio c'io

S1 S2 S3 S4Is

ho

di

ta

R1 18 / 2 / 3 / 15 / 3001

R2 6 / 12 / 7 / 6 / 2500

R3 4 / 6 / 10 / 2 / 2002

R4 0 / 100 0 / 0 / 0 / 1000

xoj 200 100 250 250 150 850\850

c'oj 4 2 3 2


Zadatak 2

48

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 18 / 2 / 250 3 / 15 / 300 501

R2 6 / 12 / 7 / 6 / 2500

R3 4 / 6 / 10 / 2 / 2002

R4 0 / 100 100

xoj 200 100 250 250 150 850\850

c'oj 2 4 4 4

c'sek 4 1 0


Zadatak 2

49

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 18 / 2 / 250 3 / 50 15 / 300 50 12

R2 6 / 7 / 6 / 250 0

R3 4 / 10 / 2 / 200 2

R4 0 / 100 100

xoj 200 100 250 250 200 150 850\850

c'oj 2 4 4


Zadatak 2

50

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 2 / 250 3 / 50 300 50

R2 6 / 7 / 6 / 250 0

R3 4 / 10 / 2 / 150 200 50 2

R4 0 / 100 100

xoj 200 100 250 250 200 150 850\850

c'oj 2 3 4


Zadatak 2

51

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 2 / 250 3 / 50 300 50

R2 6 / 7 / 250 1

R3 4 / 50 10 / 2 / 150 200 50 6

R4 0 / 100 100

xoj200 100

50250 250 200 150 850\850

c'oj 2 3


Zadatak 2

52

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 2 / 250 3 / 50 300 50

R2 6 / 50 7 / 200 250

R3 4 / 50 2 / 150 200 50

R4 0 / 100 100

xoj200 100

50250 250 200 150 850\850

c'oj 2 3


Zadatak 2

53

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 2 / 250 3 / 50 300 50

R2 6 / 50 7 / 200 250

R3 4 / 50 2 / 150 200 50

R4 0 / 100 100

xoj200 100

50250 250 200 150 850\850

c'oj

F(x)=2850


Zadatak 3

54

3. Za transportni problem zadan tablicom potrebno je odrediti matematiki model transporta te izraunati vrijednost funkcije cilja za optimalno rjeenje. (Vogelovametoda)


ci,jOdredita

xioS1 S2 S3

Ish

od

ita

R1 70 30 60 75

R2 40 80 20 40

R3 10 50 90 35

xoj 20 45 30 95 \ 150


Zadatak 3

55

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 70 / 30 / 60 / 0 / 7530

R2 40 / 80 / 20 / 0 / 4020

R3 10 / 50 / 90 / 0 / 3510

xoj 20 45 30 55150\

150

c'oj 30 20 40 0


Zadatak 3

56

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 70 / 30 / 60 / 0 / 7530

R2 40 / 80 / 20 / 20 0 / 4020

R3 10 / 50 / 90 / 0 / 3510

xoj 20 45 30 55150\

150

c'oj 30 20 40 0


Zadatak 3

57

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 70 / 30 / 0 / 7530

R2 40 / 80 / 30 0 / 10 1040

R3 10 / 50 / 0 / 3510

xoj 20 45 55150\

150

c'oj 30 20 0


Zadatak 3

58

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 70 / 30 / 0 / 7530

R2 30 10

R3 10 / 20 50 / 0 / 3510

xoj 20 45 45150\

150

c'oj 60 20 0


Zadatak 3

59

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 30 / 0 / 7530

R2 30 10

R3 20 0 / 15 1550

xoj 45 45150\

150

c'oj 20 0


Zadatak 3

60

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 30 / 45 0 / 30 7530

R2 30 10

R3 20 15 1550

xoj 45 30150\

150

c'oj 20 0


Zadatak 3

61

Rjeenje



S1 S2 S3 S4

Ish

od

ita

R1 30 / 45 0 / 30

R2 20 / 30 0 / 10

R3 10 / 20 0 / 15

xoj150\

150

c'oj

F(x) = 10*20+30*40+20*30+0*30+0*10+0*15 = 200+1200+600=2000


Literatura

N.aki, N.tefani, Inenjerski prirunik IP4, trei svezak, poglavlje 11. Metode optimiranja proizvodnje, Zagreb 2002.

62

transportni problem lp-a optiplanpok

Documents