trabajo parábolas

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En las siguientes funciones cuadráticas, determine: dominio, rango, coordenadas del

vértice, puntos de corte con los ejes; realice un gráfico. (4,5 puntos)

a) y = f(x) = - 5x2 + 8x – 7

Coordenadas del vértice

a

bf

a

b

2;

2

a=-5

b=8

c=-7

El vértice está en

Corte con los ejes

Con el eje x

Y=0=- 5x2 + 8x – 7

Hay raíces imaginarias pon ende no hay cortes con el eje x.

Con el eje y

Y=-7 el corte con el eje y está en (0, -7)

Gráfico





Dominio

(-∞, +∞)

Rango o Codominio

b) y = h(x) = 1,8x2 + 5,3x – 4,7


a

bf

a

b

2;

2

a=1,8

b=5,3

c=-4,7






Corte con los ejes

Con el eje x

Y=0=1,8x2 + 5,3x – 4,7

Los cortes con el eje x son

Con el eje y

Y=-4,7 el corte con el eje y está en (0, -4,7)

Gráfico

Dominio

(-∞, +∞)

Rango o Codominio





c) s = g(t) = - 1/12.t2 + 23t + 22


a

bf

a

b

2;

2

a=-1/12

b=23

c=22


Corte con los ejes

Con el eje t

0=- 1/12.t2 + 23t + 22

Los cortes con el eje x son

Con el eje s

s=22 el corte con el eje y está en (0, 22)

Gráfico





Dominio

(-∞, +∞)

Rango o Codominio

d) t = f(s) = 283s2 + 310s – 550


a

bf

a

b

2;

2

a=283

b=310

c=-550


Corte con los ejes





Con el eje s

0=283s2 + 310s – 550 = 0

Los cortes con el eje s son

Con el eje t

t=-550 el corte con el eje t está en (0, -550)

Gráfico





Dominio

(-∞, +∞)

Rango o Codominio

Actividad de aprendizaje 2.2

1. Se demandan mensualmente “q” unidades de pantalones al precio de “p” dólares la

unidad. Esta demanda está expresada mediante la relación: 20q + 1200p = 150 000.





El costo de la elaboración de cada pantalón es de $5 por mano de obra y de $6 por

los materiales, mientras que los costos anuales fijos son de $15 000. a) Determine la función utilidad en términos de “p” y grafíquela.

Utilidad = U

Utilidad = Ingresos Totales – Costo Total

Costo Total = Costo Fijo + Costo Variable

Reemplazando esto en la ecuación de la Utilidad tenemos

Utilidad en función de p sería

b) Determine la función utilidad en términos de “q” y grafíquela.





c) ¿Cuáles son el precio y la cantidad que hacen nula la utilidad?

Cantidad





Precio

Los precios que hacen nula la utilidad son $13,24 y $122,76

Las cantidades que hacen nula la utilidad son 134,21 unidades y 6705,79 unidades.

2. Un patio de autos tiene 150 autos pequeños en venta. La ganancia mensual obtenida

por la venta de “q” autos está dada por: G = -10q2 + 1760q – 50 000. ¿Cuántas

unidades deben venderse para que la ganancia mensual sea máxima y cuál es la

máxima ganancia mensual que se puede obtener?

Para encontrar la ganancia máxima hay que hallar el vértice de la parábola que representa

la ecuación de la ganancia mensual.


a

bf

a

b

2;

2

a=-10

b=1760

c=-50000


Se deben vender 88 unidades para tener una ganancia máxima de $27440.

3. La demanda mensual de discos de embrague de auto es: q = 1200 - 800p. El costo

por mano de obra es de $15 y el de los materiales de $50 por cada unidad, mientras

que los costos fijos ascienden a $5000. ¿Qué precio por unidad deberá fijarse al

consumidor con el objeto de que la utilidad sea máxima? Halle la función utilidad

en términos de p y grafíquela. (1,5 puntos)


1. En las siguientes expresiones halle sus intersecciones con los ejes, su dominio y

rango, examine sus simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen, analice

si existen o no asíntotas y realice un gráfico de la expresión.

a. 6xy - 4y - 5x - 15 = 0





Intersecciones con los ejes

Intersección con el eje x

6x(0) – 4(0) - 5x - 15 = 0

-5x=15

X=-3

Intersección con el eje x (-3, 0)

Intersección con el eje y

6(0)y - 4y – 5(0) - 15 = 0

-4y=15

Y=-15/4

Intersección con el eje y (0, -15/4)

Dominio

Despejando y

6x-4≠0

x≠4/6

x≠2/3

Dominio sería (-∞, 2/3) U (2/3, +∞)

Rango o Codominio

Despejando x

6y-5≠0

y≠5/6

Rango sería (-∞, 5/6) U (5/6, +∞)





Simetrías

Simetría con el eje x

6xy - 4y - 5x - 15 = 0

6x(-y)-4(-y)-5x-15=0

-6xy+4y-5x-15=0

No hay simetría con respecto al eje x.

Simetría con el eje y

6(-x)y - 4y – 5(-x) - 15 = 0

-6xy-4y+5x-15=0

No hay simetría con respecto al eje y.

Simetría con el origen

6xy - 4y - 5x - 15 = 0

6(-x)(-y) – 4(-y) – 5(-x) - 15 = 0

6xy+4y+5x-15=0

No hay simetría con respecto al origen.

Asíntotas

Asíntota en x

Del dominio tenemos que la asíntota sería x=2/3

Asíntota en y

Del rango tenemos que la asíntota sería y = 5/6

Gráfico





b. -7x - 3xy + 64y + 9 =0



-7x+9=0

X=9/7

Intersección con el eje x sería (9/7, 0)


64y+9=0

Y=-9/64

Intersección con el eje y sería (0, -9/64)

Dominio

Despejando y tenemos

Y(-3x+64)=7x-9

64-3x≠0

64/3≠x





Dominio sería (-∞, 64/3) U (64/3, +∞)

Rango o Codominio

Despejando x tenemos

X(-7-3y)=-9-64y

7+3y≠0

-7/3≠y

Rango sería (-∞, -7/3) U (-7/3, ∞)

Simetrías


-7x - 3xy + 64y + 9 =0

-7x-3x(-y)+64(-y)+9=0

-7x +3xy -64y +9 = 0

No hay simetría con respecto al eje x.


-7x - 3xy + 64y + 9 =0

-7(-x) – 3 (-x)y + 64y +9 = 0

7x+3xy+64y+9=0



-7x - 3xy + 64y + 9 =0

-7(-x) – 3(-x)(-y) + 64(-y) + 9 = 0

7x – 3xy – 64y + 9 = 0






Asíntotas

Asíntota en x

Del análisis del domino tenemos que la asíntota en x sería:

X=64/3

Asíntota en y

Del análisis del rango tenemos que la asíntota en y sería:

Y=-7/3

Gráfico

c. 13263 2 xxy

13263 2 xxy







Las intersecciones con el eje x serían

y


Esa raíz no existe por ende no hay intersección con el eje y.

Dominio

De la función dada tenemos que dentro de la raíz deben haber números mayores o iguales a

cero, así:

En el análisis de las intersecciones con el eje x teníamos que x es igual a los siguientes

valores

De donde tenemos factorando dentro de los números reales se tendría lo siguiente

De allí tenemos entonces que

El dominio sería entonces

U

Rango o Codominio

Decíamos que y además tenemos que , sabemos

que la variable y al cuadrado siempre va a dar un número positivo lo que indica que para





cualquier valor de y ; entonces el rango sería todos los valores en el campo de los

reales.

(-∞, +∞)

Simetrías


13263 2 xxy =>

Sí hay simetría con respecto al eje de las x.





Asíntotas

Asíntota en x

No hay asíntota en el eje x.

Asíntota en y

No hay asíntota en el eje de las y.

Gráfico





2. En la siguiente función, determine sus puntos de corte con los ejes, el dominio y

rango; grafíquela.

d.

22

1

223)(

xsix

xsixyxf

Corte con los ejes

Corte con el eje x

El primer corte con el eje x sería (-7, 0).

No hay valores de x que satisfagan esta ecuación.

Así que solamente hay un corte con el eje de las x que sería (-7, 0).

Corte con el eje y

El corte con el eje de las y serían:

Dominio

El dominio serían todos los números del campo de los reales.

(-∞, +∞)

Rango





Despejando x tendríamos lo siguiente:

El rango sería (-∞, 3)

Gráfico


1. Para un fabricante la ecuación de ingreso total es: 512120 qYTR . Los costos

variables son de $12 por la mano de obra y de $13 por los materiales, mientras que los costos fijos por período son de $1300. Encuentre la cantidad y el precio de equilibrio, tanto gráfica como analíticamente

(recuerde que solo nos interesan los gráficos en el primer cuadrante). Realice un análisis

sobre las finanzas de esta empresa.

¿Qué pasaría si los costos se reducen en un 250%? (2,5 puntos)

El costo variable sería 25q

Utilidad = U

Utilidad = Ingresos Totales – Costo Total

Costo Total = Costo Fijo + Costo Variable

Gráficamente se tendría lo siguiente:





Gráficamente se ve que aproximadamente la cantidad para el punto de equilibrio es de 20

y 152 unidades.

Analíticamente.

Se sabe que el punto de equilibrio se tiene cuando a utilidad es cero es decir no hay ni

pérdida ni ganancia. Entonces

q≈18,28

q≈154,2

El precio sería

Con q=18,28 sería p=$96,10

Con q=154,2 sería p=$33,43





Veamos qué sucede cuando los costos se reducen en un 250%. Si se redujeran en un

100%, todo sería ganancia, pero si se reducen en un 250% significa que alguien nos

estaría pagando por estar fabricando, lo cual es ilógico.

2. Las estadísticas obtenidas por los restaurantes de la cadena Toronto muestran que cada vez más comensales se sirven por sí solos la comida. La siguiente función da las ventas de autoservicio como porcentaje de todas las ventas de comida.

206)6(98,15

60176)(

4/1 tsit

tsittf

En este caso, t es el tiempo en años y t = 0 corresponde al año de inicio 1985.

a. Realice un gráfico de la función. b. ¿Cuál porcentaje de las ventas al inicio de los años de 1994 y 2004 correspondió a

autoservicio? Gráfico

¿Cuál porcentaje de las ventas al inicio de los años de 1994 y 2004 correspondió a autoservicio? Si tomamos como año cero al año 1985 el año 1994 y 2004 serían respectivamente 9 y 19 en la variable t. Entonces

F(9)=21,03 F(19)=30,34

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