7.9. PROBLEMAS PROPUESTOS 253

7.9 Problemas propuestos

1. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes senales y grafique el espectro demodulo y fase.

a) f(t) = (t t0)b) f(t) = sgn(t) (funcion signo)

c) f(t) = u(t) (escalon)

d) f(t) = eatu(t) con a > 0.

e) f(t) = ea|t| con a > 0.

f) f(t) = pa(t t0) (pulso de ancho 2a)g) f(t) = sen(at)/t

h) f(t) = 1/(t2 + a2)

i) f(t) = 1

j) f(t) = ei0t

k) f(t) = sen(0t)

l) f(t) = cos(0t+ /4)

m) f(t) = eatcos(0t)u(t) con a > 0

n) f(t) = cos(0t)u(t) con a > 0

o) f(t) = eatcos(0t)u(t) con a > 0

p) f(t) =Pk= (t kT0)

q) f(t) = t (u(t) u(t 1)) (utilice la propiedad de derivacion)r) f(t) = (1 |t|) (u(t+ 1) u(t 1)) (utilice la propiedad de derivacion o de

convolucion)

s) f(t) = (t+ 4) + (t) + (t 4) (simplifique el resultado)

2. Sea F () = u(+12)u(+8)+ ()+u(12)u(8). Halle la TransformadaInversa de Fourier f(t).

3. Una senal f(t) acotada en banda (frecuencia maxima 10KHz), es multiplicada en eltiempo por cos(250000t) + sen(2100000t). Grafique un esquema de lo que sucedecon su espectro.

254 CAPITULO 7. CRAIEM - ARMENTANO

4. Se armo en el laboratorio el siguiente circuito:

vi(t)

R

C vc(t)

La entrada al sistema es Vi(t) y la salida es la tension en el capacitor Vc(t). Suponiendoque el capacitor esta inicialmente descargado (Vc(0) = 0V ), se pide:

a) Hallar la respuesta en frecuencia del sistema H() y la respuesta impulsionalh(t). Grafquela en modulo y fase.

b) Mencione al menos 3 criterios de ancho de banda razonables.

c) Suponga que los valores de los componentes son : R = 100K y C = 10F yla tension de entrada es:

i. Vi(t) = etu(t)

ii. Vi(t) = cos(2t)

ii. Vi(t) = sen(10t) Calcule la tension sobre el capacitor. Grafique los espectrosde modulo de entrada y salida para cada caso.

d) Si en vez de tomar la salida como la tension sobre el capacitor, la tomamoscomo la tension sobre la resistencia. Calcule la nueva respuesta en frecuencia delsistema H().

5. Un sistema mecanico compuesto por una masa M , un resorte de constante elastica Ky un rozamiento (proporcional a la velocidad) B, posee los elementos dispuestos de lasiguiente manera:

M

B

f(t) fuerza K

0 1 2 3 x(t) (posicin)

El sistema se encuentra inicialmente en reposo. Se pide:

7.9. PROBLEMAS PROPUESTOS 255

a) Hallar la ecuacion diferencial que relacione la posicion de la masa x(t) (salida)con respecto a la fuerza de entrada f(t). Indicar claramente las unidades de todas lasconstantes.

b) Hallar el H() y el h(t) (respuesta impulsional). Grafique la respuesta enfrecuencia del sistema en modulo y fase.

c) Comentar y dar ejemplos numericos para los tres tipos de soluciones diferentes(dependiendo de los valores de M ,K y B).

6. Considere un sistema con respuesta en frecuencia H()

H()

1 si || < c0 si || > c

donde a c/2 se la denomina frecuencia de corte. Si en la entrada se ingresa la senal

x(t) =sen(at)

t

Se pide

a) Grafique el espectro de modulo de la entrada, el H() y la salida para

i. a < c

ii. a > c

b) Indique en que casos hay distorsion de la entrada y que clase de sistema es elejemplificado.

7. Encuentre la respuesta impulsional h(t) de un sistema LTI descripto por la siguienteecuacion diferencial

y0(t) + 2.y(t) = x(t) + x0(t) y(t = 0) = 0

Rta: h(t) = (t) e2tu(t)

8. Considere un sistema LTI descripto por

y0(t) + 2.y(t) = x(t) y(t = 0) = 0

Encuentre y grafique la salida y(t) para las siguientes entradas:

a) x(t) = etu(t)

b) x(t) = u(t) (respuesta indicial).

Rta: a) y(t) = (et e2t)u(t), b) 12(1 e2t)u(t)

256 CAPITULO 7. CRAIEM - ARMENTANO

9. Considere un filtro pasa-bajos ideal, con respuesta en frecuencia

H() =

1 si || < c0 si || > c

La entrada del filtro es x(t) = e2tu(t). Calcule el valor de la frecuencia de corte cpara que el filtro permita pasar solo la mitad de la energa de la senal de entrada.

Rta: c = 2rad/s.

10. Halle el ancho de banda de la senal

x(t) =1

t2 + a2

suponiendo un criterio de abarcar el 99% de la energa total.

Rta: BW99% = 2.3/a rad/s.