topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji
DESCRIPTION
Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji. Srđan Vukmirović Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu. Arhitektonski fakultet Beograd, 1. april 2011. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/1.jpg)
Topologija - mogućnosti primene u arhitektonskoj geometriji
Srđan Vukmirović
Matematički fakultetUniverzitet u Beogradu
Arhitektonski fakultet
Beograd, 1. april 2011.
![Page 2: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/2.jpg)
Šta je topologija?
Topologija je matematička disciplina koja se bavi osobinama objekata koje se ne menjaju pri deformacijama (tzv. homeomorfizmi) koje “ne kidaju i ne lepe”, odnosno čuvaju okolinu svake tačke.
Tačnije, smemo da pokidamo objekat, da ga deformišemo, ali na kraju moramo da zalepimo objekat tamo gde smo ga pokidali.
![Page 3: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/5.jpg)
Dobijanje cilindra
![Page 6: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/6.jpg)
Cilindar – dva puta uvrnut
![Page 7: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/7.jpg)
Dobijanje Mebijusove trake
![Page 8: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/8.jpg)
Dobijanje torusa
![Page 9: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/9.jpg)
Dobijanje Klajnove boce
![Page 10: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/10.jpg)
Šta je (poliedarska) površ?
Okolina svake unutrašnje tačke mora da bude kao delić ravni. Dozvoljeno je da površ ima rub.
Površ ne sme da ima samopreseke (osim ako drugačije ne možemo da je smestimo u 3D prostor).
![Page 11: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/11.jpg)
1) Rub (granica) poliedarske površi
Sfera NEMA RUB Torus NEMA RUB Klajnova boca NEMA RUB Rub cilindra su dva kruga Šta je sa dva puta uvrnutim cilindrom? Rub Mebijusove trake je krug
Topološki iste (homeomorfne) površi imaju (topološki) isti rub
![Page 12: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/12.jpg)
2) Ojlerova karakeristika površi
Za neki poliedarski model površi M (može i sa rubom) Ojlerova karakteristika je broj
= T – I + P kocka= 8 – 12 + 6 = 2 (tetraedar)= 4 – 6 + 4 = 2 Keopsova piramida= 5 – 8 + 5 = 2 (torus)= 16 – 32 + 16 = 0 (Mebijusova traka)= domaći
Homeomorfne površi imaju istu Ojlerovu karakteristiku.
![Page 13: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/13.jpg)
3) Orjentabilnost površi
Intuitivno, površ je orjentabilna ako na njoj postoji sat na kazaljke (unutrašnja definicija)
Ekvivalentno, površ je orjentabilna ako je normala definisana u svakoj tački površi (spoljašna definicija)
Svaka površ bez ruba (površ nema samopreseke) je orjentabilna.
Sfera, torus, Platonova tela, cilindar... su orjentabilni Ako su dve površi homeomorfne one su ili obe
orjentabilne, ili obe neorjentabilne.
![Page 14: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/14.jpg)
Mebijusova traka nije orjentabilna!
![Page 15: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/15.jpg)
Jednostranost Mebijusove trake
![Page 16: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/16.jpg)
Osobine neorjentabilnih površi
Na njima ne postoje satovi na kazaljke Jednostrane su (tj. možemo ih potpuno obojiti ne
podižući četkicu, odnosno ako ih uronimo u vodu sasvim će se smočiti)
Nemaju jedinstveno definisanu normalu u svim tačkama odjednom
Ako nemaju rub, tada se ne mogu “smestiti” u 3D prostor bez samopreseka (u 4D mogu!)
Svaka neorjentabilna površ sadrži neku Mebijusovu traku, i obrnuto, ako površ sadrži Mebijusovu traku, ona je neorjentabilna.
![Page 17: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/17.jpg)
Dobijanje novih površi od postojećih
Osnovni metod: lepljenje dve površi po rubu
Primer: Lepljenje dve Mebijusove trake
Rub svake je krug, po kome treba da ih zalepimo. Rezultujuća površ nema rub (jer smo po njemu zalepili) Rezultujuća površ je neorjentabilna (jer sadrži
Mebijusovu traku) Pošto je neorjentabilna i nema rub ne u 3D prostoru
mora da se samopreseče. Koja je to površ? Odgovor: Klajnova boca
![Page 18: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/18.jpg)
Topološka klasifikacija površi bez ruba
Želimo da vidimo kako topološki izgledaju sve površi bez ruba.
RučkaSfera sa k rupa Mebijusova traka
![Page 19: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/19.jpg)
Orjentabilne površi bez ruba Sve orjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što
se na sferu sa k rupa nalepi k ručki.
k=0, sfera k=1, torus
k=2, pereca sa 2 rupe
k=1, torus
![Page 20: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/20.jpg)
Neorjentabilne površi bez ruba
Sve neorjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što se na sferu sa k rupa nalepi k Mebijusovih traka.
k=2, Klajnova bocak=1, Bojeva površ
![Page 21: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/21.jpg)
Rod površi
Rod orjentabilne površi bez ruba je “broj rupa” te površi.
Ako onda je sfera Ako onda je torus Ako onda je pereca sa 2 rupe...
![Page 22: Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102911/56814859550346895db56641/html5/thumbnails/22.jpg)
Reference
JavaView, www.javaview.de
В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология, (выпуск 21 серии "библиотечка квант"), Наука, Москва, 1982
S. Vukmirovic, Gluing two Moebius strips into a Klein bottle, Wolfram Mathsource, library.wolfram.com/infocenter/MathSource/823/