trabajo prÁctico: curso introductorio de...

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA

MATEMÁTICA

CURSO INTRODUCTORIO

Guía de Trabajos Prácticos

Esta guía fue realizada por los docentes de la Cátedra de Matemática

CÁTEDRA DE MATEMÁTICA

Primer Cuatrimestre

2017

Curso Introductorio de Matemática 1er Cuatrimestre 2017

Guía de Trabajos Prácticos Curso Introductorio de Matemática 1

Cátedra de Matemática. Departamento de Fisicomatemática

Facultad de Farmacia y Bioquímica Universidad de Buenos Aires

OPERACIONES ALGEBRAICAS

1. Resolver

𝑎) 2 – (3 + 5: 8) 𝑏) (2 − 3,5) ∙ (−1 + 5: 2)−2

𝑐) √32 + 22

𝑒) √25 ∶ 5 + 4

𝑔) (2

3)

2

:16

9

𝑖) (3 + 23)2 ∙ (11

3)

−3

𝑘) 1

2− (3: 5 + 4)−1

𝑑) [1

5− (

3

4+

7

8)] : (1 −

7

6)

𝑓) √9 . 4

ℎ) √8 + 7 ∙ 83

𝑗) (24 3⁄ )9 8⁄

𝑙) (3 + √16)−1

: (1

7)

2

𝑚) [(4 −1

2)

2

+ (−3 −1

2)

2

]

12⁄

ñ) 2

3− {−

1

2+ 1 − (−

1

2−

5

12) − 2 −

1

4− [−1 − (2 ∙

1

6−

1

4) +

2

3]}

2. Reducir (no utilizar calculadora)

𝑎) 𝑒−8 + 𝑒2 − 3𝑒−8 + 4𝑒2 − 1 +2

𝑒8 + 𝑒0 =

𝑏) 𝑒−5 ∙ 𝑒2 ∙ 3𝑒−5 ∙ 4𝑒2 =

𝑐) 2−3 ∙ 26 ∙ 64

32 =

𝑑) 𝑙𝑜𝑔 (𝑎

2) + 𝑙𝑜𝑔(2 𝑎) − 𝑙𝑜𝑔 (

𝑎

5) =

𝑒) ln(𝑧7) + ln(𝑧9) − ln 1 =

𝑓) ln(𝑒5𝑥) =

𝑔) log (√105) =

3. Simplificar las siguientes expresiones

𝑎) (𝑥 + 2)

5−2 ∙(𝑥2 − 4)−1

30

𝑏) (𝑥 − 2)

7:(𝑥2 − 4)

49

𝑐) (1

𝑥+ 𝑥−2) ∙

𝑥2

(𝑥 + 1)2





𝑑) (5𝑥 − 25)

(15

)−1 ∙ (𝑥 + 5−2:

1

125) − 𝑥2

𝑒) 8𝑥2 + 1

2𝑥− 3𝑥 −

1

2𝑥−1

4. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones

𝑎) 2𝑥 − 5 = 7

𝑐) |𝑥 − 3| = 5

𝑒) 𝑥2 − 4 = 5

𝑔) (𝑥 − 3)2 = 9

𝑖) √𝑥 − 2 = 3

𝑘) √2𝑥 + 2 = 10

𝑚) − 3𝑥2 = 75

𝑏) − 3𝑥 +5

2= 5𝑥 − 2

𝑑) |𝑥 + 3| = −2

𝑓) 𝑥2 − 4 = −𝑥2 + 6

ℎ) (𝑥 − 3)3 = 27

𝑗) √𝑥 + 3 − 2 = 5

𝑑) 𝑥6: 24 = 4

Resolver las siguientes inecuaciones y representar la solución en la recta real

𝑎) 2𝑥 − 2 ≤ 𝑥 − 3

𝑏) 3 − 𝑥 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 + 3

𝑐) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 > 0

𝑑) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0

𝑒) 𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 < 0

𝑓) |𝑥 − 1| < 4

𝑔) |3 − 2𝑥| < 1

ℎ) |2𝑥 − 3| − 3 ≥ 5

𝑖) |3 − 2𝑥| > 3

𝑗) 3|𝑥| > 4

𝑘) |𝑥 − 2| ∙ |𝑥 + 3| < 0

𝑙) |𝑥 − 2| ∙ |𝑥 + 3| ≥ 0

𝑚) 1 +1

𝑥 + 2≥ 0





INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES

5. Indicar cuáles de los siguientes gráficos se corresponden con el gráfico de una función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ

6. Dado el gráfico de la función 𝑓, hallar:

i) Hallar el conjunto de ceros

ii) Hallar el conjunto de positividad y negatividad

iii) Hallar el conjunto de crecimiento y decrecimiento

iv) Decidir si los siguientes puntos pertenecen al gráfico de la función:

(6; 3), ((0; 1), (−3; 1), (7; 0), (9; −4), (0; −3)





RECTA EN EL PLANO – FUNCIÓN LINEAL

7. Decidir cuáles de las siguientes ecuaciones se corresponden con el gráfico de una función lineal.

Indicar, cuando corresponda, el valor de la pendiente y de la ordenada al origen.

𝑎) 𝑦 = 3𝑥 + 1

𝑏) 𝑦 = −2𝑥 + 3

𝑐) 𝑦 = −3𝑥

𝑑) 𝑥 = 3

𝑒) 𝑦 = √9𝑥

𝑓) 𝑦 = 5

𝑔) 𝑦 = 9 − 2𝑥

ℎ) 𝑥 = 3𝑦 + 2

𝑖) 𝑦 = 𝑥

𝑗) 2𝑥 = 𝑥 + 𝑦

8. Hallar la expresión en forma explícita “𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏"de las siguientes rectas en los casos que:

i) La ecuación de la recta se encuentra expresada en la forma 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0

𝑎) 𝑦 = 2(𝑥 − 1) + 3

𝑏) 𝑦 = −3(𝑥 + 2) + 1

𝑐) 𝑦 = −1

2(𝑥 − 4) − 3

𝑑) 𝑦 = 2(𝑥 + 5) − 9

𝑒) 𝑦 = 3(𝑥 − 1) + 8

ii) La ecuación de la recta se encuentra expresada en la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

𝑎) 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0

𝑏) − 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

𝑐) 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0

𝑑) 3𝑥 − 2𝑦 = 0

𝑒) 3𝑦 + 5 = 0

𝑓) − 7𝑦 − 9𝑥 − 10 = 0

9. Hallar y graficar la ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto 𝑷𝟎 = (𝒙𝟎; 𝒚𝟎)

𝑎) 𝑚 = 2 𝑃0 = (2; −1)

𝑏) 𝑚 = −3 𝑃0 = (−2; 3)

𝑐) 𝑚 = 0 𝑃0 = (3; −1)





10. Hallar y graficar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑷𝟎 = (𝒙𝟎; 𝒚𝟎) y 𝑷𝟏 = (𝒙𝟏; 𝒚𝟏)

𝑎) 𝑃0 = (3; 1) 𝑃1 = (5; 2)

𝑏) 𝑃0 = (−5; 1) 𝑃1 = (3; −2)

𝑐) 𝑃0 = (2; 1) 𝑃1 = (−3; 1)

11. Dados los siguientes gráficos, hallar la ecuación de la recta identificando previamente la pendiente y

la ordenada al origen (cuando sea posible).

12. Indicar cuáles de las rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares a:

i) la recta de ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 3.

𝑎) 𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑏) 𝑦 = −2𝑥 − 3

𝑐) 𝑦 = −1

2𝑥 + 5





𝑑) 𝑦 =1

2𝑥 +

1

3

ii) la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 + 1.

𝑎) 𝑦 = −3𝑥 +1

9

𝑏) 𝑦 =1

3𝑥 + 5

𝑐) 2𝑥 − 𝑦 + 9 = 0

𝑑) 𝑦 =1

3𝑥 −

1

6

iii) la recta de ecuación 2𝑥 + 4𝑦 + 7 = 0.

𝑎) 𝑦 = −8

3𝑥 +

1

2

𝑏) 𝑦 = −1

2𝑥 − 4

𝑐) 𝑦 =1

2𝑥 + 8

𝑑) − 14𝑥 + 7𝑦 + 6 = 0

iv) la recta de ecuación −6𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0.

𝑎) 𝑦 =36

12𝑥 −

9

6

𝑏) 𝑦 = 3𝑥 + 1

𝑐) 𝑦 = −1

3𝑥 − 2

𝑑) 𝑦 =1

3𝑥 − 5

13. Para las siguientes funciones lineales hallar el conjunto de ceros, positividad y negatividad

𝑎) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3

𝑏) 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 5) + 1

𝑐) 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥 + 5

𝑑) 𝑓(𝑥) =2

3𝑥 + 2





𝑒) 𝑓(𝑥) = 2

Hallar 𝑓(0), 𝑓(3), 𝑓(−1).

14. Hallara analítica y gráficamente, si existen, los puntos de intersección de las siguientes rectas:

𝑎) {𝑦 = 2𝑥 − 1

𝑦 = 3𝑥 + 2

𝑏) {2𝑥 − 3𝑦 = 6

3𝑥 + 4𝑦 = 12

𝑐) {3𝑥 + 𝑦 = 5

6𝑥 + 2𝑦 = 12

𝑑) { 𝑥 − 𝑦 = 3

2𝑥 − 2𝑦 = 5

𝑒) {

𝑦 = 5𝑥 + 2

𝑦 =3

4𝑥 + 4

𝑓) {

𝑦 = 8𝑥 − 3

𝑦 =7

2𝑥 − 1

𝑔) {4𝑥 + 7𝑦 = 8

𝑥 + 2𝑦 = 3

𝑔) {3𝑦 + 5𝑥 =

6

3

𝑦 = −3

5𝑥 +

3

2

15. Dos rectas r1 y r2 se intersecan en el punto (−9; −14). Si se sabe que una de las rectas posee

ordenada al origen igual a 4 y que la otra recta posee pendiente igual a 1, hallar las ecuaciones de las

rectas r1 y r2.

16. Dos rectas r1 y r2 se intersecan en el punto (34; 12). Sabiendo que una de ellas posee pendiente igual a

8 y que la otra tiene ordenada al origen igual a 1, hallar las ecuaciones de las rectas r1 y r2

17. Se estima que a un laboratorio de producción farmacéutica le cuesta $1550 producir 100 unidades de

cierto medicamento en un día, y $4350 fabricar 300 unidades del mismo medicamento también en un

día. Suponiendo que la relación entre el costo y la producción es lineal, establecer la función 𝑓 que

expresa el costo (en pesos) de fabricar x unidades del medicamento en un día. Hallar el dominio de 𝑓.

Graficar la función lineal obtenida. ¿Qué representa la ordenada al origen? ¿Y la pendiente de dicha

recta?

18. Graficar las siguientes funciones:

𝑎) 𝑓(𝑥) = |𝑥|

𝑏) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|

𝑐) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1|

𝑑) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| + 2

𝑒) 𝑓(𝑥) = −|𝑥|





PARÁBOLA - FUNCIÓN CUADRÁTICA

19. Graficar las siguientes parábolas en un mismo gráfico

𝑎) 𝑦 = 𝑥2

𝑏) 𝑦 = 𝑥2 + 1

𝑐) 𝑦 = 𝑥2 − 1

𝑑) 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 2

𝑒) 𝑦 = −(𝑥 − 1)2

20. Dadas las ecuaciones de las siguientes parábolas

𝑎) 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝑏) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 4

𝑐) 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑑) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 2

i) Hallar (si existen) las raíces reales y expresar la ecuación, cuando sea posible, en forma

factorizada.

ii) Hallar las coordenadas del vértice y expresar la ecuación en la forma 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣

iii) Graficar.

21. Dadas las ecuaciones de las siguientes parábolas expresadas en la forma 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣 ,

identificar las coordenadas del vértice, hallar (si existen) raíces reales y graficar.

𝑎) 𝑦 = 2(𝑥 − 3)2 − 8

𝑏) 𝑦 = −(𝑥 + 1)2 + 9

𝑐) 𝑦 = −(𝑥 − 2)2

𝑑) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 1

22. A

23. partir de los siguientes gráficos, expresar la ecuación de la parábola en la forma

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣





24. Indicar cuál de las siguientes funciones cuadráticas se corresponde con cada gráfico. Justificar.

𝑎) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 − 1

𝑏) 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 1)2 + 3

𝑐) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 3)2

𝑑) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

𝑒) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 3

𝑓) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2





25. Para las siguientes funciones cuadráticas

𝑎) 𝑓3(𝑥) = (𝑥 − 2)2 − 4

𝑏) 𝑓4(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2

𝑐) 𝑓2(𝑥) = −(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)

𝑑) 𝑓1(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2 + 2

i) Hallar el conjunto de ceros, positividad y negatividad

ii) Decidir (justificando) si:

(1; 2) ∈ 𝐼𝑚(𝑓1),

(3; −1) ∈ 𝐼𝑚(𝑓3)

(3; 2) ∈ 𝐼𝑚(𝑓3)





26. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía

un alto contenido de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje

“𝒙” de levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el peso promedio ganado en gramos de una rata

en un período fue de 𝑃(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3. Encontrar el peso promedio máximo ganado.

27. El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina a “𝒙” kilómetros por

hora, está dada por la función 𝑓(𝑥) =5

3𝑥2 +

5

3𝑥 + 10, mientras que el consumo de oxígeno para una

persona que trota a “𝒙” kilómetros por hora, está dado por 𝑔(𝑥) = 11𝑥 + 10.

i) Trazar las gráficas de 𝑓 y 𝑔 (en un mismo gráfico)

ii) ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que

trota?

iii) ¿Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la

determinada en la parte ii)?

28. Hallar analítica y gráficamente, si existen, los puntos de intersección de las siguientes funciones:

𝑎) {𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6

𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑏) {𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑐) {𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 3

𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑑) {𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1

𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2





FUNCIÓN EXPONENCIAL

29. Indicar cuáles de las siguientes expresiones definen una función exponencial y en dicho caso realizar

un gráfico aproximado.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 25𝑥

𝑏) 𝑓(𝑥) = 4𝑒𝑥−1

𝑐) 𝑓(𝑥) = (−3)−𝑥

𝑑) 𝑓(𝑥) = 5−𝑥+2

𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑒−4

30. Hallar el valor de 𝑥 ∈ ℝ tal que:

𝑎) 31−𝑥 = 27−1

𝑏) 4𝑥+1

2𝑥+2= 128

𝑐) 52𝑥5𝑥+1 = 125

31. Hallar el conjunto de ceros, positividad, negatividad y ordenada al origen de las siguientes funciones

exponenciales

𝑎) 𝑓(𝑥) = 10𝑥−1 − 100

𝑏) 𝑓(𝑥) = 4𝑒𝑥−1 + 3

𝑐) 𝑓(𝑥) = −𝑒2𝑥+1 + 𝑒

𝑒) 𝑓(𝑥) = 21−𝑥 −1

4

32. Las funciones exponenciales son adecuadas para representar el crecimiento poblacional como

también el proceso de desintegración de partículas.

La cantidad de masa (medida en gramos) que va quedando de un elemento radioactivo a través del

tiempo se representa por la siguiente función

𝑓(𝑡) = 10 (1

2)

𝑡25

donde 𝒕 es el tiempo medido en años.

i) ¿Qué masa tenía el elemento al inicio?





ii) ¿Cuánta masa quedará al término de 100 años?

iii) ¿Cuántos años deberán trascurrir para que la masa inicial se reduzca a la mitad?

33. La concentración de un medicamento en un órgano al instante t (en segundos) está dada por la función

𝑓(𝑡) = 0.08 + 0.12 · 𝑒−0.02𝑡

donde 𝑓(𝑡) son gramos/centímetros cúbicos (gr/cm3)

i) ¿Cuál es la concentración pasado 1 minuto?

ii) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el órgano?

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

34. Resolver las siguientes ecuaciones:

𝑎) 6 ∙ 𝑙𝑛 (𝑥

2) − 2 ∙ 𝑙𝑛 (

𝑥

3) = 3 ∙ ln(𝑥) − 𝑙𝑛 (

64

9)

𝑏) log(20𝑥 + 20) − 2 log(𝑥 + 1) = 1

35. Graficar en forma aproximada las siguientes funciones

𝑎) 𝑓(𝑥) = log (𝑥 − 5)

𝑏) 𝑓(𝑥) = 3 + ln (𝑥)

𝑐) 𝑓(𝑥) = 1 + ln (𝑥 + 3)

36. Indicar a que representación gráfica corresponde cada uno de los siguientes bloques de funciones e

identificar las funciones.

𝑎) {

𝑓1(𝑥) = log(𝑥)

𝑓2(𝑥) = log (𝑥 − 2)

𝑓3(𝑥) = log (𝑥 + 2)

𝑏) {

𝑓1(𝑥) = ln (𝑥)

𝑓2(𝑥) = 𝑥

𝑓3(𝑥) = ex





37. Considere la población del ejercicio 32 . Existe otra sustancia radioactiva que comienza su proceso

de desintegración en el mismo momento pero según la siguiente función:

𝑔(𝑡) = 10 ∙ (1

3)

𝑡−20

¿Existe algún instante de tiempo donde ambas sustancias tienen la misma masa?

38. Un decibel, llamado así en honor de Alexander Graham Bell, es el incremento mínimo del volumen

del sonido detectable por el oído humano. En física, se demuestra que cuando se dan dos sonidos de

intensidades I1 e I2 (vatios/cm3), la diferencia en volumen es D decibeles, donde 𝐷 = 10𝑙𝑜𝑔(𝐼1/𝐼2)

Cuando el sonido se clasifica en relación con el umbral de audición humana (I0 = 10−12), el nivel de

conversación normal es aproximadamente 60 decibeles, mientras que en un concierto de rock puede

ser 50 decibeles más alto.

i) ¿Cuánto más intenso es un concierto de rock que una conversación normal?

ii) El umbral de dolor se alcanza cuando el nivel de sonido es aproximadamente 10 veces tan alto

como el de un concierto de rock. ¿Cuál es el nivel del umbral de dolor en decibeles?

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

39. Graficar en forma aproximada las siguientes funciones:

𝑎) 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑏) 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑐) 𝑓(𝑥) =1

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)


~ 15 ~

𝑑) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2)

𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝜋)

𝑔) 𝑓(𝑥) = cos (𝑥 − 𝜋)

ℎ) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +𝜋

2)

𝑖) 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝜋)

𝑗) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(−𝑥) + 1

𝑘) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥)

40. Hallar el o los valores de 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] que son solución de las siguientes ecuaciones:

𝑎) 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1

𝑏) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥)

𝑐) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2 cos2(𝑥) = 1

𝑑) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝜋) = −1

2

𝑒) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = −√3

2

𝑓) 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) =√2

2

𝑔) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 0,2

41. Al inyectar un determinado fármaco a una rata de laboratorio, se observa que el animal presenta

variaciones de temperatura en su medio interno. Se logra establecer que dichas variaciones de

temperatura, en grados Celsius, se modelan mediante la siguiente función:

𝑓(𝑡) = 3 −1

2𝑠𝑒𝑛(2𝑡 − 𝜋)

donde 𝒕 es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el fármaco (en minutos). Representar

gráficamente la función indicando amplitud, período y desplazamiento de fase.


~ 16 ~

DERIVADAS

42. Hallar las funciones derivadas de:

𝑎) 𝑦 = 𝑥2 + ln (𝑥)

𝑏) 𝑦 = √𝑥 + √𝑥3

𝑐) 𝑦 = 𝑥3𝑒𝑥

𝑑) 𝑦 =𝑡𝑔(𝑥)

𝑥2

𝑒) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos (𝑥)

𝑥𝑙𝑛(𝑥)

𝑓) 𝑦 =3𝑥2 + 𝑒2

2𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑔) 𝑦 = cos (3𝑥)

ℎ) 𝑦 = 𝑒𝑡𝑔(𝑥)

𝑖) 𝑦 = √𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑗) 𝑦 = 3𝑥

𝑘) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + cos(𝑥))

𝑙) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(√𝑥)

𝑚) 𝑦 = (𝑥2 − 3𝑥5 +1

2𝑥7)

3

𝑛) 𝑦 = (𝑥2 + 1

𝑥2 − 1)

1/3

ñ) 𝑦 =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2


~ 17 ~

INTEGRALES

43. Hallar las siguientes primitivas:

𝑎) ∫ (cos(𝑥) +2

𝑥) 𝑑𝑥

𝑏) ∫ 𝑥(1 + √𝑥) 𝑑𝑥

𝑐) ∫𝑥2 + 1

𝑥𝑑𝑥

𝑑) ∫4 + √𝑥

𝑥𝑑𝑥

𝑒) ∫ 2𝑥3𝑥 𝑑𝑥

𝑓) ∫(𝑥 + 2√𝑥)2

𝑑𝑥

𝑔) ∫1 + √𝑥 cos(𝑥) + 𝑥

√𝑥𝑑𝑥

ℎ) ∫(2𝑒𝑥 + 7𝑥) 𝑑𝑥

𝑖) ∫49𝑥2 − 9

7𝑥 + 3𝑑𝑥

44. Hallar las siguientes primitivas utilizando el método de sustitución

𝑎) ∫ cos (𝑥 + 1) 𝑑𝑥

𝑏) ∫ 25𝑥 𝑑𝑥

𝑐) ∫(2𝑥 + 10)9 𝑑𝑥

𝑑) ∫ √2𝑥 − 13

𝑑𝑥

𝑒) ∫ 𝑥√𝑥2 + 1 𝑑𝑥

𝑓) ∫ xex2𝑑𝑥

𝑔) ∫1

𝑥 + 2𝑑𝑥


~ 18 ~

ℎ) ∫ln (𝑥)

𝑥𝑑𝑥

𝑖) ∫15𝑥2 + 8𝑥3

(5𝑥3 + 2𝑥4)3 𝑑𝑥

𝑗) ∫6 + 2𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 3𝑥𝑑𝑥

𝑘) ∫ 𝑒10𝑥6𝑥5 𝑑𝑥

𝑙) ∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥

𝑚) ∫𝑒√𝑥 + 1

√𝑥𝑑𝑥

𝑛) ∫𝑥(ln (𝑥2 + 1)

𝑥2 + 1𝑑𝑥

ñ) ∫√𝑒𝑥

𝑥2𝑑𝑥

𝑜) ∫ −𝑒−𝑥 𝑑𝑥

45. Hallar las siguientes primitivas utilizando el método de integración por partes

𝑎) ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑏) ∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥

𝑐) ∫ 𝑥2cos (𝑥) 𝑑𝑥

𝑑) ∫ 𝑥3 ln(𝑥) 𝑑𝑥

𝑒) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

𝑓) ∫ cos (ln(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑔) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥

ℎ) ∫ 𝑒𝑥(3𝑥 − 2) 𝑑𝑥

𝑖) ∫ 𝑒𝑥ln (𝑥) 𝑑𝑥


~ 19 ~

𝑗) ∫(𝑥2 + 1) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

𝑘) ∫ 𝑒𝑥2𝑥 𝑑𝑥

𝑙) ∫(2𝑒𝑥2𝑒−𝑥)𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥

46. Hallar la función 𝐹(𝑥) que verifica:

𝑎) 𝐹′(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑦 𝐹(1) = 3

𝑏) 𝐹′(𝑥) = cos (𝑥) 𝑦 𝐹 (𝜋

2) = 4

𝑐) 𝐹′(𝑥) = 𝑥3 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 𝐹(0) =1

2

𝑑) 𝐹′(𝑥) = −𝑥2 + 𝑒𝑥 𝑦 𝐹(0) = 3

𝑒) 𝐹′(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑦 𝐹(𝜋) = 3

𝑓) 𝐹′(𝑡) = 2𝑡 + 𝑒𝑡 𝑦 𝐹(1) = 0

𝑔) 𝐹′(𝛼) =1

𝛼 𝑦 𝐹(1) = 0

ℎ) 𝐹′(𝜃) =2

3 √𝜃3 𝑦 𝐹(1) = 2

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