traitement du signal s5 - convolution et filtragechoqueuse/pdfs/signal/s5_c4.pdf · 2020. 1....
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Traitement du Signal S5Convolution et Filtrage
V. Choqueuse
Département Electronique, ENIB
Gitlab: https://git.enib.fr/choqueuse/s5_signal/issues
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https://git.enib.fr/choqueuse/s5_signal/issues
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Table des matières
Introduction
Systèmes continus LTIDéfinitionExercice
Produit de ConvolutionPropriétés
Exercice
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IntroductionProblématique
Systèmee(t) s(t)
Ï S4 Electronique : Cours sur les systèmes LTIs décrit par uneéquation différentielle à coefficients constants.
Ï Problème :Ï Dans le contexte générale des systèmes LTIs, comment s’exprime la
sortie s(t) en fonction du signal d’entrée e(t) et des"caractéristiques" du système ?
ObjectifsDans ce chapitre, nous allons voir que:
Ï la sortie peut s’exprimer comme la convolution du signal e(t) avec laréponse impulsionnelle du système h(t).
Ï Dans le domaine fréquentielle, l’opération de convolution correspondà la multiplication de la TF de e(t) par la TF de h(t).
Slide 3/ 34: Introduction
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Systèmes continus LTI
DéfinitionConsidérons un système décrit par un opérateur L[.] et notonss(t)= L[e(t)] la sortie du système lorsque l’entrée est égale à e(t).
L[.]e(t) s(t)
Un système est continu, linéaire et invariant dans le temps si il respecteles 3 propriétés suivantes :
Ï Continu: La variable t est continue (signaux analogiques).Ï Linéarité : Si l’entrée est égale à α1e1(t)+α2e2(t), alors la sortieest égale à α1s1(t)+α2s2(t).
Ï Invariant dans le temps (stationnaire): Si l’entrée est égale àe(t −τ), alors la sortie est égale à s(t −τ).
Slide 4/ 34: Systèmes continus LTI
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Systèmes continus LTI
Réponse du systèmeEn utilisant les propriétés de l’impulsion de Dirac, il est possibled’exprimer un signal continu e(t) sous la forme :
e(t)=∫ ∞−∞
e(u)δ(t −u)du
En utilisant la continuité et la linéarité du système, la réponse à uneentrée e(t) s’exprime sous la forme :
s(t)= L[e(t)]=∫ ∞−∞
e(u)L[δ(t −u)]du
Soit h(t)= L[δ(t)] la réponse du système à une impulsion de Dirac.L’invariance en temps impose que L[δ(t −u)]= h(t −u) et donc :
s(t)=∫ ∞−∞
e(u)h(t −u)du =∫ ∞−∞
h(u)e(t −u)du , (h∗e)(t)
Slide 5/ 34: Systèmes continus LTI
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Systèmes continus LTI
Réponse du système (BING!)La sortie d’un système LTI, notée s(t), initialement au repos à une entréequelconque e(t) s’exprime sous la forme :
s(t)= (h∗e)(t)
Réponse impulsionnelleLa réponse impulsionnelle d’un système, notée h(t), correspond à lasortie du système lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac.
Ï La réponse impulsionnelle correspond à l’"empreinte" du système.
Produit de ConvolutionLe produit de convolution est défini par:
(h∗e)(t)=∫ ∞−∞
e(u)h(t −u)du =∫ ∞−∞
h(u)e(t −u)du
Slide 6/ 34: Systèmes continus LTI
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Systèmes continus LTI
Convolution des signaux audios
Figure 1: Mesure de réponses impulsionnelles pour des applications audios
Ï Logiciel Altiverb 7 (Vidéo)Ï Module Convolution reverb d’Ableton live (Vidéo)Ï Plugin Reflektor de Native Instrument (Vidéo)Ï Module Blend IR des copains de Two Notes (Vidéo)
Slide 7/ 34: Systèmes continus LTI
https://www.youtube.com/watch?time_continue=180&v=EpzNgP8uThshttps://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=2xbf7KbqDEM-https://www.youtube.com/watch?time_continue=84&v=Z4ROtXh0fDYhttps://www.youtube.com/watch?v=XnAIuItOhI4
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Systèmes continus LTI
Exercice (réponse indicielle)Considérons un système de premier ordre régit par l’équation différentiellesuivante:
τds(t)
dt + s(t)=Ke(t)
Il est possible de montrer que la réponse impulsionnelle du systèmes’exprime sous la forme:
h(t)={ 0 si t < 0
Kτ e
− tτ ailleurs
Ï Déterminer la réponse indicielle du système (e(t)= u(t)),Ï Représenter la réponse impulsionnelle et indicielle du système.
Slide 8/ 34: Systèmes continus LTI
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Systèmes continus LTI
Exercice (réponse indicielle)Soit
h(t)={ 0 si t < 0,
Kτ e
− tτ ailleurs.
Lorsque e(t)= u(t), la réponse du système est donnée par :
s(t)= (h∗u)(t)
=∫ ∞−∞
e(u)h(t −u)du =∫ ∞
0h(t −u)du =
∫ t0
h(t −u)du
= Kτ
∫ t0
e−t−uτ du = K
τ
[τe−
t−uτ
]t0=K
(1−e− tτ
)
Ï La seconde ligne s’obtient en utilisant respectivement le fait quee(t)= 0 si t < 0, puis que h(t)= 0 si t < 0.
Slide 9/ 34: Systèmes continus LTI
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Systèmes continus LTIExercice (réponse indicielle)
h(t)e(t) s(t)= (h∗e)(t)
−5 0 5 100
0.51
t
e(t)
=δ(t
)
−5 0 5 100
0.20.4
t
h(t)
−5 0 5 100
0.20.4
t
s(t)
=(h
∗δ)(
t)=
h(t)
Figure 2: Réponse Impulsionnelle
−5 0 5 100
0.51
t
e(t)
=u(
t)
−5 0 5 100
0.20.4
t
h(t)
−5 0 5 100
0.51
ts(
t)=
(h∗u
)(t)
Figure 3: Réponse Indicielle
Slide 10/ 34: Systèmes continus LTI
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Produit de Convolution
DéfinitionLe produit de convolution est défini mathématiquement par:
(h∗e)(t)=∫ ∞−∞
e(u)h(t −u)du =∫ ∞−∞
h(u)e(t −u)du
Ï WARNING: L’intégration se fait par rapport à une variable"muette" u qui n’apparait pas dans le résultat du calcul. Le résultatest une fonction qui dépend du temps t.
Ï Par abus de notation, nous utiliserons parfois l’expression h(t)∗e(t).
Slide 11/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
ExerciceDéterminer le produit de convolution suivant (x ∗x)(t) où x(t) est uneporte de largeur L et d’amplitude A c-a-d :
x(t)=AΠL(t)={
A si |t | ≤ L20 ailleurs
Slide 12/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme
(x ∗x)(t)=A2∫ ∞−∞ΠL(u)ΠL(t −u)du
Ï Avant de calculer le produit de convolution, il est important de bienreprésenter les signaux ΠL(u) et ΠL(t −u) en fonction de t et u.
−L −L/2 t −L/2 0 L/2t t +L/2 L0
1
u
ΠL(u)ΠL(t −u)
Slide 13/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme
(x ∗x)(t)=A2∫ ∞−∞ΠL(u)ΠL(t −u)du
Ï Cas où t + L2 ≤−L2 :
Ï Dans ce cas, nous avons t ≤−L.Ï Lorsque t ≤−L, il n’y a pas d’intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u).Ï Cela implique que
(x ∗x)(t)=A2 ×0= 0
Slide 14/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme
(x ∗x)(t)=A2∫ ∞−∞ΠL(u)ΠL(t −u)du
Ï Cas où t + L2 >−L2 et t + L2 ≤ L2 :
Ï Dans ce cas, nous avons −L< t ≤ 0.Ï Lorsque −L< t ≤ 0, il a intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u) dans
l’intervalle ]− L2 ,t + L2 ].Ï Cela implique que
(x ∗x)(t)=A2∫ t+ L2− L2
1×1du =A2[u]t+L2
− L2=A2
(t + L2 +
L2
)=A2(t +L)
Slide 15/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme
(x ∗x)(t)=A2∫ ∞−∞ΠL(u)ΠL(t −u)du
Ï Cas où t + L2 > L2 et t − L2 ≤ L2 :
Ï Dans ce cas, nous avons 0< t ≤ L.Ï Lorsque 0< t ≤ L, il a intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u) dans
l’intervalle ]t − L2 , L2 ].Ï Cela implique que
(x ∗x)(t)=A2∫ L
2
t− L21×1du =A2[u]
L2t− L2
=A2(L
2 − (t −L2 )
)=A2(−t +L)
Slide 16/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme
(x ∗x)(t)=A2∫ ∞−∞ΠL(u)ΠL(t −u)du
Ï Cas où t − L2 > L2 :
Ï Dans ce cas, nous avons t > L.Ï Lorsque t > L, il n’y a pas d’intersection entre ΠL(u) et ΠL(t −u).Ï Cela implique que
(x ∗x)(t)= 0
Slide 17/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Exercice (Solution)Le produit de convolution s’exprime sous la forme
(x ∗x)(t)=
0 si t ≤−L
A2(t +L) si −L< t ≤ 0A2(−t +L) si 0< t ≤ L
0 si t > L
−L 0 L0
A2L
u
(x ∗x)(t)
Slide 18/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Propriété (Théorème Fondamental de la Convolution)Ï Avant Propos : Lorsqu’un signal e(t)= e2jπf0t est envoyé à l’entréed’un système LTI caractérisé par la réponse impulsionnelle h(t), alorsla sortie s’exprime sous la forme
(h∗e)(t)=∫ ∞−∞
h(u)e(t −u)du =∫ ∞−∞
h(u)e2jπf0(t−u)du
= e2jπf0t∫ ∞−∞
h(u)e−2jπf0udu
=H(f0)e2jπf0t
où H(ν),TF [h(t)] désigne la Transformée de Fourier de h(t).Ï Les exponentielles complexes sont les fonctions propres du produit de
convolution.Ï Par extension, lorsqu’une sinusoïde de fréquence f0 est envoyé à
l’entrée d’un système LTI, la sortie est également une sinusoïde defréquence f0.
Slide 19/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Propriété (Théorème Fondamental de la Convolution)Si s(t)= (h∗e)(t), alors nous obtenons dans le domaine fréquentiel
S(ν)=H(ν)E (ν)
Ï E (ν)=TF [e(t)] et S(ν)=TF [s(t)] désignent les Transformées deFourier de e(t) et de s(t).
Ï H(ν)=TF [h(t)] est appelée fonction de transfert du système.
RemarqueÏ Convoluer deux signaux dans le domaine temporel revient à lesmultiplier dans le domaine fréquentiel → notion de filtrage.
Ï (Dualité): Multiplier deux signaux dans le domaine temporel revientà les convoluer dans le domaine fréquentiel.
Slide 20/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Avant ProposLe produit de convolution est généralement assez difficile à calculer. Poursimplifier les calculs, nous essayerons en priorité d’utiliser ses propriétés.
Propriété (Commutativité)
(x ∗y)(t)= (y ∗x)(t)
Ï Démonstration:
Par définition, nous avons :
(x ∗y)(t)=∫ ∞−∞
x(τ)y(t −τ)dτ
En posant u = t −τ, nous obtenons dudτ =−1 et donc
(x ∗y)(t)=−∫ −∞+∞
x(t −u)y(u)du =∫ +∞−∞
y(u)x(t −u)du = (y ∗x)(t)
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Produit de Convolution
Avant ProposLe produit de convolution est généralement assez difficile à calculer. Poursimplifier les calculs, nous essayerons en priorité d’utiliser ses propriétés.
Propriété (Commutativité)
(x ∗y)(t)= (y ∗x)(t)
Ï Démonstration: Par définition, nous avons :
(x ∗y)(t)=∫ ∞−∞
x(τ)y(t −τ)dτ
En posant u = t −τ, nous obtenons dudτ =−1 et donc
(x ∗y)(t)=−∫ −∞+∞
x(t −u)y(u)du =∫ +∞−∞
y(u)x(t −u)du = (y ∗x)(t)
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Produit de Convolution
Propriété (Distributivité par rapport à la somme)
(x ∗ (y +z))(t)= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)
Ï Démonstration:
En utilisant la propriété de linéarité de l’intégrale,nous obtenons :
(x ∗ (y +z))(t)=∫ ∞−∞
x(τ)(y(t −τ)+z(t −τ)))dτ
=∫ ∞−∞
x(τ)y(t −τ)dτ+∫ ∞−∞
x(τ)z(t −τ)dτ= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)
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Produit de Convolution
Propriété (Distributivité par rapport à la somme)
(x ∗ (y +z))(t)= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)
Ï Démonstration: En utilisant la propriété de linéarité de l’intégrale,nous obtenons :
(x ∗ (y +z))(t)=∫ ∞−∞
x(τ)(y(t −τ)+z(t −τ)))dτ
=∫ ∞−∞
x(τ)y(t −τ)dτ+∫ ∞−∞
x(τ)z(t −τ)dτ= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t)
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Produit de Convolution
Propriété (Non distributivité par rapport au produit)
x ∗ (y ×z)(t) 6= (x ∗y)(t)× (x ∗z)(t)
Slide 23/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
AssociativitéLe produit de convolution est associatif c-a-d
((x ∗y)∗z)(t)= (x ∗ (y ∗z))(t)
Ï Démonstration:
Nous obtenons :
((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞
(x ∗y)(τ1)×z(t −τ1)dτ1
=∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
x(τ2)y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ2dτ1
=∫ ∞−∞
x(τ2)(∫ ∞
−∞y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ1
)dτ2
Or, l’intégrale centrale est simplement égale à (y ∗z)(t −τ2). Donc,
((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞
x(τ2)((y ∗z)(t −τ2))dτ2 = (x ∗ (y ∗z))(t)
Slide 24/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
AssociativitéLe produit de convolution est associatif c-a-d
((x ∗y)∗z)(t)= (x ∗ (y ∗z))(t)
Ï Démonstration: Nous obtenons :
((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞
(x ∗y)(τ1)×z(t −τ1)dτ1
=∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
x(τ2)y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ2dτ1
=∫ ∞−∞
x(τ2)(∫ ∞
−∞y(τ1 −τ2)z(t −τ1)dτ1
)dτ2
Or, l’intégrale centrale est simplement égale à (y ∗z)(t −τ2). Donc,
((x ∗y)∗z)(t)=∫ ∞−∞
x(τ2)((y ∗z)(t −τ2))dτ2 = (x ∗ (y ∗z))(t)
Slide 24/ 34: Produit de Convolution
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Produit de Convolution
Propriété (Convolution avec une impulsion de Dirac)
x(t)∗δ(t −τ)= x(t −τ)
Ï L’impulsion de Dirac est l’élément neutre du produit de convolution(x(t)∗δ(t)= x(t))
−5 0 5 10 150
0.51
t
e(t)
−5 0 5 10 150
0.20.4
t
h(t)
−5 0 5 10 150
0.20.4
t
s(t)
=(h
∗u)(
t)
Figure 4: Réponse du système
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Produit de ConvolutionPropriété (Convolution avec une impulsion de Dirac)
x(t)∗δ(t −τ)= x(t −τ)
Ï L’impulsion de Dirac est l’élément neutre du produit de convolution(x(t)∗δ(t)= x(t))
Ï Démonstration: Notons δu(t)= δ(t −u). En utilisant la définitiondu produit de convolution, nous trouvons :
(x ∗δu)(t)=∫ ∞−∞
x(τ)δu(t −τ)dτ
=∫ ∞−∞
x(τ)δ(t −τ−u)dτ
Cette intégrale est non nulle lorsque t −τ−u = 0 c-a-d lorsqueτ= t −u. En utilisant les propriétés de l’impulsion de Dirac, nousobtenons alors
(x ∗δu)(t)= x(t −u)Slide 26/ 34: Produit de Convolution
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Produit de ConvolutionPropriété (Décalage dans le temps)Soit z(t)= (x ∗y)(t). Si xτ1(t), x(t −τ1) et yτ2(t), y(t −τ2), alors
(xτ1 ∗yτ2)(t)= z(t − (τ1 +τ2))
Ï Pour τ= τ1 = τ2 6= 0, (xτ∗yτ)(t)= z(t −2τ) 6= z(t −τ).
Ï Démonstration:
En utilisant la définition du produit de convolutionet en utilisant le changement de variable τ−τ1 = u, nous obtenons :
(xτ1 ∗yτ2)(t)=∫ ∞−∞
xτ1(τ)yτ2(t −τ)dτ
=∫ ∞−∞
x(τ−τ1)y(t −τ−τ2)dτ
=∫ ∞−∞
x(u)y(t −τ1 −τ2 −u)du= z(t − (τ1 +τ2))
avec z(t)= (x ∗y)(t).
Slide 27/ 34: Produit de Convolution
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Produit de ConvolutionPropriété (Décalage dans le temps)Soit z(t)= (x ∗y)(t). Si xτ1(t), x(t −τ1) et yτ2(t), y(t −τ2), alors
(xτ1 ∗yτ2)(t)= z(t − (τ1 +τ2))
Ï Pour τ= τ1 = τ2 6= 0, (xτ∗yτ)(t)= z(t −2τ) 6= z(t −τ).
Ï Démonstration: En utilisant la définition du produit de convolutionet en utilisant le changement de variable τ−τ1 = u, nous obtenons :
(xτ1 ∗yτ2)(t)=∫ ∞−∞
xτ1(τ)yτ2(t −τ)dτ
=∫ ∞−∞
x(τ−τ1)y(t −τ−τ2)dτ
=∫ ∞−∞
x(u)y(t −τ1 −τ2 −u)du= z(t − (τ1 +τ2))
avec z(t)= (x ∗y)(t).Slide 27/ 34: Produit de Convolution
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ExerciceTF d’un signal périodiqueSoit m(t) un motif de forme quelconque dont le spectre M(ν) estreprésenté ci-dessous :
0t
m(t
)
(a) Représentation Temporelle
0ν
M(ν
)
(b) Représentation Fréquentielle
En périodisant le motif m(t) à la période T0, nous obtenons le signalT0-périodique xT0(t) suivant:
−T0 −T02 0 T02 T0t
m(t
)
Figure 6: Représentation Temporelle de xT0 (t)Slide 28/ 34: Exercice
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Exercice
TF d’un signal périodique
−T0 −T02 0 T02 T0t
m(t
)
Figure 7: Représentation Temporelle de xT0 (t)
Ï Exprimer le signal xT0(t) sous la forme du produit de convolution dumotif m(t) par une fonction f (t) à déterminer.
Ï En déduire X (ν) le spectre de xT0(t).Ï Etablir le lien entre M(ν), le spectre de m(t), et Cn les coefficientsde la DSF de xT0(t).
Slide 29/ 34: Exercice
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ExerciceTF d’un signal périodique (Solution)
−T0 −T02 0 T02 T0t
m(t
)
Ï En utilisant la propriété de convolution, nous obtenons :
y(t)=m(t −T0)=m∗δ(t −T0)
Ï Par extension, nous obtenons (distributivité par rapport à la somme):
xT0(t)=∞∑
n=−∞m(t −nT0)=
∞∑n=−∞
m∗δ(t −nT0)
=m∗( ∞∑n=−∞
δ(t −nT0))
=m∗pT0(t)
Slide 30/ 34: Exercice
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ExerciceTF d’un signal périodique (Solution)
−T0 −T02 0 T02 T0t
m(t
)
Ï En utilisant la propriété de convolution, nous obtenons :
y(t)=m(t −T0)=m∗δ(t −T0)Ï Par extension, nous obtenons (distributivité par rapport à la somme):
xT0(t)=∞∑
n=−∞m(t −nT0)=
∞∑n=−∞
m∗δ(t −nT0)
=m∗( ∞∑n=−∞
δ(t −nT0))
=m∗pT0(t)Slide 30/ 34: Exercice
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Exercice
TF d’un signal périodique (Solution)
−T0 −T02 0 T02 T0t
m(t
)
Ï Nous obtenons finalement (convolution avec un peigne de Dirac) :
xT0(t)=m∗pT0(t)
Slide 31/ 34: Exercice
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Exercice
TF d’un signal périodique (Solution)Ï En fréquentiel, nous avons alors :
XT0(ν)=M(ν)×PT0(ν)
= 1T0M(ν)
∞∑n=−∞
δ
(ν− nT0
)= 1T0
∞∑n=−∞
M(ν)δ(ν− nT0
)c-a-d
XT0(ν)=1
T0
∞∑n=−∞
M( nT0
)δ
(ν− nT0
)
Slide 32/ 34: Exercice
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Exercice
TF d’un signal périodique (Solution)Ï Lien avec la décomposition en série de Fourier: Pour un signalpériodique, nous avons :
XT0(ν)=∞∑
n=−∞Cnδ(ν−nf0)
Par identification, nous trouvons :
Cn = 1T0M
( nT0
)
Slide 33/ 34: Exercice
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Exercice
TF d’un signal périodique (Solution)
− 2T0−1
T00 1
T02
T0ν
M(ν
)
Figure 8: Représentation Fréquentielle (T0 = 1 s)
Ï Périodiser un signal revient à échantillonner sa transformée deFourier.
Ï (Dualité: Echantillonner un signal revient à périodiser sa transforméede Fourier !)
Slide 34/ 34: Exercice
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Exercice
TF d’un signal périodique (Solution)
− 2T0−1
T00 1
T02
T0ν
M(ν
)
Figure 8: Représentation Fréquentielle (T0 = 1 s)
Ï Périodiser un signal revient à échantillonner sa transformée deFourier.
Ï (Dualité: Echantillonner un signal revient à périodiser sa transforméede Fourier !)
Slide 34/ 34: Exercice
IntroductionSystèmes continus LTIDéfinitionExercice
Produit de ConvolutionPropriétés
Exercice