transformada de fourier de tiempo discreto
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Ejercicios resueltos de Transformada de Fourier de tiempo discretoTRANSCRIPT
TEMA:
Transformada
de Fourier de
Tiempo
Discreto
EJERCICIOS “TRANFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO”
5.1 Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las
transformadas de:
a)
OCTAVE
Forma 1:
n=-6:6;
no=0;
a=1/2;
un1=(n-1>=no);
xn=un1.*a.^(n-1);
subplot(2,1,1);
stem(n,xn,'m');
title('Senal x(n)');
xlabel('n');
ylabel('x');
grid;
w=-4*pi:0.01:4*pi;
tdfp=-1+2./1-(a.*exp(-i*w));
subplot(2,1,2);
plot(w,abs(tdfp),'m');
title('Transformada x(n)');
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
xlim([-4*pi,4*pi]);
grid;
GRÁFICO
Forma 2:
no=0;
a=1/2;
un1=(n-1>=no);
xn=un1.*a.^(n-1);
subplot(2,1,1);
stem(n,xn,'m');
title('Senal x(n)');
ylabel('x');
grid;
W = -3*pi:0.01:3*pi;
X=0;
for k=0:20
y=a.^k.* exp(-i*W.*(k+1));
X= X + y;
endfor
subplot(2,1,2);
plot(W,fftshift(abs(X)),'m');
title('Transformada x(n)');
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
xlim([-4*pi,4*pi]);
grid;
GRÁFICO
b)
OCTAVE
n=-6:6;
no=0;
a=1/2;
un1=(n+1>=no);
un2=(n-1>=no)
xn=un1+un2;
subplot(2,1,1);
stem(n,xn)
title('Senal x(n)');
grid;
w=-10:0.01:10;
tdfp=exp(-i*w)+exp(i*w);
subplot(2,1,2);
plot(w,abs(tdfp));
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
xlim([-4*pi,4*pi])
xlabel('\omega')
ylabel('|F(w)|')
title('Transformada x(n)')
grid;
GRÁFICO
5.2 Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las
transformadas de:
a)
OCTAVE
n=-6:6;
u1=heaviside(n+1)
u2=heaviside(n-1);
xn=u1+u2;
subplot(2,1,1);
stem(n,xn,'m')
title('Senal x(n)');
ylabel('x');
grid;
w=-4*pi:0.01:4*pi;
tdfp=exp(-i*w)+exp(i*w);
subplot(2,1,2);
plot(w,abs(tdfp),'m');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
xlabel('\omega')
ylabel('X(e^j\omega)')
title('Transformada x(n)')
grid;
GRÁFICO
b)
OCTAVE
n=-6:6;
un1=heaviside(n+2);
un2=heaviside(n-2);
xn=un1 - un2;
subplot(2,1,1);
stem(n,xn,'m')
title('Senal x(n)');
ylabel('x');
grid;
w=-4*pi:0.01:4*pi;
tdfp=exp(2.*-i*w)+exp(2.*i*w);
subplot(2,1,2);
plot(w,abs(tdfp),'m');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
xlabel('\omega')
ylabel('X(e^j\omega)')
title('Transformada x(n)')
grid;
GRÁFICO
5.3 Determine la transformada de Fourier para en cada caso de las
siguientes señales periódicas:
a)
OCTAVE
Forma 1:
n=-10:10;
a=pi./3;
b=pi./4;
x= sin(a.*n+b);
subplot(211)
stem(n,x,'m');
title('Senal x(n)');
ylabel('x(n)');
u1=heaviside(w-2.*pi/6);
u2=heaviside(w+2.*pi./6)
w=-pi:0.01:pi;
X=(2.*pi.*(1/2.*i)*exp(i.*(pi.*/4)).*u1)-
(2.*pi.*(1/2.*i)*exp(-i.*(pi.*/4)).*u2);
subplot(212);
plot(w,abs(X),'m');
set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});
xlim([-2*pi,2*pi]);
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
title('Transformada x(n)');
GRÁFICO
OCTAVE
Forma 2:
n=-10:10;
a=pi./3;
b=pi./4;
x= sin(a.*n+b);
subplot(211)
stem(n,x,'m');
title('Senal x(n)');
xlabel('n');
ylabel('x');
grid;
y=fft(x,100);
g=fftshift(y);
ww=-pi:0.1:pi;
Fw=1./(1+i*ww).^2;
subplot(212);
plot(ww,abs(Fw),'m');
set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});
xlim([-2*pi,2*pi]);
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
title('Transformada x(n)');
GRÁFICO
b)
OCTAVE
figure(1);
n=-10:10;
a=pi./3;
b=pi./4;
x= 2+cos(a.*n+b);
subplot(211)
stem(n,x,'m');
title('Senal x(n)');
ylabel('x(n)');
X=f1+f2+f3;
subplot(212);
plot(w,imag(X),'m');
title('Transformada x(n)');
set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});
xlim([-2*pi,2*pi]);
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
figure(2);
w=-pi:0.01:pi;
u0=heaviside(w);
u1=heaviside(w-pi/6);
u2=heaviside(w+pi./6)
f1=2.*pi.*2.*u0;
f2=2..*pi.*(0.5.*exp(i.*pi./6)).*u1;
f3=2..*pi.*(0.5.*exp(-i.*pi./8)).*u2;
subplot(311);
plot(w,angle(f1),'m');
title('1er Termino');
set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});
xlabel('\omega');
subplot(312);
plot(w,angle(f2),'m');
title('2do Termino');
set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});
xlabel('\omega');
subplot(313);
plot(w,angle(f3),'m');
title('3er Termino');
set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});
xlabel('\omega');
GRÁFICO
5.4 Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las
transformadas inversas de Fourier de:
a)
OCTAVE
w=-4.*pi:0.01:4.*pi;
x=0;
for k=0:5
u1=2.*pi.*heaviside(w-2.*pi.*k);
u2=pi.*heaviside(w-(pi./2)-2.*pi.*k);
u3=pi.*heaviside(w+(pi./2)-2.*pi.*k);
y=u1+u2+u3;
x= x + y;
endfor
subplot(211);
plot(w,abs(x),'m');
title('Tranformada de Fourier');
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
grid;
n=-6:6;
X=1+cos(pi.*n./2);
subplot(212);
stem(n,X,'m');
title('Tranformada Inversa de Fourier');
ylabel('x(n)');
xlabel('n');
grid;
GRÁFICO
b)
OCTAVE
w=-4.*pi:0.01:4.*pi;
x1=((w>-pi)&(w<=0)).*(-2.*i)
x2=((w<=pi)&(w>0)).*(2.*i);
y=x1+x2;
subplot(211);
plot(w,angle(y),'m');
title('Tranformada de Fourier');
ylabel('X(e^j\omega)');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
grid;
n=-6:6;
X=-(4./n.*pi).*sin(n.*pi/2).^2;
subplot(212);
stem(n,X,'m');
title('Tranformada Inversa de Fourier');
ylabel('x(n)');
xlabel('n');
grid;
GRÁFICO
5.5 Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las
transformadas inversas de Fourier de , donde
y
Use su respuesta para determinar los valores de para los cuales
OCTAVE
w=-4.*pi:0.01:4.*pi;
if (abs(w)>=0)&(abs(w)<pi./4)
y=1
elseif (abs(w)>=pi./4)&(abs(w)<pi)
y=0;
endif
y= y.* (-3.*w./2);
subplot(211);
plot(w,abs(y),'m');
title('Tranformada de Fourier');
ylabel('X(e^j\omega)');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
grid;
n=-6:6;
a=pi./4;
X=sin(a.*(n-3./2))./(pi.*(n-3./2));
subplot(212);
stem(n,X,'m');
title('Tranformada Inversa de Fourier');
ylabel('x(n)');
xlabel('n');
grid;
GRÁFICO
5.6 Dado que tiene transformada de Fourier , exprese las transformadas de
Fourier de las siguientes señales en términos de . Puede usar las propiedades de
la transformada de Fourier enumeradas en la tabla 5.1.
a)
OCTAVE
n=-6:6;
n0=0
a=1/2;
un1=(1-n>=n0);
un2=(-1-n>=n0);
xn=un1+un2;
subplot(2,1,1);
stem(n,xn,'m');
title('Senal x(n)');
xlabel('n');
ylabel('x');
grid;
w=-4*pi:0.01:4*pi;
dtft=2.*cos(w);
subplot(2,1,2);
plot(w,fftshift(abs(dtft)),'m');
title('Transformada x(n)');
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})
xlim([-4*pi,4*pi]);
grid;
GRÁFICO
5.7 Para cada una de las siguientes transformadas de Fourier, use las propiedades de la
transformada de Fourier (tabla 5.1) para determinar si la señal correspondiente en el
dominio del tiempo es: (i) real, imaginaria o ni lo uno ni lo otro; (ii) par, impar, o ninguna
de las dos. Haga esto sin evaluar la inversa de las transformadas dadas.
a)
Considere la señal con transformada de Fourier
OCTAVE
w=-4*pi:0.01:4*pi;
dtft=0;
for k=0:20
y=sin(k.*w);
dtft= dtft + y;
endfor
plot(w,fftshift(dtft),'m');
title('Transformada y[n]');
xlabel('\omega');
ylabel('Y(e^j\omega');
GRÁFICO
Vemos que es real e impar. De la tabla 5.1, sabemos que la transformada de
Fourier de una señal real e impar es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto,
podemos decir que la transformada de Fourier de una señal puramente imaginaria e
impar es real e impar. Usando esta observación, se concluye que es puramente
imaginaria e impar.
Tenga en cuenta que ahora
Por lo tanto, . Por lo tanto, también es puramente imaginario.
Pero no es par ni impar.
b)
OCTAVE
w=-4*pi:0.01:4*pi;
x= i.*sin(w).*cos(5.*w);
plot(w,imag(x),'m');
title('Transformada x[n]');
xlabel('\omega');
ylabel('X(e^j\omega)');
GRÁFICO
Observemos que es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, tiene
que ser real e impar.
5.8 Analizar la siguiente transformada de Fourier de:
OCTAVE
figure(1);
w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;
num = [2 1];den = [1 -0.6];
h = freqz(num, den, w);
plot(w/pi,real(h),'m');grid
title('Parte Real H(e^{j\omega})')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
figure(2);
plot(w/pi,imag(h),'m');
grid;
title('Parte Imaginaria H(e^{j\omega})')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
figure(3);
plot(w/pi,abs(h),'m');
grid;
title('Espectro de Magnitud |H(e^{j\omega})|')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
figure(4);
plot(w/pi,angle(h),'m');
grid;
title('Espectro de Fase arg[H(e^{j\omega})]')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Fase en radianes');
GRÁFICO
5.9 Se dan las siguientes características acerca de una señal particular con
transformada de Fourier :
1.
2.
3.
4.
Determine
De la propiedad 5.3. en la tabla 5.1, sabemos que para una señal real ,
A partir de la información dada,
Por lo tanto,
También sabemos que
Y la para . Por lo tanto,
Ahora solo tenemos que encontrar . Utilizando la relación de Parseval, tenemos
A partir de la información dada, podemos escribir
Esto da . Pero ya que estamos teniendo en cuenta que , concluimos
que .
Por lo tanto,
OCTAVE
n=-6:6;
xn=heaviside(n)+heaviside(n+1)-heaviside(n+2);
stem(n,xn,'m');
title('x[n]');
xlabel('n');
ylabel('xn');
grid;
5.10 Sea
Donde denota la convolución . Determine una restricción rigurosa en
La cual asegure que
Considere la señal
De la tabla 5.2, obtenemos la transformada de Fourier de tal que
El argumento es como el que se muestra en la figura S5.12. Ahora consideremos
la señal . Usando la propiedad de multiplicación (Tabla 5.1, Propiedad
5.5), obtendremos la transformada de Fourier de tal que
Está claro que es cero para . Por usar la propiedad de convolución
(Tabla 5.1, Propiedad 5.4), notamos que
El argumento es mostrado en la figura S5.12. Está claro que si
, entonces .
OCTAVE
x=[zeros(1,-3) ones(0,4) zeros(1,3)];
stem(x,'m');
title('Transformada inversa');
GRÁFICO
5.11 Un sistema LTI con respuesta al impulso se conecta en paralelo con
otro sistema LTI casual con respuesta al impulso . La interconexión en paralelo que
resulta tiene la respuesta en frecuencia
OCTAVE
figure(1);
w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;
num = [-12 5];den = [12 -7 1];
h = freqz(num, den, w);
plot(w/pi,real(h),'m');grid
title('Parte Real H(e^{j\omega})')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
figure(2);
plot(w/pi,imag(h),'m');
grid;
title('Parte Imaginaria H(e^{j\omega})')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
figure(3);
plot(w/pi,abs(h),'m');
grid;
title('Espectro de Magnitud |H(e^{j\omega})|')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
figure(4);
plot(w/pi,angle(h),'m');
grid;
title('Espectro de Fase arg[H(e^{j\omega})]')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Fase en radianes');
GRÁFICO
Determine
Cuando dos sistemas LTI están conectados en paralelo, el impulso que responde de
todo el sistema es la suma de los impulsos que responden del sistema individual. Por lo
tanto,
De la Tabla 5.1, Propiedad 5.3.2,
Dado que , obtenemos
Por lo tanto,
OCTAVE
figure(1);
w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;
num = [-2];den = [1 -0.25];
h = freqz(num, den, w);
plot(w/pi,abs(h),'m');
grid;
title('Espectro de Magnitud |H(e^{j\omega})|')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
GRÁFICO
Tomando la transformada inversa de Fourier,
OCTAVE
figure(1);
n=-6:6;
x=-2.*(0.25.^n);
stem(n,abs(x),'m');
grid;
title('Tranformada inversa'')
xlabel('n');
ylabel('xn');
GRÁFICO
5.12 Considere un sistema LTI causal y estable cuya entrada y salida estén
relacionadas mediante una ecuación de diferencias de segundo orden
(a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema .
(b) Determine la respuesta al impulso del sistema .
a) Tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación diferencial,
tenemos
Por lo tanto,
OCTAVE
figure(1);
w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;
num = [1];den = [1 -0.33 -0.33];
h = freqz(num, den, w);
subplot(221);
plot(w/pi,real(h),'m');grid
title('Parte Real H(e^{j\omega})')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
subplot(222);
plot(w/pi,imag(h),'m');
grid;
title('Parte Imaginaria H(e^{j\omega})')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
subplot(223);
plot(w/pi,abs(h),'m');
grid;
title('Espectro de Magnitud |H(e^{j\omega})|')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Amplitud');
subplot(224);
plot(w/pi,angle(h),'m');
grid;
title('Espectro de Fase arg[H(e^{j\omega})]')
xlabel('\omega /\pi');
ylabel('Fase en radianes');
GRÁFICO
b) Usando la expresión de fracción parcial,
Usando la Tabla 5.2, y tomando la transformada de Fourier inversa, obtenemos
OCTAVE
n=-6:6;
x=3./5.*(1./2).^n+2./5.*(-1./3).^n;
stem(n,abs(x),'m');
title('Tranformada inversa');
xlabel('n');
ylabel('xn');
grid;
GRÁFICO
5.13 Ejemplo utilizando fft e ifft
OCTAVE
x = [1 2 4 2 6 32 6 4 2 zeros(1,247)];
x1 = [x(1) x(256:-1:2)];
xo = 0.5 *(x - x1);
XF = fft(x);
XOF = fft(xo);
clf;
k = 0:255;
subplot(2,2,1);
plot(k/128,real(XF),'m'); grid;
ylabel('Amplitud');
title('Re(DFT\{x[n]\})');
subplot(2,2,2);
plot(k/128,imag(XF),'m'); grid;
ylabel('Amplitud');
title('Im(DFT\{x[n]\})');
subplot(2,2,3);
plot(k/128,real(XOF),'m'); grid;
xlabel('Tiempo n');ylabel('Amplitud');
title('Re(DFT\{x_{o}[n]\})');
subplot(2,2,4);
plot(k/128,imag(XOF),'m'); grid;
xlabel('Tiempo n');ylabel('Amplitud');
title('Im(DFT\{x_{o}[n]\})');
GRÁFICO
5.14 Ejemplo utilizando fft e ifft
OCTAVE
figure;
x=[zeros(1,10) ones(1,7) zeros(1,10)];
y=fft(x);
subplot(2,1,1);
stem(x,'m');
subplot(2,1,2);
plot(abs(y),'m')
figure;
y2=fft(x,64);
y3=fft(x,128);
figure;
subplot(3,1,1);
plot(abs(y),'m')
subplot(3,1,2);
plot(abs(y2),'m');
subplot(3,1,3);
plot(abs(y3),'m');
GRÁFICO
5.15 Ejemplo utilizando fft e ifft
OCTAVE
N=10;
w=0:0.01*pi:2*pi;
dtft=N.*sinc(w.*N./2./pi)./(sinc(w./2./pi)).*exp(-j.*w.*(N-
1)./2);
subplot(211);
Mag=abs(dtft);
plot(w./pi,Mag,'m');
title('Magnitud');
subplot(212);
Pha=angle(dtft);
plot(w./pi,Pha,'m');
title('Fase');
GRÁFICO