1. INTRODUCCIÓN

Las matemáticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos basados en el estudio de patrones y relaciones inherentes a estructuras abstractas. Aunque se desarrollen con independencia de la realidad física, tienen su origen en ella y son de suma utilidad para representarla. Nacen de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los conocimientos científicos. Su estructura se halla en continua evolución, tanto por la incorporación de nuevos conocimientos como por su constante interrelación con otras áreas, especialmente en el ámbito de la ciencia y la técnica.

“No se trata de determinar si es mejor entender las matemáticas como una teoría, como una actividad intelectual o creativa, como un conjunto de procedimientos o como un proceso de modelización. O, por lo menos, no debemos plantear la discusión en términos absolutos, porque sólo llegaríamos a la conclusión de que todos tienen una parte de razón: las matemáticas son una teoría y un lenguaje, una actividad de utilización rutinaria de conocimientos previos y, a la vez una actividad creativa que incluye siempre un proceso de modelización”. (Marianna Bosch)

2. OBJETIVOS

- Realizar los ejercicios planteados utilizando los conocimientos adquiridos en clase.

- Utilizar los modelos matemáticos para deducir los problemas del mundo real.

- Desarrollar el conocimiento del estudiante en modelos matemáticos.

PROBLEMAS

Reproduzcan el campo direccional dado generado por computadora. Después dibuje a mano, una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados.Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución.

dydx

=e−0.01x y2

a) y (6) = 0 b) y (0) = 1

c) y (0) = 4 d) y (8) = 4

Ejercicio 3: Página 89

La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cual será la población pasados 30 años?, ¿Que tan rápido está creciendo la población en t=30?

Solución:

Conociendo P = P(t) siendo la población en el tiempo t. Entonces dP/dt = kP y P = cekt.

A partir de P(0) = c = 0, vemos que P = 500 ekt. A partir del 15% de 500 es 75, tenemos

P(10) = 500 e10k = 575, resolviendo por el método resulta k = (1/10)ln(575/500) = (1/10)ln1.15. Cuando t = 30.:

P(30) = 500 e(1/10)(ln1.15)30 = 500 e3(ln1.15) = 760 años

P'(30) = kP(30) = (1/10)(ln1.15)760 = 10.62 personas/año

Ejercicio 19: Página 9019. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70°F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó a 85°F. Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80°F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t=0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98,6°F. Determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? (sugerencia: Sea que t1>0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.)DATOS:Tm=70T0=98.6°F; t=0T1=85°F; t=t1T2=80°F; t=t1+1

dTdt

=k (T−70)

dTT−70

=kdt

∫ dTT−70

=∫kdt

ln (T−70 )=kt+c1

T−70=℮kt+C 1

T−70=℮kt℮C 1

T−70=C 2℮kt

T=70+C2℮kt

Consideramos que T (0)=98.6

T=70+C2℮kt

98.6=70+C2℮k(0)

98.6=70+C 2(1)

C2=28.6

Tenemos

T (t)=70+28.6℮kt

Reemplazamos t=t1 y t=t2=t1+1

(1) T (t 1 )=70+28.6℮kt 1=85entonces→

℮kt1= 1528.6

invirtiendo→

℮−kt1=28.615

(2) T (t 1+1 )=70+28.6=80entonces→

℮k(t1+ 1)= 1028.6

Despejo ℮k en la ecuación (2)

℮k+ t1= 1028.6

℮k℮kt1= 1028.6

℮k= 1028.6℮kt 1

(3) ℮k= 1028.6℮kt 1=

1028.6

℮−kt1

Reemplazo (1) en (3)

℮k= 1028.6

℮−kt1

℮k=

1028.6

∗28.6

15

℮k=1015

℮k=23por ley de logaritmos

→

k=ln 23

Para t=t1

T (t 1)=70+28.6℮ln 2

3∗t1

85=70+28.6℮ln 2

3∗t1resolviendo

→ 1528.6

=℮ln 2

3∗t 1

ln 1528.6

=ln 23∗t 1entonces

→

t 1=1.591645≈1.6h

Ejercicio 35: Página 91

Resistencia del aire En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es

donde k >0 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo.

1. Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v (0) =v0.2. Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o

terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1.

3. Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por ds/dt =v(t), determine una expresión explícita para s(t), si s(0)=0.

SOLUCIÓN:1. Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v (0) =v0.

dvdt

+ km

v=g, donde: P (v )= km

f (v )=g

Solución de la ED complementaria:

ddv

(e∫ P ( v ) dv t )=0 ; e∫ k

m dv=e

km v

ddv

(ekm v

t )=0

c=ekm v

t

t=ce−km v

Solución de la ED particular:

ddv

(e∫ P ( v ) dv t )=e∫P ( v ) dv f (v)

ddv

(ekm v

t )=ekm vg

∫ d (ekm v

t )=∫ ekm v

gdv

ekm v

t=g∫ ekm v

dv ;

ekm v

t=g∫ ez mkdz

ekm v

t=g mkez=mg

ke

km v

t=mgk

SOLUCIÓN TOTAL

t=ce−km v

+mgk

; v (0 )=v0

0=ce−km v0

+mgk

−mgk

=ce−km v0

c=−mgk

ekm v0

t=(−mgk

ekmv0)e

−km v

+mgk

v ( t )=mgk

+(v0−mgk )e

−km t

2. Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1.

kmv=z

dz= kmdv

dv=mkdz

v→mgk

comot→∞

3. Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por ds/dt =v(t), determine una expresión explícita para s(t), si s(0)=0.

dsdt

=mgk

+(v0−mgk )e

−km t

∫ ds=mgk ∫ dt+(v0−

mgk )∫e

−km t

dt

s=mgk

t+(v0−mgk )(−m

ke

−km

t)+cs=mg

kt−m

k (v0−mgk )e

−km t

+c ; s(0)=0

0=mgk

0−mk (v0−

mgk )e0+c

c=mk (v0−

mgk )

s=mgk

t+(v0−mgk )(−m

ke

−km

t)+mk (v0−

mgk )

Ejercicio 41: Página 92En un modelo del cambio de población de P(t) de una comunidad, se supone que:

dPdt

=dBdt

−dDdt

Donde dBdt

y dDdt son las tasas de natalidad y mortalidad respectivamente.

a) Determine P(t) si dBdt

=k 1P y dDdt

=k2 P

dPdt

=k1 P−k2P

dPdt

=P(k1−k2)

∫ dPP

=∫ k1dt−∫ k2dt

lnP=k1 t−k2 t+P0

lnP=(k1−k2) t+P0

P0 e(k1−k2)t=P

P(t)=P0 e(k1−k2)t

b) Analice los casosa. k1>k2

k1=2k 2=1t=2años

P (t )=P0 e( k1−k2) t

P(t)=P0 e(2−1 )2

P (t )=P0 e2

Si la constante de natalidad es mayor que la de mortalidad la población con respecto al tiempo va a ser mayor que la población inicial.

b. k1=k2

k1=2k 2=2t=2años

P (t )=P0 e( k1−k2) t

P(t)=P0 e(2−2 )2

P ( t )=P0 e0

P (t )=P0

Si las constantes de natalidad como de mortalidad son iguales la población con respecto al tiempo va a ser igual a la población inicial.

c. k1<k2

k1=1k 2=2t=2años

P (t )=P0 e( k1−k2) t

P(t)=P0 e(1−2 )2

P ( t )=P0 e−2

Si la constante de natalidad es menor que la de mortalidad la población con respecto al tiempo va a ser menor que la población inicial.

Ejercicio 35: página 104Ley de Torricelli. Si perforamos un agujero en un cubo lleno de agua, el líquido sale con una razón gobernada por la ley de Torricelli, que establece que la razón de cambio del volumen es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido.La ecuación de la razón dada en la fig. surge del principio de Bernoulli de hidrodinámica que establece que la cantidad P+ 1

2ρV 2+ ρgh es una

constante. Aquí P es la presión, ρ es la densidad del fluido, v es la velocidad y g es la aceleración de la gravedad. Comparando la parte superior el fluido, a la altura h, con el fluido en el agujero, tenemos que

Pparte superior+12ρV2

parte superior+ρgh = P agujero+12ρV2

agujero+ρg(0)

Si la presión en l parte superior y en el fondo son las dos igual a la presión atmosférica y el radio del agujero es mucho menor que el radio del cubo, entonces

Pparte superior = P agujero y v parte superior = 0, por lo que ρgh=12ρV2

agujero conduce

a la ley de Torricelli: v = √2gh. Puesto que dVdt =−Aagujerov, tenemos la

ecuación diferencial que dVdt =−Aagujero√2gh CUBO CON GOTERA

EN ESTE PROBLEMA, VEMOS UNA COMPARACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TORRICELLI CON LOS DATOS REALES.

a) Si el agua está a una altura h, podemos encontrar el volumen de agua en el cubo usando la formula V (h)= π

3m [(mh+RB)3−RB

3 ] en donde

m= (RT-RB)/H. Aquí RT y RB denotan el radio de la parte superior y del fondo del cubo, respectivamente y H denota la altura del cubo. Tomando esta fórmula como dada, se deriva para encontrar una relación entre las razones dVdt y dhdt .

b) Use la expresión deducida en el inciso a) para encontrar una ecuación diferencial para h(t) (es decir, tendría una variable independiente t, una variable dependiente h y las constantes en la ecuación).

c) Resuelva esta ecuación diferencial usando separación de variables. Es relativamente directo determinar al tiempo como una función de la altura, pero despejar la altura como una función del tiempo puede ser difícil.

d) Haga una maceta, llénela con agua y vea como gotea. Para un conjunto fijo de alturas, registre el tiempo para el que el agua alcanza la altura. Compare los resultados con los de la ecuación diferencial.

e) Se puede ver que una ecuación diferencial más exacta es dVdt

=−(0.84)Aagujero√2gh. Resuelva esta ecuación diferencial y compare los resultados del inciso d).

DESARROLLO

a)dVdt

= π3m

3 (mh+RB)2∗m dh

dt

Ec1 : dVdt

=π(mh+RB)

2∗dhdt

COMO dVdt=−Aagujero;√2gh Y dVdt y dhdt .

ENTONCES: dhdt

=dVdt

1π (mh+RB)

2 Ec 2. Por lo tanto remplazando Ec1 en

Ec2

dhdt

=−A agujero√2ghπ (mh+RB)

2

dhdt

= −Aagujero √2 ghπ (m2h2+2mhRB+RB

2 )

dhdt

= −A agujero√2 gπ (m2h3 /2+2mh1/2RB+RB

2 )

b) ∫ (m2h32 +2mh

12 RB+RB

2 )dh=¿ −A agujero√2gπ ∫ dt ¿

m22h52

5+

2∗2mh32 RB

3+2h

12 RB=

−A agujero√2gπ

∗t+C

25m2h

52+ 4

3mh

32 RB+2h

12 RB=

−Aagujero √2 gπ

∗t+C

2h12 ¿ Con t(o)=H

c) H12 2(m2 H 2

5+ 2

3mH 2RB+RB

2 )=C

2h12 ¿

t= - HAh1 /22(m2H 2

5+ 2

3mH 2RB+RB

2 )* 1√2 g

- H12 2(m2 H 2

5+ 2

3mH 2RB+RB

2 )

Ejercicio 21: Página 113UN PROBLEMA DE MEZCLAS

Un par de tanques están conectados como se muestra en la fi gura 3.3.12. Al tiempo t _ 0, el tanque A contiene 500 litros de líquido, 7 de los cuales son de etanol. Comenzando en t _ 0, se agregan 3 litros por minuto de una solución de etanol a 20%. Además se bombean 2 L/min del tanque B al tanque A. La mezcla resultante es continuamente mezclada y se bombean 5 L/min al tanque B. El contenido del tanque B es también continuamente mezclado.Además de los 2 litros que se regresan al tanque A, 3 L/min se descargan desde el sistema. Sean que P(t) y Q(t) denoten el número de litros de etanol en los tanques A y B al tiempo t. Queremos encontrar P(t). Usando el principio de que razón de cambio -razón de entrada de etanol – razón de

salida de etanol, obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

a) Analice cualitativamente el comportamiento del sistema. ¿Qué ocurre a corto plazo? ¿Qué ocurre a largo plazo?b) Intente resolver este sistema. Cuando la ecuación (19) se deriva respecto al tiempo t, se obtiene

Sustituyendo (20) en esta ecuación y simplificando.c) Muestre que cuando se determina Q de la ecuación (19) y se sustituye la respuesta en el inciso b), obtenemos:

d) Está dado que P(0) =200. Muestre que P(0) =63/50. Después resuelva la ecuación diferencial en el inciso c) sujeto a estas condiciones iniciales.e) Sustituya la solución del inciso d) en la ecuación (19) y resuelva para Q(t).f) ¿Qué les pasa a P(t) y Q(t) conforme t ---∞?

a) Analice cualitativamente el comportamiento del sistema. ¿Qué ocurre a corto plazo? ¿Qué ocurre a largo plazo?

A corto plazo: Aquí en los tanques aun tendremos un contenido del líquido constante, lo cual aun no se puede confirmar, porque es corto el tiempo.A largo plazo: aquí como tenemos que la cantidad de líquido que entra es igual a la que sale pero 2 litros del tanque B pasan al tanque A, y 5 litros del tanque A al B así tendremos más cantidad de líquido en el tanque B , y con el paso del tiempo tendremos contenido solamente contenido en el tanque B, y no podrá ser bombeado más.

b) Intente resolver este sistema. Cuando la ecuación (19) se deriva respecto al tiempo t, se obtiene

Sustituyendo (20) en esta ecuación y simplificando

d2Pdt2

= 150

∗¿( P100 - Q20 ) - 1

100dpdt = 3

100 d2Pdt2 =¿( P50- Q10) - dpdt = 3

c) Muestre que cuando se determina Q de la ecuación (19) y se sustituye la respuesta en el inciso b), obtenemos:

( P50- Q10)= 3100

P

Q=−p100

Reemplazo:

Ejercicio 15: Página 115

ACUÍFEROS Y LA LEY DE DARCY

De acuerdo con el departamento de servicios de Sacramento en California, aproximadamente 15% del agua para Sacramento proviene de acuíferos. A diferencia de fuentes de agua tales como ríos o lagos que yacen sobre del suelo, un acuífero es una capa de un material poroso bajo el suelo que contiene agua. El agua puede residir en espacios vacíos entre rocas o entre las grietas de las rocas. Debido al material que está arriba, el agua está sujeta a una presión que la impulsa como un fluido en movimiento. La ley de Darcy es una expresión generalizada para describir el flujo de un fluido a través de un medio poroso.Muestra que el flujo volumétrico de un fluido a través de un recipiente es una función del área de sección transversal, de la elevación y de la presión del fluido. La configuración que consideraremos en este problema es el denominado problema para un flujo unidimensional. Considere la columna de flujo como la que se muestra en la fi gura 3.R.5. Como lo indican las flechas, el flujo del fluido es de izquierda a derecha a través de un recipiente con sección transversal circular. El recipiente está lleno con un material poroso (por ejemplo piedras, arena o algodón) que permiten que el fluido fluya. A la entrada y a la salida del contenedor se tienen piezómetros

que miden la carga hidráulica, esto es, la presión del agua por unidad de peso, al reportar la altura de la columna de agua. La diferencia en las alturas de agua en los piezómetros se denota por _h. Para esta configuración se calculó experimentalmente mediante Darcy que:

Donde la longitud se mide en metros (m) y el tiempo en segundos (s):

Q = flujo volumétrico (m3/s)A = área transversal del flujo, perpendicular a la dirección del flujo (m2)K = conductividad hidráulica (m/s)L =longitud de la trayectoria de flujo (m)h = diferencia de carga hidráulica (m)

Donde la carga hidráulica en un punto dado es la suma de la carga de presión y la elevación, el flujo volumétrico puede rescribirse como:

Donde:

p = presión del agua (N/m2)r = densidad del agua (kg/m3)g = aceleración de la gravedad (m/s2)y = elevación (m)

Una forma más general de la ecuación resulta cuando el límite de ∆h respecto a la dirección de flujo (x, como se muestra en la fi gura 3.R.5) se evalúa como la longitud de trayectoria del flujo L: 0. Realizando este cálculo se obtiene

Donde el cambio en el signo indica el hecho de que la carga hidráulica disminuye siempre en la dirección del flujo. El flujo volumétrico por unidad de área se llama flujo q de Darcy y se define mediante la ecuación diferencial

Donde q se mide en m/s

a) Suponga que la densidad del fluido p y el fluido de Darcy q son funciones e x. Despeje la presión p de la ecuación (1). Puede suponer que K y q son constantes.

q=−K ddx

∆ [ ppg

+ y ]

∫ q ( x )dx=−K∫ ddx

∆ [ ppg

+ y ]

∫ q ( x )dx=−K [p ( x )p ( x )g

+ y ]

∫ q ( x )dx=K [−p ( x )p ( x )g

− y]

p ( x )=−p ( x ) g ¿

b) Suponga que el flujo de Darcy es evaluado negativamente, es decir, q<0 ¿Qué indica esto respecto del cociente p/p? en concreto, ¿ el cociente entre la presión y la ensidad aumena o disminuye respecto a x? suponga que la elevación y del cilindro es fija. ¿Qué puede inferirse acerca del cociente p/p si el flujo de Darcy es cero?

p ( x )p ( x )

=−g¿o ,−∞ ¿

p ( x )p ( x )

=−gy− gK

[−∫ q ( x )dx ¿]¿

p ( x )p ( x )

=−gy+ gK∫ q ( x )dx¿¿

El coeficiente p ( x )p ( x )

va aumentando mientras que q(x) disminuye (es decir, es negativo)

p ( x )p ( x )

=−gy+ gK∫ q ( x )dx¿¿

q ( x )=0

p ( x )p ( x )

=−g( y+ cK

)

Entonces:g=cte ; y=cte ; K=cte; c=cte

El coeficiente p ( x )p ( x )

es constante

c) Suponga que la densidad del fluido p es constante. Despeje la presión p(x) de la ecuación (1) cuando el flujo de Darcy es proporcional a la presión, es decir q= αρ, donde α es una constante de proporcionalidad. Dibuje la familia de soluciones para la presión.

q=−K ddx

∆ [ ppg

+ y ]

∫ q ( x )dx=−K∫ ddx

∆ [ ppg

+ y ]

∫ q ( x )dx=−K [ ppg

+ y ]

p ( x )=pg¿

d) Ahora si suponemos que la presión p es constante pero la densidad p es una función de x. entonces el flujo de Darcy es una función de x. Despeje la densidad p(x) de la ecuación (1) cuando el flujo de Darcy es proporcional a la densidad, q = βρ, donde β es una constante de proporcionalidad

q=−K ddx

∆ [ ppg

+ y ]

∫ q ( x )dx=−K∫ ddx

∆ [ ppg

+ y ]

∫ q ( x )dx=−K [ pp(x )g

+ y ]

−1p ( x )

=∫ q ( x )dx+Ky

Kp

p ( x )=−Kpg¿¿

Ejercicio 59: Página 14059. En el problema 59 utilice un SAC como ayuda para resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda para resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes Ci i=1, 2, 3, 4 que resulta luego de aplicadas las condiciones iniciales a la solución general.

2 y (4 )+3 y ' ' '−16 y ' '+15 y '−4 y=0

y (0 )=−2; y ' (0 )=6 ; y ' ' (0 )=3 ; y ' ' ' (0 )=12

emx (2m4+3m3−16m2+15m−4 )=0

2 3 -16 15 -4 1 2 5 -11 4

2 5 -11 4 0 -4 -8 12 -4

2 -3 1 0

(m−1 ) (m+4 ) ( 2m2−3m+1 )=0

m3=3−√9−8

4=1

2

m4=3+√1

4=1

m1=1 ;m2=−4 ;m3=12;m4=1

1) y=C1 ex+C2 xe

x+C3e−4 x+C4 e

12 x

2) y '=C1ex+C2 e

x+C 2x ex−4C3e

−4 x+ 12C4 e

12 x

3) y ' '=C1ex+2C 2 e

x+C2 xex+16C3e

−4 x+ 14C4 e

12 x

4) y ' ' '=C 1 ex+3C2 e

x+C 2x ex−64C3 e

−4 x+ 18C 4e

12 x

Reemplazando y (0 )=−2; y ' (0 )=6 ; y ' ' (0 )=3 ; y ' ' ' (0 )=12

Tenemos:1) −2=C1+C3+C4

2) 6=C1+C2−4 C3+12C4

3) 3=C1+2C2+16C3+14C4

4)12=C1+3C2−64C3+

18C4

1 0 1 1 -1 C1 -21 1 -4 0,50 x C2 = 61 2 16 0,25 C3 3

1 3 -640,12

5 C4 1

-2,56 6,24 -1,80 -0,88 -2 36 5/7

0,80 -2,20 1,00 0,40 x 6 = -11 3/50,00 -0,02 0,02 -0,01 3 -0 3,56 -6,22 1,78 0,89 1 -38 2/3

C1=36 57;C2=−11 3

5;C3=0 ;C4=−38 2

3

y=36 57ex−11 3

5x ex−38 2

3e

12 x

Ejercicio: 47 Página: 149

1. Y^4 + 2Y” +1 = 2cosx -3senx

emx (m4+m2+1 )=0

Resolviendo la ecuación de cuarto orden utilizando el SAC http://es.easycalculation.com/algebra/quartic-equation.php tenemos que: Hay dos raíces imaginarias dobles

m1= i m2= -i

Por lo tanto:

Yc=eox (C1cosix+C2 senix )+eox x (C2cosix+C 3 senix )+eox (C4 cosix+C5 senix )+e0 x x (C6 cos (−ix )+C7 sen (−ix))

Utilizando el solver para resolución de ecuaciones diferenciales de la página web: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%22%22%2B2y%22%2B1%3D2cosx+-+3senx

La solución de la ecuación diferencial es:

Y ( x )=−14

X2 (cuando x→0 )+C2 X+C1− X2

4+

3 sen ( x )2

−cos (x)