transferencia de momentum 1740-2 -...
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.
Transferencia de Momentum
1740-2
2014-02-25 8ª
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2014-02-25
Contenido
Sistemas coordenados convencionales…
• Ecuación de continuidad;
• Balance de momentum.
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En coordenadas cartesianas: x, y, z
La ecuación de continuidad es escalar; es el balance de masa de un
sistema de un solo componente; por ello, en el EC no puede haber
transporte por difusión ni transformación, pero sí puede haber
acumulación y/o transporte por convección de masa.
Por lo tanto, la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas es:
Ecuación de continuidad, notación vectorial:
=0
z
y x
0vt
; x y zi j k v iv jv kvx y z
x y zv ( v ) ( v ) ( v )x y z
t
x(vx )
y(vy )
z(vz ) 0
cuando ; cuando i j i j 1 i j i j 0
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Sistema coordenado cartesiano
x y zv v v 0t x y z
Ecuación de continuidad: 0vt
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r z
1 1r v v v 0
t r r r z
Ecuación de continuidad: 0vt
Sistema coordenado cilíndrico
x r cos
y r sin
z z
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Coordenadas esféricas
2
r2
1 1 1r v v sin v 0
t r r sin r sinr
Ecuación de continuidad: 0vt
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
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r z
1 1rv v v 0
t r t r z
x y z( v ) ( v ) ( v ) 0t x y z
2
r2
1 1 1r v v sin v 0
t t r sin r sinr
BSL Tabla 3.4-1
Ecuación de Continuidad en diferentes sistemas coordenados
(A) Coordenadas rectangulares (x,y,z)
(B) Coordenadas cilíndricas (r,,z)
(C) Coordenadas esféricas (r,,)
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Acumulación
Flujo por Convección
Fuerzas de Campo (Gravitación)
Fuerzas Estáticas (Presión)
Fuerzas Dinámicas (Deformación)
¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?
Balance de Momentum
v vv g P 0t
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Vector de esfuerzos ( t ) y Tensor de Esfuerzos ( T )
Se asume que ρ, v y t son funciones continuas tanto de las coordenadas
espaciales como del tiempo.
3. El tensor de esfuerzos T es simétrico, por lo tanto:
Además, t esta referida al vector normal n que sale de la superficie del
elemento de control.
El vector de esfuerzos t cumple con las siguientes condiciones:
1. Dos vectores de esfuerzos que: i) actúen sobre una misma superficie;
ii) tengan la misma magnitud; y iii) estén ubicados en lados opuestos de
dicha superficie, satisfacen la siguiente igualdad :
2. El vector de esfuerzos t(n) puede escribirse en términos del tensor de
esfuerzos T de la siguiente manera:
Posteriormente se utilizarán estas propiedades…
t (n) t (n)
( n )t T n
Tik Tki
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Balance de Momentum
v vv g P 0t
Como :
tv
v
t v
t
Por la ecuacion de continuidad: v 0t
Por lo tanto: v
v vv v vt t
igualdad: ... (A.4-30) wv w v v w BSL
vv v v v v
v
v vv v v v v vt t t
v
v vv v vt
vt
vt
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v vv g P 0t
cuando ; cuando ij ij
ii00
0 j j0 ii j j kk 1 i j 0 i j
00kk
ii00
P 0 j j0 P iiP j jP kkP
00kk
Por otro lado, a delta de Kronecker esta definida como:
Considerando coordenadas cartesianas rectangulares, el operador es:
i j kx y z
Por lo tanto: P i j k iiP j jP kkPx y z
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como: P i j k iiP j jP kkPx y z
P P Pi iiP j j jP k kkP i j k P
x y z x y z
P P
P i j k Px y z
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v vv g P 0t
como: i j kx y z
Por lo tanto: v
v v
Como no depende de la posición (ni del tiempo) :
v v
Se considera el caso de un fluido Newtoniano, lo cual implica que su
viscosidad es el factor de proporcionalidad entre su tensor de
esfuerzos y su tensor de rapidez de deformación entre sus tensores de
esfuerzos dinámicos y de deformación es la viscosidad del fluido : v
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como: v v y: i j kx y z
v i j k i j k vx y z x y z
2 2 2
2
2 2 2v v v
x y z
Por lo tanto, para el fluido Newtoniano: 2 v
i j k i j kx y z x y z x x y y z z
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2v vv g P v 0t
Balance de Momentum
Por lo tanto, el balance de momentum para un fluido que tenga un
comportamiento Newtoniano puede expresarse en términos “medibles”:
2 v
P P
v
v vv v vt t
¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?
v v
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vx
t vx
vx
x vy
vx
y vz
vx
z
p
x xx
x yx
y zx
z
gx
(A) Componente-x
(B) Componente-y
vy
t vx
vy
x vy
vy
y vz
vy
z
p
y xy
x yy
y zy
z
gy
(C) Componente-z
vz
t vx
vz
x vy
vz
y vz
vz
z
p
z xz
x yz
y zz
z
gz
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-2
Coordenadas Rectangulares (x,y,z). En términos de
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vx
t vx
vx
x vy
vx
y vz
vx
z
p
x
2vx
x22vx
y22vx
z2
gx
(D) Componente-x
(E) Componente-y
vy
t vx
vy
x vy
vy
y vz
vy
z
p
y2vy
x22vy
y22vy
z2
gy
(F) Componente-z
vz
t vx
vz
x vy
vz
y vz
vz
z
p
z2vz
x22vz
y22vz
z2
gz
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-2
Coordenadas Rectangulares (x,y,z).
En términos de gradientes de velocidad.
Fluido de comportamiento Newtoniano.
Densidad y viscosidad constantes
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Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-3
Cilíndricas (r,,z). En términos de
2
r r r rr z
r rzrr r
v vv v v v pv v
t r r r z r
1 1r g
r r r r z
(A) Componente-r
(B) Componente-
rr z
2 zr2
v v v v v v v 1 pv v
t r r r z r
1 1r g
r r zr
(C) Componente-z
z z z zr z
z zzrz z
vv v v v pv v
t r r z z
1 1r g
r r r z
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Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-3. Cilíndricas (r,,z).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
2
r r r rr z
2 2
r rr r2 2 2 2
v vv v v v pv v
t r r r z r
vv v1 1 2rv g
r r r r r z
(D) Componente-r
(E) Componente-y
rr z
2 2
r
2 2 2 2
v v v v v v v 1 pv v
t r r r z r
v vv1 1 2rv g
r r r r r z
(C) Componente-z
z z z zr z
2 2
z z zz2 2 2
vv v v v pv v
t r r z z
v v v1 1r g
r r r r z
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2 2
r r r rr r
r2
rr r2
v v vvv v v v pv g
t r r r sin r r
1 1 1r sin
r r sin r sin rr
A) componente-r
Ecuación de Movimiento
BSL Tabla 3.4-4
. Esféricas (r,,z).
En términos de
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Ecuación de Movimiento BSL Tabla 3.4-4
Esféricas (r,,z). En términos de
B) Componente-
2
rr
2 rr2
v v cotv v v v v v v 1 pv g
t r r r sin r r r
1 1 1 cotr sin
r r sin r sin r rr
C) Componente-
r
r
r2
r2
v v v v v v v v vv 1 pv cot
t r r r sin r r r sin z
1 1 1 2cotr g
r r r sin r rr
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2 2
r r r rr r
2
r r2 2 2 2
v v vvv v v v pv g
t r r r sin r r
vv2 2 2 2v v v cot
r r r r sin
D) Componente-r
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1r sin
r rr r sin r sin
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Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
E) Componente-
2
rr
2 r
2 2 2 2 2
v v cotv v v v v v v 1 pv g
t r r r sin r r r
vvv2 2cosv
r r sin r sin
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1r sin
r rr r sin r sin
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F) Componente-
r
r
2 r
2 2 2 2 2 2
v v v v v v v v vv 1 pv cot
t r r r sin r r r sin z
v vv2 2cosv g
r sin r sin r sin
2 1
r2
rr2
r
1
r2 sin
sin
1
r2 sin2
2
2
Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).
Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes
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Transferencia de Momentum
1740-2
Fin de 2014-02-25 8ª