Equação do 1° grau com duas incógnitas. Entre meninas e meninos, o professor de musica está selecionando 7 adolescentes para formar uma banda. Quantos meninos e meninas podem compor essa banda?A soma de meninos e as meninas é 7. Indicando por x o numero de meninos e por y o numero de meninas, podemos escrever a equação:x + y = 7 Admitindo os possíveis valores para x que são 0,1,2,3,4,5,6 e 7, encontramos os correspondentes valores de y. Dessa forma, obtemos as soluções do problema acima e, conseqüentemente, da equação x + y = 7 associamos ao problema.Exemplos:

Se x = 0,y = 7 Se x = 1, y = 6 Se x = 2, y = 5 Se x = 3, y = 4

Se x = 4, y = 3 Se x = 5, y = 2 Se x = 6, y = 1 Se x = 7, y = 0

Essas soluções podem ser expressas pelos pares ordenados: (0,7) , (1,6) , (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) e (7,0) em que o primeiro numero do par é a quantidade de meninos e o segundo, a quantidade de meninas.Esses pares ordenados podem ser representados por pontos no plano cartesiano. São representação gráfica da solução da equação x + y = 7.

No sistema cartesiano, há duas retas numéricas perpendiculares. Chamadas de eixos. O eixo horizontal x e o eixo vertical y .

O ponto determinado pelo cruzamento dos dois eixos é chamado de origem e é representado por 0 (0,0)

Definição de equação do 1° Grau com duas incógnita.

Uma equação do 1° grau com duas incógnitas reais x e y é uma sentença matemática do tipo ax + by = c, sendo a, b e c números reais em que a e b são não nulos. Ela é chamada de equação do 1° grau por que em cada termo há somente uma incógnita com expoente 1. Por exemplo, são equações do 1° grau.

1 ³ x – V 3 y = 4 1,65 x + 2 ¹º y V 2 2Não são equações do 1° grau.

x² + y = 2 V x + y = 1 xy = 2

Representação gráfica da solução de uma equação do 1° grau com com duas incógnitas reais. Vamos fazer a representação gráfica da solução da equação x + y = 2. Atribuiremos alguns valores reais quais quer para a incógnita x e calcularemos o valor de y.

Valor atribuído a x Valor calculado de y Pares ordenados-1012

-1+y = 2<->y = 30+y = 2<-> y =21+ y = 2<-> y = 12 + y = 2 <-> y = 0

(-1,3)(0,2)(1,1)(2,0)

Atividades1) Represente em seu caderno cada situação por uma equação.

a) Diva tem x CDs, e Reginaldo tem y CDs. A diferença entre o triplo da quantidade de CDs de Diva e o dobro da quantidade de CDs de Reginaldo é 14.

2) Represente em plano cartesiano, a solução admitindo que as incógnitas x e y podem ser quaisquer números reais.

I- y = 3x – 3

Sistema de duas equações do 1° grau com duas incógnitas.Na entrada de um parque de diversões há uma tabela de preços conforme representação ao lado. Juliana e seu marido levaram seus filhos e sobrinhos ao parque e compraram 7 ingressos. No total gastaram R$ 147,00. Quantos ingressos de cada tipo foram comprados?O problema acima pode ser traduzido para a linguagem algébrica. Ao considerar x o numero de adultos e y o numero de crianças, temos:Informações do problema Linguagem algébrica“Compraram 7 ingressos”“gastaram R$ 147,00

x+ y = 725x + 18y = 147

Neste caso, temos duas equações de 1° grau com duas encognitas, formando o que chamamos de sistema de equações. O sistema é indicado assim x+ y = 7 25x + 18 y = 147

Para encontrar a solução do sistema,ou seja, o par ordenado (x,y) que é solução das duas equações ao mesmo tempo, há diferentes caminhos. Um deles é por tentativa e erro. Neste caso tentamos alguns valores, considerado todas as informações dadas no problema. Veja uma possibilidade de relações por tentativa e erro.

Se forem 2 adultos serão 5 crianças, ou seja, x = 2 e y = 5Na 1° equação Na 2° equação Conclusão e análise X + y = 72 + 5 = 7 7= 7(sentença verdadeira)

25x + 18y = 14725.2 + 15.5 = 14550+90 = 147140 = 147(sentença falsa)

“x = 2 e y= 5 não é a solução desse sistema, pois (2,5) não é solução da 2° equação. Como o total de reais obtidos na 2° equação (R$ 140,00) foi menor que o esperado (R$ 147,00), uma possibilidade de nova tentativa de encontrar a solução é aumentar o numero de adultos( pois a entrada é mais cara) e, em conseqüência diminui o numero de criança(já que a soma tem de ser 7).

Solução de um sistemaResolver um sistema de equação significa encontrar os valores das incógnitas que satisfaçam as duas equações que formam o sistema. Veja o exemplo.

Lembrando que em qualquer triangulo a medida de um ângulo externo é igual á soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele, determine as medidas x e y, em graus, na figura:

A partir do BEC, temos:Med. (AÊB)= med. (BCE)A partir do ABC, temos:Med. (BÂD)= med. (BCA) + med. (ABC)

Então: 2x = x+y – 10º x-y=-10º 3y = y -10°+ 55º + x -x+2y=45°

Informações do problema Conclusãox e y são de ângulos em graus As medidas x e y são expressas por números +x – y = -10° x é menor que y

Exemplos

Se x = 50°, y = 60°, pois:x-y = -10°Agora, vamos verificar se essas medidas tornam a 2° equação uma sentença verdadeira- x + 2 y = 45° - 50° + 2.60° = 45°-50° + 120 = 45°70° = 45° (sentença falsa)Com a medida 70° é maior que a esperada (45°), é interessante testar uma meduda menor para x.

Pode- se observar que em qualquer um dos três, triângulos ( ABC, ABE, BCE) a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180°. Ou seja, a solução obtida para o sistema é adequada a situação inicial. Atividades

(1) Analise as informações e responda ás questões em seu caderno. - Você tem 8 centímetros a mais que eu.- se juntarmos nossas alturas em centímetros, vamos ter 312 centímetros.

A)Usando x para representar a altura, em centímetros, da menina e y para representar a altura, em centímetros, do menino, escreva em seu caderno um sistema de equações associado a essa situação.

(2) Calcule mentalmente a solução (x,y) de cada sistema.

a) x = -3x – y = -7

b) 2x – y = 15 y = -3

Resolução de Sistemas de equações do 1° grau com duas incógnitas.

Um comentário.

Existem diferentes formas de obter a solução de um sistema de equações do 1° grau com duas incógnitas. Uma delas são o método da substituição, o método da adição (nesses dois casos, o objetivo é obter uma equação com apenas uma incógnita) e a resolução gráfica.

Método da substituiçãoVamos descobrir o par ordenado (x, y) que é solução das duas equações ao mesmo tempo. X+ y = 72x + y = 9

Na outra equação, substituímos y por 7 – x e, assim, obtemos uma equação com apenas uma incógnita.2x + y = 9 <-> 2x + 7 – x = 9 <->2x – x = 9-7 <-> x =2

Assim, determinamos o valor de uma das incógnitas: x = 2Por ultimo, substituímos x por 2 em 1y= 7 – x <-> y = 7 – 2 <-> y = 5Estão o par ordenado (2,5) é a solução do sistema.

Método da adição.Objetivo é ficar com uma equação com apenas uma incógnita, antes de adicionar as equações é necessário “prepará-las”. Ou seja, multiplicar os dois membros de cada equação por um número adequado de forma que, ao adicionar as equações, uma incógnita seja eliminada.

3x + 2y = 2. (-3) -9x -6y = -6 -10x + 6y = 44 -5x + 3y = 22 .(+2)

- 9x – 6y = -6-10x + 6y = 44 -19x = 38 (obtemos uma equação com apenas uma incógnita) 19 x = -38 x = -38 x = -2 19

Substituindo- se o valor acima determinado (x = -2) em qualquer uma das duas equações do sistema, descobrimos o valor de y.Então o par ordenado (-2,4) é a solução do sistema.

Resolução gráfica

x – y = 2 2x + y = 13

É necessário representar em um mesmo plano cartesiano as soluções das duas equações. Assim , teremos duas retas. O ponto de cruzamento dessas retas é a solução.

Atividades.1) Resolva os sistemas pelo método da adição.

a) x + y = 15 -x + 8y = 21

b) 2x – 3y = 5 x + 3 y = 4

2) Resolva os sistemas da forma que achar melhor. a) 7x – 3y = 12 2 x + 3y = 10

b) 2x + 4y = 5 -2x -5y = -1