transferencia de masa y energía ejercicios resueltos

EDITORIAL

Transferencia de Masa y Energa: Ejercicios resueltosJos M. Desantes | Santiago MolinaF. Javier Salvador | Pablo Fajardo

Este libro presenta una relacin de ejercicios que tienen como objetivo la aplicacin de nociones fundamentales en trasferencia de masa y energa. A travs de su desarrollo, el lector podr comprobar los conocimientos adquiridos en esta materia y consolidarlos mediante la exposicin clara y precisa de la resolucin de problemas.

Va dirigido fundamentalmente a estudiantes que se estn formando en el campo de la Ingeniera Aeroespacial, y cuenta con la profesionalidad y experiencia en el mbito acadmico de sus autores.

Transferencia de Masa y Energa: Ejercicios resueltosJos M. Desantes | Santiago MolinaF. Javier Salvador | Pablo Fajardo

EDITORIALUNIVERSITAT POLITCNICA DE VALNCIA

Jos M. Desantes (1955). Es Ingeniero Industrial por la Universidad Politcnica de Madrid (1978) y Doctor por la Uni-versitat Politcnica de Valncia (1980). Es Catedrti co de Universidad desde el ao 1984 y ha dirigido el Insti tuto Uni-versitario CMT Motores Trmicos por ms de 15 aos. Actualmente es el Di-rector del departamento de Mquinas y Motores Trmicos de la UPV. Su ex-periencia investi gadora abarca todo el campo de los procesos termo uidodi-nmicos en MCIA. Ha publicado ms de 50 art culos de investi gacin en revistas indexadas y ms de 50 contribuciones a congresos. Ha sido investi gador princi-pal de proyectos europeos, nacionales y con empresas privadas, y adems ti e-ne 10 patentes registradas.

Santi ago Molina (1968). Es Ingeniero Mecnico por la Universidad Nacional de San Juan - Argenti na (1996) y Doc-tor por la Universitat Politcnica de Va-lncia (2003). Tiene ms de 18 aos de experiencia docente y en la actualidad es profesor Titular de Universidad en la UPV. Su rea de investi gacin es el estu-dio experimental del proceso de com-busti n en MCIA. Ha publicado ms de 25 art culos de investi gacin en revistas indexadas y numerosas contribuciones a congresos. Tambin ha sido investi ga-dor principal de proyectos europeos y proyectos de I+D+I con empresas pri-vadas.

F. Javier Salvador (1973). Es Ingeniero Industrial, especialidad Energa, por la Universitat Politcnica de Valncia (1998) y Doctor por la Universitat Po-litcnica de Valncia (2003). En el ao 2004 recibe un premio extraordinario por la Tesis doctoral. En la actualidad es profesor Titular de Universidad en la UPV. Es experto en la caracterizacin de sistemas de inyeccin tanto desde el punto de vista experimental como computacional mediante cdigos de modelado 1D y 3D (CFD). Ha publicado ms de 40 art culos de investi gacin en revistas indexadas y ha contribuido en ms de 30 ocasiones en congresos in-ternacionales.

Pablo Fajardo (1984). Es Ingeniero Aeronuti co, especialidad Vehculos Espaciales (A2), por la Universidad Po-litcnica de Madrid (2007) y Doctor por la Universitat Politcnica de Valncia (2012). Desde septi embre de 2008 ha sido profesor Ayudante en el rea de Ingeniera Aeroespacial en la UPV. Es experto en el modelado y simulacin de sistemas f sicos, y en parti cular en el modelado mediante dinmica de ui-dos computacional (CFD). Ha publicado 13 art culos de investi gacin en revistas indexadas. Desde julio de 2013, es Pro-fesor Visitante en el rea de Ingeniera Aeroespacial de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3M).

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UPVUPV

ISBN 978-84-9048-207-0

EDITORIALUNIVERSITAT POLITCNICA DE VALNCIA

Transferencia de Masa y Energa:Ejercicios Resueltos

Jos M. DesantesSantiago Molina

Francisco Javier Salvador RubioPablo Fajardo

Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento de Mquinas y Motores Trmicos de la UPV Coleccin Acadmica Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: DESANTES FERNNDEZ, J. M. [et al] (2014) Transferencia de masa y energa: ejercicios resueltos. Valencia: Universitat Politcnica de Valncia Primera edicin, 2014 (versin impresa) Primera edicin, 2014 (versin electrnica)

Jos M. Desantes Fernndez

Santiago Molina Alcaide Francisco Javier Salvador Rubio Pablo Fajardo Pea

de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia distribucin: Telf.: 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.:6162_01_01_01 ISBN: 978-84-9048-207-0 (versin impresa) ISBN: 978-84-9048-210-0 (versin electrnica) Queda prohibida la reproduccin, distribucin, comercializacin, transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores.

ndice general

ndice general iii

Nomenclatura v

Introduccin vii

1 Conceptos generales de transferencia de masa y energa 11.1 Conveccin - difusin de una especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Difusin de helio en plstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Funcin disipacin - capa lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Ley de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Conduccin - Conveccin - Radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Placa plana inmersa en una corriente de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Transferencia de energa con campo de velocidad 252.1 Campo de velocidades entre dos placas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Campo de velocidades entre dos placas con gradiente de presin. . . . . . . . 30

2.3 Campo de velocidades y temperatura entre dos placas . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Campo de velocidades y de temperaturas entre dos placas con gradientede presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Transferencia de calor: Conduccin - conveccin 533.1 Ventana de una aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Depsito de oxgeno lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Radio crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Tubera cilndrica. Espesor crtico de aislamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

iii

ndice general

4 Transferencia de calor en superficies extendidas 934.1 Cilindro de motor con aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Distribucin de temperatura en una aleta rectangular. . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Alabe de una turbina de gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Transitorios trmicos 1195.1 Enfriamiento del papel de aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2 Tiempo de cocinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3 Termopar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.4 Medida de temperatura con un hilo delgado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.5 Cilindro en una corriente de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6 Transitorio trmico de una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.7 Aislamiento trmico de un misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.8 Satlite en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.9 Transitorio de un cuerpo sumergido en un recipiente . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.10 Placa de titanio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.11 Lata de leche condensada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.12 Tratamiento trmico de recocido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Anexos 231

Bibliografa 235

iv

Tabla de smbolos

Latinos

A rea m2a Velocidad del sonido m/sc Concentracin molar kmol/m3Cp Calor especfico a presin constante kJ/kg KCD Coeficiente de resistencia D Difusividad msica m2/sDh Dimetro hidrulico me espesor mF Fuerza Ng Aceleracin de la gravedad m/s2h Coeficiente de pelcula W/m2 KJ Flujo molar kmol/m2k Conductividad W/m KL Longitud mLc Longitud caracterstica mm Masa kgM Flujo msico kg/s m2m Gasto msico kg/sp Presin bar,PaP Permetro mojado mPM Peso molecular kg/kmolq,Q Calor Jq Potencia calorfica WR Constante especfica del gas J/kg KT Temperatura oC,Kt Tiempo su velocidad m/sV Volumen m3Y Fraccin msica x Fraccin molar x, y, z Coordenadas geomtricas m

v

Tabla de smbolos

Griegos

Difusividad trmica m2/s Coeficiente de expansin volumtrica 1/K Relacin de calores especficos Variacin de un parmetro Emisividad Densidad kg/m3 Viscosidad dinmica kg/m s Viscosidad cinemtica m2/s Temperatura adimensional Constante de Stefan-Boltzmann (5,67 108 ) W/m2 K4 Cortante - Tiempo caracterstico N/m2 - s Funcin disipacin kg/m2 s2

Subndices y superndices

A Especie Aac Aceroai Airec Correlacincu Cobree Experimentalw Cable (wire)

Nmeros adimensionales

Bi Nmero de Biot h L/kBr Nmero de Brinkman u2/(k T )Fo Nmero de Fourier t/L2Fr Nmero de Froude u2/(g L)Gr Nmero de Grashof g L3 T/2Le Nmero de Lewis /DM Nmero de Mach u/aNu Nmero de Nusselt h L/kPe Nmero de Peclet (trmico) u L/

Nmero de Peclet (msico) u L/DPl Nmero de Planck (k/L)/( T 4)Pr Nmero de Prandtl Cp /kRa Nmero de Rayleigh Gr PrRe Nmero de Reynolds u L/Sc Nmero de Schmidt /DSt Nmero de Stokes ouodo/(18aa)

vi

Introduccin

En este libro se recogen una serie de ejercicios enmarcados en los contenidos deun curso de transferencia de masa y energa. El objetivo principal del libro es quesirva de ayuda a la hora de aplicar los conocimientos adquiridos del estudio de losconceptos tericos de los temas aqu desarrollados.

Para que el libro sea de utilidad, se recomienda que el lector intente resolver losejercicios por si solo, utilizando para ello sus apuntes, los libros de la bibliogra-fa y/o cualquier material que considere oportuno. Una vez efectuado este pasoel libro debe servir para verificar si los razonamientos han sido correctos o no.Probablemente si el lector sigue el desarrollo de cualquiera de los problemas aquresueltos no tendr ningn problema en entenderlos ya que estos estn explicadospaso a paso y con riguroso detalle, sin embargo, no habr adquirido una de lasdestrezas ms importante que debe poseer un Ingeniero, que es la capacidad deresolver (o al menos intentar) un problema nuevo, como los que probablemente sele presenten en su vida profesional.

El libro est dividido en cinco captulos, los dos primeros abordan temas bsicosde transferencia de masa y energa en diferentes tipos de aplicaciones, con ellos sepretende que el lector se familiarice con los conceptos y con la aplicacin de losnmeros adimensionales y como estos sirven para comprender y/o cuantificar unproblema.

El tercer capitulo est dedicado a ejercicios de transferencia de calor por conduc-cin y conveccin de forma individual y combinada. Con estos ejercicios se pretendeque se pueda asimilar los conceptos fundamentales de los fenmenos involucradosen la transferencia de calor.

El cuarto captulo aborda una aplicacin muy comn en transferencia de calorcomo son las superficies extendidas (aletas). El objetivo de estos ejercicios es queel lector sea capaz de plantear y resolver problemas donde se ha incrementado latransferencia de calor por medio de estos elementos.

Para finalizar el ltimo captulo, y el ms extenso, est destinado a ejerciciosde transferencia de calor durante transitorios trmicos. Se abordan problemas demedida de temperatura, tratamientos trmicos y otra serie de cuestiones generales,que sirven para que el lector comprenda que los conceptos que ha aprendido tienenun gran campo de aplicacin en la vida cotidiana. Los ejercicios planteados en estecaptulo tambin son en su mayora problemas combinados, donde el lector adems

vii

Introduccin

de saber plantear la ecuacin de la energa deber ser capaz de aplicar los conceptosde las tres formas de transmisin de calor.

La bibliografa que se encuentra al final del libro debe servir al lector para revisary/o estudiar los conceptos tericos necesarios para la resolucin de los ejerciciosplanteados en este libro. Se ha dividido en bibliografa bsica y de consulta deforma tal de que aquella persona que quiera profundizar algn tema en particularpueda recurrir a esta ltima.

Para concluir, es nuestro deseo que el libro sea de utilidad para el lector y siendoeste una herramienta ms para el aprendizaje de los fenmenos de transferenciade masa y energa.

viii

Captulo 1

Conceptos generales detransferencia de masa y energa

1.1 Conveccin - difusin de una especie


Si se considera una especie A, con una velocidad caracterstica u, en un sistemamulticomponente.

Se pide:

1. Encontrar un nmero adimensional que relacione el transporte de masa de laespecie A por conveccin y por difusin. Para ello tomar Lc como longitudcaracterstica.

2. Cuantificar en rdenes de magnitud la relacin entre los nmeros de Re y Scpara el caso que la especie A sea H2 difundindose en aire a 300 K y 1 bar.

3. Cuantificar en rdenes de magnitud la relacin entre los nmeros de Re y Scpara el caso que la especie A sea etanol difundindose en agua a 300 K.

Apartado 1

El problema se puede plantear empleando magnitudes fsicas o de forma adimen-sional.

Para el primer caso se analiza con qu parmetros se escala el transporte de masaconvectivo y el difusivo.

Convectivo: u YADifusivo: DA YA/Lc

Calculando la relacin entre ambos se puede obtener:

u YA DA YA/Lc =

u LcDA

La relacin adimensional obtenida se conoce como nmero de Peclet (Pe).

En un problema dado, si el nmero de Peclet es grande, indica que el procesoconvectivo es el dominante y si es pequeo el proceso dominante es el difusivo.

De forma adimensional se puede llegar al mismo nmero adimensional, para ellose aplica el teorema .

3

Captulo 1. Conceptos generales de transferencia de masa y energa

Las variables del problema son:

u [L/T]

DA [L2/T]

[M/L3]

Lc [L]

Dado que hay 4 variables y 3 magnitudes independientes, el problema se resuelvecon un nmero adimensional.

pi1 = u a Dab Lcc pi1 =(

L

T

)(

M

L3

)a(

L2

T

)b Lc

[M] a = 0[T] 1 b = 0 b = 1[L] 1 3a+ 2b+ c = 0 1 2 + c = 0 c = 1

pi1 = u 0 Da1 Lc1 u LcDA

Que es el mismo nmero adimensional obtenido del primer anlisis del problema.

El nmero de Peclet tambin se puede expresar de la siguiente forma:

Peclet = Pe =u LcDA

=u LcA

ADA

= Re Sc

Donde A es la viscosidad cinemtica del fluido, Sc el nmero de Schmidt y Re elnmero de Reynolds.

Apartado 2

El coeficiente de difusin del H2 en aire es DH2aire = 7,9 105 m2/s y laspropiedades del hidrgeno sacadas de tablas y son:

H2 = 8,9 106 Pa sH2 = 0,09 kg/m

3

H2 = H2/H2 = 9,9 105 m2/s

4


Reemplazando los valores de las propiedades en la ecuacin correspondiente sepuede obtener el nmero de Schmidt.

Sc =ADA

=9,9 1057,9 105 = 1,25

Para este caso en que el fluido que fluye es un gas en otro gas el nmero deSchmidt es del orden de 1, por lo tanto los nmeros de Reynolds y Peclet debenser magnitudes similares.

Apartado 3

El coeficiente de difusin del etanol en agua es Detanolagua = 1,2 109 m2/s ylas propiedades del etanol sacadas de tablas y son:

etanol = 1,1 103 Pa setanol = 790 kg/m

3

etanol = etanol/etanol = 1,49 106 m2/s

Remplazando los valores de las propiedades se puede obtener el nmero de Sch-midt.

Sc =ADA

=1,49 1061,2 109 = 1,2 10

3

Para este caso en que el fluido que fluye es un lquido en otro lquido el nmerode Schmidt es del orden de 103, por lo tanto, los nmeros de Reynolds y Pecletdeben diferir en tres rdenes de magnitud.

5


1.2 Difusin de helio en plstico

Se emplea una membrana de plstico de espesor e para separar helio de una co-rriente gaseosa, siendo DAB el coeficiente de difusividad del helio respecto delplstico y cAi y cAe (kmol/m3) la concentracin molar de helio en las superficiesinterna y externa de la membrana respectivamente.

Se pide:

1. Determinar cul es el flujo molar de helio JAB separado de la corrientegaseosa.

2. Determinar el flujo msico de helio separado, de la corriente gaseosa, con-siderando los siguientes datos: e = 1 mm, DAB = 109 m2/s, cAi =0,01 kmol/m3, cAe = 0,005 kmol/m

3

Apartado 1

La concentracin molar en la membrana de plstico ser:

c = cA + cB

Teniendo en cuenta que cB cA se puede asumir que: c cB = cte y que dependeslo de la composicin de la membrana.

Para determinar el flujo molar de helio a travs de la membrana empleamos la leyde Fick. En realidad la ley de Groot que es el caso general de la ley de Fick sinsuponer el sistema isobrico e isotermo.

JAB [kmol/m2 s] = c DAB dxA

dx

Donde xA es la fraccin molar de la especie A, definida como xA = cA/c.6

1.2 Difusin de helio en plstico

Reemplazando se obtiene:

JAB [kmol/m2 s] = DAB dcA

dx

Si el sistema es estacionario y se considera que la membrana es suficientementedelgada para que el proceso sea unidimensional, JAB debe ser independiente de x,por lo tanto:

DAB dcAdx

= cte = DAB cAi cAee

De este modo el flujo molar de helio JAB es:

JAB = DAB cAi cAee

[kmol/m2 s]

Apartado 2

Reemplazando valores en la ecuacin obtenida en el apartado anterior se obtieneel flujo molar de helio.

JAB = DAB cAi cAee

= 109 0,01 0,0050,001

JAB = 5 109 kmol/m2 s

El flujo msico de helio ser:

MA = PMA JAB

Siendo PMA el peso molecular del helio, que tiene un valor de 4 kg/kmol.

MA = 4 5 109 = 2 108 kg/m2 s

7


1.3 Funcin disipacin - capa lmite

En la capa lmite incompresible el perfil de velocidad se puede representar por:

uxu

=3

2 y 1

2(y

)3para y

Donde u la velocidad del fluido fuera de la capa lmite, es el espesor de la capalmite e y la distancia perpendicular a la superficie que limita el flujo.

Se pide:

1. Identificar un parmetro que caracterice la funcin de disipacin adimensio-nal.

2. Analizar como vara este parmetro en funcin de y/.

Apartado 1

La funcin disipacin, particularizada a este problema unidimensional es:

= (uxy

)2Derivando el perfil de velocidades, se obtiene:

uxy

= u [

3

2 1 3

2 (y

)2]

Reemplazando en la funcin disipacin.

= [u

[3

2 1 3

2 (y

)2]]2Operando y agrupando convenientemente se puede encontrar un nmero de disi-pacin adimensional.

= 2 u2 =

[3

2(

1(y

)2)]2

8

1.3 Funcin disipacin - capa lmite

El mismo anlisis se puede realizar para el esfuerzo cortante . Partiendo de ladefinicin del esfuerzo cortante, remplazando el valor de la derivada de la velocidady ordenando convenientemente se puede obtener:

= uxy

= u =

3

2(

1(y

)2)

Observar que la funcin disipacin adimensional es igual al cuadrado del esfuerzocortante adimensional = 2.

Apartado 2

Particularizando para los extremos de la capa lmite las ecuaciones obtenidas enel apartado 1 se obtiene:

Para y/ = 0 = 9/4 y = 3/2Para y/ = 1 = 0 y = 0Las ecuaciones obtenidas y el perfil de velocidades se pueden representar en funcinde y/ como se muestra en la figura 1.3.1.

Figura 1.3.1: Perfil de velocidades, y en funcin del parmetro y/.

9


1.4 Ley de Stokes

Una esfera de radio r y densidad E inmersa en un fluido de densidad A y visco-sidad cinemtica A se deja caer desde el reposo. Se supone que el coeficiente deresistencia sigue la ley de Stokes (CD = 24/Re).

Se pide:

1. Encontrar una expresin para la fuerza de resistencia viscosa en funcin delas propiedades del fluido.

2. Plantear la ecuacin diferencial que permite obtener la velocidad u de laesfera en funcin del tiempo y hallar la velocidad lmite.

3. Comprobar que la solucin a la ecuacin obtenida en el apartado anterior esde la forma:

u/uL = 1 et/

Donde uL es la velocidad lmite en condiciones laminares y un tiempocaracterstico que cumple la ecuacin = m/k, siendo m la masa de laesfera y k = 6 pi r A A

4. Determinar el valor del cociente t/ para el que la velocidad de la esfera al-canza el 95 % de la velocidad terminal. Cmo se puede reducir este tiempo?

5. Teniendo en cuenta que el rgimen laminar o rgimen de Stokes se extiendehasta Re = 1, determinar una expresin que relacione la viscosidad cinem-tica mnima del fluido con el radio de la esfera para garantizar condicioneslaminares y confirmar que A r3/2.

10

1.4 Ley de Stokes

6. Determinar el valor de la velocidad lmite, el tiempo para alcanzarla y elnmero de Reynolds mximo para los datos siguientes, correspondientes auna bola de aluminio (E = 2700 kg/m3 y r = 2 103 m) inmersa en aceite(E = 2700 kg/m3, A = 880 kg/m3 y A = 4,5 104 m2/s).

7. Calcular el nmero de Stokes (St) y el de Froude (Fr) y analizar la influenciade las fuerzas de inercia, las viscosas y las debidas la gravedad.

Apartado 1

El flujo alrededor de una esfera en la corriente de Stokes tiene solucin analtica yla fuerza de resistencia en el movimiento relativo esfera-fluido est controlada porel gradiente de velocidad y la viscosidad del fluido. Es decir, la fuerza de resistenciaes proporcional a un gradiente de velocidad que puede representarse como u/r, laviscosidad y a un rea que prescindiendo de las constantes ser proporcional ar2.

FR A ur r2

Otra forma de hallar la fuerza de resistencia para la esfera es a partir de la defini-cin del coeficiente de resistencia CD.

FRA

= CD A u2

2

Donde A es el rea proyectada y el trmino que multiplica a CD es la energacintica por unidad de volumen o presin de parada (o de remanso).

FR = CD A u2

2 pi r2

Combinando la ecuacin anterior con el coeficiente de resistencia dado en el enun-ciado se obtiene:

FR =24 Au 2 r

A u22

pi r2

FR = 6 pi r A A u = 6 pi r A u

Ecuacin conocida como la frmula de Stokes para la resistencia de una esfera.

11


A los efectos del problema se define como k a los trminos que multiplican a lavelocidad, es decir:

k = 6 pi r A A FR = k u

Apartado 2

La ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento para la esfera se puedeplantear como:

m dudt

= Fg FR

Siendo FR la fuerza de resistencia obtenida en el apartado anterior y Fg la fuerzagravitacional que se puede calcular como:

Fg = (E A) g 43 pi r3

La velocidad lmite se alcanza cuando la velocidad alcanza un valor constante enel tiempo, es decir cuando du/dt = 0, para este caso FR = Fg.

Fr = Fg = k uL uL = Fg/k

Reemplazando Fg y k por sus valores correspondientes se obtiene:

uL =Fgk

=2

9 r

2 g (E A)A A

Apartado 3

La ecuacin diferencial planteada en el apartado anterior es de variables separadasy se puede escribir como:

m dudt

= Fg k u dt = duFg

m k u

m

k

m dt = du

Fg

k u

12

1.4 Ley de Stokes

Integrando:

km t = ln

(Fgk u)

+ cte

Aplicando la condicin inicial, para t = 0 u = 0.

cte = ln(Fgk

)

Remplazando el valor de la constante y operando se obtiene:

km t = ln

(Fgk u) ln

(Fgk

)

km t = ln

(1 u

Fg/k

)u

Fg/k= 1 e km t

Finalmente, teniendo en cuenta que uL = Fg/k y definiendo el tiempo caracters-tico como = m/k se llega a:

u

uL= 1 e t

Apartado 4

Para obtener el tiempo para el que se alcanza el 95 % de la velocidad lmite seremplaza los valores en la ecuacin obtenida en el apartado anterior.

u

uL= 1 e t = 0,95 e t = 0,05

t

= ln (0,05) = 2,996

t

3 t = 3

13


Es decir, el tiempo fsico para alcanzar el 95 % de la velocidad lmite es tres vecesel tiempo caracterstico del sistema.

En la figura 1.4.1 se ha representado la solucin al problema, indicando el tiempocaracterstico y 3 .

Figura 1.4.1: Cociente u/uL en funcin de t/ .

Teniendo en cuenta que el tiempo caracterstico es:

=m

k=

4/3 pi r3 E6 pi r A A

=m

k=

2

9 E r

2

A A

Para reducir el tiempo caracterstico se puede actuar sobre la esfera o sobre elfluido:

En la esfera, disminuyendo su masa, ya sea disminuyendo su densidad y/osu tamao.

En el fluido, aumentando la fuerza de resistencia que ofrece, esto se lograaumentando la densidad y/o la viscosidad.

14

1.4 Ley de Stokes

Apartado 5

Partiendo de la definicin del nmero de Reynolds se puede escribir que:

Re =u 2 rA

A = u 2 rRe

Considerando que Re 1.

A u 2 r

En el caso extremo u = uL, y de acuerdo con el valor obtenido en el apartado 2para la velocidad lmite:

A (

2

9 r

2 g (E A)A A

) 2 r

2A 4

9 r

3 g (E A)A

A 23 r3/2

g (E A)

A

La expresin anterior muestra que la viscosidad cinemtica mnima para garantizarRe 1 se escala efectivamente con r3/2.

Apartado 6

Para los datos del problema se puede obtener la velocidad lmite.

uL =2

9 r

2 g (E A)A A =

2

9 0,002

2 9,8 (2700 880)880 4,5 104

uL = 0,04 m/s

El nmero de Reynolds mximo, ser por lo tanto:

Re =u 2 rA

=0,04 2 0,002

4,5 104 = 0,355 1

15


Finalmente, el tiempo para alcanzar el 95 % de la velocidad lmite del problemaes:

=2

9 E r

2

A A =2

9 2700 0,002

2

880 4,5 104

= 6,06 103 t = 3 = 0,018 s

Apartado 7

El nmero de Reynolds (obtenido en el apartado anterior) indica condiciones la-minares del movimiento de la partcula por lo que el movimiento est dominadopor las fuerzas viscosas.

En condiciones laminares para este tipo de problemas se puede comprobar que Fr St y en este caso son ambos muy inferiores a la unidad.

St =1

18 EA uL 2 r

A=

1

18 2700

880 0,04 2 0,002

4,5 104

St = 0,060

Fr =uL

2

g 2 r =0,042

9,8 2 0,002

Fr = 0,041

Esto vuelve a indicar que la partcula flota y est inmersa en un fluido extrema-damente viscoso. Ni las fuerzas gravitacionales, ni las de inercia son relevantes.La partcula sigue el movimiento del fluido.

16

1.5 Conduccin - Conveccin - Radiacin


Una placa infinita con conductividad trmica k se mantiene a una temperaturaconstante e igual a T0 en su cara correspondiente a x = 0, mientras que la ca-ra correspondiente a x = L intercambia calor con un entorno cuya temperaturacaracterstica es constante e igual a T2 T0.

Se pide:

1. Identificar un nmero adimensional que relacione la capacidad de transmitir(o la transmisin de) calor desde la placa por conveccin respecto a la capaci-dad de transmitir calor por conduccin hacia el medio exterior. El coeficientede pelcula es h. Despreciar el calor que se pueda transferir por radiacin.

2. Qu parmetros hay que modificar para que (T0T1), es decir, la diferenciade temperaturas en la placa, sea pequea?

3. Identificar un nmero adimensional que relacione la capacidad de transmi-tir (o la transmisin de) calor desde la placa por radiacin respecto a lacapacidad de transmitir calor por conduccin hacia el medio exterior. Laemisividad es .

4. Qu parmetros hay que modificar para que (T0T1), es decir, la diferenciade temperaturas en la placa sea pequea?

Apartado 1

El flujo de calor por unidad de superficie transmitido por conduccin a travs dela placa es, de acuerdo con la ley de Fourier:

q

A=k

L (T0 T1)

17


El flujo de calor por unidad de superficie transmitido por conveccin entre la paredy el fluido que la rodea es de acuerdo con la ley de Newton:

q

A= h (T1 T2)

Los dos flujos de calor deben ser iguales debido a que se desprecia la radiacin,por tanto, igualando las ecuaciones obtenidas.

q

A=k

L (T0 T1) = h (T1 T2)

De la ecuacin anterior se puede escribir:

h

k/L=

(T0 T1)(T1 T2)

Donde el parmetro adimensional representa:

h

k/L=

Coef. trans. de calor por conveccion

Coef. trans. de calor por conduccion

L/k

1/h=

Resistencia de conduccion

Resistencia de conveccion

El nmero adimensional as definido se denomina nmero de Biot.

Bi =h Lk

Apartado 2

Si el nmero de Biot es pequeo (Bi 0), h es mucho ms baja que k/L, por lotanto la dificultad para transmitir calor est en la conveccin, T0 T1 y el saltotrmico ms alto aparece entre la pared y el fluido.

Si el nmero de Biot es grande (Bi ), k/L es mucho ms bajo que h, ladificultad para transmitir calor est en la conduccin por lo tanto T1 T2 y elsalto trmico est en la pared.

18


En la figura 1.5.1 se han representado de forma esquemtica los saltos de tem-peratura en la pared y el fluido para tres casos valores diferentes del nmero deBiot.

Figura 1.5.1: Salto trmico en la pared y en el fluido en funcin del nmero de Biot.

Por tanto si lo que se busca es un gradiente de temperatura reducido dentro de lapared hay que disminuir el nmero de Biot y sto se puede lograr:

Reduciendo el espesor de la pared L y el coeficiente de pelcula h.

Aumentando la conductividad trmica de la pared k.

Apartado 3

Haciendo el mismo razonamiento que en el apartado 1, el flujo de calor por uni-dad de superficie transmitido por conduccin a travs de la placa es el calculadomediante la ley de Fourier:

q

A=k

L (T0 T1)

El flujo de calor neto por unidad de superficie transmitido por radiacin es es elque define la ley de Stefan-Boltzman:

q

A= (T14 T24)

En este caso los dos flujos de calor no pueden considerarse iguales debido a queexiste un flujo de calor por conveccin hacia el fluido.

19


Lo que se puede hacer es estimar el efecto de estos trminos adicionales. Haciendoel cociente entre ambos se obtiene:

q

q=

k/L (T0 T1) (T14 T24)

Si el cociente es prximo a 1 significa que el resto de mecanismos de transmisinno son relevantes, concretamente la conveccin, sin embargo, si el cociente es 6= 1la conveccin entre el medio y la placa es importante.

Multiplicando y dividiendo la ecuacin anterior por T14 y operando conveniente-mente se obtiene:

q

q=

k/L

T13

T0

T1 1

1(T2

T1

)4

En la ecuacin anterior se identifica el nmero de Planck que relaciona el calortransmitido por conduccin respecto al que se transmite por radiacin.

Planck =k/L

T13=

Coef. trans. de calor por conduccion

Coef. trans. de calor por radiacion

Donde T1 es una temperatura caracterstica del sistema, en concreto, la de la paredexterior.

Apartado 4

Para que el gradiente de temperatura en la placa sea reducido y asumiendo que elefecto de la conveccin es despreciable en este problema, es claro que habra queincrementar el parmetro k/L respecto del parmetro , lo que por lo tanto,para un valor dado de flujo de calor, se logra incrementado k y disminuyendo L.

20

1.6 Placa plana inmersa en una corriente de aire


Una placa plana de longitud L y ancho b est suspendida e inmersa en un flujo deaire paralelo a sus dos superficies como se muestra en la figura. La temperaturay la velocidad del aire son T y u respectivamente. La temperatura de la placaTp se mantiene constante. La fuerza total de resistencia fluidodinmica que actasobre la placa es F .

Las propiedades del aire son: = 1,2 kg/m3

Cp = 1 kJ/kg KPr = 0,7 = 1,5 106 m2/s

Se pide:

1. Suponiendo que el flujo es turbulento, el coeficiente de prdidas Cf y laresistencia fluidodinmica se pueden relacionar como:

F = Cf As u2

2

Siendo As = 2 L bDemostrar que, aceptando la analoga de Reynolds, el coeficiente de pelculase puede calcular como:

h =1

Pr F Cp

u 1As

2. Siendo L = 3 m, b = 2 m y u = 5 m/s determinar el nmero de Reynolds(ReL).

3. Suponiendo que F = 0,95 N determinar los valores de h y del nmero deNusselt (Nue) experimentales.

4. A partir de una correlacin emprica obtener el nmero de Nusselt (Nuc) ycompararlo con el obtenido en el apartado anterior.

21


5. Existe alguna razn terica para explicar la diferencia encontrada entre Nuey Nuc al margen de las incertidumbres de medida experimentales?

Apartado 1

A partir de la ecuacin dada en el enunciado se puede escribir que:

F = Cf As u2

2 Cf = 2 F

As u2

Aceptando como vlida la analoga de Reynolds el coeficiente de prdidas Cf sepuede expresar como:

Nu = Cf ReL2

Cf = 2 NuReL

Igualando ambas ecuaciones se obtiene:

Nu = ReL FAs u2

A partir de las definiciones del nmero de Nusselt y el de Reynolds, la ecuacinanterior queda como:

h Lk

=u L

FAs u2

h =k F

As u

A partir de la definicin del nmero de Prandlt se puede obtener:

Pr =Cp k

=Cp

k = Pr k

Cp

Reemplazando en la ecuacin obtenida para h, se obtiene finalmente:

h =k F

As u 1

Pr Cp

k

22


Organizando los trminos se puede escribir:

h =1

Pr F Cp

u 1As

Apartado 2

El nmero de Reynolds, ReL, se obtiene como:

ReL =u L

=5 3

1,5 106

ReL = 107

Apartado 3

Si la fuerza obtenida en el ensayo experimental es F = 0,95 N, reemplazandovalores se obtiene:

h =1

Pr F Cp

u 1As

=1

0,7 0,95 1000

10 1

2 (2 3)

h = 22,62 W/m2 K

Para hallar el valor del nmero de Nusselt experimental, Nue, primero debemoshallar el valor de k.

k =1

Pr Cp = 1

0,7 1,5 106 1000 1,2

k = 2,57 103 W/m K

El nmero de Nusselt experimental es:

Nue =h Lk

=22,62 3

2,57 103

Nue = 26403,5

23


Apartado 4

Teniendo en cuenta que el nmero de Reynolds es mayor que 5 105 podemosasegurar que estamos en condiciones turbulentas, por lo tanto, una correlacin autilizar puede ser:

Nuc = 0,037 ReL0,8 Pr1/3

Nuc = 0,037 (107)0,8 (0,7)1/3 = 13078,8

Sin embargo, para el caso en que no se pueda asegurar que la placa sea lo sufi-cientemente larga para despreciar la regin inicial de flujo laminar, la correlacinemprica a utilizar puede ser:

Nuc = (0,037 ReL0,8 871) Pr1/3

Nuc = (0,037 (107)0,8 871) (0,7)1/3 = 12305,4

Como puede observarse ambas correlaciones dan valores del mismo orden de mag-nitud para el nmero de Nusselt.

Apartado 5

Si se hace el cociente entre ambos nmeros de Nusselt, el experimental y el obtenidoa partir de las correlaciones se obtiene:

Nue

Nuc=

26403,5

12305,4= 2

Es decir el nmero de Nusselt experimental es el doble que el obtenido por medio dela correlacin. Esto se debe a que en el experimento realizado para este problemael flujo de aire circula por ambas caras de la placa y en las correlaciones solo sesupone que el flujo de aire circula por una de las caras de la placa. As el factor 2se debe a que el rea en este caso es el doble.

24

Captulo 2

Transferencia de energa con campode velocidad

2.1 Campo de velocidades entre dos placas


La figura esquematiza dos placas metlicas de profundidad infinitas. La inferiorest en reposo, mientras que la superior desliza con una velocidad relativa uprespecto de la placa inferior sobre un fluido lubricante que tiene una densidad y una viscosidad cinemtica contantes. Se supone que no hay ningn gradientede presin en la direccin x y la distancia entre las dos placas es constante eigual a b, y se estima que el flujo es laminar. Suponemos que el movimiento esunidimensional, es decir, que uy = uz = 0.

Suponiendo flujo estacionario se pide:

1. Obtener una expresin para el campo de velocidades ux(y).

2. Determinar el valor del esfuerzo cortante x(y) a partir de la ley de Stokes.

3. Si definimos el nmero de Reynolds caracterstico como:

Re =u Dh

Donde Dh es el dimetro hidrulico equivalente de la seccin, y el coeficientede friccin se define como:

f = 4 |x|0,5 u2

Demostrar que:

f =32

Re

27

Captulo 2. Transferencia de energa con campo de velocidad

Apartado 1

Por la condicin de no deslizamiento en los contornos superior e inferior del vo-lumen de control, ux(0) = 0 y ux(b) = up. Teniendo en cuenta que el flujo esunidimensional uy = uz = 0.

Puesto que estamos en un proceso estacionario, la densidad del fluido es constante(flujo incompresible) y el espesor entre placas es constante e igual a b, ux = f(y),es decir no hay gradientes de ux en sentido x.

Esta situacin de flujo se la conoce como flujo de Couette y viene representadapor:

d2uxdy2

= 0

La formulacin anterior se obtiene planteando que laFx = 0, es decir, que la

suma de fuerzas que acta sobre el sistema debe ser nula por no existir variacinde la cantidad de movimiento en sentido x. En este problema la nica fuerza queacta es la correspondiente a los esfuerzos cortantes debidos a la viscosidad.

Integrando la ecuacin anterior dos veces se obtiene:

duxdy

= C1 ux = C1 y + C2

Imponiendo las condiciones de contorno definidas se llega a:

y = 0 ux = 0 C2 = 0y = b ux = up C1 = up/b

Reemplazando el valor de las constantes de integracin se obtiene:

ux = up yb

28


Apartado 2

El esfuerzo cortante se puede determinar a partir de la ley de Stokes o ley deviscosidad de Newton.

x = duxdy

= upb

Por lo tanto para esta situacin de flujo el esfuerzo cortante es constante a lo largode una seccin transversal e independiente de y. El signo negativo indica que seopone al movimiento.

Apartado 3

El dimetro hidrulico se define como: Dh = 4 A/P , siendo A el rea transversaly P el permetro mojado.

Con esta definicin de Dh se asegura que para una seccin circular el dimetro hi-drulico coincide con el geomtrico. Para este caso y considerando que la dimensinperpendicular al plano xy tiene un valor z, el dimetro hidrulico es:

Dh =4 b z

2 (b+ z)

Cuando z b el dimetro hidrulico es: Dh = 2 bComo la distribucin de velocidad es lineal con y, el valor de la velocidad mediaentre las placas u, vale up/2, por lo tanto, el coeficiente de friccin se puede escribircomo:

f = 4 |x|0,5 u2 = 4

|x|0,5 (up/2)2

Remplazando el valor del esfuerzo cortante obtenido en el apartado 2.

f = 4 up/b0,5 (up/2)2 = 32

up b

f = 32 up b

2

2= 32

(up/2) (2 b)

f = 32 u Dh =

32

Re29


2.2 Campo de velocidades entre dos placas congradiente de presin

La figura esquematiza dos piezas metlicas. La inferior est en reposo mientrasque la superior desliza con una velocidad relativa up respecto de la placa inferiorsobre un fluido lubricante que tiene una densidad y una viscosidad cinemtica contantes. La distancia entre las dos placas es constante e igual a b, y se estimaque el flujo es laminar. El fluido lubricante est sometido a rgimen de lubricacinforzada, de tal forma que existe un gradiente de presin constante en la direccinx (dP/dx < 0). Suponemos que las placas son infinitas en la direccin z y queuy = uz = 0.


1. Obtener una expresin para el campo de velocidades ux(y).

2. Determinar el esfuerzo cortante en la pared (x) y el coeficiente de friccin(f) considerando el deslizamiento y el gradiente de presiones de forma inde-pendiente.

3. Determinar el coeficiente de friccin total definido como:

fT = 4 |xT |0,5 (up0 + up/2)2

Siendo uPo la velocidad media del flujo debido al gradiente de presiones.

30

2.2 Campo de velocidades entre dos placas con gradiente de presin

Apartado 1

A partir de la ecuacin de continuidad, y dado que la densidad es constante y elflujo es estacionario, ux solo puede depender de y, es decir, ux = ux(y).

Si se plantea la ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento en direccinx para flujo incompresible estacionario se obtiene:

ux ux div(grad ux) = dP

dx

El balance de flujos de cantidad de movimiento, primer trmino de la ecuacin, enel volumen de control es nulo debido a que la velocidad es uniforme en x (ya queux slo es funcin de y, y que uy y uz son nulos).

ux (uxx

+uyy

+uzz

)= 0

Teniendo en cuenta que solo hay esfuerzo cortante debido a dux/dy, el segundotrmino de la ecuacin se puede escribir como:

(2uxx2

+2uxy2

+2uxz2

)=

2uxy2

Por lo tanto la ecuacin resultante queda como:

d2uxdy2

= dPdx

De la ecuacin anterior se desprende que las fuerzas debidas a los esfuerzos viscosos,trmino de la izquierda, se cancelan con las fuerzas de friccin debidas al gradientede presin.

Integrando dos veces la ecuacin anterior se obtiene:

duxdy

=dP

dx y + C1 ux = dP

dx y

2

2+ C1 y + C2

Aplicando las condiciones de contorno:

y = 0 ux = 0y = b ux = up

31


Se pueden obtener los valores de las constantes de integracin.

C2 = 0 y C1 =1

b( up dP

dx b

2

2

)

Reemplazando los valores de las constantes se obtiene una expresin del campo develocidades ux(y):

ux =dP

dx y

2

2 +y

b(up dP

dx b

2

2 )

Normalizando la ecuacin respecto a la velocidad up y operando convenientementese obtiene:

uxup

=dP

dx y

2

2 up +y

b yb dPdx b

2

2 up

uxup

=y

b b

2

2 up dP

dx(y

b y

2

b2

)

La ecuacin anterior tiene dos trminos que afectan al campo de velocidad: elprimero (y/b) es el debido al deslizamiento entre placas (flujo de Couette) y elsegundo debido al gradiente de presin (flujo de Poiseuille).

Figura 2.2.1: Campo de de velocidades resultante. (Couette + Poiseuille)

Para este problema en particular, en el que el gradiente de presin es negativoen la direccin de la velocidad de la placa, el campo de velocidades resultante se

32


puede obtener sumando ambos trminos y se puede representar grficamente comose ve en la figura 2.2.1.

Los valores mximos y medios de la velocidad son:

Para el flujo de Couette:

umax_C = up para y = b

uC = up/2 para y = b/2

Para el flujo de Poiseuille:

umax_Po =1

8 b

2

dPdx

para y = b/2uPo =

2

3 umax se obtiene integrando

De las expresiones obtenidas se puede expresar el gradiente de presiones como:

dP

dx= 8 umax_Po 1

b2= 12 uPo 1

b2

Por tanto el gradiente de presin que hay que asegurar para mantener el flujo deaceite es lineal con la velocidad caracterstica de Poiseuille y con la viscosidad, yes inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las placas.

Reemplazando en la expresin del campo de velocidades se obtiene:

uxup

=y

b+

6 uPoup

(y

b y

2

b2

)

Cuando uPo/up 1 el flujo est dominado por el gradiente de presin dP/dx ycuando uPo/up 1 el flujo est dominado por el flujo de Couette.

Apartado 2

Para el flujo de Couette, el esfuerzo cortante es constante e independiente de y.

x_C = duxdy

= upb

33


El signo ser positivo para la placa inferior y negativo para la placa superior puestoque el cortante se opone al movimiento relativo entre placa y fluido.

El coeficiente de friccin tiene el valor de:

fc = 4 x_C

0,5 uC2= 8 up/b

(up/2)2

fc = 32 up b = 32

uC Dh

fc =32

Re

Siendo Re = uC Dh/Para el flujo de Poiseuille, el esfuerzo cortante es:

x_Po = duxdy

= b2

2 dP

dx(

1

b 2 y

b2

)

El esfuerzo cortante para y = 0 se puede escribir como:

x_Po|y=0 = b2 dPdx

= 4 umax_Po b

= 6 uPo b

Para y = b/2 el esfuerzo cortante es igual a cero y para y = b tiene el mismo valory sentido que para y = 0, tal como se muestra en la figura 2.2.2.

Figura 2.2.2: Representacin del esfuerzo cortante entre las placas.

34


El coeficiente de friccin para el flujo de Poiseuille se puede escribir como:

fPo =P

0,5 uPo2 DhL

=dP/dx

0,5 uPo2Dh

fPo =2 b

0,5 uPo2 dPdx

=4 b

uPo2 12 uPo

b2

fPo = 48 uPo b =

48

Re=

96

Re

Siendo Re = uPo b/ y Re = uPo Dh/

Apartado 3

El coeficiente de friccin total para la placa inferior se define como:

fT = 4 xT0,5 (uPo + up/2)2

Reemplazando el valor del esfuerzo cortante por la suma de los esfuerzos cortantescalculados en el apartado anterior.

fT = 4 ( up/b) + (6 uPo /b)0,5 (uPo + up/2)2

Operando se obtiene:

fT = 32 b

[0,5

uPo + up/2+

uPo(uPo + up/2)2

]

Expresin que se reduce a las obtenidas en el apartado anterior cuando solo hayflujo de Couette (uPo = 0) o de Poiseuille (up = 0).

Para la placa superior el esfuerzo cortante es:

xT = upb

+ 6 uPo b

Como se desprende de la ecuacin anterior el esfuerzo cortante se anula cuandouPo = up/6.

35


2.3 Campo de velocidades y temperatura entredos placas

La figura esquematiza dos piezas metlicas. La inferior est en reposo, mientrasque la superior desliza con una velocidad relativa up respecto de la placa inferiorsobre un fluido lubricante que tiene una densidad y una viscosidad cinemtica contantes. La distancia entre las dos placas es constante e igual a b y se estimaque el flujo es laminar. La placa inferior est una temperatura T0 y la superior auna Tp mayor que T0. Suponemos que las placas son infinitas en la direccin z yque uy = uz = 0.

Suponiendo flujo estacionario, se pide:

1. Determinar el campo de temperaturas en el fluido entre las placas.

2. Identificar un parmetro adimensional que relacione el calor generado pordisipacin viscosa con el calor debido a la diferencia de temperaturas.

3. Realizar un estudio paramtrico de la influencia de este parmetro adimen-sional. Identificar el lugar donde el fluido alcanza la temperatura mxima.

4. Plantear la ecuacin que permita calcular los flujos de calor hacia cada placa.

5. Cuantificar el problema si se supone que el lubricante tiene una viscosidad = 0,9 Pa s y una conductividad trmica k = 0,15 W/m K. Siendo elrango de velocidades entre 1 y 10 m/s y la diferencia de temperaturas entreplacas 10 a 60oC.

Nota: Considerar que el campo de velocidades es el correspondiente a un flujo deCouette (ux = up y/b) y que la funcin disipacin de la ecuacin de la energaqueda como:

= (upb

)236

2.3 Campo de velocidades y temperatura entre dos placas

Apartado 1

Se parte de la ecuacin de la energa de forma general:

Tt

+ Cp div(u T ) Cp div(grad T ) = T.F.

En condiciones estacionarias, flujo incompresible y particularizando para este pro-blema, la ecuacin anterior se reduce a:

Ty(k T

y

)= =

(upb

)2Integrando dos veces la ecuacin anterior se obtiene:

T

y=

k(upb

)2 y + C1

T (y) = k(upb

)2 y

2

2+ C1 y + C2

Aplicando las condiciones de contorno se puede hallar el valor de las constantesde integracin.

y = 0 T (0) = T0 C2 = T0y = b T (b) = Tp C1 = Tp T0

b+ up22 k b

Reemplazando el valor de las constantes en la ecuacin se puede obtener el campode temperaturas.

T (y) = k(upb

)2 y2 +

(Tp T0

b+ up22 k b

) y + T0

Operando convenientemente se obtiene:

T (y) T0 =(y

b y

2

b2

) up

2

2 k + (Tp T0) y

b

La ecuacin obtenida para el campo de temperatura est formada por dos tr-minos: el primero es una funcin parablica debida a un trmino fuente interno

37


(causado por la disipacin viscosa) y el segundo la solucin lineal a un problemade conduccin (ley de Fourier).

La ecuacin del campo de temperatura se puede expresar en forma adimensionalcomo:

(y) =T (y) T0Tp T0 =

1

2(y

b y

2

b2

) up

2

k (Tp T0) +y

b

Grficamente, la ecuacin del campo de temperatura, denominando A al trminocuadrtico y B al trmino lineal, se puede representar como se muestra en la figura2.3.1

Figura 2.3.1: Campo de temperatura (y).

Apartado 2

En la ecuacin anterior aparece el siguiente parmetro adimensional:

up2k (Tp T0)

El cual tambin se puede expresar como:

(up/b) up(k/b) (Tp T0) =

up(k/b) (Tp T0)

38


Dicho parmetro representa la relacin que existe entre el calor generado por ladisipacin viscosa producida por el rozamiento entre fluido que se mueve a dife-rentes velocidades y el calor debido a la conduccin trmica entre las dos paredesa diferente temperaturas. Dicha relacin adimensional se conoce como nmero deBrinkman.

Br = up2

k (Tp T0)

Apartado 3

Teniendo en cuenta la definicin del nmero de Brinkman, la ecuacin adimensionaldel campo de temperatura se puede escribir como:

(y) =T (y) T0Tp T0 =

1

2(y

b y

2

b2

) Br + y

b

En la figura siguiente se ha representado como vara el perfil de temperatura paradiferentes valores del nmero de Brinkman, partiendo de Br = 0 que es el casodonde la distribucin de temperatura corresponde a la distribucin que se obtienepara un problema de conduccin unidimensional entre dos placas a distinta tempe-ratura (solucin lineal). A media que el nmero de Brinkman aumenta, el trminocuadrtico de la distribucin de temperatura comienza a cobrar ms importanciahaciendo que la temperatura mxima que alcanza el fluido supere a la de la pared yhaciendo que el lugar donde esta temperatura mxima se alcance sea ms prximaa una distancia b/2 (ver figura 2.3.2).

Para encontrar formalmente el punto donde la temperatura alcanza su mximo sedebe derivar la ecuacin del campo de temperatura e igualarla a cero.

T (y) =

(y

b y

2

b2

) up

2

2 k + (Tp T0) y

b+ T0

dT (y)

dy= 0 =

(1

b 2 y

b2

) up

2

2 k + (Tp T0) 1

b

Resolviendo la ecuacin para hallar el valor de y que hace mxima la temperaturase obtiene:

ymax = b (k (Tp T0) up2 +

1

2

)39


Figura 2.3.2: Perfiles de temperatura (y) considerando distintos valores del nmero deBrinkman.

ymax = b (

1

Br+

1

2

)

De la ecuacin anterior se puede concluir que para Br > 2 la temperatura mximase alcanza entre las placas y cada vez ms prximo a b/2 a medida que el nmerode Brinkman aumenta (tal como se observa en la figura anterior). Para Br 2la temperatura mxima se alcanza en y = b, es decir, en la superficie de la placasuperior.

Apartado 4

Conocido el campo de temperaturas se pueden determinar los flujos de calor porunidad de rea intercambiados por el fluido con cada placa aplicando la ley deFourier de la conduccin.

Para la placa inferior (1):

qp1 = k dTdy

y=0

= up2

2 b k

b (Tp T0)

40


Para la placa superior (2):

qp2 = k dTdy

y=b

= up2

2 b k

b (Tp T0)

Apartado 5

Particularizando ahora el problema para un fluido lubricante con las siguientespropiedades: = 0,9 Pa s y k = 0,15 W/m K y reemplazando valores en ladefinicin del nmero de Brinkman se obtiene:

Br = up2

k (Tp T0) =0,9

0,15 up

2

(Tp T0) = 6 up

2

T

Si ahora suponemos los rangos de velocidades y temperaturas propuestos en elenunciado y se analizan los casos extremos se obtiene:

Para up = 1 m/s y T = 60oC, el nmero de Brinkman es Br = 0,1

Para up = 10 m/s y T = 10oC, el nmero de Brinkman es Br = 60

Esto indica que para nmeros de Brinkman bajos el flujo de calor est dominadopor T y para nmeros de Brinkman altos el flujo de calor est dominado por elcalor generado por disipacin viscosa.

41


2.4 Campo de velocidades y de temperaturasentre dos placas con gradiente de presin

La figura esquematiza dos piezas metlicas. La inferior est en reposo mientras quela superior desliza con una velocidad relativa up respecto de la placa inferior sobreun fluido lubricante que tiene una densidad , una viscosidad cinemtica , unaconductividad trmica k y un calor especfico Cp contantes. La placa superior esta una temperatura Tp y la inferior a una temperatura T0 de tal forma que Tp > T0.La distancia entre las dos placas es constante e igual a b y se estima que el flujo eslaminar. El fluido lubricante est sometido a rgimen de lubricacin forzada de talforma que existe un gradiente de presin constante en la direccin x (dP/dx < 0).Se supone que las placas son infinitas en la direccin z y que uy = uz = 0.


1. Obtener la funcin disipacin , sabiendo que el campo de velocidades es elcalculado en el problema 1.7.

2. Obtener el campo de temperatura T (y) en la pelcula de aceite. Se puedesuponer que dT/dx = dT/dz = 0.

a) Suponiendo uPo = 0 (flujo dominado por Couette)

b) Suponiendo que 6 uPo/up 1 (flujo dominado por Poiseuille)3. Identificar el nmero de Brinkman para los dos casos anteriores.

4. Determinar una expresin del flujo de calor intercambiado entre ambas placasy el aceite.

5. Determinar la condicin para que no exista intercambio de calor entre laplaca superior y el aceite.

6. Determinar el valor de la temperatura media Tm del lubricante cuando do-mina el flujo de Poiseuille.

42

2.4 Campo de velocidades y de temperaturas entre dos placas con gradiente de presin

7. Para el mismo caso anterior determinar el coeficiente de pelcula y el nmerode Nusselt entre el aceite y la placa superior, definido como: qp = h(TmTp)

Apartado 1

La funcin disipacin calcula la cantidad de calor por unidad de tiempo y devolumen que se genera por friccin viscosa.

= 2 [(

uxx

)2+

(uyy

)2+

(uzz

)2]+

+ [(

uxy

+uyx

)2+

(uyz

+uzy

)2+

(uzx

+uxz

)2]

Particularizando a nuestro problema, uy = uz = 0 y la velocidad ux = ux(y), porlo tanto, la funcin disipacin se reduce a:

= (uxy

)2El campo de velocidades es el que se obtuvo en el problema 1.7.

uxup

=y

b+

6 uPoup

(y

b y

2

b2

)

Derivando la expresin anterior se obtiene:

duxdy

= up [

1

b+

6 uPoup

(

1

b 2 y

b2

)]

Por lo tanto la funcin disipacin es:

= up2b2

[1 +

6 uPoup

(

1 2 yb

)]2

Como caso particular de la funcin disipacin se puede decir que:

Cuando uPo 0, es decir, flujo dominado por un flujo de Couette:

= up2b2

43


Cuando 6 uPo/up 1, es decir, flujo dominado por un flujo de Poiseuille:

= 36 uPo2

b2(

1 2 yb

)2

Apartado 2

Para determinar el campo de temperaturas en la pelcula de aceite, planteamos laecuacin de la energa en forma diferencial. La ecuacin se puede plantear de formasimplificada puesto que no hay trmino no estacionario, no hay ningn trminoconvectivo, solo hay difusin trmica en la direccin y, no hay calor generadointernamente por reacciones qumicas. Por lo tanto:

Cp div ( grad T ) = k 2T (y)

y2=

Integrando dos veces la ecuacin anterior.

k T (y)y

=

dy + C1

k T (y) = (

dy) dy + C1 y + C2

Imponiendo las condiciones de contorno se puede obtener el valor de las constantesde integracin:

y = 0 T (0) = T0 C2 = k T0y = b T (b) = Tp C1 = k (Tp T0)

b+

1

b

|y=b

Reemplazando valores se obtiene:

k T (y) =

+y k (Tp T0)

b+y

b

|y=b + k T0

T (y) = T0 +y (Tp T0)

b+

y

b k

|y=b 1k

44


Adimensionalizando la ecuacin anterior se obtiene el campo de temperatura adi-mensional para el caso general.

(y) =T (y) T0Tp T0 =

y

b+

1

k (Tp T0) [y

b

|y=b

]

En la ecuacin obtenida se observan dos contribuciones al campo de temperaturas,la primera y/b, es un trmino lineal debido a la diferencia de temperaturas entrelas placas y, el segundo, debido al calor generado por la disipacin viscosa.

a) Para el caso en que el fluido est dominado por Couette, uPo = 0 donde lafuncin disipacin tiene el valor de:

= up2b2

Se puede obtener: =

up2b2

y2

2+ C1 y + C2

|y=b = up

2

2+ C1 b+ C2

Reemplazando en la ecuacin del campo de temperatura y operando conve-nientemente se obtiene:

(y) =y

b+

1

k (Tp T0) ( up2 y

2 b +y

b C2 up

2 y22 b2 C2

)

Como puede observarse la constante C1 ha desaparecido de la ecuacin lo quesignifica que cualquier valor de C1 satisface la misma, en particular C1 = 0.Aplicando las siguientes condiciones de contorno:

y = 0 (0) = 0 T (0) = T0y = b (b) = 1 T (b) = Tp

Se obtiene que C2 = 0, quedando finalmente:

(y) =y

b+

1

2 up

2

k (Tp T0) (y

b y

2

b2

)45


El campo de temperaturas est formado por dos trminos, el primero, debidoa la diferencia de temperaturas entre las placas y el segundo debido a ladisipacin viscosa constante en y.

b) Para el caso en que el fluido est dominado por Poiseuille, 6 uPo/up 1donde la funcin disipacin tiene el valor de:

= 36 uPo2

b2(

1 2 yb

)2Integrando dos veces la funcin disipacin, en la ecuacin del campo de tem-peraturas y aplicando las mismas condiciones de contorno que en el apartado2a), se llega a:

(y) =y

b+ 36 uPo

2

k (Tp T0)

[

1

2(y

b y

2

b2

) 2

3(y

b y

3

b3

)+

1

3(y

b y

4

b4

)]

Que es la ecuacin del campo de temperaturas cuando el flujo est dominadopor un flujo de Poiseuille y est formado por dos trminos al igual que enel caso anterior, el primero, debido a la diferencia de temperaturas entre lasplacas y el segundo debido a la disipacin viscosa, slo que en este caso escuadrtica en y.

La ecuacin general del campo de temperaturas cuando se consideran la disipacinviscosa debida al flujo de Couette y de Poiseuille de forma conjunta se puedeescribir como:

(y) =y

b+

up2k (Tp T0)

[

(1 +A)2

2(y

b y

2

b2

) 2

3 (A+A2)

(y

b y

3

b3

)+A2

3(y

b y

4

b4

)]

Siendo: A = 6 uPo/upLa ecuacin general se puede reducir a las ecuaciones obtenidas en el apartado 2a)y 2b) cuando:

Flujo de Couette: A 0.Flujo de Poiseuille: A2 A 1.

46


Apartado 3

El nmero de Brinkman aparece en las ecuaciones obtenidas en el apartado 2a) y2b) definido de forma diferente en funcin de cul es la velocidad predominanteen el flujo.

Para el flujo dominado por Couette el nmero de Brinkman est definido como:

Br = up2

k (Tp T0)

Para el flujo dominado por Poiseuille el nmero de Brinkman est definido como:

Br = uPo2

k (Tp T0)

Al nmero de Brinkman definido respecto a la velocidad medida del flujo de Poi-seuille (uPo), lo identificaremos con el smbolo Br para diferenciarlo del definidorespecto a la velocidad de la placa (up).

Apartado 4

Para determinar el flujo de calor intercambiado por el fluido lubricante con lasparedes se plantea la ecuacin de Fourier particularizada para y = 0 e y = b.

q0 = k dT (y)dy

y=0

y qp = k dT (y)dy

y=b

Derivando el campo de temperaturas obtenido en el apartado 2.

T (y) T0Tp T0 =

y

b+ Br

[

(1 +A)2

2(y

b y

2

b2

) 2

3 (A+A2)

(y

b y

3

b3

)+A2

3(y

b y

4

b4

)]

dT (y)

dy=Tp T0

b+

Br (Tp T0)b

[

(1 +A)2

2(

1 2 yb

) 2

3 (A+A2)

(1 3 y

2

b2

)+A2

3(

1 4 y3

b3

)]

47


Para y = 0

dT (y)

dy

y=0

=Tp T0

b+

Br (Tp T0)b

[

(1 +A)2

2 2

3 (A+A2) + A

2

3

]

Para y = b

dT (y)

dy

y=b

=Tp T0

b+

Br (Tp T0)b

[ (1 +A)

2

2+

4

3 (A+A2)A2

]

Reemplazando el valor de las derivadas y operando se obtiene:

q0 = k Tp T0b

[1 + Br

((1 +A)2

2 2

3 (A+A2) + A

2

3)]

qp = k Tp T0b

[1 + Br

( (1 +A)

2

2+

4

3 (A+A2)A2

)]

De las ecuaciones para el flujo de calor entre las paredes y el fluido se desprendeun caso particular cuando el nmero de Brinkman es igual a cero (up = 0), en estecaso los flujo de calor son iguales.

q0 = qp = k Tp T0b

Apartado 5

Para que no exista intercambio de calor entre la placa superior y el aceite, el flujotrmico debido a (Tp T0) se debe cancelar con el debido a la disipacin viscosa.

qp = k Tp T0b

[1 + Br

( (1 +A)

2

2+

4

3 (A+A2)A2

)]= 0

Para que esto suceda el nmero de Brinkman debe valer:

Br =1(

(1 +A)2

2 4

3 (A+A2) +A2

)

48


Para el flujo dominado por Couette: A 0 Br = 2Para el flujo dominado por Poiseuille: A2 A 1 Br = 6/A2

Cuando Br > 2 (Br > 1/6) el flujo trmico es hacia la pared y cuando Br < 2(Br < 1/6) el flujo trmico es hacia el aceite.

En las figura 2.4.1 a) y b) se puede ver, para ambos casos analizados, la distribucinde temperatura en funcin del nmero de Brinkman.

(a)

(b)

Figura 2.4.1: a) Campo de temperatura cuando domina flujo de Couette. b) Campo detemperatura cuando domina flujo de Poiseuille.

49


Apartado 6

La temperatura media de la pelcula de aceite se define como:

Tm =1

b b

0

T (y) dy

Operando, la ecuacin del campo de temperaturas obtenida en el apartado 2b) sepuede expresar como:

(y) =y

b+ 36 uPo

2

k (Tp T0) [

1

6 yb 1

2 y

2

b2+

2

3 y

3

b3 1

3 y

4

b4

]

Despejando el valor de T (y) de la temperatura adimensional se obtiene:

T (y) = T0 + (Tp T0) yb

+ 36 uPo2

k[

1

6 yb 1

2 y

2

b2+

2

3 y

3

b3 1

3 y

4

b4

]

Reemplazando esta ecuacin en la definicin de la Tm e integrando se obtiene:

Tm = T0 +1

2 (Tp T0) + 3

5 uPo2

Operando convenientemente se puede obtener la expresin en funcin del nmerode Brinkman.

Tm = T0 + (Tp T0) (

1

2+ Br 3

5

)

Tambin se puede expresar hallar la temperatura media adimensional.

m =Tm T0Tp T0 =

1

2+ Br 3

5

50


Apartado 7

Para determinar el coeficiente de pelcula se debe igualar el flujo de calor en lapared superior definido en el enunciado:

qp = h (Tm Tp) = h (Tp Tm)

con el flujo de calor calculado en el apartado 4:

qp = k Tp T0b

[1 + Br

( (1 +A)

2

2+

4

3 (A+A2)A2

)]

Caracterizando el flujo de calor obtenido en el apartado 4 para A 1, se obtiene:

qp = k Tp T0b

(

1 16 Br A2

)

Reemplazando el valor de A = 6 uPo/up y teniendo en cuenta la relacin existenteentre Br y Br, se obtiene:

qp = k Tp T0b

(1 6 Br)Igualando finalmente los flujos de calor, se obtiene:

qp = h (Tp Tm) = k Tp T0b

(1 6 Br)Despejando de la ecuacin anterior el coeficiente de pelcula h.

h =k

b (Tp T0)

(Tp Tm) (1 6 Br)

Reemplazando el valor de Tm obtenido en el apartado 6.

h =k

b (Tp T0)

Tp T0 + (Tp T0) (

1

2+ Br 3

5

) (1 6 Br)

51


Operando se puede llegar a la siguiente expresin de h:

h = 2 kb

1 6 Br1 6

5 Br

El nmero de Nusselt es:

Nu =h bk

= 2

1 6 Br1 6

5 Br

De acuerdo al resultado obtenido se puede hacer el siguiente anlisis:

Para Br = 0 Nu = 2, esto indica que todo el calor trasmitido es porconduccin debido al salto trmico entre las placas.

Para Br = Nu = 10, esto indica que todo el calor trasmitido es porconduccin debido a la disipacin viscosa.

Para Br = 1/6 Nu = 0, esto indica que no hay flujo de calor.Para Br = 5/6, hay una aparente singularidad pero en realidad Tm = Tp,por tanto no puede haber flujo trmico entre la pared y el aceite.

52

Captulo 3

Transferencia de calor: Conduccin- conveccin

3.1 Ventana de una aeronave


Una ventana de una aeronave tiene un espesor de 8 mm y 0,4 m de alto por 0,3 mde ancho con una conductividad trmica de kv = 0,78 W/m K. La temperaturainterior del aire de la aeronave se mantiene constante e igual a Ti = 20C, mien-tras que la temperatura exterior es T2 = 10C. Los coeficientes de pelcula detransmisin de calor por conveccin entre la cara interior y exterior del vidrio y elaire son hi = 10 W/m2 K y he = 40 W/m2 K, respectivamente.Se pide:

1. Determinar la resistencia trmica total a travs de la ventana (R1) entre elinterior del avin y el exterior.

2. Determinar el flujo de calor hacia el exterior (q1).

3. Determinar la temperatura interior (T11) y exterior (T12) de la ventana.

Consideramos ahora la posibilidad de utilizar una ventana formada por dos capasde 4 mm cada una separadas por una cmara de aire en reposo con un espesor deLai = 10 mm. La conductividad del aire es de kai = 0,026 W/m K.

4. Determinar la nueva resistencia trmica total entre el interior del avin y elexterior (R2).

5. Determinar el flujo de calor hacia el exterior en estas condiciones (q2). Com-parar este resultado con el resultado obtenido en el apartado 2.

6. Determinar la temperatura de las dos caras de ambas capas (numerar deinterior a exterior T21, T22, T23, T24).

7. Comparar la temperatura de la cara interior de la capa interior (T21) con laobtenida en el apartado 3, (T11). Qu ventajas tiene la doble capa respectode la capa simple?

8. Estimar el cociente entre calores intercambiados por radiacin entre un cuer-po a una temperatura de 37C y las ventanas a T11 y T21.

Consideramos ahora el caso de ventana de doble capa pero sin la hiptesis restric-tiva de aire en reposo entre las dos capas de vidrio. La viscosidad cinemtica delaire es de = 1,4 105 m2/s y el nmero de Prandtl es Pr = 0,713.

9. Determinar el nmero de Nusselt del proceso de conveccin libre entre lasdos capas, si utilizamos la correlacin experimental:

Nu = 0,42 Ra1/4 Pr0,012 (H/L)0,355

Captulo 3. Transferencia de calor: Conduccin - conveccin

Siendo Ra el nmero de Rayleigh,H la dimensin caracterstica de la ventanay L la separacin entre placas.

10. Determinar el flujo de calor (q3) hacia el exterior si suponemos que se man-tienen constantes las temperaturas de las caras internas y externas de laventana determinadas en el apartado 6. Comparar el resultado con el obte-nido en el apartado 5 y justificar su relacin.

Apartado 1

El esquema elctrico equivalente para esta parte del problema se puede representarcomo:

La resistencia total es una la suma de las resistencia por conveccin exterior einterior ms la resistencia por conduccin a travs del vidrio.

R1 = Ri +Rv +Re =1

hi A +Lv

kv A +1

he A

R1 =1

10 (0,4 0,3) +0,008

0,78 (0,4 0,3) +1

40 (0,4 0,3) = 1,127 K/W

Apartado 2

El flujo de calor hacia el exterior es proporcional al salto de temperatura e inver-samente proporcional a la resistencia trmica.

q1 =Ti TeR1

=(20 (10))

1,127= 26,61 W

56


Apartado 3

Para hallar las temperaturas de la pared del vidrio interior T11 y exterior T12, seplantean la misma ecuacin del apartado 2, pero aplicadas de forma parcial a cadauna de los extremos del circuito elctrico equivalente.

q1 =Ti T11Ri

T11 = Ti (q1 Ri)

q1 =T12 TeRe

T12 = Te + (q1 Re)

Reemplazando valores, se obtienen las temperaturas correspondientes

T11 = 20(

26,61 110 0,12

)= 2,18oC

T12 = 10 +(

26,61 140 0,12

)= 4,46oC

Apartado 4

En el nuevo esquema elctrico equivalente se tiene que tener en cuenta las resis-tencia por conduccin del aire y la de los dos vidrios, adems de las de conveccininterior y exterior como en el apartado 1.

R2 = Ri + 2 Rv +Rai +Re = 1hi A + 2

Lvkv A +

Laikai A +

1

he A

R2 =1

10 0,12 + 2 0,004

0,78 0,12 +0,01

0,026 0,12 +1

40 0,12 = 4,332 K/W

57


Apartado 5

De igual forma que en el apartado 2, se puede calcular el flujo de calor hacia elexterior como:

q2 =Ti TeR2

=(20 (10))

4,332= 6,92 W

Como puede el flujo de calor es del orden de la cuarta parte que el calculado en elapartado 2.

Apartado 6

De igual forma que en el apartado 3, pero basndonos en el nuevo esquema elctricose pueden calcular las temperaturas intermedias de las dos paredes de vidrio.

Primero se calculan las temperaturas de la pared izquierda:

q2 =Ti T21R21

T21 = Ti (q2 Ri)

T21 = 20(

6,92 110 0,12

)= 14,23oC

q2 =T21 T22R22

T22 = T21 + (q2 R22)

T22 = 14,2(

6,92 0,0040,78 0,12

)= 13,93oC

Ahora se calculan las temperaturas de la pared derecha:

q2 =T24 TeRe

T24 = Te + (q2 Re)

T24 = 10 +(

6,92 140 0,12

)= 8,55oC

q2 =T23 T24

Rv T23 = T24 + (q2 Rv)

58


T23 = 8,55 +(

6,92 0,0040,78 0,12

)= 8,26oC

Apartado 7

Existe una diferencia de temperaturas de 16,4C (2,18C y 14,2C) entre las dosconfiguraciones.

Entre las ventajas, la doble capa es ms eficiente, pues con la misma cantidadde vidrio (mismo peso transportado en la aeronave) se consigue una mejor cli-matizacin. Adems como la temperatura es ms alta el calor intercambiado porradiacin entre una persona y la ventana es ms bajo, como se demostrar en elapartado siguiente.

Apartado 8

El calor intercambiado por radiacin entre dos cuerpos (uno gris y otro negro) sepuede calcular como:

qrad = A (Tc4 Tv4)

Haciendo el cociente entre los dos casos analizados se obtiene:

qrad,11qrad,21

= A (Tc4 T114) A (Tc4 T214)

qrad,11qrad,21

=3104 270,843104 287,24 = 1,58

El calor intercambiado por radiacin es un 58 % ms alto en el primer caso.

Apartado 9

Se considera ahora el caso de ventana de doble capa pero sin la hiptesis restrictivade aire en reposo entre las dos capas de vidrio. La viscosidad cinemtica del airees de ai = 1,4 105 m2/s y el nmero de Prandtl es Pr = 0,713.Para el clculo del nmero de Nusselt se emplea la siguiente correlacin:

Nu = 0,42 Ra1/4 Pr0,012 (H/L)0,359


Nota: En los procesos de conveccin libre para cavidades rectangulares, el coefi-ciente de pelcula se define como: Flujo de calor intercambiado por unidad desuperficie, dividido por el salto de temperaturas entre caras internas de la cavi-dad. Por coherencia con esta definicin, el salto de temperaturas a considerar paralos nmeros de Grashof y Rayleigh es tambin el correspondiente a la diferenciade las temperaturas entre caras. El coeficiente de expansin trmica , a su vez,se calcula para una temperatura, que es la media aritmtica de las temperatu-ras de las caras. La dimensin caracterstica en todos los nmeros adimensionalesinvolucrados es la separacin entre capas.

Para calcular el nmero de Rayleigh primero se debe determinar el nmero deGrashof de acuerdo con la siguiente ecuacin:

Gr = g (T22 T23) Lai3

ai2

Donde se define con la temperatura media

Tm =T22 + T23

2=

13,93 + (8,26)2

= 2,84oC Tm = 275,84 K

=1

Tm=

1

275,84= 3,62 103

Reemplazando valores en la definicin del nmero de Grashof:

Gr =3,62 103 9,8 (13,93 (8,26)) 0,0013

1,4 1052 = 4023,19

El nmero de Rayleigh se calcula como:

Ra = Gr Pr = 4023,19 0,713 = 2868,5

Finalmente el nmero de Nusselt es:

Nu = 0,42 2868,51/4 0,7130,012 (0,4/0,01)0,3 = 1,01 1

El coeficiente de pelcula se puede calcular como:

h =Nu kaiLai

=1 0,026

0,01= 2,6 W/m2 K

60


Apartado 10

El flujo de calor entre las dos paredes de vidrio se puede calcular como:

q3 = h A (T22 T23) = 2,6 0,12 (13,93 (8,26)) = 6,92 W

El resultado obtenido en este apartado es idntico al obtenido en el apartado 6.

Que el nmero de Nusselt sea igual a 1 implica que todo el fenmeno de transmisinde calor es por conduccin tanto a travs de las capas de vidrio como a travs dela del aire.

61


3.2 Depsito de oxgeno lquido

Consideremos un depsito esfrico de oxgeno lquido que tiene un radio rd, estfabricado en acero inoxidable y est alojado en un compartimiento de un transbor-dador espacial que est a T = cte. El contenido del depsito se mantiene a unatemperatura (T0 = cte) a base de perder oxgeno evaporado, con un calor latentede evaporacin (hfox), a travs de una vlvula que regula el depsito a p = cte.Para reducir las prdidas de oxgeno (mox) se recubre el depsito con un materialaislante de conductividad (ka), espesor (ea) y densidad (a).

Se pide:

1. Dibujar un esquema simplificado con las resistencias trmicas consideradas.Determinar la resistencia trmica equivalente Req. Suponemos que la resis-tencia trmica (Rd) de la pared de acero inoxidable es despreciable frente ala resistencia trmica (Ra) del aislante.

2. Hallar una expresin para el flujo de calor aportado al depsito de oxgenoconsiderando que rd ea.

3. Establecer una relacin general entre la masa de oxgeno evaporada por uni-dad de tiempo y el espesor del aislante. Obtener una expresin simplificadacuando h ka/ea.

4. Establecer una relacin entre el peso del aislante y la masa de oxgeno eva-porada.

5. Determinar el espesor de aislante (ea) necesario si:

T = 240 K T0 = 90 K rd = 0,5 mhfox = 210 kJ/kg mox = 0,042 kg/ha = 30 kg/m

3 ka = 1,5 104 W/m K6. Se plantea una solucin alternativa con material aislante cuya conductividad

trmica es kb = 1,5 105 W/m K y su densidad es b = 120 kg/m3.Determinar el espesor de aislante necesario (eb) y el peso del aislante.

7. Considerando la solucin obtenida en los apartados 5 y 6 comprobar quesi el espesor del depsito (ed) de acero inoxidable AISI304 es de 1 cm y suconductividad trmica es kd = 9 W/m K, la resistencia trmica de la pareddel depsito es efectivamente, despreciable frente a la del aislante.

8. Considerando la solucin obtenida en los apartados 5 y 6, suponiendo que elcoeficiente de pelcula (h) entre la esfera y el entorno es de 20 W/m2 K,determinar el nmero de Biot y comprobar que la hiptesis realizada en elapartado 1 de despreciar la resistencia trmica de la conveccin es razonable.

62


Apartado 1

El flujo de calor entre T y T0 tiene que atravesar una serie de resistencias trmicas.Una resistencia por conveccin Rh entre el exterior y la capa de aislante, unaresistencia por conduccin del aislante Ra, una resistencia por conduccin delmaterial del deposito Rd y finalmente una resistencia por conveccin entre la paredinterna del deposito y el oxigeno Rh0.

El Esquema de resistencias considerado est representado en la figura 3.2.1.

Figura 3.2.1: Esquema del depsito de oxgeno y disposicin de las resistencias.

La resistencia trmica equivalente (Req) es la suma de todas las resistencias con-sideradas.

Req = Rh +Ra +Rd +Rh0

Dado que el contenido del depsito se mantiene a T0 = cte y no tenemos informa-cin acerca del coeficiente de pelcula interior, suponemos que la temperatura dela pared del depsito es igual a T0 por tanto Rh0 0, puesto que adems Rd 0,el valor de la Req ser:

Req = Rh +Ra

Apartado 2

El calor aportado al depsito de oxgeno por unidad de tiempo se puede expresarcomo:

q =T

Req=

T T0Rh +Ra

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Donde las resistencias Rh y Ra, se puede expresar como:

Ra =1

4 pi ka [

1

rd 1

(rd + ea)

]

Rh =1

4 pi h (rd + ea)2

Siendo rd ea las expresiones de Rh y Ra quedan como:

Ra =ea

4 pi ka r2d

Rh =1

4 pi h rd2

Reemplazando los valores de Rh y Ra en la expresin del flujo de calor queda:

q = 4 pi rd2 T T0ea/ka + 1/h

Apartado 3

De acuerdo al enunciado para mantener la temperatura constante del depsitose evapora una cierta masa de oxgeno. Por tanto esta masa de oxgeno debe serproporcional el flujo de calor que entra al depsito.

q = mox hfox

Siendo hfox el calor latente de evaporacin del oxgeno. Igualando esta expresincon la hallada en el apartado anterior se obtiene:

mox = 4 pi rd2 T T0hfox

1ea/ka + 1/h

Considerando que el trmino 1/h es mucho menor que ea/ka, la expresin parael gasto msico de oxgeno queda como:


kaea

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Por tanto existe una relacin de tipo hiperblico entre la masa de oxgeno eva-porada y el espesor del aislante tal como se muestra (de forma cualitativa) en lafigura 3.2.2.

Figura 3.2.2: Relacin entre la masa de oxgeno evaporada (mox) y el espesor del aislanteea.

El parmetro A tiene en cuenta las dimensiones del depsito, las temperaturas detrabajo y el material utilizado como aislante.

Apartado 4

El peso del volumen de aislante que es necesario aadir ser:

Pa = 4 pi rd2 ea a g

Lo que indica que si el tamao del depsito y el material a utilizar estn definidos,el peso del aislante solo crece linealmente con el espesor de ste.

Sin embargo, otra forma de ver el problema es analizando como vara el pesodel aislante en funcin de la masa de oxgeno evaporada, para ello se parte de laecuacin obtenida en el apartado anterior.


kaea eaea

4 pi rd2 ea = mox ea2 hfoxka (T T0)

Reemplazando en la expresin del peso del aislante se obtiene:

Pa = mox ea2 hfoxka (T T0) a g

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El peso del aislante crece linealmente con la masa de oxgeno evaporada y de formacuadrtica con el espesor del aislante.

Apartado 5

Despejando el espesor de aislante de la ecuacin de la masa de oxgeno evaporaday reemplazando valores se obtiene:

ea = 4 pi rd2 ka (T T0)hfox

1mox

ea = 4 pi 0,52 1,5 104 (240 90)0,210

11

= 0,02908 m

ea = 29,08 mm

El peso del aislante es:

Pa = 4 pi rd2 ea a g = 4 pi 0,52 0,029 30 g

Pa = g 2,74 N

Apartado 6

Para el nuevo aislante se repiten los clculos realizados en el apartado anterior,obteniendo como resultado:

eb = 2,908 mm y Pb = g 1,09 N

Como puede verse el espesor de aislante se ha reducido un orden de magnituddebido a la a la menor conductividad trmica del aislante, sin embargo el pesoslo se ha reducido a la mitad debido a la mayor densidad del aislante.

La relacin de pesos de aislante para una misma masa de oxgeno evaporada es:

PaPb

=eaeb ab

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Apartado 7

La resistencia trmica de una corteza esfrica tiene por expresin general:

R =1

4 pi k r2 r1r2 r1

Particularizando este expresin para este problema:

Para el acero inoxidable: ed rd

Rd =1

4 pi kd rd (rd ed)rd (rd ed) Rd =

1

4 pi kd edrd2

Para el aislante b: eb rd

Rb =1

4 pi kb (rd + eb) rd(rd + eb) rd Rd =

1

4 pi kb ebrd2

Haciendo el cociente entre ambas resistencias trmicas.

RbRd

=kdkb ebed

RbRd

=9

1,5 105 2,908

10= 1,75 105

Con lo que se demuestra que Rd Rb por lo que la hiptesis supuesta en elapartado 1 es correcta.

Apartado 8

Para verificar que la hiptesis de despreciar la resistencia por conveccin es razo-nable se hace el cociente entre ellas.

Rb =1

4 pi kb ebre2

Rh =1

4 pi h 1

re2

RbRh

=ebkb h = Bi

Siendo Bi el nmero de Biot que relaciona las resistencias trmicas en problemasde conveccin - conduccin.

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Para los datos del problema se obtiene:

Bi =RbRh

=2,908 1031,5 105 20 = 3,9 10

3

Efectivamente para los datos del problema la resistencia trmica del aislante estres ordenes de magnitud superior a la de conveccin. En definitiva, la resistenciatrmica que controla el proceso es debida al aislante y tanto la pared del depsitocomo la conveccin fluido exterior/aislante son despreciables. Todo el salto detemperatura ocurre en el aislante.

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3.3 Radio crtico

3.3 Radio crtico

Una tubera de cobre de espesor despreciable frente al radio ri se emplea paratransportar un fluido refrigerante a temperatura Ti. La temperatura de la paredexterna T (r) es igual a Ti cuando no existe aislante trmico alrededor de la tubera.

La tubera se encuentra inmersa en un flujo de un fluido con una temperaturaT > Ti y se supone que el coeficiente de conveccin es conocido y tiene valor h.

Suponiendo condiciones estacionarios y flujo de calor unidimensional en sentidoradial, se pide:

1. Determinar de forma general si existe un ptimo en el espesor de una posiblecapa aislante concntrica con la tubera.

2. Particularizar la solucin para los valores siguientes: k = 0,055 W/m K,h = 5 W/m2 K y ri = 5 m

Apartado 1

La resistencia al intercambio de calor entre el refrigerante y el aire est controladapor conduccin a travs del aislante y conveccin entre la superficie externa delaislante y el aire.

La resistencia trmica total (RTOT ) por unidad de longitud axial de la tubera sepuede expresar como la suma de estas dos resistencias.

RTOT =ln (r/ri)

2 pi k +1

2 pi r h

Se observa que el primer trmino crece con el radio (r) mientras que el segundodisminuye.

El flujo de calor por unidad de longitud axial se calcula como:

q

L=T TiRTOT

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Un espesor ptimo de aislante debe estar asociado con un valor de r que minimiceel flujo de calor o maximice la resistencia total.

Para que esta condicin exista, en primer lugar la funcin RTOT debe tener unatangente horizontal, es decir su derivada primera debe ser nula.

dRTOTdr

= 0 12 pi k r

1

2 pi r2 h = 0

Esta condicin se satisface para r = k/h, es decir no depende del radio de latubera ri.

En segundo lugar, para determinar si este valor es un mximo o un mnimo de lafuncin es necesario determinar la segunda derivada de la funcin RTOT .

d2RTOTdr2

= 12 pi k r2 +

1

pi r3 h = 0

Particularizando la segunda derivada para: r = k/h

d2RTOTdr2

=1

pi (k/h)2 (

1

k 1

2 k)

d2RTOTdr2

=1

2 pi k3/h2 > 0

Como el valor de la segunda derivada es siempre mayor que cero significa quepara r = (k/h) la resistencia tiene un mnimo, por lo tanto el flujo de calor sermximo, por lo que se concluye que en realidad no existe un ptimo, en realidadexiste un psimo.

Cuando r = k/h el radio puede considerarse m

transferencia de masa y energía ejercicios resueltos

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