transporte de un soluto por un fluido...

TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I

POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y

CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN

AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM


1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN

FLUIDO LIBRE

1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

La masa de soluto es una propiedad

extensiva dada en cualquier tiempo por

,

La ecuación de balance global es

, , ,

donde es la fuente de soluto en consideración

SB t

SSS

B t B t

S

M t c x t dx

dMt g x t dx x t n x t dx

dt

g

,

p. e. decaimiento radiactivo.

representa la masa de soluto por unidad de área

por unidad de tiempo entrando al cuerpo de fluido,

principalmente difusión molecular.

S

1. LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

La ecuación diferencial de balance local

del transporte de solutos por un fluido libre es:

Donde es la concentración del soluto, y es la

propiedad intensiva asociada con la masa de

S S

ccv g

t

c x,t

l soluto,

es decir, masa de soluto por unidad de volumen

de la solución.


2. PROCESOS DE TRANSPORTE

2. PROCESOS DE TRANSPORTE

Se pueden distinguir tres procesos de transporte:

advección,

difusión, y

generación de masa.

La ecuación de transporte necesita el suministro

de información científica y tecnológica acerca de

, v

la velocidad de la partícula,

, flujo de masa del soluto, y

, la fuente externa de masa del soluto.

S

Sg

2. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de advección

Siempre que el fluido está en movimiento ocurre la

; es decir cuando la velocidad de la

parícula es diferente de cero, 0.

Este proceso o fenómeno es debido al hecho de que la

substancia disu

advección

v

elta es llevada por el fluido conforme

se mueve, como una carga transportada por un vehículo.

La extensión del proceso advectivo es caracterizada

por la velocidad del fluido, la cual en los modelos

de transporte que estan siendo considerados se asume

que es dato conocido.

Es necesario, entonces, obtener la velocidad de las

partículas por medios adecuados.

2. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de difusión

Las partículas microscópias que constituyen un fluido

están en permanente agitación, y las partículas del soluto

que las acompañan tiene caminos aleatorios conocidos

como .

Los pro

movimiento Browniano

cesos de difusión que son debidos a ese

movimiento son conocidos como .difusión molecular

2. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de difusión

Un modelo muy simple y muy ampliamente usado para

difusión molecular es el de ; en

ella se establece que el campo vectorial representando

el flujo de masa de soluto, , , es unS

la primera ley de Fick

x t

a función

del gradiente de la concentración:

,

Donde es una matriz denominada

. Cuando el proceso es de difusión,

es isotrópico, y la ecuación se reduce:

S x t D c

D tensor de

difusión molecular

D DI


3. PROCESOS DE TRANSPORTEProcesos de generación de masa


La razón a la que la masa es generada es determinada

por fuentes externas, , .

Cuando las fuentes externas son idénticamente

iguales a cero, nada de masa es generada

y cada cuerpo de fluido conser

Sg x t

va la masa que contiene.

En este caso el sistema de transporte se denomina

.conservativo


Por otra parte cuando las fuentes externas del soluto son

diferentes de cero, , 0 y a tal sistema de transporte

se le denomina - .

Informalmente se dice que hay una o

Sg x t

no conservativo

fuente de masa

u

cuando , 0 , 0,

respectivamente.

Los orígenes de tales fuentes y sumideros son diversos;

por ejemplo, dos que son especialmente significativas son

el decaimiento radiactivo

S Sn sumidero de masa g x t o g x t

y las reacciones químicas entre

diferentes solutos contenidos en el fluido.


4. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DIFUSIVO


La es generalmente aceptada como

la ecuación constitutiva básica para difusión molecular.

Para fluidos libres, los procesos de difusión son

usualmente isotrópicos.

Cuando esto es a

primera ley de Fick

plicado la ecuación diferencial de

balance local es

Algunos casos especiales de la ecuación son los siguientes.

S

ccv g D c

t


cDgt

c

v

cDgvct

c

D

cDgcvt

c

v

S

S

S

: 0 reposoen está fluido el Cuando3.

0posición la de nteindependie esdifusión de

ecoeficient el ,homogéneos es fluido el Cuando2.

0 bleincompresi es fluido el Si1.

2


.siguientes lasson ellas a aplicables ecuaciones Las

es.aplicacion

muchasen interés de también es ioestacionar Estado El

:calor delecuación conocida la a reduce se

gobernante ldiferenciaecuación la reposo,en está que

homogéneo fluidoun por voconservati e transportel Para

2cDt

c


elípticas. ecuaciones para prototipo el Laplace, deecuación la es última Esta

0

:voconservati es e transportel cuando

reposo,en homogéneo fluidoun deción representa La5.

:reposoen está fluido el cuandosituación La4.

:homogéneos fluidos para caso El3.

:blesincompresi fluidos para caso El2.

:por gobernado general, más caso El1.

2

2

c

gcD

gvccD

gcvcD

gvccD

S

S

S

S

ioestacionar Estado


5. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSIVO


Problemas dependientes del tiempo.

problema. del conocido dato es que

inicial,ión concentrac la es función la donde

0y , ;0,

frontera,su seay espacial dominio el Sea

:prescritos

son ión concentrac la de iniciales valoresLos

:iniciales sCondicione

frontera. de scondicione lasadición en prescritas

son iniciales scondicione las decir, es frontera;

dey iniciales valoresde problemasson planteados

bien problemas los lineal, es ,, Cuando

0

0

xc

txxcxc

ΩΩ

ctxgS



problema. del conocido dato es ,función la donde

0y ;,,,

1, que talesúmeros y Sean

as.consideradser a

frontera de scondicione de forma general más laSon

Robin. tipofrontera de sCondicione

22

tx

txtxtxctxn

c

n


Problemas dependientes del tiempo.Dos casos particulares muy importantes de las condiciones de frontera

son las condiciones de frontera Dirichlet y de Newmann.

Corresponden a los casos =1 ( =0) y =1( =0),

respectivamente.

Condiciones

de frontera tipo Dirichlet.

, , ; y 0.

Condiciones de frontera tipo Neumann.

, , ; y 0.

Condición de flujo total de masa.

, , , , ; 0

c x t x t x t

cx t x t x t

n

cD x t v x t n c x t x t x y t

n



0.010. 0.005, 0.001, Dy 0,=g .5,0 t1, v:Además

(0,1). unitario intervalo el es problema del dominio

del definición la cual elen

onalunidimensi caso el para

libres fluidospor e transportpara

ldiferenciaecuación la parasolución

la observa se figura siguiente laEn

S



solución. la de asíy curva la de pendiente ladecrecer

de es D de valor elr incrementa de efecto El

conserva. se sistema del masa la que indicando

0.5,ión concentrac la dealrededor simétricasson curvas Las

0

,0

:Iniciales

1,0

0,1

:Dirichlet

:son frontera de scondicione Las

x

c

xx

c

x

xc ii

ii

ii


Problemas de estado estacionario.

solución. existe no

dominio, del frontera la en toda impuestasson Neumann

tipofrontera de scondicione las cuando embargo,Sin

tiempo.del esdependient problemas losen tratadas

mismas lasson considerar a frontera de scondicione Las

iniciales. scondicioneincluyen no

tiempodel ntesindependie planteadosbien problemas Los


6. PROCESOS IRREVERSIBLES DE PRIMER ORDEN


0

:esecuación la homogéneo, es fluido el Si

positiva. constante una es Donde

,,

:aplicada es externas fuentes las paraexpresión siguiente la ellas Para

orden.primer de lesirreversib procesos como

adascaracterizser pueden ción biodegrada formas ciertasy hidrólisis

,radiactivo odecaimient como talesquímica, actividad de clases Ciertas

a reduce se local balance de ldiferenciaecuación la

hace se esto cuando lados; en todos 0 = , procesos Para

cDcvct

c

txctxg

cDvct

c

gvosconservati

S

S


Si el fluido es homogéneo, la ecuación es:

0

En la siguiente figura se presentan

soluciones al problema descrito por

la ecuación anterior, para diferentes valores de .

El valor de

ccv c D c

t

D =

0

0

1/2

0 5 1, y el tiempo transcurrido es =30.

1Notar que: =

=Cte. de desintegración No. de atomos en tiempo

= es la vida media No. inicial de atomos

Periodo de semidesintegración:

t

. , v = t

y N t N e

N t t

N

t

ln 2


0,0

:es inicialcondición la Y

45,0

0,1

:son frontera de scondicione Las

.incrementa sereacción de tasala

conforme curva cada bajo áreas menoresen

refleja se cual la global masa de pérdida

la esorden primer de químicareacción

esta desolución laen impacto evidente más El

xc

xx

c

x

xc

ii

ii

ii


7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO

7. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO

txcgcv

txcgvc

txcgt

c

v

txcgcvt

c

v

txcgvct

c

D

S

S

S

S

S

,,

bleincompresi fluidoy ioestacionar estado Para4.

,,

ioestacionar estado Para3.

,,

: 0 reposoen está fluido el Cuando2.

,,

0 bleincompresi es fluido el Si1.

,,

0 ndoestablecie derivadaser puede

solutos de difusivo-no e transportdel gobernanteecuación La


8. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO


• Una importante diferencia entre las ecuaciones

generales de transporte difusivo y no-difusivo es que

la primera contiene derivadas espaciales de segundo

orden, debido a que D>0, mientras que la otra no.

• Como consecuencia la ecuación de transporte

difusivo es una ecuación parabólica de segundo

orden, mientras que la de transporte no-difusivo es

una ecuación de primer orden.


• Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden puedenser reducidas a una familia ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden, cada una de ellas satisfechas a lo largo deciertas curvas llamadas curvas características; como se puedever, las curvas características para transporte no-difusivo sonlas trayectorias el espacio-tiempo de partículas de fluido.

• La solución de tales ecuaciones diferenciales parciales escompletamente determinada cuando su valor es prescrito en uny solo un punto de la curva característica en el espacio-tiempo.Consecuentemente, los problemas bien planteados sonaquellos que cumplen esta condición y el siguiente principiogeneral se cumple.


• Los problemas bien planteados de valores en la

frontera del transporte no difusivo de un soluto son

aquellos en los cuales el valor de la concentración

del soluto es prescrito en un y solo un punto de la

trayectoria espacio-temporal de cada partícula de

fluido.

8. Problemas bien planteados en una dimensión espacial

• Los problemas con dependencia del tiempo a

ser considerados serán formulados en el

intervalo espacial [a, b] y en el intervalo de

tiempo [0, T].

• Por lo tanto, la ecuación diferencial será

satisfecha en en el dominio [a, b]x[0, T] del

plano x-t.

txcg

x

cv

t

cS ,,

:espacialdimensión una Para


• Un problema de transporte de soluto que es

bien planteado puede ser establecido como

adherida al Principio Básico para Problemas

Bien Planteados del Transporte no difusivo:

– Encuéntrese la concentración, c(x,t), para t>0,

hasta cierto tiempo T, en cada a<x<b cuando los

valores de la concentración son conocidos tanto al

inicio y en cada en un extremo del intervalo [a, b].


• El correspondiente problema matemático es un

problema con valores iniciales y de frontera

con condiciones de frontera Dirichlet que

puede ser establecido como sigue:

– Encuéntrese la función c(x,t), definida en el

dominio rectangular [a, b]x[0, T], que satisface la

ecuación diferencial siguiente,


Tttctac

bxaxcxc

txcgx

cv

t

cS

0,,

frontera la a scondicione lay

,0,

iniciales scondicione lascon

,,

Dirichlet frontera de scondicionecon

frontera dey iniciales scon valore problema

0


• Este problema es bien planteado siempre que lavelocidad sea conocida en todos lados:

• esta condición es requerida para hacer seguro quecualquier partícula de fluido que cruce la fronteraizquierda del intervalo espacial del intervalo (x=a)nunca regrese a ella;

• si una partícula cruza esa frontera más de una vez en elintervalo de 0 a T entonces la ecuación deberíaprescribir el valor de C en dos puntos diferente en latrayectoria en el espacio-tiempo para la mismapartícula, y el principio básico de problemas bienplanteados de transporte no-difusivo sería violado.


ttXpttXpcgttXpx

v

x

vttXpc

tXt

cttXpvttXp

t

c

tXt

pttXp

x

cttXp

t

ctX

t

C

ttXpctXC

ngianación Lagrarepresenta

txcgx

vc

x

cv

t

c

S

S

,,,,,,,,,

,,,,,

,,,,,,

:aLagrangianción representa la de

derivada la para fórmula lay e transportdeecuación la

usandoy ecuación esta tiempoal respectocon derivando

,,,

:esión concentrac la de La

,,

:esecuación la de explícita más forma Una


ttXpttXpcgttXpx

vttXpctX

dt

dCS ,,,,,,,,,,

:a reduce seecuación la

X, fluido de partícula la fija mantenemos si ,conclusiónEn


• Se usó derivada total porque cuando la

partícula de fluido se mantiene fija, la

derivada parcial y la derivada total coinciden.

• Si la función de posición, p(X, t), es conocida

la ecuación obtenida constituye una ecuación

diferencial ordinaria para la concentración a lo

largo de cada trayectoria de partícula de

fluido.


• Como ya se mencionó, la función de posición

p(X,t) de cada partícula necesita ser conocida

para aplicar la ecuación; no obstante,

usualmente este no es el caso, no obstante la

velocidad es en efecto conocida y por

definición de la velocidad de partícula:

nida fijaX es mantepartícula cuando la

ttXpvtXdt

dp,,,,


• Esta ecuación suministra una ecuación diferencialordinaria para p(X,t) de la cual es obtenida.

• En conclusión, el método general de soluciónconsiste en primero resolver esta ecuaciónnuméricamente y, cuando p(X,t) sea disponible,integrar la ecuación para la concentración.

• Actualmente las ecuaciones diferencialesordinarias son fácilmente resueltas usandoesquemas numéricos como el método RungeKutta, aunque procedimientos más simples sonsatisfactorios en muchos casos.


• Como una ilustración de este resultado

general, consideraremos un caso cuando una

solución analítica exacta puede ser obtenida.

Para este fin se asume que ninguna fuente de

solutos está presente, gS(c,x,t) = 0, y que v es

una constante. Entonces la ecuación se reduce

al caso:

0, tXdt

dC


tiempo.del travésaión concentrac devalor

su conserva fluido de partícula cada decir, es ente;exclusivam

fluido, de partícula la de Xposición la defunción una es

,

:obtener para integradaser puede cual La

0,

constante una es con y 0, = :Caso

XC

XCtXC

tXdt

dC

vc,x,tg S


0.en ,

izquierda, fronterasu de travésa

][ intervalo al Entró 2.

o 0;en t

b][a, intervalo elen estaba Ya 1.

:desposibilida dos solohay fluido de partículacualquier para

0; asúmasey ],,0[ t],[ Sea

ón.continuaci a explica se como obtenidaser puede

e transportde ecuaciones las de frontera dey iniciales

valoresde problema delsolución la caso, simple este Para

tax

a,b

vTa,bx


vtxctxc

vtXx

0,

:esión concentrac la Además

0.=en t fluido de partícula la deposición la es X Aquí

:por dada es 0en t

partícula cada deposición la caso,primer elEn


vtaxv

axtctxc

vtaxvtxctxc

T t b x a

v

axtctxc

ttvXx

cuando aplica se,

cuando aplica se ,

:entonces ,0y que y t talesx cualquier Dada

,

:por dada es partícula la deión concentrac La

'

por dado es T, t t'que tal0,> ttiempo

elen partícula la deposición La por t'. denotado será tiempoesey

T, a cero de vacual el b],[a, intervalo al entró cual al tiempoelpor

daidentificaser puede fluido de partícula cada caso, segundo elEn

0


Tttctbcytctac

txcgx

cD

xx

cv

t

cS

0,,,

:sonDirichlet frontera de scondicione Las

iniciales. scondicione mismas las satisface Y

,,

ldiferenciaecuación lapor gobernada es Dirichlet, tipo

frontera de scondicione lasy difusivo es sistema el cuando

físico, problema mismo del modelo El .Comentario

21

8. Problemas bien planteados en varias dimensiones espaciales

Las ideas precedentes pueden ser fácilmente extendidas a modelos

multidimensionales de transporte no difusivo.

La ecuación diferencial parcial de primer orden puede ser escrita como:

S

cv c v c g

t

, ,

Usando la representación Lagrangiana de la concentración del soluto:

, , , , , , , , , ,S

c x t

dCX t g c p X t t p X t t c p X t t v p X t t

dt

8. Problemas bien planteados en varias dimensiones espaciales

3,2,1,,,,

:explícita más forma una ional tridimensmodeloun Para

,,,

:ordinarias lesdiferencia ecuaciones de sistemaun

como dainterpreta es fluido de partícula la de velocidadla

de definición la cuando obtenidaser puedeposición defunción La

ittXpvtXdt

dp

ttXpvtXdt

pd

i

i

8. Problemas bien planteados para modelos de estado estacionario

Cuando la solución buscada es independiente del tiempo,

la ecuación se reduce a:

,

Sin difusión, la concentración tiene que satisfacer la E. D.

0, 0 1

con la condición Dirichl

Scv g c x

dcv para cada x x

dt

et

1 0

la solución del problema es 1 0 1

c en x

c x para x

transporte de un soluto por un fluido...

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