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Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento

MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Médio, 3ª ano

Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento


PLANO CARTESIANO

O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical (eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que chamamos de quadrantes.


x

y

O (0, 0)

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante Eixo das abscissas

Eixo das ordenadas

Origem

PLANO CARTESIANO


P

x

y

O

4

3

P(3, 4)

COORDENADAS NO PLANO

3 é a abscissa de P;

4 é a ordenada de P;

3 e 4 são as coordenadas de P;

P(x, y) Em geral:

A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas coordenadas (abscissa e ordenada).


SINAIS NO PLANO

x

y

+

+

++

–

–

– –

y = 0

O( 0, 0)

x = 0


BISSETRIZES DOS QUADRANTES

x

y

x = y (abscissa = ordenada)x = – y

(abscissa = - ordenada)

1ª bissetriz2ª bissetriz


22 )yy()xx(AB ABAB

A

B

xA xB

yA

yB

x

y

C

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

(AB)2 = (BC)2 + (AC)2

0

(AB)2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO

Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB),

respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras.


(UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0,0); B(3,1) e C(2,k) é retângulo em B, então k é igual a:

A(0,0)

B(3,1)C(2,k)

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

(dAC)² = (dAB)² + (dBC)²

(2-0)² + (k-0)² = (3-0)² + (1-0)² + (3-2)² + (1-k)²

(Operando os quadrados e termos semelhantes): 2k = 8 k = 4

EXEMPLO


Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy formam segmentos que mantêm as mesmas relações.

Determinando a ordenada yM do ponto médio M, temos:

A

B

M

xA xM xB

yA

yM

yB

x

y Determinando a abcissa xM do ponto médio M, temos:

xM =xA + xB

2

0

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

yM =yA + yB

2


(FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(5,-2) e B(-1, -4) são:

Seja M(xM, yM) o ponto médio, então: xM = xA + xB

2= 5 + (-1) = 2 2 yM = yA + yB 2= -2 + (-4) = -3 2M(2,-3)

EXEMPLO 1


(U.Juiz Fora -MG) Se (2,1); (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices?

No triângulo, usaremos a fórmula do ponto médio em cada um de seus lados:

xA + xC = 2 yA + yc = 1 2 2 xA + xB = 3 yA + yB = 3 2 2 xB + xC = 6 yB + yC = 2 2 2

Resolvendo os sistemas, temos:A(1,2), B(7, 4) e C(5,0)

A

B C

(2,1)(3,3)

(6,2)

EXEMPLO 2


EXEMPLO 3

Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3).

P(1, –1)

Q(–2, 3)

R(a, b)

–2 =a + 1

2a + 1 = – 4⇒ ⇒ a = – 5

3 =b – 1

2b – 1 = 6⇒ ⇒ b = 7

⇒ R (–5, 7)


MEDIANA Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto

ao meio.

G

A(xA , yA)

B(xB , yB) C(xC , yC)M1

M2M3

G é chamado BARICENTRO (ponto de encontro das medianas) do Triângulo.AG = 2/3 AM1 GM = 1/3 AM1

G(xG , yG)

xG = xA + xB + xC

3

yG = yA + yB + yC

3


(FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3) calcular o seu baricentro.

O baricentro G(xG , yG) é o ponto de encontro das medianas, logo:

xG = xA + xB + xC = 1 + 3 + (-1) = 1 3 3yG = yA + yB + yC = 1 + 1 + 3 = 5/3 3 3

G(1;5/3)

EXEMPLO


APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Considere os pontos A(xA , yA), B(xB , yB) , C(xC , yC) e

x

yC

B

A

xA xB xC

yC

yB

yA

0

D = 0 A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados D 0 A, B e C formam um triângulo.

xA yA 1

xB yB 1

xC yC 1D =


(PUC) Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Para que C esteja sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b?

C sobre o eixo das abcissas C(a, 0)A, B e C são colineares det = 0

Portanto: = 0

a = 7 C(7;0)

-1 2 1

3 1 1

a 0 1

EXEMPLO 1


(PUC) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Calcular k.

A, B e C são pontos não alinhados det 0, ou seja:

0 k 2

EXEMPLO 2

k 0 1

1 -2 1

3 2 1


APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo. Para calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer:

Calcular o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices.

xA yA 1

xB yB 1

xC yC 1D =

A área do triângulo é metade do módulo desse determinante.

AABC = |D|

2

xA xB xC

yA

yC

yB

y

x

C

B

A

0


Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices?

x

y

4

1 A

B

C

2 6

3

5

EXEMPLO


x

y

4

1 A

B

C

2 6

3

5

③

① ②

M

NP

AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)

AMNP = AM . AP = 4 . 4 = 16

AT1 = (CP . AP)/2 = (4 . 2)/2 = 4

AT2 = (CN . BN)/2 = (2 . 2)/2 = 2

AT3 = (AM . BM)/2 = (4 . 2)/2 = 4

AT = 16 – (4 + 2 + 4)

AT = 6


x

y

4

1 A

B

C

2 6

3

5

③

① ②

M

NP54154

36136

12112

+6–12

D = – 28 + 40 = 12

+4 +30–10 –6

Área = |D|

2|12|

2= 6=


QUESTÕES http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif


1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0,0), Q(6,0) e R(3,5), é: a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo.


2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano cartesiano x0y vale:

a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8


3) (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a:

a) -5b) -1c) -3d) -4e) -2


4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é:

a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5


5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois segmentos congruentes. Então, M é: a) (2, 2) b) (0, 4) c) (5, 6) d) (2, 4) e) (4, 0)


6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento.

P(15/2 ; 15/2)


EXTRAS

GEOGEBRA

Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento.

Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm


REFERÊNCIAS

Sites: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm http://

www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento-reta.htm

Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 :

ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.

Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento-reta.htm



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