REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN INSTTUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO SANTIAGO MARIO EXTENSIN MATURN

PROF: ING. JORGE ZIEGLER

BACHILLERES: FABIOLA ZAPATA ADRIANA YTANARE LUISANA CHACON MARIAISABELLA COVA MIGUEL VIVAS

MATURN, FEBRERO DE 2012

INTRODUCCION

Las vigas pueden clasificarse en estticamente determinadas (isoestaticas) y las estticamente indeterminadas (hiperestticas). Cuando se puedan obtener las reacciones de los apoyos a partir de las ecuaciones de la esttica solamente, la viga es estticamente determinada. Si las fuerzas aplicadas a la viga estn limitadas a un plano (el plano xy) se dispone de tres ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones de los apoyos. Cuando la viga tiene ms apoyos de los necesarios para mantener el equilibrio, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones de los apoyos, entonces se dice que son estticamente indeterminadas (o hiperestticas) y para determinar las reacciones de los apoyos se va a las propiedades que relacionan la carga con la deformacin de la viga.

ESTATICAMENTE DETERMINADAS La mayora de las estructuras actuales estn diseadas para soportar slo deformaciones pequeas linealmente. Es importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras estticamente indeterminadas (hiperestticas), en las que las fuerzas en estas ltimas no se pueden obtener nicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio esttico: tambin se requiere conocer algunas de las condiciones geomtricas bajo carga. El anlisis de estructuras estticamente indeterminadas, generalmente requiere la solucin de ecuaciones lineales simultneas, cuyo nmero depende del mtodo de anlisis. Las vigas estticamente determinadas (o cualquier sistema determinado) son aquellas en las que las condiciones y ecuaciones de equilibrio son mayores a todas las restricciones, en este caso a las reacciones en apoyos que se definen dependiendo del tipo de apoyo. Las ecuaciones bsicas son las de equilibrio de fuerzas en X y en Y. y equilibrio de momentos. Un ejemplo sencillo es una viga simplemente apoyada en 2 apoyos, una viga empotrada y en voladizo en el otro extremo. Los momentos flexionantes son fuerzas que tienen a "flexionar" la viga como su nombre lo indica, un momento positivo ser cuando hay tensin en la parte baja y compresin en la parte de arriba y ser negativo en caso contrario. Hay una relacin entre momento y cortante, cuando el cortante es cero, el momento es mximo.

-METODOS DE LAS SECCIONES El mtodo de las secciones es efectivo cuando se desea la fuerza en una barra slo o las fuerzas en un nmero reducido de barras de una armadura simple. El mtodo de las secciones debe tambin emplearse cuando la armadura no es simple.

-METODO DEL TRABAJO VIRTUAL Es entre los tradicionales el procedimiento ms verstil para evaluar deflexiones elsticas de estructuras producidas incluso por causas diferentes de la aplicacin de cargas, como errores de fabricacin o cambios de temperatura. La nica restriccin es que en su forma finita solo es aplicable a aquellos casos en los que es vlido el principio de superposicin.

Se dice que en el trabajo virtual si una estructura deformable, en equilibrio bajo un sistema de cargas, era sometida a una deformacin virtual como resultado de una accin adicional, el trabajo virtual externo hecho por el sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno efectuado por las fuerzas internas causadas por l. Su aplicacin se reduce entonces a evaluar ambas expresiones e igualarlas. -METODO DE LA VIGA CONJUGADA Este mtodo consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan las fuerzas de corte y momento de una viga especial, llamada viga conjugada, que est cargada con el diagrama M/EI de la viga original. La relacin con el mtodo de rea de momentos, tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero y, por consiguiente, en todos los casos se puede averiguar directamente la pendiente y deflexin de cualquier punto de la elstica.

ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

En esttica, una estructura es hiperesttica o estticamente indeterminada cuando est en equilibrio pero las ecuaciones de la esttica resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones. [Una estructura en equilibrio estable que no es hiperesttica es isoesttica]. Existen diversas formas de hiperestaticidad:

Una estructura es internamente hiperesttica si las ecuaciones de la esttica no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma. Una estructura es externamente hiperesttica si las ecuaciones de la esttica no son suficientes para determinar fuerzas de reaccin de la estructura al suelo o a otra estructura.

Una estructura es completamente hiperesttica si es internamente y externamente hiperesttica.

EJEMPLO:

En la viga hiperesttica representada en la figura existen cuatro reacciones para determinar las fuerzas que la viga transmite a sus tres apoyos, tres componentes verticales VA, VB, VC y una componente horizontal HA (F representa aqu la fuerza exterior). A base de las leyes de Newton, las ecuaciones de equilibrio de la esttica aplicables a esta estructura plana en equilibrio son que la suma de componentes verticales debe ser cero, que la suma de fuerzas horizontales debe ser cero y que la suma de momentos respecto a cualquier punto del plano debe ser cero:

V = 0: VA Fv + VB + VC = 0 H = 0: HA Fh = 0 MA = 0:

Fv a VB (a + b) + VC (a + b + c) = 0. Puesto que tenemos tres ecuaciones linealmente independientes y cuatro fuerzas o componentes desconocidos (VA, VB, VC y HA) con slo estas ecuaciones resulta imposible calcular las reacciones y por tanto la estructura es hiperesttica (de hecho, externamente hiperesttica).

Slo cuando se considera las propiedades elsticas del material y se aplican las debidas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones el problema puede ser resuelto (siendo estticamente indeterminado es al mismo tiempo elsticamente determinado) -TEOREMA DE CASTIGLIANO En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesis sobre el Mtodo del Trabajo Mnimo. 1er. Teorema: En 1876 presenta su " Mtodo de clculo de deformaciones " como un primer teorema, que dice: "La derivada parcial del trabajo respecto de una valor de la deformacin que produce 2 Teorema: En relacin al trabajo mnimo, expone su segundo teorema: Cuando un sistema elstico est sometido a la accin de distintas fuerzas, la distribucin del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mnimo ". fuerza, nos da el

La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posicin en la Teora de Estructuras, pues aunque los fundamentos tericos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarroll e hizo aplicables y operativos para el clculo de estructuras hiperestticas.

- MTODO DE CROSS Es un mtodo desarrollado por Cross y Morgan, profesores de la Universidad de Illinois, que permite el clculo de estructuras complejas mediante un mtodo muy operativo. Establece un mtodo de aproximaciones sucesivas que permite definir los diagramas de flectores de las estructuras de prticos mltiples de nudos rgidos y sobre la base de ellos determinar la validez de los dimensionamientos, establecidos en la estructura. La importancia del mtodo de Cross de deriva de que es relativamente sencillo y, adems, aporta un cierto sentido fsico e intuitivo, lo que permite evaluar incluso el propio proceso de clculo. Hasta la aparicin de este mtodo, publicado en 1932, el estudio de algunas estructuras que se pueden realizar por Cross slo eran calculables mediante procedimientos empricos y aproximados.

- MTODO DE LOS TRES MOMENTOS Desarrollado por Clapeyron para el clculo de las vigas continuas es un mtodo muy operativo e interesante por la forma de aplicacin del principio de superposicin as como por la introduccin de las condiciones de continuidad en la tangente de la elstica.

EJERCICIO MTODO DE LA VIGA CONJUGADA Para calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados columnas tenemos los mtodos del eje elstico y rea de momentos pero tambin contamos con un mtodo en donde se emplean una viga ficticia de igual longitud de la viga real, donde sus apoyos se transforman siempre y cuando estas transformaciones se hacen teniendo en cuenta que la viga ficticia debe ser estticamente determinada. La analoga entre las relaciones entre carga-fuerza cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenada nos sugieren que pueden ser determinadas con los mtodos de diagrama de fuerza cortante y momento flector para as calcular las fuerzas siempre y cuando partiendo de las cargas y para ello hay que suponer que la viga est cargada cuyas cargas no son las cargas reales sino con el diagrama de momento reducido correspondientemente a dichas cargas. RESEA HISTORICA El alemn Otto MOHR (1835-1918) hizo grandes aportes a la Teora de Estructuras. Desarrollo el mtodo para determinar las deflexiones en vigas, conocido como el mtodo de las cargas elsticas o la viga conjugada. Present tambin una derivacin ms simple y ms extensa del mtodo general de Maxwell para el anlisis de estructuras indeterminadas, usado los principios del trabajo virtual. Hizo aportes en el anlisis grafico de deflexiones de cercas, con el complemento al diagrama de Williot, conocido como el diagrama de Mohr-Williot, de gran utilidad prctica. Tambin obtuvo su famoso Crculo de Mohr, para la representacin grafica de los esfuerzos en un estado biaxial de esfuerzos. Definicin de la viga conjugada: Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresin. La viga conjugada es siempre una viga estticamente determinada. El mtodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que ser el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada ser el desplazamiento en la misma.

Este mtodo consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexin en cualquier punto de la elstica pues este mtodo es adecuado para clculo de la deflexin estructural. LIMITACIONES La ecuacin es vlida para vigas que no estn sometidas a un esfuerzo que exceda del lmite elstico de sus materiales. Al ser la curvatura pequea, la ecuacin est limitada al estudio de flechas pequeas.

Fundamentos Tericos Derivando 4 veces la ecuacin de la elstica se obtiene

La relacin entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el mtodo de rea de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos.

La analoga entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que stas ltimas se

puedan establecer con los mtodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga est cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de m/EI correspondiente a dichas cargas. Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y la ordenada de la elstica en los mismos puntos de la viga inicial. A este mtodo se le denomina Mtodo de la Viga Conjugada. Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene: El cortante en cualquier seccin de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha seccin. 1. Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia. El momento flector en una seccin de la viga conjugada es la flecha en la viga real de dicha seccin. 2. Ordenada real = Momento Flector Ficticio.

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.

a.-

La

longitud

de

la

viga

real

y

de

la

conjugada

es

la

misma.

b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado. h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacin en la viga conjugada. Relaciones entre los apoyos

Este mtodo al igual que el del eje elstico y rea de momentos nos permite calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados columnas. En este captulo estudiaremos este importante mtodo aplicndolo tanto a vigas como prticos. En cuanto a las caractersticas de la viga conjugada, dado que al cargarse sta con las cargas elsticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elstica de la viga real, sus vnculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas. Analogas de Mohr

Convenios de signos: Si la fuerza cortante sale con signo positivo el giro es horario. Si el momento flector sale con signo negativo la flecha es hacia abajo. Conclusin: El cortante en cualquier seccin de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha seccin. El momento flector en una seccin de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccin.

Relacin entre la viga real y la viga conjugada:

a). Un apoyo extremo en la viga principal ha de transformarse en un apoyo en la viga conjugada. b). Un apoyo intermedio en la viga principal ha de transformarse en una articulacin de la viga conjugada. c). Un extremo empotrado en la viga principal ha de transformarse en un extremo libre en la viga conjugada. d). Un extremo libre en la viga principal ha de transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada. e). Una articulacin en la viga principal ha de transformarse en un apoyo intermedio de la viga conjugada.

Ejercicios: 1). Determinar el giro en B y la fleca en C de la siguiente estructura:

Aplicacin en la vida real. Los puentes de elevacin vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola seccin del puente en forma vertical como si fuera un elevador. Cuando el puente est arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura mxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero.

Utilizando todo lo aprendido acerca del mtodo de la viga conjugada, podremos encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada, a travs de un clculo ms prctico, porque slo nos basta graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como una nueva viga (ficticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando correctamente la relacin que existe entre esta viga ficticia con la real.

Vigas inferiores del puente sobre el ro Cumbaza. San Martin - Per.

Puente Colombia. Tramo Tarapoto-Bellavista

CLCULO DE VIGASCONCLUSIN

MTODO DE LA VIGA CONJUGADA Para calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas . Desarrollado por el alemn Otto MOHR mtodo para determinar las deflexiones en vigas. - vlida para vigas que no estn estn sometidas a un esfuerzo que exceda del lmite elstico. - La ecuacin est limitada al estudio de flechas pequeas.

Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresin. Consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada el momento en la viga conjugada ser el desplazamiento en la misma. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia se obtiene el cortarte que ser el giro de la viga real

Consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas.

Las estructuras estticamente determinadas son analizadas mediante los principios de la esttica; la supresin de cualquiera de sus ligaduras conduce al colapso. Tambin llamada estructura isosttica. Las estructuras estticamente indeterminada necesita ms elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresin de uno de ellos no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones de funcionamiento esttico. Tambin llamada estructura hiperesttica. Cuando una estructura tiene ms reacciones externa o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la esttica, la estructura es estticamente indeterminada o hiperesttica o contina producir fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa. Lo mismo puede decirse de las armaduras estticamente determinadas. Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas. Las losas de concreto, las vigas de apoyo, as como parte de las columnas pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de elemento a elemento estructural as como de claro a claro. Cuando se tienen juntas de construccin, las barras de refuerzo se dejan sobresalir del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse posteriormente. Al comparar las estructuras hiperestticas con las isostticas, la primera consideracin deber corresponder al costo. Sin embargo, es imposible justificar econmicamente la seleccin de uno u otro tipo de estructura sin ciertas reservas. Cada forma estructural presenta una situacin diferente y, por tanto, debern tenerse en cuenta todos los factores, ya sean de ndole econmica o de otro tipo.