ENSINO MÉDIO

TRABALHO DE MATEMÁTICA

“TEORIA DOS CONJUNTOS”

Por

Wanderson Joner Silva Cruz

BrasiliaMaio de 2012

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TRABALHO DE MATEMÁTICA

“TEORIA DOS CONJUNTOS”

T r a b a l h o a p r e s e n t a d o à d i s c i p l i n a : M a t e m á t i c a , d o P r o f .

P o r :W a n d e r s o n J o n e r S i l v a C r u z

S é r i e : E n s i n o M é d i o

N o t a : _ _ _ _ _

A s s i n a t u r a d o P r o f e s s o r ( a ) : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

BrasiliaMaio de 2012

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SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO ................................................................................. 04

2 – DESENVOLVIMENTO ............................................................ 05 à 16

2.1 - Noções.................................................................................. 05 à 112.2 – Representações.................................................................... 11 à 152.3 - Relação de pertinência...................................................................152.4 - Relação de inclusão........................................................................162.5 - Relação de igualdade.....................................................................16

3 – CONCLUSÃO ................................................................... .................17

4 – BIBLIOGRAFIA .................................................................................18

5 – ANEXOS ..............................................................................................19

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1 - INTRODUÇÃO

Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais".

Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos.

O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.

Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática de graduação.

A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes cardinais.

A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicional clássica e à álgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuem análogos nas outras duas.

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2 – DESENVOLVIMENTO

2.1 - NOÇÕES

NOÇÕES DE CONJUNTO

A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc

Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:

P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

Relação de pertinência:

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,onde o símbolo Î significa "pertence a". 

Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado pela letra grega fi: f .

Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.

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Assim é que, pode-se escrever como exemplos:Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.

Notas:

a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por   P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

Conjunto dos números inteiros

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Nota: é evidente que N Ì Z.

Conjunto dos números racionais

Q = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que").

Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. 

Lembre-se que não existe divisão por zero!.

São exemplos de números racionais: 2/3,  -3/7,   0,001=1/1000,   0,75=3/4,   0,333... = 1/3,  7 = 7/1, etc.

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Notas:

a) é evidente que N Ì Z Ì Q.b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.

Exemplo: 0,4444... = 4/9

Conjunto dos números irracionais

Q' = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como "tal que").Exemplos de números irracionais: 

p = 3,1415926...  (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica)Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }.

Notas:

a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì Rb) Q' Ì Rc) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!

Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. 

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Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 

A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO

INTERVALO FECHADO [p;q] = {x Î R; p £ x £ q}

inclui os limites p e q

INTERVALO ABERTO (p;q) = { x Î R; p < x < q}

exclui os limites p e q

INTERVALO FECHADO A ESQUERDA

[p;q) = { x Î R; p £ x < q}

inclui p e exclui q

INTERVALO FECHADO À DIREITA

(p;q] = {x Î R; p < x £ q}

exclui p e inclui q

INTERVALO SEMI-FECHADO

[p;¥ ) = {x Î R; x ³ p} valores maiores ou iguais a p.

INTERVALO SEMI-FECHADO

(- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q}

valores menores ou iguais a q.

INTERVALO SEMI-ABERTO

(-¥ ; q) = { x Î R; x < q}

valores menores do que q.

INTERVALO SEMI-ABERTO

(p; ¥ ) = { x > p } valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).

Operações com conjuntos

União ( È )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

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Propriedades imediatas:a) A È A = Ab) A È f = Ac) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.

Interseção ( Ç )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:a) A Ç A = Ab) A Ç Æ = Æ c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

Diferença:  A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. 

Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.Exemplos: 

{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:

a) A - f = Ab) f - A = f c) A - A = Æ d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

Complementar de um conjunto

Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A – B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .

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Simbologia: CAB = A - B.

Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:

B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:

a) B Ç B' = fb) B È B' = U c) f' = Ud) U' = f

Partição de um conjunto

Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por  P(A)),  que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:

1 - nenhuma dos elementos de part(A)  é o conjunto vazio.2 - a interseção de  quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}

Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.

Assim, o conjunto das partes de A será:

P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }

Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):

X = { {2}, {3,5} }

Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:

a) nenhum dos elementos de X é Ø .b) {2}  Ç {3, 5}  = Øc) {2} U  {3, 5} = {2, 3, 5} = A

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Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.

Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø  e  {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z 

Número de elementos da união de dois conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A  seja n(A) e o número de elementos de B  seja n(B).

Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)

2.2 - REPRESENTAÇÕES

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana}; Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro,

novembro}; Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22:

{10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos

como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};

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3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};

4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006}; B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a)

acima; C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro}; Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};

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Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

{x | x > 0 e x < 0} = Ø; Conjunto dos meses com mais de 31 dias; {x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere

na igualdade de conjuntos;3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não

pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notação significa “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

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Exemplos:

{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ø C {a, b}; {a, b} C {a, b}; {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o

elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é

subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

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Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}} Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}}; Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;

2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);

3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);

4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;

5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.

A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.

Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.

2.3 - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula. Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se uma pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo Є. As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é: V = {a, e, i, o, u}

→ A relação de pertinência é expressa por: a Î V, pois o elemento a pertence ao conjunto V.

→ A relação de não-pertinência é expressa por: b Ï V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.

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2.4 - RELAÇÃO DE INCLUSÃO

A relação de inclusão possui 3 propriedades: 

→ Propriedade reflexiva: A Ì A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

→ Propriedade anti-simétrica: se A Ì B e B Ì A, então A = B.

→ Propriedade transitiva: se A Ì B e B Ì C, então A Ì C.

2.5 – RELAÇÃO DE IGUALDADE

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:

{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

Observação

Se o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos afirmar que A = B.

 

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3 - CONCLUSÃO

Teoria dos Conjuntos Muitas das ciências hoje em dia, tem sua pedra fundamental na teoria dos conjuntos, que foi formulada no final do século XIX, foi estabelecida pelo matemático russo Geord Ferdinand Ludwig Philip Cantor ( 1845-1918). Nascido em S. Petersburgo, Rússia, concentrou seus estudos em Filosofia, Física e Matemática. Doutourou-se em Berlim, na Alemanha, em 1867, com uma tese sobre a Teoria dos Números. No princípio, a reação dos círculos matemáticos não foi muito favorável às concepções de Cantor, mas, no fim do século XIX, as idéias dele já eram bem aceitas.

Essa é considerada a primeira fase da Teoria dos Conjuntos. A segunda fase iniciou-se nos primeiros anos do século XX, quando descobriu-se que a teoria cantoriana conduzia a contradições – os chamados paradoxos da Teoria dos Conjuntos. Em meados do século XX, a Teoria dos Conjuntos exerceu efeitos profundos sobre o ensino da matemática. Cantor estava entre os matemáticos mais notáveis e originais de sua época. No entanto, nunca consegui uma posição de destaque, passando a maior parte da sua carreira na Universidade de Halle. Apesar de não se poder definir o conjunto, entenderemos que ele seja um ente primitivo, isto é, uma coleção ou uma lista bem definida de objetos, símbolos, etc. Qualquer agrupamento pode ser chamado de conjunto. Assim, pois, dentro de um conjunto estão constituídos os elementos.

Uma das formas de simbolizar o conjunto e seus elementos é representar o conjunto por uma letra maiúscula e seus elementos separados por vírgula e entre chaves. A representação em extensão pode ser usada para conjuntos finitos ou infinitos, mesmo que o número de elementos seja muito grande. Também podemos representar um conjunto por meio de uma figura chamada Diagrama de Venn ( John Venn, lógico inglês,1834-1923). Fazemos notar, ainda, que contrariamente ao que se considera normalmente nesta teoria, admite-se a existência de conjuntos com um só elemento (Conjunto Unitário) e conjuntos sem elementos (Conjuntos Vazios), notamos, ainda, que um conjunto pode ter um número Finito ou Infinito de Elementos. A partir do século VIII, os árabes introduziram na Europa o sistema de numeração com dez símbolos criados pelos hindus. Esse sistema possuía inúmeras vantagens sobre os que eram normalmente utilizados, principalmente por facilitar a escrita e os cálculos. Ficou conhecido como sistema de numeração indo-arábico. Sofreu várias modificações e somente no século XIV os símbolos adquiriram o formato que utilizamos hoje.

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4 - BIBLIOGRAFIA

http://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos

http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/

http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjuntos.asp

http://www.eumed.net/libros/2009a/499/FUNDAMENTOS%20DA%20MATEMATICA%20CONJUNTOS.htm

http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/itc.html

http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm

http://www.youtube.com/watch?v=EKTw4Cr2AI8

http://pt.wikibooks.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos

http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_5TeoriaDosConjuntos.pdf

http://www.cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula1.pdf

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5- ANEXOS

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