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Communication Numerique

Communication NumeriqueRappels mathematiques

Yoann Morel

http://xymaths.free.fr/index.php?subdir=Signal

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1 Convolution

2 Auto-correlation

3 Transformee de FourierDefinitionProprietes de la T.F.

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

6 Dualite Temps / Frequence

7 Theoreme de Wienner-Kinchine


Convolution

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide




Convolution

Produit de convolutionPour x et y deux signaux (fonctions), on definit le produit deconvolution, ou la convolee, z par :

z(t) =∫

IRx(t− τ) y(τ) dτ

On le note : z = x ∗ y

Proprietes :

Le produit de convolution est commutatif : z = x ∗ y = y ∗ x

Linearite : si x, y et z sont trois signaux quelconques, alors(x+ y) ∗ z = x ∗ z + y ∗ zet si λ est un reel, alors (λx) ∗ y = λ(x ∗ y)

Si τa designe l’operateur retard : τax(t) = x(t− a), alors,τaz(t) = τa(x ∗ y)(t) = (τax ∗ y)(t) = (x ∗ τay)(t)

Derivation : on a, (x ∗ y)′(t) = (x′ ∗ y)(t) = (x ∗ y′)(t)


Auto-correlation

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide




Auto-correlation

Auto-correlation :L’auto-correlation du signal x(t) est defini par :

Cxx(τ) =∫

IRx(τ − t)x(t) dt

On a : Cxx(τ) = x(−τ) ∗ x(τ)

L’auto-correlation permet de “mesurer” comment un signal sereproduit dans le temps.


Transformee de Fourier

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide





Definition

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide





Definition

Transformee de Fourier :La transformee de Fourier (TF, ou FT en anglais) du signal x(t)est donnee par :

x(f) =∫

IRx(t) e−2iπft dt

Lorsque t designe le temps, en s, f designe une frequence, en Hz.

La T.F. d’un signal est la decomposition de celui-ci encomposantes harmoniques (ou monochromatiques).

Transformee de Fourier inverse :Si x(f) est la T.F. de x(t), alors,

x(t) =∫

IRx(f) e2iπft df



Proprietes de la T.F.

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide







linearite :

λ x(t) = λ x(f)

x(t) + y(t) = x(f) + y(f)

Translation et modulation : Si τa est l’operateur retard :τax(t) = x(t− a) alors,

τax(f) = e−2iπaf x(f) et, e2iπafx(f) = τax(f)

En d’autres termes, moduler temporellement le signal revienta translater en frequence son spectre.

Convolution :x ∗ y = x · y


Exemples de T.F.

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide




Exemples de T.F.

Exemples de T.F. : Signal rectangulaire

recta(t) ={

1 , si |t| ≤ a2

0 , sinon

recta(f) =∫ a

2

−a2

e−2iπft dt =e−2iπf a

2 − e2iπfa2

−2iπf

=sin(πfa)πf

= a sinc(πfa)


Exemples de T.F.


Exemples de T.F.

Exemples de T.F. : Signal monochromatique

S(t) = e2iπat

e2iπat(f) =∫e2iπat e−2iπft dt

=∫e−2iπt(f−a) dt

= δa(f)


Exemples de T.F.

Exemples de T.F. : Signal monochromatiqueDemonstration rigoureuse (distribution)

S(t) = e2iπat

Pour toute fonction χ(f), on a :

< S(f), χ(f) > =∫S(f)χ(f) df

=∫ ∫

e−2iπt(f−a) χ(f) df dt

=∫e2iπa

∫e−2iπtf χ(f) df dt

=∫e2iπta χ(t) dt

= χ(a)

D’ou, S = δa .


Exemples de T.F.

Exemples de T.F. : Signal sinusoıdal

x(t) = cos(w0t+ ϕ)

x(t) =ei(w0t+ϕ) + e−i(w0t+ϕ)

2=eiϕ

2eiw0t +

−eiϕ

2e−iw0t

x(f) = eiϕ

2 δf0 + e−iϕ

2 δ−f0

Le spectre du signal sinusoıdal cos(2πf0t) est f0 et −f0.


Exemples de T.F.

Exemples de T.F. : Peigne de Dirac

∆T (t) =∑n

δ(t+ nT )

Le peigne de Dirac, ∆T est T-periodique.

∆T (f) =1T

∑k

δ(f − k

T)

=1T

∆ 1T


T.F. rapide

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide




T.F. rapide

T.F. rapide (FFT : Fast Fourier Transform)Pour un signal discret xn, sa transformee de Fourier est donneepar :

xn =1N

N−1∑k=0

xk e−2iπ kn

N

La T.F. discrete necessite ainsi N2 calculs pour chacun des Ncoeffcients, soit de l’ordre de N3 calculs.Pour un ordinateur actuel, equipe d’un processeur cadence a1 GHz, soit de l’ordre de 109 operations par seconde :

• N = 1000 −→

1s

• N = 10 000 −→

16 min

• N = 100 000 −→

277 h ∼ 11 jours !


T.F. rapide

T.F. rapide (FFT : Fast Fourier Transform)Pour un signal discret xn, sa transformee de Fourier est donneepar :

xn =1N

N−1∑k=0

xk e−2iπ kn

N

La T.F. discrete necessite ainsi N2 calculs pour chacun des Ncoeffcients, soit de l’ordre de N3 calculs.Pour un ordinateur actuel, equipe d’un processeur cadence a1 GHz, soit de l’ordre de 109 operations par seconde :

• N = 1000 −→ 1s

• N = 10 000 −→ 16 min

• N = 100 000 −→ 277 h ∼ 11 jours !


T.F. rapide

Principe de la FFT

xn =∑

xk e2iπ kn

N

On considere le signal de periode N2 :

xn+N2

=∑

xk e2iπ kn

N (−1)k

d’ou, xn + xn+N2

=∑x2k e

2iπ(2k)n

N

xn − xn+N2

=(∑

x2k+1 e2iπ

(2k+1)nN

)e2iπ

nN

Ainsi, x2k est la T.F. du signal N2 -periodique xn + xn+N2

, et x2k+1

est celle du signal xn − xn+N2

.

La periode, donc la taille du signal, a ete divisee par 2 !


T.F. rapide

On reitere ensuite la decomposition.

Au final, si la taille du signal est N = 2p, on doit calculer pcoefficients, c’est-a-dire log2N , au lieu de N .

On a donc au total N2 log2N calculs a effectuer.

Avec le meme ordinateur que precedemment :

• N = 1000 −→

3 ms

• N = 10 000 −→

0,4 s

• N = 100 000 −→

50 s !


T.F. rapide

On reitere ensuite la decomposition.

Au final, si la taille du signal est N = 2p, on doit calculer pcoefficients, c’est-a-dire log2N , au lieu de N .

On a donc au total N2 log2N calculs a effectuer.

Avec le meme ordinateur que precedemment :

• N = 1000 −→ 3 ms

• N = 10 000 −→ 0,4 s

• N = 100 000 −→ 50 s !


Dualite Temps / Frequence

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide




Dualite Temps / Frequence

Dualite Temps / Frequence :Soit un signal discret (xk), echantillonnage du signal x(t) a la

frequence d’echantillonnage fe =1Te

:

xk = x(k Te) , k = 0 . . . N

Alors, sa T.F. xk(f) a :

un pas frequentiel δf =1

N Teune largeur de bande ∆f = 1

Te= fe.

On a donc le compromis :

Resolution frequentielle ↔ observation en temps long

Resolution temporelle ↔ grande largeur de bande


Theoreme de Wienner-Kinchine

1 Convolution

2 Auto-correlation


4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide




Theoreme de Wienner-Kinchine

Soit x(t) un signal, et x(f) sa T.F.La densite spectrale de puissance (DSP) est Px(f) = |x(f)|2.L’auto-correlation de ce signal est par ailleurs :

Cxx(τ) =∫

IRx(t)x(t− τ) dt = x(t) ∗ x(−t)

d’ou,Cxx(f) = x(f) x(−f)

Or, pour un signal reel, x(−f) = x(f), et donc,

Cxx(f) = |x(f)|2 = Px(f)

Theoreme (Wienner-Kinchine)

L’intensite de la densite spectrale d’un signal reel est la T.F. deson auto-correlation.

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