transformada fourier corina_martinez
TRANSCRIPT
![Page 1: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/1.jpg)
CORINA ISAMAR MARTINEZ SIMANCAC.I: 20723477
Escuela: Ingeniería Industrial
MATEMATICA IV
![Page 2: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/2.jpg)
transformada de Fourier
La buena transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
![Page 3: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/3.jpg)
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
La transformadade
Fourier
![Page 4: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/4.jpg)
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
![Page 5: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/5.jpg)
La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )
2f t F i t d
![Page 6: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/6.jpg)
A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
![Page 7: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/7.jpg)
Transformadas integrales
–K(,t): núcleo o kernel.–Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
–Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
![Page 8: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/8.jpg)
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem inTransform
space
Originalproblem
Solution inTransform
space
Solution oforiginal prob-
lem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
![Page 9: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/9.jpg)
Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
9
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
![Page 10: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/10.jpg)
Integrando:
Usando la fórmula de Euler: i
eepsenpipi
2)2/(
2/2/
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1 p
p
tii e
)( 2/2/1 pipii ee
)2/(sinc2/
)2/()( ppp
psenpF
![Page 11: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/11.jpg)
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
)2/(sinc)( ppF
![Page 12: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/12.jpg)
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
![Page 13: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/13.jpg)
Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2(/2)
0
2sinc ( / 2)1
t0
( )tD1
1/2-1/2
TF
![Page 14: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/14.jpg)
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):
Grafica U() = F[u(t)].¿Qué rango de frecuencias contiene U()?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
![Page 15: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/15.jpg)
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0t
tt
t
(t)
,
1 if 0 if m n
m nm n
![Page 16: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/16.jpg)
La función impulso o delta de DiracRecordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
f3(t)
(t)
![Page 17: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/17.jpg)
Y recordemos algunas propiedades de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
![Page 18: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/18.jpg)
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2) es:
t
)(dtef̂ ti
21
21
Recordemos
![Page 19: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/19.jpg)
f t
0 , t T2
1 , T2
t T2
0 , T2
t
T2
T2
T
2T
2T
2
2)(ˆT
TsenTf
![Page 20: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/20.jpg)
2
, 022
, 1
2
, 0
tT
TtT
Tt
tf
2
2)(ˆT
TsenTf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
![Page 21: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/21.jpg)
Transformada de Fourier de la función coseno
21+000
0{cos( )}tFcos(0t) t
0
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
+
+
+
dteedteee tititititi
)()( 0000
21
2
)()(2
2)(ˆ00 ++f
)()()(ˆ00 ++f
![Page 22: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/22.jpg)
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
+ )()( 00
21
)()()(ˆ00 +if
+000
sen(0t) t
0
t)}sen({ 0F
![Page 23: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/23.jpg)
La transformada de Fourier de la onda plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
0 0
exp(i0t)
0 t
t Re
Im
0
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
![Page 24: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/24.jpg)
Sum
F {exp(i0t)}
0 0
exp(i0t)
0 t
t Re
Im
0
TF
0
TF
![Page 25: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/25.jpg)
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
00,00 ,
attetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(1
+
+
+
+
+
+
+
+
ai
aa
iaia
ia
iaia
iaedte
tiatia
![Page 26: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/26.jpg)
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
2 2
2
{exp( )} exp( ) exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
.
![Page 27: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/27.jpg)
La transformada inversa de FourierDada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(21)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
21)(
)()(21
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
![Page 28: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/28.jpg)
A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función
33 35
32
+
iig
3orden de polo 3
3)(
32
:residuos) de (teoría de Cálculo
35
32
35
32
3
31
1
33
331
1
21
iziz
ezf
dei
I
I
dei
dei
deii
gF
deggF
izx
xi
I
xi
I
xi
xi
xi
+
+
![Page 29: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/29.jpg)
0x;0I
0x;ex25π2f(z)πi10I
2eixf(z)
3 orden i polo de3z3iz
ef(z)
dωe3iω
5I
):e residuos (teoría d ICálculo de0x;0I
0x;eπx2f(z)πi4I2
eixf(z)
2
x32
i3z2
x32
i3z
3
izx
iωω32
2
1
x32
i3-z1
x32
i3-z
sRe
sRe
sResRe
+
+
![Page 30: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/30.jpg)
0x;ex5
0x;ex2gF
:esFourier de inversa ada transformla Luego
x32
x321
![Page 31: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/31.jpg)
61361)( 2
i
g
degxf xi)()(
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función:
Integrando en el plano complejo:
izizzzzz
zg23 ,
32 ,
))((61)( 21
21
![Page 32: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/32.jpg)
• Si x > 0:
+
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
izxg(z)eG(z) Tomando
Haciendo lim R→∞
06136
1lim)(lim Como 2zz izzzg
-R R
C
![Page 33: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/33.jpg)
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces:
xx
k eezzGixf 32
23
52)),((Res2)(
• Si x < 0:
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
![Page 34: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/34.jpg)
-R R
Haciendo lim R→∞
06136
1lim
)(lim Como
2z
z
izz
zg
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces: 0)),((Res2)( kzzGixf
0 , x 0
0 , x ee5π2
f(x)x
32x
23
![Page 35: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/35.jpg)
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg 2)(
![Page 36: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/36.jpg)
La TF y su inversa son simétricas.
( ) exp( )
12 ( )exp( [ ] )2
F t i t dt
F t i t dt
Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )2
F i d
2 ( )f
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."
Que podemos escribir:
![Page 37: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/37.jpg)
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir +
potencia de espectro A
espectral fase espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
+
+
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
![Page 38: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/38.jpg)
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dx)kxsin()x(f)k(F
dx)kxcos()x(f)k(F
dx)kx(isen)kxcos()x(fdxe)x(f
i
r
ikx
)k(iF)k(F)x(fF ir +
![Page 39: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/39.jpg)
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) + g(t) F .T . ˆ f + ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a + ib) f (t) F .T . (a + ib) ˆ f
![Page 40: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/40.jpg)
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
++
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)F() + G()
![Page 41: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/41.jpg)
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a2
1 , b2
t a2
2 , t b2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) + h(t)
donde g(t) 0 , t a
21 , t a
2
; h( t) 0 , t b
21 , t b
2
![Page 42: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/42.jpg)
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () + ˆ h ()
2b2bsen
2b
2a2asen
2a)(f̂
+
![Page 43: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/43.jpg)
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
![Page 44: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/44.jpg)
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a1, a t b0, b t b1, b t a0, t a
; h(t) 0 , t b1 , t b
g( t) 0 , t a1 , t a
f t g(t) h(t)
![Page 45: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/45.jpg)
F.T . ˆ g () 2a2
sen(a)a
h(t) 0 , t b1 , t b
g( t) 0 , t a1 , t a
F.T . ˆ h () 2b2
sen(b)b
ˆ f () ˆ g () ˆ h () 2a2
sen(a)a
2b2
sen(b)b
![Page 46: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/46.jpg)
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF ˆ1
![Page 47: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/47.jpg)
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t
![Page 48: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/48.jpg)
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.
k
x )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt
![Page 49: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( .... +
dtetgg ti )(ˆ
+ dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t + a) g(t)
![Page 50: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/50.jpg)
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ210
![Page 51: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/51.jpg)
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee titi '')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd ti
')'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g(t) f (t) 2 dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
![Page 52: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/52.jpg)
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
+
+
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
![Page 53: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/53.jpg)
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff e ti )(ˆ
+
0
0
)()( dttfdttf ee titi
+
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
+0
)( dttf ee titi
0
)cos()(2ˆ dtttff
![Page 54: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/54.jpg)
+
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff e ti )(ˆ
+
0
0
)()( dttfdttf ee titi
+0
)( dttf ee titi
0
)()(2ˆ dttsentfif
![Page 55: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/55.jpg)
6. Transformada de la derivada:
ikF(k)ikF(f(x))(x))fF(
)k´(iF))x(f´(iF)x(xfF
7. Transformada xf(x):
Y en general:
F(k)ik(x))F(f n)n(
Y en general:
)k´(Fi)x(fxF nn
![Page 56: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/56.jpg)
1. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la función:
211)(x
xf+
221 xx)x(g
+
iz-izzfz
zfdzzeI
dxxekF
ikz
ikx
+
+
+
21
22
2
y excepto C,z analítica es )(1
1)(con 3" tipo" integral1
:complejo plano al integral la Pasamos1
)( integral lapiden Nos1.
![Page 57: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/57.jpg)
k
kikz
iz
ikz
iz
kikz
iz
ikz
iz
ekF
eiz
eizeikF
eiz
eizeikF
lím
lím
+
+
+
)(:que modo De
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
2
1
2
2
Res
ResC1
C2
21)(
12
12
:1
2y que Puesto
22
2222
22
k
k
eikxxFkG
eikxxF
xxF
xx
dxdf fikF
dxdfF
+
+
+
+
2.
![Page 58: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/58.jpg)
Encontrar la transformada de Fourier de la función: siendo a>0 constante.
2exp)(
2axxf
)(2
exp)(2
exp)(22
xaxfaxaxxfaxxf
)´()( kiaFkikF
Derivando tenemos:
)´())(´()()())(())((
kiFxfiFxxfFkikFxfikFxfF
Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes propiedades de la TF:
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
![Page 59: Transformada fourier corina_martinez](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061608/587bc6061a28ab6c3c8b5a0d/html5/thumbnails/59.jpg)
ak
t
uuax
ikxax
ak
ea
kF
adt
te
a
duea
duea
dxeFB
dxeeBekF
2
0
02
22
2
22
2
22
2)(
22
222)0(
)(
u2 = ax2/2
ak
BekFkiaFkikF 2
2
)()´()(
u2 = t