trabajo de matematica 1
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Introducción
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para
solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es
transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la
álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica
La transformada inversa deLaplace para recuperar las soluciones de los
problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre
Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la
variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden
convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un
sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
correspondiente
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1. Definición (Transformada De Laplace)
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de
ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada
de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian
una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones
Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún
tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con
coeficientes constantes.
Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iníciales a la misma
ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente
que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una
ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en
aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la
transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la
variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
Sea f una función definida para t ≥0, la transformada de Laplace de f ( t ) se define
como
Cuando tal integral converge.
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Nota
La letra s representa una nueva variable, quo ara el proceso de la
integración se considera constante
La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la
variable s
Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
De orden exponencial
Continua a trozos
También se puede decir que:
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede
usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y
exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable
compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo.
Función De Orden Exponencial
Esta función es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define
como:
Para enteros positivos se cumple que:
Por lo que esta función puede se vista como la generalización de la función
factorial.
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Continuidad A Trozos
Par motivos prácticos puede pensar a una función así como una función
seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es
continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene
la función son puntos aislados; no intervalos.
Esta función tiene graficas similares a:
Perspectiva Histórica
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático
francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la
probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales
de la forma:
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— Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y
pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler,
también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en
un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:
— Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de
Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y
siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de
ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y
reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones,
aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como
hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:
— Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación
diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó
alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma
reconoció que el método de Joseph Fourierpara resolver por medio de series de
Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral
para un espacio finito con soluciones periódicas.
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Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido,
al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna
aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos
matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría
subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de
resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el
ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores
diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De
acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la
forma:
— Donde D es el operador diferencial, esto es, , entonces la solución
general a dicha ecuación es de la forma:
.
Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica,
era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba.
En efecto, según la solución general, se cumple que:
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Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la
siguiente:
— Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:
Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se
tendría que:
Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba
presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de
la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de
Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos
puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no
podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera
adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo
la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de
manera rigurosa.
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Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta
por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de
cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho
más sistemática a tales métodos.
Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una
herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de
los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es
adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en
que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto
transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas,
mucho más fáciles de resolver.
Propiedades De La Transformada De Laplace
Linealidad
Derivación
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Integración
Dualidad
Desplazamiento De La Frecuencia
Desplazamiento Temporal
Nota: Es La Función Escalón Unitario.
Desplazamiento Potencia N-Ésima
Convolución
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Transformada De Laplace De Una Función Con Periodo P
Condiciones de convergencia
(que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace,
ya que , es una función de orden exponencial de ángulos.
Teorema del valor inicial
Sea una función derivable a trozos y que Entonces:
es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
Teorema del valor final
Sea una función derivable a trozos tal que .Entonces:
es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
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Relación Con Otras Transformadas
La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada
de Fourier y la Transformada Z
Un ejemplo de la relación de de la transformada de Laplace con la transformada
de Z:
La transformada Z bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral
de la señal mostrda
donde es la señal continua muestreada, la n-ésima
muestra, el período de muestreo, y con la sustitución .
Del mismo modo, la transformada Z unilateral es simplemente la transformada de
Laplace unilateral de la señal ideal muestreada.
En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices
negativos en el tiempo.
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2. La Función Escalón Unitario
La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe
su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside.
Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1
para cualquier argumento positivo:
Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales,
representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda
encendida indefinidamente.
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Grafica de la función escalón unitario
Definición
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o
no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un
sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que
suspenderse después de cierto tiempo.
Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir
una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.
La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el
argumento positivo y 0 en el resto del intervalo.
Definimos sólo en el eje t no negativo puesto que es todo lo que nos
interesa en el estudio de la transformada de Laplace.
En el sentido más amplio, cuando . Cuando una función f
definida para se multiplica por , la función escalón unitario
"desactiva" una porción de la gráfica de esa función.
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Propiedades
Cambio de signo del argumento.
La derivada en el sentido de las distribuciones es la Función Delta de Dirac.
Transformada de Laplace.
Límites.
Es la integral de la Función Delta de Dirac.
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El valor de H(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como H(0) = 0,
otros H(0) = 1. H(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza
la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de
la función signo:
Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la
siguiente forma: Plantilla: Ecuación Una forma de representar esta función es a
través de la integral
Consideraciones
La función escalón unitario también se puede utilizar para escribir en forma
compacta funciones definidas por tramos.
Una función general definida por tramos del tipo:
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Es la misma que:
Para 3 funciones tendríamos entonces que:
Es la misma que:
Definición Alternativa
Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas
equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el
valor H(0), que es convencional. La mayoría de las personas lo definen como H(0)
= 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza
la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de
la función signo:
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Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la
siguiente forma:
Una forma de representar esta función es a través de la integral
Definición como límite de otras funciones.
Aproximaciones Analíticas
Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la
función escalón, se puede usar la función logística
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Donde una k más grande corresponde a una transición más afilada en x = 0. Si
tomamos H(0) = ½, la igualdad se establece en el límite:
Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función
escalón. Entre las posibilidades están:
Estos límites se mantienen para todo punto así como en el sentido
de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no
necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la
convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para
todo punto.
en general, cualquier funcion de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución
de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un
parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el
límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos
anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de
probabilidad común: distribución logistica, de Cauchy y normal, respectivamente.
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Primer Teorema De La Función Heaviside
La transformada de la función de Heaviside es
Segundo Teorema De Translación
Si y
Entonces
Forma inversa del segundo teorema de traslación:
Corolario (Forma Alternativa Al Segundo Teorema De Traslación)
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial
en , entonces
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Característica De La Función Escalón Unitario
La función escalón unitario es una función matemática que tiene como
característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su
argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado
matemáticamente seria de la forma:
Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el
argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.
Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen
en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por
la función que define la variable en el tiempo.
En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:
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Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se
obtiene la siguiente gráfica:
Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante
con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que
se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a
partir de este momento tiene como valor f(t).
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Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie
exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la
figura:
En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo,
en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se
vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se
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cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1,
dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -
1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5,
solo se debe variar u(t) a u(t+5) y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el
corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este
caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado.
Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función
escalón unitario,así:
Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición
dada anteriormente.
Otra utilización de la función escalón unitario es la de formar funciones de pulsos o
tipo puerta, como la que se muestra a continuación:
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En esta imagen se muestra la gráfica de una función que tiene el valor de f(t) en
los valores de t comprendidos entre 1 y –1, y siendo 0 para cualquier otro valor
de t, para definir esta función se puede utilizar cualquiera de las siguientes
expresiones :
Aunque ambas funciones dan como resultado la gráfica mostrada anteriormente,
en la primera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la
segunda, se utiliza la multiplicación de funciones escalón unitario. Este tipo de
función comúnmente se llama función puerta de f(t).
En forma general se tendría, la siguiente expresión para realizar una función
puerta, f puerta(t), donde se conectaría en un tiempo t1 y se desconectaría en un
tiempo t2
Existen otras muchas funciones que se pueden expresar utilizando la suma o la
multiplicación de funciones escalón unitario, es también lógico que f(t), puede ser
cualquier tipo de función que varíe en el tiempo, ya sea una expresión matemática,
una variable estadística, etc.
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3. Función Rampa
La función rampa es una función elemental real de un sólo argumento, continua y
diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente
computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto.
Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería
(procesamiento digital de señales, plasticidad, etc.). El término "función rampa" se
debe a la forma de su representación gráfica.
Definición
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La función rampa (denotada de diferentes maneras en la literatura científica:
)
Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:
(en términos de la función valor absoluto)
(en términos de la función máximo)
(en términos de la función unitaria de Heaviside)
Algunas formas menos elementales de definirla son:
(primitiva de la función unitaria de Heaviside)
(producto de convolución)
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Propiedades Analíticas
No-negativa
En todo su dominio de definición, la función rampa es no-negativa (positiva o cero)
y, por tanto, coincide con su valor absoluto:
Derivada
Su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones) es la función unitaria de
Heaviside:
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier de la función rampa viene dada por:
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Donde δ(x) es la delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada).
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace of coincide con la transformada
de ya que para ambas funciones coinciden:
Propiedades Algebraicas
Invariancia de la función
La función rampa es idempotente, lo cual significa que la composición consigo
misma es idéntica a la función original
Demostración:
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Donde se ha usado la propiedad de que la función coincide con su valor absoluto.
4. Transforma De Laplace De Algunas Funciones De Uso General
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para
funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada
de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada
término.
Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la
llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento
es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se
le suele asignar el valor 1/2.
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5. Transformada De Laplace Para Funciones Trigonométricas
Transformada de Laplace del seno y coseno
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Transformada de Laplace de exponencial, tangente
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.
_____________________|____________________________
; s>a
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; s>0
; s>0
; s>0
; s>0
; s>a
; s>a
;
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6. Transformada De Laplace De La Derivada De Una Función
Primer Teorema (transformada de una derivada)
Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo , entonces
Demostración
Integrando por partes
Con un argumento similar podemos demostrar que
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Segundo Teorema (Transformada De Una Derivada)
Si son continuas a trozos y de orden exponencial en el
intervalo , entonces
Este teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la estalación de
una función .
Teorema (Propiedad De Escalación)
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Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en ,
si , entonces
Demostración
Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,
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7. Transformada de Laplace de la integral de una función integral
Se deduce que la transformada de Laplace de la integral ∫0
t
f ( t )dt (la primitiva de f
que se anula en t=0 es F (s )/s .
En efecto, denotando por g(t ) a la integral anterior se tiene que g' (t )= f (t ) y
g (0 )=0 , de donde.
Transformada Inversa De Laplace De Las Integrales.
Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces
L-1 f(u) du = F(t) / t
Ejemplo. Como L-1 1/[s(s + 1)] = L-1 (1/s ) - [1/(s + 1)] = 1 - e-t ,
Tenemos que
L-1 [(1/u) - 1/(u + 1)] du = L-1 ln [1 + (1/s)] = (1 - e-t)/t
MULTIPLICACION POR Sn.
Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t) y F(0) = 0, entonces
L-1 {s f(s)} = F'(t)
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Así que, multiplicar por s produce el efecto de derivar a F(t).
Si F(0) 0,
Entonces
L-1{s f(s) - F(0)} = F'(t)
o L-1{s f(s)} = F'(t) + F(0) (t)
Conclusión
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Al analizar las aplicaciones es sencillo darse cuenta que la transformada de
Laplace es una herramienta muy poderosa para la solución de circuitos con
funciones de excitación en escalón unitario, las cuales son un poco complicadas si
se analizan por los métodos convencionales.
También es importante hacer notar que con el uso de la transformada de Laplace
se tiene un método generalizado para la solución de este tipo de problemas,
incluso para funciones de excitación compleja.
La transformada de Laplace es una herramienta matemática que se emplea en el
análisis temporal y frecuencial de circuitos (haciendo ) y tiene las
siguientes ventajas:
El resultado obtenido es la respuesta completa, con las condiciones
iníciales dadas. No es necesario realizar cálculos adicionales para obtener
la solución de la ecuación homogénea ni ajustar los valores de las
constantes de integración, tal como ocurre con la transformada de Fourier.
Los valores iníciales son atributos de los dispositivos. No es necesario
analizar el circuito en para obtener ecuaciones útiles para ajustar los
valores de las constantes de integración.
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No es necesario manipular las ecuaciones diferenciales del circuito. El
circuito equivalente en el dominio de Laplace cumple los lemas de Kirchhoff
y, por tanto, puede ser analizado mediante cualquier técnica derivada de los
mismos (por ejemplo, las técnicas de análisis de circuitos en continua). Esto
incluye los metodos de mallas, nudos, teoremas de Thevenin, Norton,
Miller, superposición, sustitución, etc.
El cálculo de la transformada inversa, necesario para convertir las señales
del dominio de Laplace al dominio temporal, se simplifica mediante el uso
de tablas.
La respuesta en frecuencia se puede obtener a partir de la
transformada de Laplace, analizando el circuito con condiciones iniciales
nulas y realizando la sustitución
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Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z#Relaci.C3.B3n_con_Laplace
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_seccionada
http://www.slideshare.net/profefisico/transformada-de-laplace-ejercicios-resueltos
http://librospdf1.blogspot.com/2012/03/ejercicios-resueltos-de-transformada-de.html
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap04/Cap4tem1.html
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funci%C3%B3n_Heaviside
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_rampa#Propiedades_anal.C3.ADticas
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node3.html
http://oretano.iele-ab.uclm.es/~pmorales/online/atc-man/node246.html