Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Extensión San Cristóbal, Estado Táchira

TRABAJO ESCRITO DEL 3er CORTE

DE FÍSICA II

Profesor: Ing. Charles Villameza

Asignatura: Física II

Alumno: Díaz, Romer C.I. 10.633.880

Sección “E”

Período 2013-2

Febrero del 2014

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CONTENIDO

Fuerza electromotriz inducida; Ley de Faraday y Lenz

Inductancia o autoinductancia mutua

Oscilaciones eléctricas

o Circuito RLC

o Circuito LC

o Circuito RL

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Fuerza electromotriz inducida; Ley de Faraday y Lenz

En su intento por generar una corriente eléctrica a partir de un campo

magnético, Faraday utilizó un aparato como el que se ilustra en la figura.

Conectó una bobina de alambre, X, a una batería. La corriente que fluyó a

través de X produjo un campo magnético que se intensificó mediante el

núcleo de hierro con forma de anillo alrededor del cual se enrolló el alambre.

Faraday esperaba que una fuerte corriente estable en X produjera un campo

magnético suficientemente grande como para producir una corriente en una

segunda bobina Y enrollada sobre el mismo anillo de hierro. Este segundo

circuito, Y, contenía un galvanómetro para detectar cualquier corriente, pero

no incluía batería. No tuvo éxito con corrientes constantes. Pero el efecto

buscado se observó finalmente cuando Faraday notó que la aguja del

galvanómetro en el circuito Y se movía notablemente en el momento en que

cerraba el interruptor en el circuito X. Y la aguja del galvanómetro se movía

notoriamente en la dirección opuesta cuando abría el interruptor en X. Una

corriente constante en X producía un campo magnético constante que no

producía corriente en Y. En Y se producía una corriente sólo cuando la

corriente en X iniciaba o se detenía. Faraday concluyó que, aunque un

campo magnético constante no produce corriente en un conductor, un campo

magnético variable puede generar una corriente eléctrica.

Tal corriente se llama corriente inducida. Cuando cambia el campo

magnético a través de la bobina Y, se induce en ella una corriente como si

estuviera conectada a una fuente de fem. Así, se dice que Un campo

magnético variable induce una fem.

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Faraday realizó más experimentos acerca de la inducción

electromagnética, como se llamó a este fenómeno. Por ejemplo, en la figura

se muestra que, si un imán se mueve rápidamente hacia el interior de una

bobina de alambre, en éste se induce una corriente. Si el imán se retira

rápidamente, se induce una corriente en la dirección opuesta (disminuye B a

través de la bobina). Más aún, si el imán se mantiene estable y la bobina de

alambre se mueve hacia o desde el imán, de nuevo se induce una fem y

fluye una corriente. Se requiere movimiento o cambio para inducir una fem.

No importa si el imán o la bobina se mueven. Es su movimiento relativo el

que cuenta.

Faraday investigó cuantitativamente qué factores influyen en la

magnitud de la fem inducida. Antes que todo encontró que cuanto más

rápidamente cambia el campo magnético, mayor es la fem inducida. También

encontró que la fem inducida depende del área de la espira del circuito. Por

ende, se dice que la fem es proporcional a la tasa de cambio del flujo

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magnético, θB, que pasa a través del circuito o de la espira de área A. El flujo

magnético para un campo magnético uniforme se define de la misma forma

que el flujo eléctrico, a saber, como

Aquí B⊥ es la componente B del campo magnético perpendicular a la

cara de la espira, y θ es el ángulo entre B y el vector A (que representa al

área), cuya dirección es perpendicular a la cara de la espira. Estas

cantidades se muestran en la figura adjunta para una espira cuadrada de

lado cuya área es A=l2. Si el área tiene alguna otra forma, o si no es

uniforme, el flujo magnético se puede expresar

Las líneas de B (al igual que las líneas de E) se pueden dibujar de tal

modo que el número de líneas por unidad de área sea proporcional a la

intensidad del campo. Así, el flujo θB se puede considerar como proporcional

al número total de líneas que pasan a través del área encerrada por la

espira. Esto se ilustra en la figura, donde la espira se ve desde el lado (o

extremo). Para θ = 90°, no pasan líneas de campo magnético a través de la

espira y θB = 0, mientras que θB es un máximo cuando θ = 0°. La unidad de

flujo magnético es el tesla-metro2, que recibe el nombre de weber: 1 Wb = 1

T.m2.

Con la definición de flujo se pueden escribir los resultados de las

investigaciones de Faraday: La fem inducida en un circuito es igual a la tasa

de cambio del flujo magnético a través del circuito:

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Este resultado fundamental se conoce como ley de inducción de

Faraday, y es una de las leyes básicas del electromagnetismo.

Si el circuito contiene N espiras muy apretadas, de manera que el

mismo flujo pasa a través de cada una, se suman las fem inducidas en cada

espira y se obtiene la fem inducida total

El signo negativo en las ecuaciones es para recordar en cuál dirección

actúa la fem inducida. Los experimentos demuestran que Una corriente

producida por una fem inducida se mueve en una dirección de manera que el

campo magnético creado por esa corriente se opone al cambio original en el

flujo.

Este enunciado se conoce como ley de

Lenz. Hay que tener presente que ahora se

estudian dos campos magnéticos distintos: 1. el

campo magnético variable o flujo que induce la

corriente, y 2. el campo magnético producido por

la corriente inducida (todas las corrientes

producen un campo magnético). El segundo

campo se opone al cambio en el primero.

La ley de Lenz se enuncia de otra forma,

válida incluso si no puede fluir corriente (como

cuando un circuito está incompleto). Una fem

inducida siempre está en una dirección que se

opone al cambio originalen el flujo que la

produjo.

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Ahora se aplicará la ley de Lenz al movimiento relativo entre un imán y

una bobina,

El flujo variable a través de la bobina induce una fem en esta última, lo

que produce una corriente. Esta corriente

inducida crea su propio campo magnético. En la

figura disminuye la distancia entre la bobina y el

imán. El campo magnético del imán (y el número

de líneas de campo) a través de la bobina

aumenta y, por lo tanto, el flujo aumenta. El

campo magnético del imán apunta hacia arriba.

Para oponerse al aumento hacia arriba, el campo magnético producido por la

corriente inducida en la bobina necesita apuntar hacia abajo. Así, la ley de

Lenz dice que la corriente se mueve como se indica (use la regla de la mano

derecha). En la otra figura el flujo disminuye

(pues el imán se aleja y B disminuye), de manera que la corriente inducida

en la bobina produce un campo magnético hacia arriba a través de la bobina

que “intenta” mantener el estado inicial. En consecuencia, la corriente en la

segunda figura va en la dirección opuesta a la de la primera.

Es importante hacer notar que, siempre que existe un cambio en el flujo

a través de la bobina, se induce una fem; ahora se considerarán algunas

posibilidades. Puesto que el flujo magnético vemos que es posible inducir

una fem de tres formas: 1. mediante un campo magnético variable B; 2. al

cambiar el área A de la espira en el campo; o 3. al cambiar la orientación u

de la espira con respecto al campo.

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Inductancia o autoinductancia mutua

Considere un circuito formado por un interruptor, un resistor y una fuente

de fem, como se muestra en la figura.

El diagrama de circuito se representa en perspectiva para mostrar las

orientaciones de algunas líneas de campo magnético debido a la corriente en

el circuito. Cuando el interruptor se coloca en posición cerrada, la corriente

no salta inmediatamente de cero a su valor máximo ε/R. Para describir este

efecto se puede utilizar la ley de la inducción electromagnética de Faraday

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Conforme la corriente aumenta con el tiempo, el flujo magnético debido a

esta corriente, a través de la espira del circuito, también aumenta. Este flujo

creciente genera una fem inducida en el circuito. La dirección de la fem

inducida es tal que causaría una corriente inducida en la espira (si ésta no

llevase ya una corriente), que establecería un campo magnético opuesto al

cambio en el campo magnético original. Por lo tanto, la dirección de la fem

inducida es en sentido opuesto a la dirección de la fem de la batería, lo que

da como resultado un incremento gradual, en vez de instantáneo, de la

corriente hasta que alcance su valor de equilibrio final. Debido a la dirección

de la fem inducida también se le conoce como fuerza contraelectromotriz,

que es similar a la que se presenta en un motor. Este efecto se llama

autoinducción debido a que el flujo cambiante a través del circuito y la fem

inducida resultante surge del circuito mismo. La fem εL establecida en este

caso se llama fem autoinducida.

Para obtener una descripción cuantitativa de la autoinducción, recuerde

la ley de Faraday, la cual dice que la fem inducida es igual al negativo de la

rapidez de cambio en el tiempo del flujo magnético. Éste es proporcional al

campo magnético que en su momento es proporcional a la corriente en el

circuito. Debido a eso, una fem autoinducida siempre es proporcional a la

rapidez de cambio en el tiempo de la corriente. Para cualquier espira de

alambre, se puede escribir esta proporcionalidad como

donde L es una constante de proporcionalidad —llamada inductancia de la

espira— que depende de la geometría de la espira y de otras características

físicas. Si considera una bobina con espacios cerrados de N vueltas (un

toroide o un solenoide ideal) que lleva una corriente I y contiene N vueltas, la

ley de Faraday dice que al combinar esta expresión da:

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donde se supone que pasa el mismo flujo magnético a través de cada una de

las vueltas y L es la inductancia de toda la bobina. También se escribe la

inductancia como la relación

Recuerde que la resistencia mide la oposición a la corriente (R = ΔV/I ); en

comparación, la última ecuación muestra que la inductancia es una medida

de oposición a un cambio en la corriente.

La unidad del SI para la inductancia es el henry (H), que equivale a 1

volt-segundo por cada ampere: 1 H = 1 V x s/A.

La inductancia de una bobina depende de su geometría. Esta

dependencia es similar a la capacitancia de un capacitor que depende de la

geometría de sus placas. Calcular la inductancia puede ser bastante

complicado en el caso de geometrías complejas, pero para situaciones

simples son más fácilmente operables.

Con frecuencia, el flujo magnético a través del área encerrada por un

circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables con el tiempo en

circuitos cercanos. Esta situación induce una fem a través de un proceso

conocido como inductancia mutua, denominada así porque depende de la

interacción de dos circuitos.

Considere dos bobinas de alambre enrolladas apretadamente, como se

muestra en la vista de la sección transversal de la figura.

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La corriente I1 de la bobina 1, la cual tiene N1 vueltas, produce un campo

magnético. Parte de las líneas de este campo pasan a través de la bobina 2,

la cual tiene N2 vueltas. El flujo magnético causado por la corriente de la

bobina 1 y que pasa a través de la bobina 2 está representado por Φ12. Por

analogía se puede identificar la inductancia mutua M12 de la bobina 2

respecto a la bobina 1:

La inductancia mutua depende de la geometría de ambos circuitos y de

su orientación mutua. Conforme aumenta la distancia de separación de los

circuitos, la inductancia mutua disminuye, ya que el flujo que une los circuitos

decrece.

Si la corriente I1 varía con el tiempo, según la ley de Faraday y la

ecuación anterior, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es igual a

12

En la explicación anterior, se supone que la corriente pasa por la bobina

1. También puede imaginar una corriente I2 en la bobina 2. La explicación

precedente puede repetirse para demostrar que existe una inductancia

mutua M21. Si la corriente I2 varía con el tiempo, la fem inducida por la bobina

2 en la bobina 1 es igual a

En la inductancia mutua, la fem inducida en una bobina siempre es

proporcional a la rapidez con la cual cambia la corriente de la otra bobina. A

pesar de que las constantes de proporcionalidad M12 y M21 fueron tratadas

por separado, puede demostrarse que son iguales. Por lo tanto, con M12 =

M21 = M, así:

Estas dos ecuaciones son similares en forma a la ecuación de la fem

autoinducida. La unidad de la inductancia mutua es el henry.

Circuito RLC

El circuito LC es una idealización, pues siempre hay cierta resistencia R

en cualquier circuito, y por eso ahora se estudiará un circuito RLC simple

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Suponga que el capacitor inicialmente tiene una carga Q0 y que la

batería u otra fuente se eliminan del circuito. El interruptor se cierra en t = 0.

Puesto que ahora hay una resistencia en el circuito, se espera que parte de

la energía se convierta en energía térmica, y en consecuencia no se esperan

oscilaciones no amortiguadas, como en un circuito LC puro. De hecho, si se

usa la regla de Kirchhoff de las espiras alrededor de este circuito, se obtiene

que es la misma ecuación para un LC, con la adición de la caída de voltaje

IR a través del resistor. Puesto que I = -dQ/dt, entonces:

Esta ecuación diferencial de segundo orden en la variable Q tiene

precisamente la misma forma que la del oscilador armónico amortiguado:

Por lo tanto, es posible analizar el circuito RLC de la misma forma que

para el movimiento armónico amortiguado. El sistema podría experimentar

oscilaciones amortiguadas, curva A en la figura (sistema subamortiguado), o

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estar críticamente amortiguado (curva B), o sobreamortiguado (curva C),

dependiendo de los valores relativos de R, L y C. Si con L en lugar de m, R

en vez de b, y C-1 en lugar de k, se encuentra que el sistema estará

subamortiguado cuando

y sobreamortiguado para R2 > 4L/C. El amortiguamiento crítico (curva B en la

figura) ocurre cuando R2 = 4L/C. Si R es menor que √4L/C , la frecuencia

angular, ω’, será

Y la carga Q como función del tiempo será

donde Φ es una constante de fase. Los osciladores son un elemento

importante en muchos dispositivos electrónicos: radios y televisores los usan

para sintonía, y las grabadoras los usan (la “frecuencia de polarización”)

cuando graban. Como siempre existe cierta resistencia, los osciladores

eléctricos por lo general necesitan una entrada periódica de potencia para

compensar la energía convertida en energía térmica en la resistencia.

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Circuito LC

En cualquier circuito eléctrico, puede haber tres componentes básicos:

resistencia, capacitancia e inductancia, además de una fuente de fem

(También puede haber componentes más complejos, como diodos o

transistores). Los circuitos LC sólo contienen una capacitancia C y una

inductancia L. Éste es un circuito idealizado en el que se supone que no hay

resistencia.

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Suponga que el capacitor en la figura inicialmente está cargado, de

manera que una placa tiene carga Q0 y la otra placa tiene carga -Q0, y la

diferencia de potencial a través de él es V = Q/C . Suponga que, en t = 0, se

cierra el interruptor.

El capacitor comienza a descargarse inmediatamente. Conforme lo

hace, la corriente I a través del inductor aumenta. Ahora aplique la regla de

Kirchhoff de las espiras (la suma de los cambios de potencial alrededor de la

espira es cero):

Puesto que la carga sale de la placa positiva del capacitor para generar

la corriente I, como se muestra en la figura, la carga Q en la placa (positiva)

del capacitor disminuye, de manera que I = -dQ/dt. Por consiguiente, la

ecuación anterior se puede rescribir como

Ésta es una ecuación diferencial familiar. Puede escribirse como:

donde Q0 y Φ son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

Combinando las ecuaciones se tiene:

ó

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Esta relación es verdadera para todo tiempo t sólo si (-ω2 + 1/LC) = 0, lo

que indica que

La ecuación indica que la carga en el capacitor en un circuito LC oscila

sinusoidalmente. La corriente en el inductor es

de manera que la corriente también es sinusoidal. El valor máximo de I es I0

= ωQ0 = Q0/ √LC- En la figura se grafican las ecuaciones para Q e I

cuando Φ = 0.

Ahora se observarán las oscilaciones LC desde un punto de vista

energético. La energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor en

cualquier instante t es:

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La energía almacenada en el campo magnético del inductor en el mismo

instante es

Si se establece que Φ = 0, entonces, en los instantes t = 0, t = 1/2 T, t=

T (donde T es el periodo = 1/f = 2pi/ω), se tiene y UE = Q0 2 /2C y UB = 0.

Esto es, toda la energía se almacena en el campo eléctrico del capacitor.

Pero, en t= ¼ T, ¾ T , etcétera, UE = 0 y UB = Q0 2 /2C, y de este modo toda

la energía se almacena en el campo magnético del inductor. En cualquier

instante t, la energía total es

En consecuencia, la energía total es constante, y la energía se

conserva. Lo que se tiene en este circuito LC es un oscilador LC o una

oscilación electromagnética. La carga Q oscila de ida y vuelta, desde una

placa del capacitor a la otra, y esto se repite de manera continua. Asimismo,

la corriente oscila de ida y vuelta. También hay oscilaciones de energía:

cuando Q tiene un valor máximo, toda la energía se almacena en el campo

eléctrico del capacitor; pero cuando Q llega a cero, la corriente I alcanza un

máximo y toda la energía se almacena en el campo magnético del inductor.

Por lo tanto, la energía se almacena en el campo eléctrico del capacitor, o

bien, en el campo magnético del inductor.

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Circuito RL

Cualquier inductor tendrá cierta resistencia. Esta situación se representa

ilustrando su inductancia L y su resistencia R por separado, como en la figura

(a). La resistencia R también podría incluir cualquier otra resistencia presente

en el circuito. Ahora preguntamos: ¿Qué ocurre cuando una batería u otra

fuente de voltaje de cd V0 se conecta en serie a tal circuito LR? En el

instante en que se cierra el interruptor que conecta la batería, la corriente

comienza a fluir. Se le opone la fem inducida en el inductor, lo que significa

que el punto B en la (a) es positivo en relación con el punto C. Sin embargo,

tan pronto como la corriente comienza a fluir, a través de la resistencia

también hay una caída de voltaje de magnitud IR. Por lo tanto, se reduce el

voltaje aplicado a través de la inductancia, y la corriente aumenta con menos

rapidez.

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En consecuencia, la corriente se eleva gradualmente, como se indica en

la figura (b), y tiende al valor estable Imáx = V0/R0, para el cual toda la caída

de voltaje es a través de la resistencia.

Esto se demuestra analíticamente al aplicar la regla de Kirchhoff de las

espiras al circuito de la figura (a). Las fem en el circuito son el voltaje de

batería V0 y la fem E = -L(dI/dt) en el inductor, que se opone a la corriente

creciente. Por lo tanto, la suma de los cambios de potencial alrededor de la

espira es

donde I es la corriente en el circuito en cualquier instante. Esto se reordena

para obtener

Ésta es una ecuación diferencial lineal y se puede integrar de la misma

forma que hace para un circuito RC. Rescribimos la ecuación y después

integramos:

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es la constante de tiempo del circuito LR. El símbolo t representa el tiempo

requerido para que la corriente I alcance (1 – 1/e) o 63% de su valor máximo

(V0/R). En la figura (b) se grafica la penúltima ecuación.

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Ejercicios

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