transformada rapida de fourier (1)
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transformada de fourierTRANSCRIPT
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La Transformada rápida de Fourier
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OBJETIVO
Presentar la Transformada Discreta de Fourier de un conjunto de muestras mediante el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier.
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POR DEFINICION
La relación simple entre una secuencia de longitud finita x (n), definida para 0 ≤ n ≤ N - t, y su DTFT X(ejw) se obtiene por muestreo uniformemente X(ejw) en el eje w entre 0 ≤ w ≤ 2π en wk= 2πk/N , 0 ≤ k ≤ N - 1
Tenga en cuenta que X(k) es también una secuencia de longitud finita en el dominio de la frecuencia y es de longitud N.
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LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Sea X(n) una secuencia discreta de tamaño N; se define la DFT de X(n) como:
Y la transformada inversa de Fourier IDFT, como:
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PROPIEDADES:
1) Linealidad: Sea; (k) y (k) las DFT de 2 secuencias (k) y (k) . Entonces:
2) Desplazamiento Temporal:
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3) Formula de Inversión Alternativa:
4) Representación Matricial de la DFT :
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X (0) = X (0) + X (1) + X (2) +……. + X (n-1)
X (1) = X (0) + X (1) + X (2) + ……. + X (n-1)
X (2) = X (0) + X (1) + X (2) + ……. + X (n-1)
X (N-1) = X (0) + X (1) + X (2) +……. + X (n-1)
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ENTONCES
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La matriz se denomina matriz de la DFT.
De igual manera podemos representar la IDFT:
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TRANSFORMADA RAPIDA
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EL ALGORITMO DE LA FFT
1
0
2
)(1 N
k
N
nkj
ekTmNNT
nF
Njkn
N
k
kn
eWpara
WkTmNNT
nF
/2
1
0
)(1
96301
0
3
1
0
64202
32101
0
1
0
00000
1
0
]3[]2[]1[]0[][]3[
]3[]2[]1[]0[][]2[
]3[]2[]1[]0[][]1[
]3[]2[]1[]0[][]0[
40][][
WxWxWxWxWkxx
WxWxWxWxWkxx
WxWxWxWxWkxX
WxWxWxWxWkxX
nparaWkxnX
N
k
k
N
k
k
N
k
k
N
k
N
k
nk
Redefiniendo: Como:
La expansión al hacer uso de la expresión anterior se convierte en:
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EL ALGORITMO DE LA FFT
]3[
]2[
]1[
]0[
1
1
1
1111
]3[
]2[
]1[
]0[
]3[
]2[
]1[
]0[
]3[
]2[
]1[
]0[
963
642
321
9630
6420
3210
0000
x
x
x
x
WWW
WWW
WWW
X
X
X
X
bieno
x
x
x
x
WWWW
WWWW
WWWW
WWWW
X
X
X
X
La expresión anterior toma la forma matricial:
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EL ALGORITMO DE LA FFT
]3[
]2[
]1[
]0[
1
1
1
1111
]3[
]2[
]1[
]0[
123
202
321
x
x
x
x
WWW
WWW
WWW
X
X
X
X
]3[
]2[
]1[
]0[
010
001
010
001
100
100
001
001
]3[
]2[
]1[
]0[
2
2
0
0
3
1
2
0
x
x
x
x
W
W
W
W
W
W
W
W
X
X
X
X
Por lo tanto la expresión se convierte en:
La cual se puede descomponer en la forma:
Que contiene el segundo y tercer renglón invertidos con relación a la matriz original.
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EL ALGORITMO DE LA FFTLa matriz anterior puede ser descompuesta como el producto de 2 partes separables, de tal forma que la expresión para la primera de ellas queda de la forma:
3
1
2
0
2
2
0
0
100
100
001
001
*
]3[
]2[
]1[
]0[
010
001
010
001
]3[
]2[
]1[
]0[
W
W
W
W
x
x
x
x
W
W
W
W
X
X
X
X
)3()1()3(
)2()0()2(
)3()1()1(
)2()0()0(
21
21
01
01
xWxx
xWxx
xWxx
xWxx
)3()1()3(
)2()0()2(
)3()1()1(
)2()0()0(
01
01
01
01
xWxx
xWxx
xWxx
xWxx
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EL ALGORITMO DE LA FFTCon lo que se llega a la siguiente expresión:
)3(
)2(
)1(
)0(
100
100
001
001
]3[
]2[
]1[
]0[
1
1
1
1
3
1
2
0
x
x
x
x
W
W
W
W
X
X
X
X
)3()2()3(
)3()2()2(
)1()0()1(
)1()0()0(
13
1
11
1
12
1
10
1
xWxX
xWxX
xWxX
xWxX
)3()2()3(
)3()2()2(
)1()0()1(
)1()0()0(
11
1
11
1
10
1
10
1
xWxX
xWxX
xWxX
xWxX
Generalizando el algoritmo se puede observar que el coste de cálculo se reduce del orden de O(Nlog2 N) frente al orden O(N2).
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Debido a que para cada k par y -1 para k impar, la ecuación anterior puede ser separada para k par e impar, o bien
1. Para k impar:
2. Para k par:
DIEZMADO EN FRECUENCIA nk
N
n
k WN
nxnxkX
1)2/(
0 21)()(
nkN
n
WN
nxnxkX
1)2/(
0 2)()(
nkN
n
WN
nxnxkX
1)2/(
0 2)()(
nkN
n
WN
nxnxkX 21)2/(
0 2)()2(
Sustituyendo k=2k para k par, y k=2k+1 para k impar, las expresiones anteriores pueden escribirse de la forma k=0,1,…..,(N/2)-1 como
nknN
n
WWN
nxnxkX 21)2/(
0 2)()12(
k1
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)2/()()(
)2/()()(
Nnxnxnb
Nnxnxna
2/NWNW2NW
Debido a que la constante twiddle W es una función de longitud N, ésta puede ser representada como . Entonces se puede escribir como . Considere
Las ecuaciones anteriores pueden ser escritas de forma más clara como DFTs de (N/2) puntos, o bien
1)2/(
02/
12/
02/
)()12(
)()2(
N
n
nkN
nN
N
n
nkN
WWnbkX
WnakX