torsion

TEORÍA

Ayudante de TP:

Ing. Hugo Tosone

Marzo de 2010

Profesor:

Ing. CIVILR

ES

IST

EN

CIA

DE

MA

TE

RIA

LES

TORSIÓN

Mt

Mt

Ing. Alejandro Carrere

UniversidadTecnológicaNacional

FacultadRegionalSanta Fe

UniversidadTecnológicaNacional

FacultadRegionalSanta Fe

Ayudante de TP:

Ing. Hugo Tosone

Marzo de 2010

Profesor:

Ing. Federico Cavalieri

Ing. ELÉCTRICAE

ST

AB

ILID

AD

MtMtτ

τ

TEORÍATORSIÓN

TORSIÓN

1. Análisis estático. Definición. Representación. Evaluación del momento torsor. Diagrama de momento torsor. Ejemplo.

2. Estudio de las fuerzas interiores. Casos en que se presenta torsión. Sección circular. Teoría de Coulomb. Hipótesis. Ecuaciones de equivalencia. Ausencia de tensiones normales σz. Dirección de las tensiones de corte. Antimetría. Determinación de las tensiones. Estado tensional y deformacional. Ley de distribución. Deformación angular unitaria y total. Rigidez a torsión.

3. Sección circular hueca (anular). Comparación de sección circular maciza y sección anular.

4. Dimensionado y verificación de barras de sección circular maciza ó tubular por resistencia y por deformación. Capacidad de carga: por resistencia y por deformación.

5. Evaluación del momento torsor en función de la potencia y velocidad de giro.

6. Tensión de corte longitudinal, transversal y tensiones normales a 45°. Consideraciones sobre dimensionado a torsión. Limitación en las deformaciones.

7. Tubos de pared delgada de perímetro cerrado. Hipótesis admitidas. Evaluación de la tensión de corte en función del momento torsor.

8. Barras de sección rectangular. Sección rectangular muy alargada (a >> b).

9. Otras formas de sección de paredes delgadas: abiertas simples, abiertas compuestos y combinados (abierta y cerrada). Secciones abiertas simples de espesor uniforme. Secciones abiertas simples y compuestas con tramos de distintos espesores. Concentración de tensiones. Comparación entre perfiles abiertos y cerrados. Ejemplo de aplicación: relación entre las tensiones y entre las deformaciones.

10. Forma más conveniente de la sección. Eficacia de la sección. Módulo unitario (referido a la sección). Momento de inercia ficticio unitario.

11. Energía de deformación por torsión: perfiles tubulares de pared delgada, barra maciza o tubular concéntrica de forma circular, barra maciza de sección rectangular, barra de paredes delgadas con sección abierta.

ESTABILIDAD - RESISTENCIA DE MATERIALES TORSIÓN

TORSION.doc - 20/03/2010 10:13:00 Pág. 2 de 24

TORSIÓN ANÁLISIS ESTÁTICO

DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES

Definición:

Un componente estructural está solicitado a torsión cuando el sistema de fuerzas que actúan a un lado de la sección en estudio, es equivalente a un par de fuerzas (F,-F) que yace en el plano de la sección como muestra la fig.1 .

El par de fuerzas se caracteriza por su momento Mt que se puede expresar en [N.m], [kgf.cm], etc.

Representación:

A fin de facilitar el dibujo utilizaremos alternativamente una representación plana en lugar de axonométrica, por tal motivo se podrá representar a la cupla, indicando con una punta de flecha (punto) y una cola de flecha (cruz) , dentro de circunferencias colocadas en los extremos de un segmento como muestra la fig. 2.

Evaluación de Mt:

Para calcular los momentos torsores que surgen en las distintas secciones de una barra utilizaremos el “método de las secciones”.

Con el objeto de visualizar el carácter y la magnitud de los momentos torsores a lo largo de la barra, se uti-liza el “diagrama de momentos torsores”.

A tal fin se debe adoptar una convención para el signo del momento torsor, que será la siguiente :

El momento torsor es positivo cuando el momento de todas las fuerzas ubicadas a la izquierda de la sección, producen tendencia de giro en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo, en la fig.2 el mo-mento torsor es negativo.

Diagramas:

La representación gráfica se efectúa me-diante segmentos (ordenadas) en corres-pondencia con cada sección transversal, cuyas longitudes son proporcionales a la magnitud del respectivo momento torsor, y se dibujan con dirección perpendicular, a un eje de referencia paralelo al eje de la barra.

Convenimos en dibujar los valores positi-vos hacia arriba y las negativos hacia abajo del eje de referencia, tal como puede obser-varse en la fig.3. Ejemplo: sea el árbol de transmisión de la fig.4 (barra CD que trabaja a torsión) apoyado en los cojinetes A y B, y que se encuentra equilibrada bajo la acción de los

Mt

generatriz deformada

Mt

fig.3

generatriz deformada

F

-FMt

fig.1

a

a

a

a

fig.2

Mt

MtMt



momentos torsores aplicados en las secciones E, F y G: Considerando la sección a-a en un lugar arbitrario del tramo CA, resulta Mt=0. Para la sección b-b en cualquier lugar del tramo EF, el par izquierdo vale Mt =-1[tm]. De la misma manera al considerar por la izquierda de la sección c-c, resulta: Mt = MtE + MtF = -1tm + 3 tm = 2 tm.

Al dibujar el diagrama de momentos torsores se observa que el mismo está constituido por rectángulos, ya que en cada tramo los valores se mantienen constantes.

Si el momento torsor estuviese apli-cado de modo distribuido a lo largo de algún tramo del eje, entonces el diagrama para ese tramo no sería constante y consistiría en una línea recta inclinada o una curva.

En las secciones donde se aplican las cuplas exteriores, las ordenadas del gráfico varían súbitamente en una magnitud igual a la del momento exterior aplicado, pudiendo producirse, como en caso de la sección F donde se aplica MtF, que existan simultáneamente un momento positivo y un momento negativo, lo que se interpreta del siguiente modo: en una sección infinitamente próxima por la izquierda de F el momento torsor vale Mt= -1 tm, y en una sección infinitamente próxima por la derecha de F el momento torsor vale Mt= + 2 tm.

Sin en lugar de tener como datos los momentos torsores exteriores, se conocen las cargas transversales que originan la torsión de la barra, entonces se deben calculan los momentos torsores que estas originan y luego se construye el diagrama como ya se ha explicado.

Ello puede ocurrir, entre otros ejemplos, en las poleas o en las ruedas dentadas de los engranajes.

En el caso de las poleas con correas (fig.5), las fuerzas (también denominadas “tensiones”) en ambas ramas de la correa, son distin-tas, ya que una de las ramas tracciona con mayor intensidad. El momento torsor se calcula multiplicando la diferencia de fuerza entre ambas ramas por el radio de la polea, del siguiente modo:

Mt = (T2-T1).R

Para las ruedas dentadas de los engranajes (fig.6) la fuerza en realidad no se transmite tangencialmente, sino que forma un cierto ángulo α con respecto a la línea tan-gente. El momento torsor se calcula con:

Mt = P . cos α . R

siendo R el “radio primitivo” de la rueda dentada (línea de trazos). Se denomina “circunferencia primitiva” a la que define la tangencia entre las ruedas dentadas.

R

T1

T2fig.5

a

a

E

A b

b

F

c

c

B

G

d

dDC

Esquema

MtE=1[t.m] MtF=3[t.m] MtG=2[t.m]

Diagrama de Momentos torsores

fig.4

P

eje

α

fig.6

R



ESTUDIO DE LAS FUERZAS INTERIORES

Casos en que se presenta torsión:

Ocurre en muchos elementos de máquinas o en estructuras, por ejemplo ejes o árboles de transmisión y también en componentes de las estructuras metálicas.

Es poco frecuente que se produzca torsión pura. Por ejemplo, si se instala un eje (hori-zontalmente) sobre cojinetes, el peso propio originará tensiones por flexión. Si la transmisión se efectúa mediante poleas o ruedas dentadas, las fuerzas de las correas o la componente radial en el contacto de los dientes de las ruedas dentadas, causará flexión además de tor-sión.

Si el eje está colocado verticalmente como en el caso de los turbogeneradores de centra-les hidráulicas, el peso propio será causa de tensiones axiales.

Casos combinados: La combinación de las tensiones provocadas por torsión, con las debidas a flexión o axiales será estudiada más adelante (para programa de Ingeniería Civil). En este tema se considerará solamente la torsión pura, es decir la producida exclusivamente por el momento de torsión.

SECCIÓN CIRCULAR

• Teoría de Coulomb:

La solución rigurosa del problema de la torsión se debe a Saint-Venant (1853) y requiere del “Método de la Teoría de la Estabilidad”. En este curso se estudiará una teoría mucho más simple debida a Coulomb, que es aplicable únicamente a barras prismáticas de sección circular, ya sean macizas o huecas (tubulares), que corresponde al “Método de la Resistencia de Materiales”.

Se basa en hipótesis cuya validez ha sido comprobada experimentalmente. Hipótesis:

a) Material: se considera homogéneo isótropo, perfectamente elástico y se cumple la ley de Hooke.

b) Forma de la barra: cilíndrica de eje recto y sección circular uniforme.

c) Comportamiento al deformarse:

1) Las secciones originalmente planas y perpendi-culares al eje de la barra, giran una con respecto a otra y se mantienen planas y paralelas entre sí (perpendiculares al eje de la barra). Ello implica que no se produce alabeo de las secciones.

2) Los segmentos radiales trazados en cada sec-ción transversal (OA y OB de la fig.7), se mantie-nen rectos y el ángulo entre ellos no varía luego de la deformación (α es el mismo luego de aplicar el momento torsor). Ello implica que no existe distor-sión “γ” en el plano de la sección.

3) Las generatrices rectilíneas de la superficie late-ral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande ya que las deformaciones son muy pe-queñas (fig.8).

AB

A´B´α α

O O

Mt

fig.7

Mt

Mt

fig.8



Ecuaciones de equivalencia: Se analizará el caso en que:

Mz=MtK0 pero: N=0, Qx=0, Qy=0, Mx=0, My=0

En consecuencia debe cumplirse lo siguiente (fig.9): [1] 0. =∫

Fz dFσ (N=0)

[2] ∫ =⋅F

zx dF 0τ (Qx=0)

[3] ∫ =⋅F

zy dF 0τ (Qy=0)

[4] ∫ =⋅⋅F

z dFy 0σ (Mx=0)

[5] ∫ =⋅⋅F

z dFx 0σ (My=0)

[6] ( ) ∫∫ =⋅⋅=⋅⋅+⋅FF

zxzy MtdFFdyx τρττ (MtK0)

Ausencia de tensiones normales σz:

Si se admite la posibilidad de la existencia de tensiones normales σz≠0, en tal caso la dis-tribución de tensiones σz sobre la sección no puede ser uniforme, puesto que en tal caso re-sultaría 0≠⋅∫

Fz dFσ y no se verificaría la ecuación [1].

En consecuencia σz tendría que ser variable solamente en función del radio “ρ”, fig.10 (constante en cada circunferencia) y con cambio de signo en diferentes radios.

Pero de ser así las deformaciones específicas εz no serían constantes para los distintos radios de la sección y por ello la sección se alabearía, lo que es contrario a una de las hipó-tesis. Por lo tanto debe ser necesariamente: σz=0.

De acuerdo a ello las ecuaciones [1], [4] y [5] resultan idénticamente nulas y en consecuencia solo puede haber tensiones de corte.

Dirección de τ:

Considerando un punto cualquiera A de la de la periferia (fig. 11) y suponiendo que sobre la cara superior del prisma elemental ubicado en A actúa una tensión τ de dirección cualquiera, podemos descomponer τ en una τzn perpendicular al radio y en una τzr de dirección radial.

Pero de acuerdo al Teorema de Cauchy, τzr no puede existir ya que τrz=0 por encontrarse la superficie exterior del cilindro libre de cargas exteriores.

En todos los sucesivos prismas dispuestos más adentro, tampoco habrá tensiones τzr puesto que la sección se alabearía (fig. 12) lo que contradice las hipótesis.

Ello nos permite afirmar que τ coincide con τzn, es decir que las tensiones de corte en todos lo puntos son perpendiculares al radio.

y

x

dF

fig.9

x

yτzx

τzy τ

ρ

z

fig.10

fig.12

fig.11

ττzn

τzrA

τzr

τrz

CA

y

xC



Antimetría de las τ:

Para que se verifiquen las ecuaciones [2] y [3] es necesario que la distribución de tensiones de corte a lo largo del diámetro sea antimé-trica (fig.13).

Conclusión:

a) Sólo existen tensiones de corte “τ” en la sección, siendo σz=0. b) La dirección de las τ es perpendicular al radio: τ⊥ρ. c) La distribución de las τ a lo largo del diámetro es antimétrica.

Determinación de las tensiones de corte τ:

Estado tensional y deformacional:

Según lo visto y si existe torsión, en las secciones transversales al eje y en las secciones longitudinales (con planos que contienen el eje de la barra) actúan únicamente tensiones de corte.

Resulta entonces que: “el estado tensional de los puntos en una barra torsionada es de corte puro y por lo tanto el estado deformacional es de distorsión pura”.

Sea la barra cilíndrica de largo L de la fig. 14 sometida torsión. Suponiendo fijo el extremo izquierdo, entonces el extremo derecho experimentará una rotación relativa ϕ.

Un prisma elemental de la superficie lateral experimentará una distorsión γmáx por estar sometido a corte , consecuentemente la pendiente de la generatriz deformada será γ máx.

fig.14

Mtγmáx

γmáxMt MtMt

ϕ

L

Ley de disribución de τ:

Para establecer la ley de distribución de las tensiones de corte en la sección transversal, se analizará la deformación de un trozo de barra de longitud dz (fig.15), cuyas secciones han sufrido una rotación relativa dϕ.

Un punto interior tal como el B pasará a ocupar la posició B´ y teniendo en cuenta que por hipótesis las deformaciones son muy pequeñas (“γ “ y “dϕ“ son muy pequeños), del análisis geométrico resulta:

ϕργ ddzBB ⋅=⋅=' siendo ρ=CB

ρϕ

γ ⋅=∴dzd

[7]

y como por la ley de Hooke es: γτ ⋅= G [8]

reemplazando [7] queda: ρϕ

τ ⋅⋅=dzd

G [9]

En la [9], el factor dzdϕ

posee un valor fijo para toda

la sección ya que depende de la intensidad del mo-mento torsor Mt para un determinado material y diámetro.

ρ

ρdF

dF

ττ

fig.13

C

fig.15

dz

Mtdϕ

γmáx γ

A´

AB

B´

D

F C dρE



Para calcularlo se deberá utilizar la ecuación [6]. Las expresiones [7] y [9] muestran que: “La distorsión ”γ “ y consecuentemente las tensio-

nes de corte “τ”, son proporcionales al radio ρ en cualquier punto de la sección”. Conocida la ley de distribución de las tensiones de corte , su magnitud puede calcularse

partiendo de la condición de equilibrio [6] expresada en función de la tensión absoluta τ y del radio ρ, ya que es: τ ⊥ ρ.

dFdzd

GdFMtFF

⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫ 2ρϕ

ρτ

pero siendo: 32

42 d

dFIF

o⋅

=⋅= ∫π

ρ [10] el momento de

inercia polar de la sección circular, la anterior queda:

oIdzd

GMt ⋅⋅=ϕ

[11]

de la que se obtiene el factor: oIG

Mtdzd

⋅=

ϕ

ó también: oI

Mtdzd

G =⋅ϕ

[12]

Sustituyendo `[12] en [9] se obtiene:

ρτ ⋅=oI

Mt [13]

Para: ρ = d/2 se obtiene τmáx.

ddI

Mt2d

IMt

oo

max ⋅=⋅=τ pero haciendo: Wt

dIo =

2

[14]

y reemplazando Io dado por la [10] resulta 16

3dWt

⋅=

π [14´ ]

en la [14´] Wt se denomina “módulo resistente a torsión”. Teniendo en cuenta la [14], la

expresión de τmáx queda así: WtMt

=maxτ [15]

La expresión [13] permite calcular “τ “ para un radio cualquiera “ρ”, mientras que con la [15] se calcula τmax para ρ=d/2. Las expresiones [10] y [14´] permiten calcular el momento de inercia polar “Io“ y módulo resistente a torsión “Wt” respectivamente .

Para la sección circular el modulo resistente a torsión Wt se denomina también módulo re-sistente polar (Wo) y representa la capacidad resistente de la barra (a la torsión) para un de-terminado material.

Deformación angular unitaria y desplazamiento angular.

de la [12] se puede despejar: dzIG

Mtd

o⋅

⋅=ϕ

Como generalmente Mt es constante en un tramo de largo “L”, la deformación de una barra, correspondiente a la longitud L será:

fig.16

ρ

τ τmáx

d

L

ϕ

fig.17

1

θ



∫∫ ⋅=

⋅=

L

o

L

odz

IGMt

dzIG

Mt00

ϕ quedando finalmente: LIG

Mt

o⋅

⋅=ϕ [16]

siendo ϕ el ángulo de torsión entre dos secciones distantes una cantidad L, fig.17.

Al ángulo de torsión correspondiente a la unidad de longitud (para L=1) se denomina “án-gulo de torsión unitario” que se identificará con “ϑ” (fig.17).

De acuerdo a esa definición es : dzd

Lϕ

=ϕ

=ϑ y teniendo en cuenta la [16] resulta:

oIGMt⋅

=ϑ [17] expresado en “radianes” por “unidad de longitud” de la barra.

Rigidez a torsión:

El producto G.Io se denomina: “rigidez a torsión” y se identifica con la letra “C”. Observar que la ecuación [16] tiene la misma forma que la expresión obtenida para las

deformaciones en el caso de tracción o compresión: FELP

⋅⋅

=δ adecuando por supuesto las

variables involucradas.

• Sección circular hueca (anular)

Son válidas para este caso todas las hipótesis efectuadas para las secciones circulares; siendo en consecuencia aplicables las expresiones ya deducidas, limitando la variación del radio ρ entre di/2 y d/2 en la expresión [10].

Entonces: ∫F

dF 2.ρ representa el momento de inercia polar de la corona circular, fig.18:

( ) ( )44

4444

132323232

ηππππ

−⋅

=−=⋅

−⋅

=d

diddid

Io siendo ddi

=η

queda entonces: ( )44

132

ηπ

−⋅

=d

Io [18] ddi

=η [19]

y en consecuencia la expresión del “modulo resistente polar” será:

( )d

ddI

W oo

21

322

44

⋅−⋅⋅

== ηπ

⇒ ( )43

116

ηπ

−⋅

=d

Wo [20]

Las expresiones [13], [15], [16] y [17] son aplicables tanto para sección circular maciza como también para la hueca, siempre y cuando se utilicen las expresiones [10], [14´], [18], [19] y [20] para calcular Io y Wp, de acuerdo al caso.

fig.18

di



Sección circular maciza y sección anular.

Comparación:

Se demostró que las tensiones de corte ”τ “ varían linealmente desde cero en el centro, hasta su valor máximo en la periferia.

Por tal motivo y teniendo en cuenta la expresión [6] Mt= ∫ ρ.τ.dF, la zona central de la barra, que está sometida a tensiones de corte ” τ “ de valor reducido y a poca distancia “ρ” del centro de la sección, colabora muy poco para resistir el momento torsor Mt. En consecuencia el material de la zona central no está eficientemente aprovechado.

Es por ello que una sección anular proporcionará una solución con menor cantidad de material.

A modo de ejemplo se establecerá la relación entre las áreas transversales de dos barras, una de sección llena y otra hueca (fig.19), ambas del mismo material, soportando un mismo momento torsor y con misma tensión de corte máxima. Igualando las tensiones máximas para ambas secciones se obtiene:

21max Wo

MtWoMt

==τ que se cumple si: 21 WoWo =

Expresando a los módulos Wo en función de los diámetros resulta:

( )432

31 1

1616η

ππ−

⋅=

⋅ dd que simplificada queda: 3 4

21 1 η−⋅= dd

Para igual longitud de las barras, los volúmenes de material son proporcionales a las sec-ciones transversales, por lo que para comparar sus volúmenes podemos directamente com-parar F1 con F2.

Haciendo: 2

1

FF

K = y siendo:

( )3 2422

23 4

2

21

1 14

144

ηπηππ −⋅⋅=

−⋅⋅=⋅= dddF

( )222

2

2

22

222

2 14

1444

ηππππ

−⋅⋅

=

−⋅

⋅=

⋅−

⋅=

dddddd

F ii

Efectuando el cociente resulta:( )( )2

3 24

2

1

1

1

η

η

−

−==

FF

K

Haciendo los cálculos para algunos valores de η y expresando también la relación inversa entre las secciones (F2/F1), se puede observar por un lado el exceso que representa la sec-ción maciza frente a la tubular, como así también la economía relativa en el caso inverso.

η

K=F1/F2 %

Exceso

K´=F2/F1 %

Economía 0,5 1,28 28 0,78 22 0,9 2,58 158 0,39 61

0,95 3,34 234 0,30 70

En el cuadro se observa como para valores de η crecientes (pared más delgada) la sec-ción anular resulta cada vez más eficiente. Sin embargo hay que tener en cuenta que si la

fig.19

τmáx

d1 d2

di



pared del tubo se hace demasiado delgada surgirá un problema de inestabilidad local de la pared (pandeo local por torsión) debido a tensiones de compresión que surgen en hélices inclinadas a 45°, como se verá más adelante, pág. 12.

• Dimensionado y verificación de barras de sección circular maciza ó tubular

Para el dimensionado generalmente se cuenta con los datos que se muestran en el siguiente cuadro:

DATOS INCÓGNITAS Momento torsor: Mt Tensión admisible: τadm d (para maciza) Ángulo unit. admisible: admϑ

Módulo de elasticidad: G d y di (para tubular) Si es tubular, relación: η

Cálculo por resistencia:

Por condición de resistencia se debe verificar, de acuerdo a la [15] que:

admoW

Mtττ ≤=max

En consecuencia las dimensiones mínimas de la barra se determinan con la expresión:

admoW

Mtτ= de donde:

admo

MtW

τ= [15´ ]

Con el valor de Wo se puede calcular “d” con la expresión [14´] o con la [20], según se trate de barra maciza o tubular.

Cálculo por deformación:

Si se fija una deformación unitaria admisible, debe verificarse de acuerdo a la [17] que:

admoIG

Mt ϑ≤⋅

=ϑ de donde: adm

o GMtIϑ⋅

= [17´ ]

Con el valor de Io se puede calcular “d” con la expresión [10] o con la [18], según se trate de barra maciza o tubular.

Con las unidades usuales: Mt [kgf.cm], G [kgf/cm2], Io [cm4], la deformación unitaria ϑ de expresión [17] resulta en [rad/cm].

La deformación admisible (ϑadm) se suele establecer en grados sexagesimales por metro de longitud de la barra [°/m] que se identifica como °ϑadm . Se deberá convertir a [rad/cm] para introducirla en la expresión [17´ ], procediendo del siguiente modo:

[ ] [ ][ ]cm100m1

º180rad

mcmrad

admadm ⋅π

°ϑ=

ϑ ° quedando finalmente:

⋅

π⋅ϑ=ϑ °

cmrad

18000admadm [21]

Si se utiliza el S.I. (sist. internacional) Mt [N.m], G [Pa] ó [N/m2], Io [m4], la deformación unitaria ϑ de la expresión [17] resulta en [rad/m]. Si la deformación admisible (ϑadm) se fija en grados sexagesimales por metro de longitud de árbol [°/m], se deberá convertir a [rad/m] para introducirla en la expresión [17´], entonces resulta:

[ ]º180

radmm

radadmadm

π

°ϑ=

ϑ ° quedando finalmente:



⋅π⋅ϑ=ϑ °

mrad

180admadm [22]

Capacidad de carga

Consiste en evaluar el Mt que se puede aplicar a una barra maciza o tubular y se cuenta generalmente con los siguientes datos:

DATOS INCÓGNITAS Para barra maciza: d Para barra tubular): d y di Momento torsor: Mt Tensión admisible: τadm Ángulo unit. admisible: admϑ

Módulo de elasticidad: G

Por resistencia:

oadm W

Mt=τ ∴ admoWMt τ⋅= [23]

Wo se calcula con la expresión correspondiente en función de “d” ó “d” y “di” según el caso.

Por Deformación:

oadm IG

Mt⋅

=ϑ ∴ admoIGMt ϑ⋅⋅= [24]

Io se calcula con la expresión correspondiente en función de “d” ó “d” y “di” según el caso.

• Evaluación del momento torsor Mt en función de potencia y velocidad de giro.

La potencia transmitida suele estar expresada en [CV], [HP] ó [W] y la velocidad de giro en [rpm] (revoluciones por minuto ) o en [c/s] (ciclos por segundo) que coincide con [Hz].

El momento torsor se debe calcular a partir de esos datos, teniendo en cuenta que la potencia es igual al producto del momento torsor por la velocidad angular ( ω⋅= MtN ).

Se deben adecuar las unidades para que el Mt quede expresado en [kgf.cm] ó en [N.m]. A continuación se explican algunas posibilidades:

a) Si los datos son: potencia N [CV] y velocidad de giro n [rpm] (revoluciones/min) , teniendo en cuenta que 1[CV]=75[kgf.m/s] resulta el siguiente planteo:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]revsrev

ncmkgfMtmcm

CVsmkgf

CVNπ2

min60min

1001

75 ⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅

Simplificando las unidades: [ ] [ ][ ]rpmn

CVNcmkgfMt ⋅

⋅⋅=⋅

π26010075

Resultando finalmente: [ ] [ ][ ]rpmnCVN

cmkgfMt ⋅=⋅ 71620 [25]

b) Si se cuenta con la potencia N [HP] y la velocidad de giro n [rpm], teniendo en cuenta que 1[HP]=76[kgf.m/s], resulta:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ]rpmnCVN

revsrev

ncmkgfMtmcm

HPsmkgf

HPN ⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅π

π2

60100762

min60min

1001

76



y operando queda finalmente: [ ] [ ][ ]rpmn

HPNcmkgfMt ⋅=⋅ 72575 [26]

c) Si se cuenta con la potencia N [W] (Watt) y la velocidad de giro n [c/s] (ciclos/segundo) ó [Hz] equivalente a [rev/s], teniendo en cuenta que 1[W]=1[J/s]=1[N.m/s] resulta lo siguiente :

[ ] [ ] [ ]csc

nmNMtWNπ2

. ⋅

⋅= simplificando y operando queda: [ ] [ ]

][2.

HznWN

mNMt⋅

=π

[27]

Al utilizar la [27] tener en cuenta que en la industria las potencias se expresan generalmente en [kW] (kilo Watt) en lugar de [W], por lo que habrá que multiplicar por 1000.

Tensiones de corte longitudinales, de corte transversales y tensiones normales

La presencia de tensiones de corte en el plano de la sección normal al eje de una ba-rra, trae aparejada la existencia de tensiones de corte longitudinales, que de acuerdo con la ley de Cauchy tendrán el mismo valor (para cada radio) que las tensiones de corte en la sección normal, como muestra la fig.20.

Consecuentemente, cualquier punto de la barra se encuentra solicitado por un estado tensional plano de corte puro como muestra la fig.21.

Existirán entonces tensiones normales de tracción y de compresión (tensiones principales) en planos a 45º con el eje longitudinal, del mismo valor absoluto que las tensiones de corte , tal como muestra el círculo de Mohr (fig. 21).

o

ττ

τ τσ

B(0,τ)

A(0,-τ)

D(σ1,0)C(-σ2,0) τ

τ

τ

τ

σ1

σ1

(Punto A)

(Punto B del círculo)

σ2

σ2

fig. 21

(Punto D)

(Punto C)

Las trayectorias de las tensiones prin-

cipales σ1 y σ2 resultan ser hélices incli-nadas a 45º respecto de las generatrices del cilindro (fig. 22).

Consideraciones sobre dimensionado con comportamiento elástico

Teniendo en cuenta las propiedades mecánicas del material y con el objeto de establecer el límite máximo para el momento de torsión que puede aplicarse a una barra sin ocasionar perjuicio estructural, se deben tener en cuenta las posibilidades de falla por los siguientes motivos: Ø Tensión de corte transversal.

Ø Tensión de corte longitudinal.

Ø Tensión de tracción (a 45º con el eje).

Ø Tensión de compresión (a -45º con el eje).

MtMt

fig. 22

σ1 σ2

σ2 σ1

MtMtτ

τ

ττ

fig. 20



Por ejemplo:

Ø Miembro cilíndrico de madera con fibras paralelas al eje del cilindro (fig.23): será determinante la tensión de corte longitudinal (en la fig se representa la posible falla).

Ø Barra e material dúctil (fig. 24): es determinante la tensión de corte transversal.

Ø Barra de material quebradizo (eje de acero duro, fig.25): es determinante la tensión de tracción diagonal a 45º

Ø Barra hueca de pared delgada (caño, fig. 26): puede ser determinante la tensión de compresión diagonal a (-45°) debido a falla por pandeo local (abollamiento).

fig. 23 fig. 24

Mt Mt MtMt

Madera Material ductil

fig. 25 fig. 26

Mt Mt Mt MtPared delgadaMaterial fragil

Limitación en las deformaciones:

En ciertas aplicaciones y por diversos motivos, suele ser necesario establecer limitaciones a la deformación angular. En esos casos es la rigidez más que la resistencia, el factor determinante para el diseño ó cálculo. Se debe dimensionar entonces en base a la [17] y a la limitación impuesta:

admoIG

Mt ϑ≤⋅

=ϑ despejando entonces: adm

o GMt

Iϑ⋅

= [17´ ]

Luego verificar también si la máxima tensión de corte no excede a la admisible.

SECCIONES NO CIRCULARES

La teoría de Coulomb para la torsión de barras de sección circular se basa en la hipótesis de que las secciones se mantienen planas, lo cual se cumple solo para las barras de sección circular (macizas o tubulares).

En cambio, si las secciones no son circulares, ocurren alabeos y no son de aplicación las hipótesis de Coulomb. En ese caso debe recurrirse a la solución de Saint-Venant que hace uso de la “Teoría de la elasticidad” que no se trata en este análisis.

No obstante y a los efectos de poder hacer una valoración cualitativa de las tensiones de corte que se producen por torsión en secciones no circulares, se harán algunas consideraciones:

a) En dos elementos ortogonales de superficie las tensiones de corte son iguales, de acuerdo a la ley de Cauchy (fig.27).



90°

fig. 27

τ

τ

τt

τn τ

τn

fig. 28

fig. 29

τ1

τ1τ2

τ2

τ

b) Como consecuencia de esa propiedad, en los elementos de superficie próximos al

contorno de la sección, la tensión τ está dirigida tangencialmente al contorno. En la fig.28, si τ tuviera una dirección oblicua, podría descomponerse en una tangencial “τt” y en una normal “τn” y por consiguiente tendría que existir una τn del mismo valor sobre la cara situada en la superficie exterior, lo que no es posible por no haber ninguna fuerza externa sobre dicha superficie.

c) En los vértices de la sección (fig.29) la tensión τ es nula. De existir una tensión τ, ella admitiría dos componentes τ1 y τ2 en la sección y de acuerdo con el Teorema de Cauchy existiría n las tensiones τ1 y τ2 actuando sobre las caras laterales del sólido, lo que no es posible por no existir fuerzas en las superficies laterales.

• Tubos de pared delgada de perímetro cerrado

Se considerarán tubos diferentes a los de sección circular, fig.31, para los que la pared puede ser de espesor uniforme ó espesor variable, en forma continua o por tramos, con alguna restricción para la forma del perímetro medio.

Hipótesis admitidas:

a) El espesor de la pared del tubo a lo largo de toda la línea media del perímetro, es pequeño en comparación con las dimensiones de la sección transversal.

b) No hay esquinas pronunciadas u otros cambios súbitos en el perímetro medio, que provoquen concentración de ten-siones.

c) La distribución de las tensiones de corte en el espesor de la pared, es aproximadamente uniforme, como se pudo comprobar en el caso de los tubos cilíndricos de pequeño espesor y como muestra el diagrama de la fig. 30.

d) La dirección de las tensiones de corte es tangente al pe-rímetro medio de la pared del tubo en cada punto.

En base a dichas hipótesis, la teoría que se expondrá brinda una solución bastante coincidente con los resultados obtenidos experimentalmente.

Sea el tubo de pared delgada de la fig. 31 solicitado por un momento torsor Mt.

Por hipótesis, las tensiones de corte “τ” que ocurren en la sección transversal, se distribuyen uniformemente en el es-

fig. 30

τ ≅ cte

τ

fig. 31

dz

Mt

g

a

b

h c

e

f

d

F1 F3

F2F4

t1

t2

fig. 32

dz



pesor de la pared y su dirección es tangente al perímetro medio de la pared del tubo en cada punto.

Si se separa un pequeño prisma como “cuerpo libre” y para restablecer el equilibrio se colocan las fuerzas de corte F1, F2, F3 y F4 en cada una de sus cuatro caras (fig.32) tal que:

zdtF ⋅⋅= 111 τ zdtF ⋅⋅= 222 τ siendo τ1 y τ2 las tensiones en las caras “abg” y “dcfe”.

Por condición de equilibrio en la dirección del eje de la barra se debe cumplir que: F1=F2 por lo tanto:

cteqtt ==⋅=⋅ 2211 ττ ∴ cteqt ==⋅τ [28] en la que “q” se denomina “flujo de cortadura”.

Teniendo en cuenta el teorema de Cauchy (la tensión de corte es del mismo valor absoluto en ambas caras que concurren a la arista “ag”, como también en ambas caras que concurren a la arista “df”) y que por tal motivo en la cara “adgf” el flujo de cortadura q resulta ser el mismo en cada uno de sus extremos, se concluye entonces que el flujo de cortadura “q” es constante en la cara “adgf” y por extensión en todo el perímetro medio de la sección, inde-pendientemente de su forma y de que el espesor sea constante o variable.

Evaluación de la tensión τ en función del momento torsor Mt

En la fig.33, la fuerza cortante que actúa en la cara del elemento diferencial de espesor “t”, y largo dL, donde la tensión de corte es “τ”, se calcula con:

dSt ⋅⋅τ El momento de esa fuerza diferencial respecto a un punto

cualquiera “O” del plano de la sección es:

ρρτ ⋅⋅=⋅⋅⋅= dSqdStdM

Pero como por la [28] es: cteqt ==⋅τ

planteando la ecuación de equivalencia [6] se obtiene:

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅=SS

dSqdSqMt00

ρρ

en la que el producto dS⋅ρ es igual al doble del área del triángulo rayado en la fig.33.

En consecuencia ∫ =⋅ρS

0A2dS , es el doble del área encerrada por la línea media de la

pared.

La ecuación de equivalencia queda entonces así: qAMt ⋅⋅= 2 ,

de donde: AMtq⋅

=2 [29]

Teniendo en cuenta que: qt =⋅τ resulta: tq

=τ y reemplazando “q” dado por [29]

resulta finalmente: tAMt

⋅⋅=

2τ [30] (fórmula de BREDT)

Importante: de la [30] surge que la tensión “τ” será máxima donde el espesor “t” sea mínimo. Esta expresión permite tanto verificar una sección de pared delgada como proyectar

su espesor “t” (en el caso de ser constante). En ambos casos debe ser: admmáx ττ ≤ .

τρ

dS

fig. 33t

O



• Barras de sección rectangular:

La distribución de tensiones que se obtienen me-diante el método de la “Teoría de la elasticidad” se muestran en los diagramas de la fig.34.

A lo largo de los bordes de la sección rectangular las tensiones de corte están orientadas en la dirección de los mismos y crecen en valor absoluto de cero en el vértice hasta alcanzar un máximo y luego decrecer hasta anularse en el vértice opuesto. Por simetría, el máximo se presenta en el centro de cada lado. Ade-más el valor de τ aumenta en forma continua desde el centro “O” de la sección hacia la parte externa .

Como la distorsión γ es el cociente τ/G, resulta que los pequeños elementos de volumen correspondientes a los cuatro vértices y al centro de la sección no experimentan distorsión ya que la tensión τ es nula en esos lugares. En otros lugares existe distorsión y como consecuencia de ello la sección se alabea, no permaneciendo plana y deformándose como se indica en la fig.35. En la misma figura se observa que el pequeño elemento “a” en el centro del lado, experimenta una gran distorsión a diferencia del “b” para el que la distorsión es nula.

Aplicando la solución obtenida por Saint Venant, resulta que la máxima tensión tangencial que se produce en el centro del lado mayor y vale:

2baMt

máx⋅⋅

=α

τ [31] ó bGmáx ⋅ϑ⋅⋅αβ=τ [32]

siendo: 3baG

Mt⋅⋅β⋅

=ϑ [33]

“α” y “β” dependen de la relación a/b y se encuentran tabulados. La tensión máxima en el centro del lado menor vale:

máxmáx τδτ ⋅=´ en la que “δ” se obtiene de tabla.

Las fórmulas anteriores se pueden escribir también de la forma:

WtMt

máx =.τ [31´ ] C

Mt=ϑ [33´ ]

siendo: 2baWt ⋅⋅α= fIGbaGC ⋅=⋅⋅⋅= 3β 3baI f ⋅⋅= β

Wt es el módulo resistente de la sección,

A “If” y por comparación con barras de sección circular se lo denomina “momento de inercia ficticio”.

Los coeficientes α y β, que dependen de la relación a/b , han sido calculados por Saint-Venant y tienen los siguientes valores:

η=a/b 1 1,1 1,2 1,25 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,75 1,8

α 0,208 0,214 0,219 0,221 0,223 0,227 0,231 0,234 0,237 0,239 0,240

β 0,141 0,154 0,166 0,172 0,177 0,187 0,196 0,204 0,211 0,214 0,217

Mto

fig. 35

a b

Mt

máx

τ

τ´

fig. 34

máxOb

a



η=a/b 2 2,25 2,5 3 4 5 6 8 10 20 8

α 0,248 0,252 0,258 0,267 0,282 0,292 0,299 0,307 0,313 0,332 0,333

β 0,229 0,240 0,249 0,263 0,281 0,292 0,299 0,307 0,313 0,332 0,333

El coeficiente δ, que es función de la relación a/b, tiene los siguientes valores:

η=a/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 8

δ 1 0,859 0,825 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742

• Sección rectangular muy alargada (a >> b)

Analizando los valores que toman los coeficientes α y β (0,3333=1/3) para relaciones a/b mayores que 10, permite escribir con buena aproximación:

23

ba

Mtmáx

⋅

⋅≅τ [34] bGmáx ⋅ϑ⋅=τ [35]

3baGMt3⋅⋅

⋅=ϑ [36]

Para n = a/b = 10 el error que se comete es del 6,5% Para n = a/b = 20 el error que se comete es del 0,4% En estas condiciones es:

Módulo resistente a torsión: 3. 2ba

Wt =

Rigidez a torsión: 3.. 3baG

C = 3. 3ba

If =

• Otras formas de secciones de paredes delgadas

En las construcciones civiles, mecánicas y también en las aeronáuticas, frecuentemente es necesario evaluar tensiones y deformaciones por la torsión de barras de paredes delgadas. La particularidad que distingue a esas barras (ó perfiles) es que el espesor es muy pequeño en comparación con las otras dimensiones lineales de la sección.

A los perfiles de pared delgada se los puede clasificar en abiertos, cerrados y mixtos. Los cerrados simples (con un sólo hueco) ya fueron analizados (fórmula de Bredt). No se analizarán los cerrados compuestos (con más de un hueco).

A su vez a los abiertos se los clasifica en: Ø Simples: aquellos cuya línea media puede “enderezarse” y transformarse en un segmento. Ø Compuestos: cuando lo anterior no es posible.

Las secciones de las barras de paredes delgadas pueden ser: perfiles laminados en caliente, perfiles de chapa plegada), etc., algunas de cuyas formas típicas pueden ser:

a) Abiertas simples:

fig. 36



b) Abiertas compuestas:

fig. 37

c) Cerradas d) Combinadas (abierta y cerrada)

fig. 38 fig. 39

(*) Observar que el tercero de la fig.38 posee espesor variable (no es concéntrico) lo que puede ocurrir por defecto de moldeo para metales fundidos.

• Secciones abiertas simples de espesor uniforme:

Por medio de la Teoría de la elasticidad y de la analogía de la membrana se puede demostrar que las tensiones de corte se distribuyen casi linealmente dentro del espesor de la pared como indica la fig.40, al contrario de lo que ocurre en las secciones cerradas, en las que la distribución es aproximadamente uniforme.

Además, las tensiones y los ángulos de torsión en una barra de sección rectangular muy alargada (planchuela delgada o chapa), casi no cambian sí la planchuela o chapa se pliega en una de las formas mostradas en la fig.36.

En consecuencia las tensiones y deformaciones en una sección abierta simple, serán aproximadamente las mismas que en una sección rectangular del mismo espesor y de un ancho igual a la longitud del desarrollo del perímetro medio Sm de la sección abierta .

2max3

eSm

Mt

⋅

⋅=τ [37] eGmax ⋅ϑ⋅=τ [37´ ]

3eSmGMt3

⋅⋅⋅=ϑ [38]

En la que “Sm” es la longitud del perímetro medio de la sección y “e” es el espesor.

fig. 40

e



• Secciones abiertas simples y compuestas con tramos de distintos espesores

Cuando se trata de secciones abiertas compuestas (fig.41) ó abiertas simples con distintos espesores (fig.42) se puede obtener “ϑ” de la expresión [38] ,sustituyendo:

Sm.e3 por: ∑=

⋅n

iii eSm

1

3

quedando finalmente:

∑ ⋅⋅

⋅=ϑ

=

n

1i

3ii eSmG

Mt3 [39] ó

fIGMt⋅

=ϑ

en la que: ∑=

⋅=n

iiif eSmI

1

3

31

A If se lo denomina “momento de inercia ficticio” como para la sección rectangular.

La tensión en el borde del rectángulo de espesor e i será, de acuerdo a la [35] o [37´]:

in

1i

3ii

ii eeSm

Mt3eG ⋅

∑ ⋅

⋅=⋅ϑ⋅=τ

=

[40] ó if

i eIMt

.=τ

Como la tensión es proporcional al espesor de cada tramo, “la tensión de corte máxima se producirá en el borde del rectángulo de mayor espesor”:

maxmax eIMt

f⋅=τ [41]

Investigaciones y experiencias efectuadas por Föppl y Engelmann aconsejan multiplicar el momento de inercia ficticio If por un coeficiente η cuando se calcula ϑ, o sea:

fIGMt

⋅η⋅=ϑ [39´ ]

η es un coeficiente correctivo que varía para los distintos perfiles. Los valores de η (según Föppl) se consigna en tablas.

Concentración de tensiones: en los perfiles laminados surgen ten-siones de corte importantes en los ángulos entrantes. El valor de dicha tensión se obtiene multiplicando la mayor tensión calculada en el tramo más grueso de los que concurren al ángulo, por un factor de concentración de tensiones dado por la siguiente expre-sión:

374,1rc

k ⋅= [42]

En la que “c” (fig.43) es el espesor del tramo para el que se calcula la tensión de corte y “r” es el radio de curvatura del ángulo entrante (Ver Resistencia de Materiales, Timoshenko, Tomo II).

Sm1

Sm4

Sm3

Sm2

Sm1

Sm2

Sm3

e2

e1

e4

e3

e3

e2e1

fig. 41 fig. 42

ηSECCIÓN

1 1,1 1,1 1,3

rr

c

c

fig. 43



Comparación entre secciones abiertas y cerradas

Los perfiles cuya sección es de pared delgada y abierta, resultan ser menos resistentes y mucho más deformables que los cerrados de igual forma. En los abiertos las tensiones de corte y las deformaciones, son notablemente mayores.

Ejemplo de aplicación: para simplificar se utilizarán formas circulares, sin embargo para otras formas el resultado sería semejante.

Se compararán las tensiones y deformaciones entre dos perfiles, uno abierto y otro cerrado, ambos de forma circular, de igual diámetro y el mismo espesor “t”, fig.44.

- Tensión máxima para la sección abierta:

2máx tLMt3'

⋅⋅=τ y siendo: mRL ⋅⋅= π2

resulta: 2

m

máx tR2Mt3'

⋅⋅π⋅⋅

=τ

- Tensión máxima para la sección cerrada:

Se utilizará la fórmula de Bredt, a pesar que se podría aplicar la expresión para barra circular hueca:

tAMt

⋅⋅=

2maxτ y siendo: 2mRA ⋅= π resulta:

tR

Mt

m ⋅⋅⋅=

2max2 π

τ

La relación entre las tensiones resulta: tR3

k m

max

máx1

' ⋅=

ττ

=

Por ejemplo, si Rm=5.t la relación resulta: k1= 15 lo que implica que la tensión de corte es 15 veces mayor en la sección abierta.

Deformación unitaria ϑ’ en la sección abierta:

3m

3 tRG2Mt3

tLGMt3

'⋅⋅⋅π⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=ϑ

Deformación unitaria ϑ en la sección cerrada.

Se utiliza la fórmula [45] del ángulo total ϕ que se deduce más adelante, la que se debe dividir por L resultando:

tAG4SMt

2 ⋅⋅⋅⋅

=ϑ siendo: mRS ⋅⋅= π2 2mRA ⋅= π

resulta: ( ) tRmG2

MttRG4

R2Mt322

m

m

⋅⋅π⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅⋅π⋅⋅

=ϑ

La relación entre las deformaciones resulta: 2

m3

m

3m

2 tR

3tRtR

3'

k

⋅=

⋅⋅

⋅=ϑϑ

=

Por ejemplo, si Rm=5.t la relación resulta: k 2=75 lo que implica que la deformación angular es 75 veces mayor en la sección abierta.

Rm Rm

fig. 44

tt



• Forma más conveniente de la sección:

Si se consideran dos secciones de diferente forma, que deben soportar el mismo momento torsor, lo que implica el mismo módulo resistente Wt para ambas, será más conveniente para torsión la que posea menor área. Resultaría útil entonces, plantear una relación entre módulo resistente y área para evaluar la eficacia a torsión en función de las diferentes formas.

La relación Wt[m3]/F[m2] es una magnitud con dimensión [m]. Para comparar es más cómodo utilizar una relación adimensional, por tal motivo será más conveniente plantear una la siguiente:

3F

Ww t

t = “módulo unitario de la sección”

Cuando las secciones se calculan por rigidez (deformaciones), para evaluar la eficacia de las mismas puede utilizarse la relación adimensional:

2F

Ii f

f = “momento de inercia ficticio unitario”

En la tabla siguiente se muestran los valores de los “módulos unitarios w t“ y de los “momentos de inercia unitarios ficticios if ” para un grupo se secciones usuales.

En la misma tabla se muestran los valores de las secciones que resultan, todas ellas en relación con la forma circular a la que se identifica con F0.

Por resistencia Por rigidez TIPO DE SECCIÓN wt F/F0 if F/F0 Perfil 0,04-0,05 3,66-3,15 0,01 4 Perfil 0,05-0,07 3,15-2,52 0.009-0.015 4,21-3,27 Rectángulo a/b=10 0,10 1,99 0,031 2,27 Rectángulo a/b=2 0,175 1,37 0,115 1,18 Cuadrado 0,21 1,21 0,14 1,07 CÍRCULO F0 0,28 1 0,16 1 Anillo circular d i/de=0,5 0,37 0,79 0,264 0,78 Anillo circular d i/de=0,9 1,16 0,39 1,52 0,32

• Energía de deformación en torsión.

a) Perfiles tubulares de pared delgada

La energía potencial interna de deformación elástica que almacena un componente some-tido a torsión, se puede evaluar por medio del trabajo aportado por la carga exterior (momento torsor) y el desplazamiento que produce (en este caso el ángulo ϕ girado entre secciones ex-tremas) ya que ambos son iguales. El trabajo externo se obtiene con la expresión:

2ϕ⋅

=Mt

Te [43]

Por existir proporcionalidad entre carga (Mt) y corrimiento generalizado (ϕ), al área de la parte sombreada de la fig. 46, representa el trabajo realizado por el momento torsor Mt al producir el corrimiento angular ϕ.

Sin embargo se debe contar con la expresión que relaciona a Mt con ϕ.

Mt

Mt

A

BOϕ

ϕ

fig. 46



Para el caso de la fig. 45 (tubo de pared delgada cerrado) no se ha deducido aún dicha ex-presión y en consecuencia se deberá evaluar la energía potencial almacenada internamente , a partir de las tensiones de corte que se calculan con la fórmula de Bredt.

tAMt

⋅⋅=

2τ [30]

La energía unitaria en el material se evalúa con:

Gu

⋅=

2

2τ

Para evaluar la energía total “U” almacenada elásticamente, se debe integrar la expresión de la energía almacenada por un prisma diferencial de largo “L” y área transversal “t.dS” para el que la tensión de corte tiene un mismo valor dado por la [30], resultando:

22

0 0 02 2 2S S S Mt t L dS

U u dV t L dSG A t G

τ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫ ∫ entonces: 2

2 08SMt L dS

UG A t

⋅=

⋅ ⋅ ∫ [43´ ]

Corrimiento angular: igualando la energía interna con el trabajo de la expresión [43] resulta :

∫⋅

=⋅⋅⋅ S Mt

tdS

AGLMt

02

2

28ϕ

y finalmente: ∫⋅⋅⋅

=S

tdS

AGLMt

024ϕ [44]

Despejando Mt de [44]: 2

0

4S

G AMt

dSLt

ϕ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ∫ pero:

2Mt

Uϕ⋅

= entonces: 2 2

0

2S

G AUdSLt

ϕ⋅ ⋅ ⋅=⋅∫

[43´´ ]

Si el espesor t es constante la [44] se simplifica del siguiente modo:

tAGSLMt⋅⋅⋅

⋅⋅= 24

ϕ [45]

Pero si el perímetro medio posee “n” tramos, cada uno de un determinado largo “Si“ y un espesor “t i“ uniforme en cada tramo, la expresión resulta:

∑=⋅⋅

⋅=

n

i i

i

tS

AG

LMt

124

ϕ [46]

b) Barra maciza o tubular concéntrica de forma circular

En este caso, e independiente del espesor, se cuenta con la expresión que relaciona la deformación angular ϕ con el momento torsor Mt.

Por tal motivo y existiendo elasticidad, resulta sencillo evaluar la energía interna a partir del trabajo exterior, en lugar de hacerlo a partir de las tensiones de corte en el material.

2ϕ⋅== MtTU e siendo:

oIGLMt

⋅⋅

=ϕ ó LIGMt o ϕ⋅⋅=

τ

fig. 45

L

MtdS

t



Reemplazando ϕ en la expresión de U resulta lo siguiente:

oe IG

LMtMtTU

⋅⋅

==2 ó

oIGLMt

U⋅⋅⋅

=2

2

[47]

Reemplazando Mt resulta:

2ϕϕ ⋅⋅⋅=

LIGU o ó L

IGU o

⋅⋅⋅⋅

=2

2ϕ [48]

c) Barra maciza de sección rectangular

Se hacen las mismas consideraciones que para sección circular, por contar con la expresión que relaciona la deformación angular ϕ con el momento torsor Mt.

Se evaluará entonces energía interna a partir del trabajo exterior.

2ϕ⋅== MtTU e siendo: 3baG

LMt

⋅⋅⋅

⋅=

βϕ ó

LbaG

Mtϕβ ⋅⋅⋅⋅

=3


322 baGLMtMtMtU⋅⋅⋅

⋅=⋅=β

ϕ ó 3

2

2 baG

LMtU

⋅⋅⋅⋅

⋅=

β [49]


22

3 ϕϕβϕ⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅=

LbaGMt

U ó LbaG

U⋅

⋅⋅⋅⋅=

2

32 βϕ [50]

d) Barra de paredes delgadas con sección abierta

Se hacen las mismas consideraciones que para sección circular, por contar con la expresión [39] que relaciona la deformación angular unitaria con el momento torsor Mt.

Se evaluará entonces energía interna por igualación con el trabajo exterior.

Tratándose se secciones abiertas simples o compuestas, inclusive en el caso de espesores uniformes por tramos, resulta:

2ϕ⋅

=Mt

U y siendo:

∑ ⋅⋅

⋅=ϑ

=

n

1i

3ii eSmG

Mt3

Es entonces: ∑ ⋅⋅

⋅⋅=⋅ϑ=ϕ

=

n

1i

3ii eSmG

LMt3L ó ∑

=⋅⋅

⋅⋅

=n

iii eSm

LG

Mt1

3

3ϕ


a

b

fig. 46



∑=

⋅⋅

⋅⋅⋅= n

iii eSmG

LMtMtU

1

3

32 quedando:

∑=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

n

iii eSmG

LMtU

1

3

2

2

3 [51]


∑=

⋅⋅⋅⋅

⋅=n

iii eSm

LG

U1

3

32ϕϕ

quedando: ∑=

⋅⋅⋅⋅

=n

iii eSm

LG

U1

32

6ϕ

[52]

Este material de apoyo didáctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el ex-profesor de la Cátedra “Estabilidad”, Ing. Guillermo Pons, fue adaptado, modificado, ampliado y digitalizado, y está destinado exclusivamente para el uso interno en las asignaturas Estabilidad de la carrera Ingeniería Eléctrica y Resistencia de Materiales de la Carrera Ingeniería Civil, de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Profesor: Ing. Hugo A. Tosone. Ayudantes de TP: Ings. Federico Cavalieri y Alejandro Carrere Marzo de 2010.

TORSIÓN: RESUMEN DE FÓRMULAS Momento torsor: Polea y correa: Mt = (T2-T1).R Rueda dentada: Mt = P . cos α . R Ec. de equivalencia: ∫ ==⋅⋅

FMtdF 0τρ [6]

Sección circular maciza : ρτ ⋅=oI

Mt [13]

WtMt

=maxτ [15]

===2/0 d

IWW o

t [14]

16

3

0

dW

⋅=

π [14´] 32

4dI o

⋅=

π [10]

dzIG

Mtd

o⋅

⋅=ϕ L

IGMt

o⋅

⋅=ϕ [16]

oIGMt⋅

=θ [17]

Sección circular hueca (anular)

( )44

132

ηπ

−⋅

=d

Io [18] ddi

=η [19] ( )43

116

ηπ

−⋅

=d

Wo [20]

Dimensionado: por resistencia adm

oMt

Wτ

= [15´] por deformación adm

o GMt

Iθ⋅

= [17´]

con ]/[ madm °°θ :

⋅⋅= °

cmrad

admadm 18000π

θθ [21] ó

⋅⋅= °

mrad

admadm 180π

θθ [22]

Capacidad de carga: p/resistencia: admoWMt τ⋅= [23] p/deformación: admoIGMt θ⋅⋅= [24]

Evaluación del momento torsor Mt en función de potencia N y velocidad de giro n.

Si N[CV], n[rpm]: [ ] [ ][ ]rpmnCVN

cmkgfMt ⋅=⋅ 71620 [25] Si N[HP]: [ ] [ ][ ]rpmn

HPNcmkgfMt ⋅=⋅ 72575 [26]

Si N[W], n[rps] ó [Hz]: [ ] [ ]][2

.Hzn

WNmNMt

⋅=

π [27]

Sección no circular tubular de pared delgada (Bredt)

cteqt ==⋅τ [28] tA

Mt⋅⋅

=2

τ [30] El máximo “τ ” ocurre para el mínimo valor de “t”

Espesor variable continuo: ∫⋅⋅⋅

=S

tdS

AGLMt

024ϕ [44] Espesor constante:

tAGSLMt⋅⋅⋅

⋅⋅= 24

ϕ [45]

Espesor constante por tramos: ∑=⋅⋅

⋅=

n

i i

i

tS

AG

LMt

124

ϕ [46]

Barras de sección rectangular: (a>b)

WtMt

baMt

máx =⋅⋅

=2α

τ [31] ó bGmáx ⋅⋅⋅= θαβ

τ [32] siendo:CMt

baGMt =

⋅⋅⋅=

3βθ [33]

2baWt ⋅⋅= α fIGbaGC ⋅=⋅⋅⋅= 3β Inercia ficticia 3baI f ⋅⋅= β máxmáx τδτ ⋅=´

a/b 1 1,1 1,2 1,25 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,75 1,8

α 0,208 0,214 0,219 0,221 0,223 0,227 0,231 0,234 0,237 0,239 0,240 β 0,141 0,154 0,166 0,172 0,177 0,187 0,196 0,204 0,211 0,214 0,217

a/b 2 2,25 2,5 3 4 5 6 8 10 20 8

α 0,248 0,252 0,258 0,267 0,282 0,292 0,299 0,307 0,313 0,332 0,333 β 0,229 0,240 0,249 0,263 0,281 0,292 0,299 0,307 0,313 0,332 0,333

a/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 8 δ 1 0,859 0,825 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742

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Sección rectangular muy alargada (a >> b)

23

ba

Mtmáx

⋅

⋅≅τ [34] bGmáx ⋅⋅= θτ [35] 3

3

baG

Mt

⋅⋅

⋅=θ [36]

Módulo resist. a torsión:3. 2ba

Wt = Rigidez a torsión: 3.. 3baG

C = Inercia ficticia3. 3ba

If =

Otras formas de secciones de paredes delgadas abiertas

Secciones abiertas simples de espesor uniforme:

2max3

eSm

Mt

⋅

⋅=τ [37] eG ⋅⋅= θτ max [37´] 3

3eSmG

Mt⋅⋅

⋅=θ [38]

Secciones abiertas simples y compuestas con tramos de distintos espesores:

∑=

⋅⋅

⋅=

n

iii eSmG

Mt

1

3

3θ [39]

i

f

in

iii

ii eIMt

eeSm

MteG .

3

1

3=⋅

∑ ⋅

⋅=⋅⋅=

=

θτ [40] maxmax eIMt

f⋅=τ [41]

s/ Foppl:

fIGMt

⋅⋅=

ηθ

[39´] Valores de η : 1(p/perf.ángulo), 1,1(p/perfil U y T), 1,3(p/perfil doble T”)

∑=

⋅=n

iiif eSmI

1

3

31

Concentración de tensiones: 374,1rc

k ⋅= [42]

Energía en torsión: 2

ϕ⋅=

MtTe [43]

2

2 08SMt L dS

UG A t

⋅=

⋅ ⋅ ∫ [43´ ] 2 2

0

2S

G AU

dSLt

ϕ⋅ ⋅ ⋅=

⋅∫ [43´´ ]

Sección circular maciza o tubular: oIG

LMtU

⋅⋅⋅

=2

2

[47] L

IGU o

⋅⋅⋅⋅

=2

2ϕ [48]

Sección maciza rectangular: 3

2

2 baG

LMtU

⋅⋅⋅⋅

⋅=

β [49]

LbaG

U⋅

⋅⋅⋅⋅=

2

32 βϕ [50]

Pared delgada sección abierta:

∑=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

n

iii eSmG

LMtU

1

3

2

2

3 [51] ∑

=⋅⋅

⋅⋅

=n

iii eSm

LG

U1

32

6ϕ

[52]

Este material de apoyo didáctico está destinado exclusivamente para el uso interno en las asignaturas Estabilidad de la carrera Ingeniería Ingeniería Eléctrica y Resistencia de Materiales de la Carrera Ingeniería Civil, Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Profesor: Ing. Hugo A. Tosone. Docente Auxiliar: Ing. Federico Cavalieri Marzo de 2010.

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