transport et diffusion

8/19/2019 Transport Et Diffusion

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Grégoire Allaire, François Golse

Programmed'approfondissement

Transport et diffusion

Départements

de Mathématiques etMathématiques Appliquées



Promotion2012Année 3

Période2MAP/MAT567

PROGRAMME D'APPROFONDISSEMENT

Transport et diffusion

Grégoire Allaire et François Gobe

Édition 2015



Table des matières

1 Modèles1.1 Origine des équations

1.1.1 Établissement de l'équation de diffusion1.1.2 Établissement de l'équation de transport .1.1.3 Du transport vers la diffusion

1.2 Neutronique .

1.2.1 Modélisation physique1.2.2 Formalisme multigroupe1.2.3 Approximation par la diffusion

1.3 Le transfert radiatif 1.3.1 Les équations du transfert radiatif 1.3.2 L'effet de serre1.3.3 La couleur du ciel

1.4 Biologie (dynamique des populations)1.4.1 Populationstructurée par age .1.4.2 Population structurée par taille .

1.5 Exercices

2 Equationde transport2.1 Problème de Cauchy

2.1.1 La méthode des caractéristiques

2.1.2 Termes source et amortissement2.2 Problème aux limites .

2.2.1 Cas monodimensionnel .

2.2.2 Cas d'une dimensionquelconque

2.2.3 Problème aux limites non homogène

2.3 Solutions généralisées.

2.4 Principe du maximum2.5 Estimation2.6 Transport stationnaire2.7 Exercices

12

1515192021

212627

3133

3737

42

43

4961

65

73

75

77



TABLE DESMATIÈRES

3 Equation de Boltzmann linéaire3.1 Problème de Cauchy

3.1.1 Existence et unicité pour le problèmede Cauchy3.1.2 Estimation LOO pour le problème de Cauchy .

3.2 Problème aux limites .3.2.1 Existence et unicité pour le problèmeaux limites3.2.2 Estimation LOO pour le problèmeaux limites3.2.3 Autres conditions aux limites

3.3 Interprétation probabiliste .

3.4 Problème stationnaire3.5 Exercices

4 Limite de diffusion4.1 Equation de diffusion . .

4.1.1 Problèmede Dirichlet4.1.2 Problèmede Cauchydans R N

4.2 Approximation diffusion : calcul formels4.2.1 Loi d'échelle.4.2.2 Série de Hilbert .4.2.3 Le coefficientde diffusion

4.3 Justification rigoureuse . .4.3.1 Conditionsaux limites indépendantes de v e V4.3.2 Conditionau bord dépendantde v .

4.4 Flux limité4.5 Interprétation probabiliste .4.6 Exercices

5 Méthodes numériques5.1 Rappels sur la méthode des différencesfinies

5.1.1 Principes de la méthode pour l'équation de diffusion5.1.2 Consistance, stabilité et convergence5.1.3 Équation de transport

5.2 Différences finies pour l'équation de Boltzmann5.2.1 Le cas stationnaire sans collisions5.2.2 Formulesd'intégration numérique5.2.3 Le cas stationnaire aveccollisions.5.2.4 Accélération par la diffusion . . .5.2.5 Equation instationnaire ou cinétique5.2.6 Généralisation à la dimension d'espace N = 2.

5.3 Autres méthodes numériques5.3.1 Méthodes intégrales

5.3.2 Méthode du flux pair .5.3.3 Eléments finis .5.3.4 Méthodede Monte-Carlo

5.4 Exercices

8789

100

101

. 105108

118

122

123

127127

127

129

130

131

132

140

146

146

152

157

161

166

171171

171

173

180

188

188

191

195

199

201

204206

209212

212212



TABLE DES MATIÈRES

6 Calcul critique6.1 Comportement asymptotique en temps .

6.1.1 Position du problème .6.1.2 Analogie en dimension finie

6.2 M-matrices et théorie de Perron-Frobenius6.2.1 M-matrices6.2.2 Théorème de Perron-Frobenius6.2.3 Application

6.3 Valeurs propres et diffusion6.4 Cas monocinétiqueavec scattering isotrope

6.4.1 Le résultat principal

6.4.2 Réduction à un problème spectral auto-adjoint6.4.3 Le problème spectral pour Kx6.4.4 Dépendance en de la valeur propre po

219219219220222222225230230234235

236240244

6.4.5 Valeur propre principale de l'opérateur de Boltzmann linéaire2506.4.6 Taille critique pour l'équation de Boltzmannlinéaire

6.5 Problèmes aux valeurs propres et criticité6.5.1 Equations de diffusion6.5.2 Equation de transport

6.6 Calcul critique6.6.1 Problèmes à sourceslégèrementsous-critiques6.6.2 Analysede sensibilité6.6.3 Calcul numériquede la criticité

6.7 Exercices7 Homogénéisation

7.1 Homogénéisationd'une équation de diffusion7.1.1 Modèlede diffusionen milieu périodique7.1.2 Développementsasymptotiques à deux échelles7.1.3 Convergence

7.2 Homogénéisationen transport7.2.1 Homogénéisationd'un modèle stationnaire7.2.2 Homogénéisationd'un modèle instationnaire

7.3 Exercices

Bibliographie

251254254257259259262264267

273274274276279280280285292

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