Tony Liimatainen

Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

Diplomityo, joka on jatetty opinnaytteena tarkastettavaksi diplomi-insinoorintutkintoa varten teknillisen fysiikan koulutusohjelmassa.

Espoossa, 1.12.2008

Tyon valvoja: Professori Matti LassasTyon ohjaaja: Lehtori Kirsi Peltonen

TEKNILLINEN KORKEAKOULU DIPLOMITYON TIIVISTELMAInformaatio- ja luonnontieteiden tiedekunta

Tekija: Tony Liimatainen

Koulutusohjelma: Teknillisen fysiikan koulutusohjelma

Paaaine: Matematiikka

Sivuaine: Sovellettu fysiikka

Tyon nimi: Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

Title in English: Hyperbolising surfaces with the Ricci flow

Professuurin koodi ja nimi: Mat-1 Matematiikka

Tyon valvoja: Professori Matti Lassas

Tyon ohjaaja: Lehtori Kirsi Peltonen

Moniston Riemannin metriikan kehittaminen Riccin virtauksella on osoittautunut tehok-kaaksi tyokaluksi differentiaaligeometrian tutkimuksessa. Riccin virtaus on metriikan evo-luutioyhtalo, jolla on epalineaarisuudesta huolimatta lampoyhtalomaisia ominaisuuksia.Vuonna 2003 Riccin virtauksen avulla todistettiin Poincaren konjektuuri.Tyossa tutkimme Riccin virtausta pinnoilla ja samalla tutustumme Poincaren konjektuu-rinkin todistuksessa kaytettyihin menetelmiin. Tutkimme miten metriikka kehittyy pinnallaRiccin virtauksessa. Selvitamme milla oletuksilla ja miten kauan Riccin virtauksen ratkaisuon olemassa. Tutkimme miten pinnan kaarevuus kayttaytyy virtauksen aikana ja millaiseenmetriikkaan virtauksen ratkaisu pinnalla suppenee asymptoottisesti.Tyossa johdamme tunnettuihin Riccin virtauksen tuloksiin nojaten virtauksen ratkaisunolemassaoloteorian, joka on voimassa riippumatta moniston ulottuvuudesta. Sen jalkeensovellamme sita saadaksemme tarvitsemamme olemassaoloteorian pinnoille. Pinnoilla kaa-revuus yksinkertaistuu ja Gauss-Bonnetin teoreema kytkee pinnan kaarevuuden sen topolo-giaan. Naita huomioita kayttaen johdamme pinnan Riccin virtaukselle yksinkertaisemmanmuodon. Pinnan Riccin virtauksen analysointiin kaytamme osittaisdifferentiaaliyhtaloidenteorian menetelmia, joita ensin yleistamme monistoille.Osoitamme, etta pinnalla Riccin virtauksella on aina yksikasitteinen ratkaisu koko aikava-lilla [0,∞) mille tahansa alkuhetken C∞-metriikalle. Asymptoottisesti virtauksen ratkai-su pinnalla suppenee vakiokaarevuuden metriikkaan, minka osoitamme erikoistapauksessa,jossa pinnan Eulerin karakteristika on negatiivinen. Erityisesti negatiivisen Eulerin karak-teristikan pinta hyperbolisoituu. Pinnalla ratkaisu on konforminen alkuhetken metriikankanssa, ja siten jokainen Riemannin metriikka pinnalla on konforminen vakiokaarevuudenmetriikan kanssa.Riccin virtaus vaikuttaa hyodylliselta tyokalulta, kun tutkitaan lokaalien suureiden kutenkaarevuuden kytkeytymista topologiaan. Riccin virtauksen vahvuus on sen kaarevuutta ta-soittavassa luonteessa ja siina, etta sen ratkaisu on olemassa minimaalisilla ehdoilla. Riccinvirtauksen tyokaluja kayttaen voi lahestya differentiaaligeometrian ongelmia myos korkeam-missa ulottuvuuksissa osittaisdifferentiaaliyhtaloiden teorian avulla.

Sivumaara: 47 Avainsanat: Riccin virtaus, hyperbolinen pinta, evoluutioyhtalo,vakiokaarevuuden metriikka, Poincaren konjektuuri,ratkaisun olemassaolo, ratkaisun suppeneminen,vakiokaarevuuden pinta, Eulerin karakteristika

Taytetaan tiedekunnassa

Hyvaksytty: Kirjasto:

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ABSTRACT OF MASTER’S THESISFaculty of Information and Natural Sciences

Author: Tony Liimatainen

Degree Programme: Engineering Physics

Major subject: Mathematics

Minor subject: Applied Physics

Title: Hyperbolising surfaces with the Ricci flow

Title in Finnish: Pintojen hyperbolisointi Riccin virtauksen avulla

Chair: Mat-1 Mathematics

Supervisor: Professor Matti Lassas

Instructor: Lecturer Kirsi Peltonen

Evolving a Riemannian metric of a manifold by using the Ricci flow has turned out to be apowerful tool in the study of differential geometry. The Ricci flow is an evolution equationof a Riemannian metric. Despite its nonlinear nature, it has similar properties with theheat equation. The Poincare conjecture was proved using the Ricci flow in 2003.We study the Ricci flow on surfaces and methods used also in the proof of the Poincareconjecture become familiar. We study how a Riemannian metric on a surface evolves duringthe flow. We investigate under which assumptions the solution of the flow exists and onwhat time interval. We study how curvature behaves under the flow and to which kind ofmetric the solution of the flow converges asymptotically.By using results from the general theory of the Ricci flow, we derive an existence theoryfor the solution of the flow. The derived theory holds in any dimension and we applyit in order to achieve a suitable existence theory for the solution on surfaces. Curvaturesimplifies on surfaces and the Gauss-Bonnet theorem connects the curvature of the surfaceto its topology. Using these remarks, the Ricci flow assumes a simpler form. To analyzethe flow on surfaces, we use the methods of partial differential equations, which we firstgeneralize to apply on manifolds.We show that on manifolds the Ricci flow has a unique solution on the non-negative timeinterval [0,∞) for any initial time C∞-metric. Asymptotically the solution of the flowconverges to a metric of constant curvature, which we prove in the special case of negativeEuler characteristic. Especially the surface becomes hyperbolic in the case of negative Eulercharacteristic. The solution of the flow is conformal to the initial time metric. Thus, everyRiemannian metric is conformal to a metric of constant curvature.The Ricci flow appears to be a useful tool for studying the relation between topology andlocal quantities, such as curvature. The Ricci flow has two key strengths. In addition toits nature of smoothening curvature, it has a solution for minimal conditions. By using thetools of the Ricci flow, one can approach the problems of differential geometry with thehelp of the theory of partial differential equations also in higher dimensions.

Number of pages: 47 Keywords: Ricci flow, hyperbolic surface,evolution equation, metric of constant curvature,Poincare conjecture, existence of solution,surface of constant curvature, Euler characteristic

Department fills

Approved: Library code:

Esipuhe

Taman diplomityon motivaationa on ollut tutustua Riccin virtaukseen ja sii-hen, miten sita voi kayttaa tutkittaessa moniston kaarevuuden kytkeytymistatopologiaan. Haluan esittaa kiitokseni tyon ohjaajalle lehtori Kirsi Peltosellemielenkiintoisesta tyon aiheesta ja tehokkaasta ohjaamisesta. Lisaksi haluankiittaa tutkijatohtori Mikko Saloa seka professoreita Matti Lassas ja Juha Kin-nunen hyodyllisista kommenteista tyon alkuvaiheessa. Erityisen kiitoksen an-saitsee kollegani Kurt Baarman, joka tyon loppuvaiheessa tarjosi apuaan tyonoikoluvussa.

Tyo on tehty kesalla 2008 Teknillisessa korkeakoulussa Matematiikan ja systee-mianalyysin laitoksella. Toivon, etta lukija viihtyy aiheen parissa, oppii Riccinvirtauksen perustekniikat ja jaksaa ihmetella lokaalien suureiden kuten kaare-vuuden kytkeytymista topologiaan.

Espoo, 1. Elokuuta, 2008

Tony Liimatainen

Sisalto

1 Johdanto 1

2 Notaatio ja Riemannin geometrian konventiot 5

3 Yleista Riccin virtauksesta 83.1 Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen ekviva-

lenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria . . . . . . . . . . . 11

4 Riccin virtaus pinnalla 184.1 Skalaarikaarevuuden muutosrajat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Ratkaisun olemassaolo pinnalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Pinnan Riccin virtauksen asymptoottinen kayttaytyminen 295.1 Normien ekvivalenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2 Skalaarikaarevuuden derivaattojen arviointi . . . . . . . . . . . . 34

6 Yhteenveto 37

A 39A.1 Riemannin geometrian identiteetteja . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.2 Riccin virtauksen identiteetteja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.3 Poissonin yhtalon ratkaisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Luku 1

Johdanto

Riccin virtaus on Riemannin metriikan evoluutioyhtalo, jossa annettua alku-hetken metriikkaa kehitetaan ajassa epalineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtalonavulla. Se on alkuarvotehtava

∂

∂tg(t) = −2Ric(g(t))

g(0) = g0,(1.1)

missa g0 on jokin moniston silea Riemannin metriikka ja Ric on Riccin tenso-ri. Sen esitteli Richard Hamilton vuonna 1982 julkaisussaan ”Three-manifoldswith positive Ricci curvature” [Ham82]. Siina han osoitti, etta jokaisella aidostipositiivisen (Riccin) kaarevuuden monistolla on myos positiivinen vakiokaare-vuuden metriikka. Vakiokaarevuuden metriikka loytyy kehittamalla annettuapositiivisen kaarevuuden metriikkaa (normalisoidulla) Riccin virtauksella.

Julkaisu on Hamiltonin ohjelman ensimmainen julkaisu. Hamiltonin ohjel-man menetelmia kayttaen voi lahestya Thurstonin geometrisaatiokonjektuurintodentamista Riccin virtausta kayttaen. Thurstonin geometrisaatiokonjektuurisisaltaa erikoistapauksenaan kuuluisan Poincaren konjektuurin. Taman mukaansuljettu kolme-monisto, jolla on triviaali perusryhma, on topologialtaan palloS3. Vuonna 2003 venalainen Grisha Perelman teki huomattavan tyon vahvis-tamalla Thurstonin geometrisaatiokonjektuurin Hamiltonin ohjelman tuloksiinnojaten.

Varsinaisesti metriikan kehittaminen kaytettaessa Riccin virtauksen teknii-koita tapahtuu normalisoidun Riccin virtauksen avulla. Normalisoitu Riccinvirtaus on kompaktin moniston alkuarvotehtava

∂

∂tg(t) =

2nr(t)g(t)− 2Ric(g(t))

g(0) = g0,(1.2)

missa r on skalaarikaarevuuden R integraalikeskiarvo

r(t) =ˆMR(g(t))dµ

/ˆMdµ . (1.3)

Osoittautuu, etta normalisoimaton (1.1) ja normalisoitu Riccin virtaus ovatmonessa mielessa samanlaisia. Molemmat virtaukset tasoittavat Riccin kaare-vuutta lampoyhtalomaisesti, jota voi heuristisesti ajatella kuoppaisen pallon

2

muokkaamista taydelliseksi palloksi. Niiden ratkaisujen olemassaoloteoriat ovatmyos ekvivalentteja. Normalisoitu Riccin virtauks poikkeaa normalisoimatto-masta kahdella keskeisella tavalla. Normalisoitu Riccin virtaus sailyttaa monis-ton tilavuuden ja sen kiintopisteet eivat ole ainoastaan haviavan Riccin kaare-vuuden metriikoita. Jalkimmaisella on suuri merkitys tarkasteltaessa ratkaisunpitkan ajan kayttaytymista.

Tama diplomityo jakautuu kahteen osaan. Ensimmainen osa kasittelee Riccinvirtauksen teoriaa yleisella n-ulotteisella monistolla. Rakennamme siina teorian,jota tarvitsemme tutkiessamme suljettuja kaksi-monistoja, eli pintoja. Tarkeinalkuosan tulos on Riccin virtauksen ratkaisun pitkan ajan olemassaolon teoria.Riccin virtauksella on aina lyhen ajan yksikasitteinen ratkaisu, mutta pitkanajan olemassaoloa rajoittaa moniston kaarevuuden kayttaytyminen virtauksenaikana. Osoittautuu, etta jos kaarevuus ei hajaannu millaan ajan hetkella, onRiccin virtauksella yksikasitteinen ratkaisu aina alkuhetkesta eteenpain. Alkuo-sassa osoitamme myos normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksenratkaisujen yksikasitteisen vastaavuuden.

Saatuamme yleisen teorian valmiiksi siirrymme tutkimaan pintoja. Kahdes-sa ulottuvuudessa Riemannin kaarevuus yksinkertaistuu huomattavasti, jolloinnormalisoitu Riccin virtausyhtalo saa yksinkertaisemman muodon

∂

∂tg = (r −R)g. (1.4)

Pinnoilla patee myos Gaussin ja Bonnetin kaava [Lee87, Thm 9.7.]ˆMRdµ = 4πχ(M), (1.5)

missa χ(M) on pinnan Eulerin karateristika. Gaussin ja Bonnetin kaava kyt-kee pinnan topologian ja kaarevuuden toisiinsa. Naita huomioita kayttamallaosoitamme, etta skalaarikaarevuus sailyy rajoitettuna virtauksen aikana. Tyonensimmaisen osan nojalla Riccin virtauksella on pinnalla aina pitkan ajan rat-kaisu.

Rajalla t → ∞ normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu pinnalla suppe-nee vakiokaarevuuden metriikkaan. Taman osoittamisen vaikeus riippuu pin-nan topologiasta: positiivisen Eulerin karakteristikan tapauksessa vakiokaare-vuuden metriikka on hylkiva kiintopiste, mika monimutkaistaa analyysia. Tassatyossa osoitamme suppenemisen negatiivisen Eulerin karakteristikan tapaukses-sa. Ei-positiivisen tapauksen osoitti alunperin Hamilton vuonna 1988 [Ham88]ja positiivinen tapaus todistettiin vuonna 1991 uniformisaatiolauseeseen noja-ten [Cho91]. Positiivinen tapaus todistettiin myos kayttamatta uniformisaatio-lausetta vuonna 2006 [CLT06].

Riccin virtauksen tutkiminen kuuluu geometrisen analyysin matematiikanhaaraan. Geometrinen analyysi tutkii differentiaaligeometriaa analyysin keino-ja kayttaen ja kaantaen. Lukijalta oletetaan perustietoja nailta matematiikanosa-alueilta, joskin oleellisinta on Riemannin geometrian perustyokalujen tun-teminen. Tyo perustuu Hamiltonin alkuperaiseen tyohon aiheesta [Ham88] sekaartikkelin [CZ06] pohjalta tehtyyn Mikko Salon esitelmaan. LahdemateriaalinaRiccin virtauksen tuloksiin on kaytetty lahinna kirjaa [CK04].

3

Ennen siirtymista varsinaiseen asiaan tutustumme Riccin virtaukseen esi-merkin kautta, jossa ratkaistaan normalisoimaton ja normalisoitu Riccin vir-taus, kun alkuhetken metriikka on Einsteinin metriikka. Huomaamme myos,etta jokainen Einsteinin metriikka on normalisoidun Riccin virtauksen kiinto-piste.

Esimerkki 1.1. (Einstenin metriikan Riccin virtaus) Oletetaan moniston Malkuhetken metriikka g0 Einsteinin metriikaksi:

Ric(g0) = λg0. (1.6)

Tehdaan yriteg(t) = u(t)g0 (1.7)

Riccin virtauksen ratkaisemiseksi. Metriikan skaalaaminen positiivisella vakiol-la sailyttaa Riccin kaarevuuden (Propositio A.4), joten sijoittaminen Riccinvirtauksen yhtaloon (1.1) antaa

u′(t)g0 =∂

∂tg(t) = −2Ric(g(t)) = −2Ric(g0) = −2λg0. (1.8)

Metriikka g(t) on siten Riccin virtauksen ratkaisu, jos

u′(t) = −2λu(0) = 1.

(1.9)

Elig(t) = (1− 2λt)g0. (1.10)

Huomataan ratkaisusta seuraavat asiat: Jos λ > 0, eli monisto on esimer-kiksi pallo, monisto kutistuu pisteeksi aarellisessa ajassa t = 1

2λ . Jos λ = 0,kuten voi olla esimerkiksi toruksen tapauksessa, metriikka pysyy vakiona g0.Ja jos λ < 0, kuten on hyperbolisella Einsteinin monistolla, metriikka kasvaaRiccin virtauksen aikana.

Tarkastellaan sitten vastaavaa tapausta normalisoidussa Riccin virtaukses-sa (1.2). Nyt saamme

2nr(g)g =

2n

(ˆMgijRij(g)dµ

/ˆMdµ

)g

=2n

(ˆM

1u(t)

gij0 Rij(g0)dµ/ˆ

Mdµ

)g

=2n

1u(t)

λ

(ˆMndµ

/ˆMdµ

)g =

2λu(t)

g = 2λg0.

(1.11)

Sijoittamalla yhtalo (1.11) normalisoidun Riccin virtauksen evoluutioyhtaloontulee se muotoon

u′(t)g0 =∂

∂tg(t) =

2nr (g(t)) g(t)− 2Ric (g(t)) = 2λg0 − 2λg0 = 0, (1.12)

jonka ratkaisu ong(t) = g0. (1.13)

4

Loytamamme ratkaisu pysyy siis vakiona g0. Osoittautuu, etta (normalisoi-dun) Riccin virtauksen ratkaisu on yksikasitteinen, joten Einsteinin metriikkaon normalisoidun Riccin virtauksen kiintopiste - normalisoitu Riccin virtaus,joka jonain hetkena on Einsteinin metriikka, pysyy Einsteinin metriikkana sii-ta hetkesta eteenpain.

Luku 2

Notaatio ja Riemanningeometrian konventiot

Tyossa noudatamme viitteen [Lee87] notaatiota. Tarkastelemme sileita suunnis-tuvia Riemannin monistoja, M , tai vaihtoehtoisesti Mn, jos haluamme korostaamoniston ulottuvuutta n. Metriikalla tarkoitamme aina sileaa (C∞) Riemanninmetriikkaa ellei toisin mainita.

Moniston M Riemannin metriikka g maarittelee moniston tangenttikimpunTM vektoreiden sisatulon

〈U, V 〉 = gijUiV j , U, V ∈ TxM, (2.1)

missa U i ja V i ovat vektoreiden U ja V komponentit koordinaattikannassa. Yllaolemme kayttaneet Einsteinin summaussaantoa. Kaytamme sita myos jatkossa.

Metriikka maarittelee sisatulon myos kotangenttikimpun T ∗M ≡ T 1M ko-vektoreille

〈ω, σ〉 = gijωiσj , ω, σ ∈ T ∗xM (2.2)

seka yleisemmin tensoreille A,B ∈ T klxM

〈A,B〉 = gi1j1 · · · gikjkgik+1jk+1· · · gik+ljk+l

Aik+1···ik+l

i1···ik Bjk+1···jk+l

j1···jk . (2.3)

Ylla T kl M on(kl

)-tensoreiden

F : T ∗M × · · · × T ∗M︸ ︷︷ ︸l kpl

×TM × · · · × TM︸ ︷︷ ︸k kpl

−→ R (2.4)

vektorikimppu. Kaytamme sisatuloille samaa kulmasulkumerkintaa < ·, · >riippumatta siita ovatko argumentit vektoreita, kovektoreita vai

(kl

)-tensoreita.

Selviaa asiayhteydesta, mita sisatuloa kulloinkin tarkoitetaan.Sisatulo yleistyy vektori- ja kovektorikenttien avaruuksiin T (M) ja T 1(M)

seka(kl

)-tensorikenttien T kl (M) avaruuteen normaalilla tavalla. Jatkossa emme

yleensa sanallisesti erottele vektorikimppuja niiden kenttien eli sektioiden ava-ruuksista. Jos esimerkiksi puhumme

(kl

)-tensorista F , tarkennamme sen merki-

tyksen tarvittaessa merkitsemalla F ∈ T kl M tai F ∈ T kl (M).

6

Tensorin A ∈ T kl (M) normin nelio on tensorin sisatulo itsensa kanssa,

|A|2g = gi1j1 · · · gikjkgik+1jk+1· · · gik+ljk+l

Aik+1···ik+l

i1···ik Ajk+1···jk+l

j1···jk . (2.5)

Integrointi monistolla maaritellaan metriikan maaraaman mitan

dµ =√

det gdx (2.6)

suhteen.Lineaarinen konnektio∇maarittaa kovariantin derivaatan

(kl

)-tensorikentilta(

k+1l

)-tensorikentille:

∇F (ω1, . . . ωl, U1, . . . , Uk, X) = ∇XF (ω1, . . . ωl, U1, . . . , Uk), (2.7)

missa F ∈ T kl (M), ωi ∈ T 1(M) ja X,Ui ∈ T (M). Lokaaleissa koordinaateissa

∇i∂j ≡ ∇∂i∂j = Γkij∂k, (2.8)

missa Γkij ovat konnektion Christoffelin symbolit. Christoffelin symboleita kayt-taen tensorin F ∈ T kl (M) kovariantin derivaatan komponentit voidaan kirjoit-taa seuraavasti:

∇mF j1···jli1···ik = ∂mFj1···jli1···ik +

l∑s=1

ΓjsmaFj1···a···jli1···ik −

k∑s=1

ΓamisFj1···jli1···a···ik . (2.9)

Erityisesti kovektorin ω ∈ T 1(M) ja tensorin F ∈ T 20 (M) kovarianttien deri-

vaattojen komponentit ovat

∇iωj = ∂iωj − Γkijωk (2.10)

ja∇iFjk = ∂iFjk − ΓaijFak − ΓaikFja. (2.11)

Konnektio, jota tyossa kaytamme, on aina Levi-Civitan lineaarinen konnek-tio. Levi-Civitan konnektio on symmetrinen,

∇XY −∇YX = [X,Y ] , (2.12)

ja yhteensopiva metriikan kanssa,

∇g = 0. (2.13)

Sen Christoffelin symbolit voidaan laskea lokaaleissa koordinaateissa kaavasta

Γkij =12gkl (∂iglj + ∂jgli − ∂lgij) . (2.14)

Kayttamamme kaarevuussuureet maaritellaan seuraavasti: Riemannin kaa-revuustensori, Rm ∈ T 4

0 (M), maaritellaan kaavalla

Rm(X,Y, Z,W ) =⟨(∇X∇Y −∇Y∇X −∇[X,Y ]

)Z,W

⟩, (2.15)

7

missa X,Y, Z,W ∈ T (M). Riemannin kaarevuustensorin komponentit lokaa-leissa koordinaateissa ovat

Rijkl =⟨(∇∂i∇∂j−∇∂j

∇∂i

)∂k, ∂l

⟩=⟨Rmijk∂m, ∂l

⟩= gmlR

mijk. (2.16)

Komponentit Rmijk, jotka on siis saatu nostamalla Riemannin kaarevuustensorinkomponenttien viimeinen indeksi, voidaan laskea kaavasta

Rmijk = ∂iΓmjk − ∂jΓmik + ΓmiaΓajk − ΓmjaΓ

aik. (2.17)

Komponenttien maaraamaa(

31

)-tensorikenttaa kutsutaan (Riemannin) kaare-

vuusendomorfismiksi.Riccin kaarevuus Ric ∈ T 2

0 (M), joka tassa tyossa esiintyy erityisesti Riccinvirtauksen evoluutioyhtalossa, on kontraktio Riemannin kaarevuustensoristaensimmaisen ja viimeisen indeksin suhteen,

Rij = gklRkijl. (2.18)

Edelleen skalaarikaarevuus R ∈ C∞(M) on kontraktio Riccin kaarevuudesta,

R = gijRij ≡ Tr(g−1Ric

), (2.19)

ja keskimaarainen skalaarikaarevuus r sen integraalikeskiarvo,

r =ˆMRdµ

/ˆMdµ =

ˆMRdµ /Vol(M) . (2.20)

Lopuksi maarittelemme kaksi derivaattaoperaattoria. Kovariantti Laplacenoperaattori ∆ : C∞(M)→ C∞(M), maaritellaan kaavalla

∆u = ∇i∇iu = gij∇i∇ju = gij(∂i∂j − Γkij∂k)u, (2.21)

ja tensorin F ∈ T k0 (M) divergenssi div : T k0 (M) → T k−10 (M) kontraktiona

tensorin ∇F kahden ensimmaisen indeksin suhteen:

(divF )i1···ik−1= gij∇iFji1···ik−1

. (2.22)

Erityisesti Laplacen operaattori esiintyy luonnollisesti tarkastelemissamme evo-luutioyhtaloissa. Naissa yhtaloissa metriikka muuntuu ajassa, mista johtuen jos-kus kirjoitamme ∆ = ∆g = ∆g(t) korostaakseemme Laplacen operaattorin ai-kariippuvuutta naissa tapauksissa.

Luku 3

Yleista Riccin virtauksesta

Tassa luvussa tarkastelemme Riccin virtauksen piirteita yleisessa ulottuvuudes-sa n > 1. Normalisoimattoman Riccin virtauksen evoluutioyhtalo metriikalle on

∂

∂tg = −2Ric(g)

g(0) = g0,(3.1)

ja normalisoitu Riccin virtausyhtalo on

∂

∂tg =

2nrg − 2Ric(g)

g(0) = g0,(3.2)

missa

r =ˆMRdµ

/ˆMdµ . (3.3)

Normalisoimattoman Riccin virtauksen, jota kutsumme lyhyemmin myosRiccin virtaukseksi, ja normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisut monistollaMn ovat laheisessa yhteydessa toisiinsa. Ne eroavat toisistaan ainoastaan ajant parametrisoinnilla ja avaruuden skaalauksella. Erityisesti niiden ratkaisun ole-massaoloteoriat ovat ekvivalentteja keskenaan. Ratkaisun olemassaoloteoria jaratkaisujen ekvivalenssi edella kuvatussa mielessa ovat taman luvun paateema.Aloitamme osoittamalla, etta normalisoitu Riccin virtaus sailyttaa nimensa mu-kaisesti moniston tilavuuden:

Propositio 3.1. Olkoon g(t) normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu. Talloinmoniston tilavuus Vol(M),

Vol(M) =ˆMdµt, (3.4)

on vakio ajassa.

Todistus. Kayttamalla identiteettia (Propostio A.1)

∂

∂tln det g = Tr

(g−1 ∂

∂tg

), (3.5)

3.1. Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksenekvivalenssi 9

voimme laskea

∂

∂t

ˆMdµt =

∂

∂t

ˆM

√det gdx =

ˆM

[∂

∂tln√

det g]√

det gdx

=12

ˆM

(∂

∂tln det g

)dµt =

12

ˆMgij(

2nrgij − 2Rij

)dµt

=ˆM

(r −R)dµt = 0.

(3.6)

Tilavuus siis sailyy normalisoidussa Riccin virtauksessa ja erityisesti mittatoteuttaa evoluutioyhtalon

∂

∂tdµt = (r −R)dµt, (3.7)

kuten voimme proposition todistuksesta huomata. Normalisoimattomalle Riccinvirtaukselle voimme vastaavasti laskea

∂

∂tdµt = −Rdµt. (3.8)

Jatkossa jatamme mitan aikariippuvuuden merkitsematta.

3.1 Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin vir-tauksen ekvivalenssi

Selvitamme seuraavaksi eksplisiittisesti normalisoimattoman ja normalisoidunRiccin virtauksen yksikasitteisen vastaavuuden, jonka jalkeen siirrymme ratkai-sun olemassaoloteorian pariin. Laskeaksemme miten virtaukset vastaavat toisi-aan, maarittelemme aluksi ajasta t riippuvan avaruuden skaalauksen eli konfor-misen muunnoksen

g := ψg, (3.9)

missa funktio ψ(t) > 0 valitaan siten, ettaˆMdµ = 1, t ≥ 0. (3.10)

Ylla dµ on metriikan g suhteen laskettu tilavuusmuoto. Vaadittu ψ on olemassa,silla

1 =ˆMdµ = ψn/2(t)

ˆMdµ, (3.11)

on yhtapitavaa yhtalon

ψ(t) =(ˆ

Mdµ

)−2/n

> 0 (3.12)

kanssa. Avaruuden skaalamisen lisaksi parametrisoimme ajan uudelleen seuraa-vasti

t(t) :=ˆ t

0ψ(s)ds. (3.13)

3.1. Normalisoimattoman ja normalisoidun Riccin virtauksenekvivalenssi 10

Riccin tensori on sailyy avaruuden skaalaamisessa (Propositio A.4),

Ric(g) = Ric(cg) (3.14)

kaikilla positiivisilla vakion c arvoilla, joten

Ric(g) = Ric(g). (3.15)

Tasta seuraa, etta patee

R(g) = gijRij(g) =1ψR(g), (3.16)

sillag−1 =

1ψg−1. (3.17)

Edelleen laskemme konformisesti muunnetun ja muuntamattoman keski-maaraisen skalaarikaarevuuden suhteen toisiinsa:

r(g) =ˆMR(g)dµ

/ˆMdµ =

1ψ

ˆMR(g)dµ

=1ψψn/2

ˆMR(g)dµ =

1ψr(g).

(3.18)

Osoitamme seuraavaksi, etta maarittelemamme avaruuden skaalaus ja ajanuudelleen parametrisointi maarittavat normalisoimattoman ja normalisoidunRiccin virtauksen ratkaisujen yksikasitteisen vastaavuuden. Siten ratkaisut ovatekvivalentteja siina mielessa, etta toisen ratkaisu antaa automaattisesti myostoisen ratkaisun.

Propositio 3.2. Olkoon g(t) normalisoimattoman Riccin virtauksen ratkaisuvalilla [0, T ). Talloin

gN (t) :=(g t−1

)(t) ≡

((ψg) t−1

)(t) (3.19)

on normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu valilla[0, t−1(T )

).

Kaantaen, jos gN (t) on normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu valilla[0, TN ), niin

g(t) :=1

ψ(t)(gN t

)(t) (3.20)

on normalisoimattoman Riccin virtauksen ratkaisu valilla[0, t(TN )

).

Todistus. Olkoon g(t) normalisoimattoman Riccin virtauksen ratkaisu valilla[0, T ). Koska ψ(t) on aidosti positiivinen,

t(t) =ˆ t

0ψ(s)ds (3.21)

on aidosti kasvava. Niinpa silla on aidosti kasvava kaanteisfunktio, joka kuvaavalin [0, T ) valiksi

[0, t−1(T )

).

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 11

Derivoimalla metriikkaa gN ajan suhteen, ketju- ja kaanteisfunktion deri-voimissaantoa kayttaen, saamme

∂

∂tgN (t) =

∂g(s)∂s

∣∣∣∣s=et−1(t)

∂t−1(t)∂t

=∂(ψ(s)g(s))

∂s

∣∣∣∣s=et−1(t)

1∂st(s)

∣∣∣∣s=et−1(t)

=[−2Ric(g(s))ψ(s) +

∂ψ(s)∂s

g(s)]

1ψ(s)

∣∣∣∣s=et−1(t)

.

(3.22)

Derivoimalla yhtaloa (3.12) saamme

∂ψ(s)∂s

= − 2n

(ˆMdµ

)−2/n−1 ˆM

∂

∂sdµ

= − 2n

ψ(s)Vol(M)

ˆM−R(g(s))dµ =

2nψ(s)r(g(s)).

(3.23)

Niinpa yhtalo (3.22) sievenee muotoon

∂

∂tgN (t) =

(2nr (g(s)) g(s)− 2Ric (g(s))

)∣∣∣∣s=et−1(t)

=2nr(gN (t))gN (t)− 2Ric(gN (t)),

(3.24)

missa viimeisella rivilla on kaytetty identiteettia r(g)g = r(g)g ja ehtoa (3.15).Olemme osoittaneet, etta gN (t) ratkaisee normalisoidun Riccin virtauksen

valilla[0, t−1(T )

). Kaanteinen puoli osoitetaan vastaavalla laskulla.

3.2 Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria

Seuraavassa luvussa aloitamme normalisoidun Riccin virtauksen tutkimisen pin-noilla. Oleellista tutkimuksemme kannalta tulee olemaan virtauksen ratkaisunpitkan ajan olemassaolo, jolla tarkoitetaan, etta ratkaisu on olemassa valilla[0,∞). Etsimme tassa kappaleessa riittavat ehdot ratkaisun pitkan ajan ole-massaololle. Kokonaisuudessaan (normalisoidun) Riccin virtauksen olemassao-loteoria osoittautuu tyolaaksi tehtavaksi, minka vuoksi viittaamme sopivissakohdissa muutamiin yleisiin tuloksiin. Rajoittuminen kahteen ulottuvuuteen eihelpota tyotamme talta osin.

Tyotamme helpottaa edellisessa propositiossa saatu vastaavuus normalisoi-mattoman ja normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisujen valilla. Sen nojalla onilmeista, etta normalisoidun virtauksen lyhyen ajan olemassaoloa varten riittaatutkia normalisoimatonta virtausta ja kaantaen. Vastaava patee myos ratkaisunpitkan ajan olemassaololle, ja johdammekin ratkaisun pitkan ajan olemassaolo-teorian aluksi normalisoimattomalle virtaukselle, jonka jalkeen osoitamme vas-taavan teorian patevan myos normalisoidulle virtaukselle. Aloitamme teorianratkaisun lyhyen ajan olemassaololauseella.

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 12

Lause 3.3. (Ratkaisun lyhyen ajan olemassaolo) Jos (Mn, g0) on suljettu Rie-mannin monisto, niin Riccin virtauksella

∂

∂tg = −2Ric(g)

g(0) = g0

(3.25)

on olemassa yksikasitteinen ratkaisu jollakin positiivisella aikavalilla [0, ε) siten,etta g(0) = g0.

Sivuutamme lauseen vaativan todistuksen. Alkuperainen todistus loytyyHamiltonin julkaisusta [Ham82], jossa lause on todistettu kayttaen abstraktiaNashin ja Moserin kaanteiskuvauslausetta. Suoraviivaisempaa todistusta var-ten katso kirjan [CK04] Lause 3.13, jossa kaytetaan niin sanottua DeTurckintemppua.

Taktiikkamme pitkan ajan ratkaisun olemassaolon todistamiseksi on seuraa-va: Edellinen lause antaa meille ratkaisun pienella valilla [0, ε). Osoittamalla,etta ratkaisu g(t) suppenee, kun aika t lahestyy valin paatepistetta ε, loydammeuuden metriikan g(ε). Metriikasta g(ε) voimme aloittaa uuden Riccin virtauk-sen ja ratkaisun yksikasitteisyyden nojalla ratkaisu jatkuu siis pidemmalle -itseasiassa koko valille [0,∞).

Aloitamme raja-arvon g(ε) tutkimisen lemmalla, joka antaa riittavan eh-don jatkuvan raja-arvometriikan olemassaololle. Lemman oletus koskee met-riikan aikaderivaatan rajoittuneisuutta virtauksen aikana, mika on tietenkinsama asia kuin Riccin tensorin rajoittuneisuus virtauksen aikana. Myos raja-arvometriikan sileys seuraa lopulta kaarevuuden a priori rajoista. Ennen lem-maa maarittelemme ensin, mita tarkalleen tarkoitamme metriikan suppenemi-sella.

Maaritelma 3.4. Olkoon g(t), t ∈ [0, T ), perhe metriikoita monistolla M .Perheella on raja-arvo g(T ), jos g(T ) on metriikka, jonka komponenteille patee

gij(t) −→ gij(T ), t→ T. (3.26)

Sanotaan, etta g(t) suppenee metriikkaan g(T ) ja merkitaan g(t)→ g(T ).Jos lisaksi komponentit suppenevat tasaisesti moniston M suhteen, tai ylei-

semmin avaruudessa Ck(M), sanotaan etta suppeneminen on tasaista, tai ettase tapahtuu avaruudessa Ck.

Lemma 3.5. Olkoon M kompakti Riemannin monisto ja g(t) yksiparametrinenperhe metriikoita joukossa [0, T ). Jos on olemassa vakio C <∞ siten, etta

ˆ T

0supx∈M

∣∣∣∣∂g∂t (x, t)∣∣∣∣g(t)

dt ≤ C, (3.27)

niin g(t) suppenee tasaisesti metriikkaan g(T ), kun t→ T . Erityisesti rajamet-riikka g(T ) on jatkuva.

Ylla∣∣∣∂g∂t (t, x)

∣∣∣g(t)

on tensorin ∂g∂t normi pisteessa x hetkella t metriikan g(t)

suhteen (vertaa yhtaloon (2.5)).

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 13

Todistus. Olkoon x ∈M , V ∈ TxM ja 0 ≤ t1 ≤ t2 < T . Nyt on voimassa∣∣∣∣ln(g(t2, x)(V, V )g(t1, x)(V, V )

)∣∣∣∣ =∣∣∣∣ˆ t2

t1

∂

∂s[ln(g(s, x)(V, V )] ds

∣∣∣∣=∣∣∣∣ˆ t2

t1

1g(s, x)(V, V )

∂

∂sg(s, x)(V, V )ds

∣∣∣∣≤ˆ T

t1

∣∣∣∣[ ∂∂sg(s, x)](

V

|V |s,V

|V |s

)∣∣∣∣ ds.(3.28)

Koska V/|V |s on g(s)-yksikkovektori, niin liitteen Proposition A.2 nojalla pateearvio ∣∣∣∣[ ∂∂sg(s, x)

](V

|V |s,V

|V |s

)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∂∂sg(s, x)∣∣∣∣g(s)

, (3.29)

jota kayttamalla saamme∣∣∣∣ln(g(t2, x)(V, V )g(t1, x)(V, V )

)∣∣∣∣ ≤ ˆ T

t1

∣∣∣∣ ∂∂sg(s, x)∣∣∣∣g(s)

ds ≤ C. (3.30)

Epayhtalon oikea puoli on rajoitettu parametrin t1 laskeva jono, joka suppe-nee arvoon 0, kun t1 → T . Niinpa g(t, x)(V, V ) muodostaa Cauchyn jonon, jokasiten suppenee rajalla t→ T . Suppeneminen on tasaista avaruudessa M ×TM ,koska majorantti ei riipu vektorista V ja M on kompakti. Olemme osoittaneet,etta

g(t, x)(V, V ) t→T−→ g(T, x)(V, V ), C(M × TM). (3.31)

Edelleen suunnikassaannosta seuraa

g(t, x)(U, V ) =14

[g(t, x)(U + V,U + V )− g(t, x)(U − V,U − V )]

t→T−→ 14

[g(T, x)(U + V,U + V )− g(T, x)(U − V,U − V )]

= g(T, x)(U, V )

(3.32)

kaikille U, V ∈ TM . Tensori g(T ) on siten symmetrinen, ja suppenemisen ta-saisuudesta johtuen myos jatkuva. Erityisesti metriikoiden g(t) komponentitsuppenevat tasaisesti tensorin g(T ) komponentteihin:

gij(t) = g(t, x)(∂i, ∂j)→ g(T, x)(∂i, ∂j) = gij(T ), C(M). (3.33)

Asetetaan seuraavaksi t1 = 0 ja t2 = T epayhtalossa (3.30), josta saamme∣∣∣∣ln(g(T, x)(V, V )g(0, x)(V, V )

)∣∣∣∣ ≤ C. (3.34)

Eksponentioimalla ylla olevan paadymme lausekkeeseen

e−Cg(0, x)(V, V ) ≤ g(T, x)(V, V ) ≤ eCg(0, x)(V, V ). (3.35)

Vasen puoli epayhtalosta osoittaa, etta tensori g(T ) on positiividefiniitti, jaoikea puoli osoittaa, etta se on rajoitettu.

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 14

Kun Riccin tensorin normi on rajoitettu virtauksen aikana, edellisen nojallaon olemassa jatkuva rajametriikka. Jotta uusi Riccin virtaus voi alkaa raja-metriikasta, sen taytyy lisaksi olla silea. Osoittautuu, etta suljetulla monistollariittava ehto on Riemannin kaarevuuden rajoittuneisuus

|Rm(t)|g(t) ≤ C <∞ (3.36)

virtauksen aikana. Talloin metriikan ja Riccin tensorin kovariantit derivaatatovat rajoittettuja, mista lopulta seuraa rajametriikan sileys.

Voidaan osoittaa, etta Riemannin kaarevuuden rajoittuneisuus seuraa, ettametriikka ja Riccin tensorin kovariantit derivaatat ovat myos rajoittuja. Tu-loksen osoittaminen on joukko tyolaita laskuja ja kayttaa niin sanottuja Shinderivaatta-arvioita. Otamme tuloksen kayttoon ilman todistuksia. Todistuksetja Shin derivaattaestimaatit loytyvat jalleen kirjasta [CK04, Prop 6.48, Cor6.51, Thm 7.1].

Lause 3.6. Olkoon Mn kompakti monisto ja (Mn, g(t)) Riccin virtauksen rat-kaisu valilla [0, T ). Olkoon g lisaksi mielivaltainen metriikka monistolla Mn ja∇ sita vastaava konnektio. Jos on olemassa vakio K <∞ siten, etta

|Rm(t, x)|g(t) ≤ K, x ∈Mn, t ∈ [0, T ), (3.37)

niin talloin jokaiselle m ∈ N on olemassa vakio Cm <∞, jolle patee∣∣∇mg(x, t)∣∣g≤ Cm, x ∈Mn, t ∈ [0, T ) (3.38)

ja ∣∣∇mRic(x, t)∣∣g≤ Cm, x ∈Mn, t ∈ [0, T ). (3.39)

Ennen pitkan ajan ratkaisun olemassaololausetta tarvitsemme kohtalaisenilmeisen seurauksen edellisesta:

Korollaari 3.7. Edellisen lauseen oletusten ollessa voimassa metriikan ja Riccintensorin komponenteille seka kaikille multi-indeksille α = (a1, . . . , ar), |α| = m,patee ∣∣∣∣ ∂m∂xα gij(x)

∣∣∣∣ < Cm, x ∈Mn, t ∈ [0, T ) (3.40)

ja ∣∣∣∣ ∂m∂xαRij(x)∣∣∣∣ < Cm, x ∈Mn, t ∈ [0, T ) (3.41)

virtauksen aikana. Vakiot Cm <∞ voivat poiketa edellisen lauseen arvoista.

Todistus. Todistetaan vaite induktiolla derivoinnin asteen m suhteen. Olkoong jokin metriikka monistolla Mn. Tapaus m = 1 on ilmeinen edellisen lauseennojalla: Olkoon x ∈ Mn ja (U,ϕ) x-keskiset g-normaalikoordinaatit ja a ∈1, . . . , n. Nyt patee

(∂agij(t, x))2 ≤ δjl∇agil(t, x)δik∇agjk(t, x) = gjl(x)gik(x)∇agil(t, x)∇agjk(t, x)

=∣∣∇ag(t, x)

∣∣2g≤ C2

1 .

(3.42)

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 15

Niinpa |∂agij(t, x)| ≤ C1 on voimassa kaikilla x ∈ Mn. Vastaavasti osoitetaan,etta patee |∂aRij(t, x)| ≤ C1 kaikilla x ∈Mn.

Oletetaan sitten, etta vaite on voimassa, kun m ≤ k, ja osoitetaan, ettase on talloin voimassa myos tapauksessa m = k + 1. Kuten edella saammevaitteen oletuksen nojalla rajoitettua tensorin ∇k+1

g ∈ T k+30 (M) komponentit

moniston pisteesta x riippumattomalla vakiolla:∣∣∣(∇k+1g)l1,...,lk+1ij

∣∣∣ ≤ Ck+1. (3.43)

Toisaalta voimme kirjoittaa

(∇k+1g)l1,...,lk+1ij =

∂k+1

∂xα∂xlk+1gij

+ termeja, jotka ovat korkeintaan astetta kderivaatoissa koordinaattien suhteen,

(3.44)

missa α = (l1, . . . , lk). Koska induktio-oletuksen nojalla termit, jotka ovat kor-keintaan astetta k derivaatoissa koordinaattien suhteen, ovat rajoitettuja, saam-me arvion ∣∣∣∣ ∂k+1

∂xα∂xlk+1gij

∣∣∣∣ ≤ Ck+1, (3.45)

jollain yhtalosta (3.43) poikkeavalla vakiolla Ck+1 < ∞. Riccin tensorin kom-ponenttien Rij osittaisderivaattojen rajoittuneisuus todistetaan samalla taval-la.

Olemme valmiita osoittamaan ratkaisun pitkan ajan olemassaololauseen.

Lause 3.8. (Ratkaisun pitkan ajan olemassaolo) Olkoon Mn kompakti Rie-mannin monisto. Oletetaan, etta jos g(t) on Riccin virtauksen ratkaisu mieli-valtaisella valilla [0, T ), niin on olemassa vakio CT <∞ siten, etta virtauksenaikana

|Rm(t, x)|g(t) ≤ CT <∞, x ∈Mn. (3.46)

Vakio CT voi riippua valista [0, T ). Talloin Riccin virtauksella on olemassayksikasitteinen ratkaisu aikavalilla [0,∞).

Todistus. Olkoon g(t) Riccin virtauksen yksikasitteinen ratkaisu maksimaalisel-la valilla [0, T ). Tehdaan vastaoletus: T <∞. Koska |Rm(t, x)|g(t) ≤ CT valilla[0, T ), niin myos Riccin tensorin normi on rajoitettu (Propositio A.3) talla va-lilla. Toisaalta Riccin tensori on kerrannainen metriikan g(t) aikaderivaatasta,joten patee ∣∣∣∣∂g∂t (t, x)

∣∣∣∣g(t)

< C <∞, t ∈ [0, T ). (3.47)

Lemman 3.5 nojalla g(t) suppenee jatkuvaan metriikkaan g(T ), kun t → T .Siten voimme kirjoittaa

gij(T ) = gij(t)− 2ˆ T

tRij(s)ds. (3.48)

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 16

Olkoon α = (a1, . . . ar) jokin multi-indeksi, |α| = m. Korollaarin 3.7 nojallatermit

∂m

∂xαgij ja

∂m

∂xαRij (3.49)

ovat tasaisesti rajoitettuja valilla [0, T ). Siten derivoimalla yhtaloa (3.48) saam-me

∂m

∂xαgij(x, T ) =

∂m

∂xαgij(x, t)− 2

ˆ T

t

∂m

∂xαRij(x, s)ds. (3.50)

Niinpa gij(T ) on m kertaa jatkuvasti derivoituva ja lisaksi saamme∣∣∣∣ ∂m∂xα gij(x, T )− ∂m

∂xαgij(x, t)

∣∣∣∣ ≤ C(T − t). (3.51)

Epayhtalon oikea puoli haviaa tasaisesti rajalla t→ T , joten patee

∂m

∂xαgij(x, t) −→

∂m

∂xαgij(x, T ), Cm(Mn). (3.52)

Koska multi-indeksi α oli mielivaltainen, olemme osoittaneet

gij(t) −→ gij(T ), C∞(Mn). (3.53)

Olkoon sitten g(t) Riccin virtauksen ratkaisu valilla [T, T + ε) lahtien met-riikasta g(T ). Koska ratkaisu on yksikasitteinen, on g(t) metriikan g(t) jatkovalille [T, T + ε). Niinpa vali [0, T ) ei ole maksimaalinen ratkaisuvali ja paa-dyimme ristiriitaan. Taytyy siis olla T =∞.

Edellinen lause antaa riittavan ehdon normalisoimattoman Riccin virtauk-sen ratkaisun pitkan ajan olemassaololle. Seuraavat huomiot osoittavat, ettavastaava lause patee myos normalisoidulle virtaukselle: Kaarevuusendomorfis-min komponentit Rkijl ovat invariantteja avaruuden skaalaamisessa (Proposi-tio A.4), joten

|Rm (gN )|2gN=(ψ−2 |Rm (g)|2g

) t−1, (3.54)

missa gN (t) on siis Propositiossa 3.2 maaritelty vastaavuus normalisoidun janormalisoimattoman Riccin virtauksen valilla

gN (t) =((ψg) t−1

)(t). (3.55)

Funktion ψ potenssi (−2) seuraa tensorinormin maaritelmasta ja indeksin las-kemisesta.

Funktio ψ on aina positiivinen ja rajoitettu Riccin virtauksen aikana. Jos siisnormalisoimattoman Riccin virtauksen kaarevuustensorin normi on rajoitettuvalilla [0, T ), myos normalisoidun Riccin virtauksen kaarevuustensorin normion rajoitettu valilla

[0, t(T )

). Lisaksi ajan parametrisointi on bijektio valilta

[0,∞) itselleen, joten vaittamat

|Rm(gN (t))|gN (t) < CT kaikilla valeilla [0, T ) (3.56)

3.2. Riccin virtauksen ratkaisun olemassaoloteoria 17

ja|Rm(g(t))|g(t) < CT kaikilla valeilla [0, T ) (3.57)

ovat yhtapitavia. Nama huomiot edellisen lauseen kanssa osoittavat sita vastaa-van tuloksen normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisun pitkan ajan olemassao-losta.

Lause 3.9. (Normalisoidun virtauksen ratkaisun pitkan ajan olemassaolo) Ol-koon Mn kompakti Riemannin monisto. Oletetaan, etta jos g(t) on normalisoi-dun Riccin virtauksen ratkaisu mielivaltaisella valilla [0, T ), niin on olemassavakio CT <∞ siten, etta virtauksen aikana

|Rm(t, x)|g(t) ≤ CT <∞, x ∈Mn. (3.58)

Vakio CT voi riippua valista [0, T ). Talloin normalisoidulla Riccin virtauksellaon olemassa yksikasitteinen ratkaisu aikavalilla [0,∞).

Olemme johtaneet tarvitsemamme teorian Riccin virtauksen olemassaolollevalmiiksi yleisessa ulottuvuudessa n. Lyhyesti sanottuna, jos Riemannin kaa-revuustensorin normi ei divergoi minaan ajan hetkena, on ratkaisu olemassakoko ei-negatiivisella reaaliakselilla [0,∞). Siirrymme tarkastelemaan pintojaseuraavassa luvussa.

Luku 4

Riccin virtaus pinnalla

Aloitamme suljettujen Riemannin kaksi-monistojen eli pintojen kehittymisentarkastelun Riccin virtauksessa. Tutkimme aluksi kaarevuuden aikakehitysta,jota tarvitsemme ratkaisun olemassaoloa varten. Tassa luvussa osoitamme, ettapinnalla Riccin virtauksen ratkaisu on aina olemassa pitkalla aikavalilla.

Lisaksi pinnalla patee tulos, etta normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisusuppenee aina vakiokaarevuudeen metriikkaan rajalla t → ∞. Edella maini-tun tuloksen osoitamme seuraavassa luvussa tapauksesa, jossa pinnan Eulerinkarakteristika on negatiivinen, χ(M) < 0.

Aloitamme kertaamalla, miten kaarevuus yksinkertaistuu kahdessa ulottu-vuudessa. Kahdessa ulottuvudessa kaarevuussuureet voidaan lausua Gaussinkaarevuuden

K(x) =Rm(X,Y, Y,X)

|X|2|Y |2− < X,Y >2, X, Y ∈ TxM (4.1)

avulla seuraavasti:

Rijkl = K(gilgjk − gikgjl)Rij = Kgij

R = 2K.(4.2)

Kahdessa dimensiossa normalisoitu Riccin virtaus saa naita kayttamallamuodon

∂

∂tg =

2nrg − 2Ric(g) = (r −R)g. (4.3)

Taman lisaksi pinnan skalaarikaarevuus kytkeytyy Gauss-Bonnetin kaavanˆMRdµ = 4πχ(M) (4.4)

kautta sen topologiaan [Lee87, Lem 8.7]. Erityisesti´M Rdµ on vakio. Tasta

huomiosta seuraa suoraan

Propositio 4.1. Normalisoidussa Riccin virtauksessa pinnan keskimaarainenskalaarikaarevuus r on vakio.

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 19

Todistus. Gauss-Bonnetin kaavan nojalla keskimaarainen skalaarikaarevuudenlauseke on

r =ˆMRdµ

/ˆMdµ =

4πχ(M)Vol(M)

, (4.5)

missa moniston tilavuus Vol(M) on vakio Proposition 3.1 nojalla.

4.1 Skalaarikaarevuuden muutosrajat

Paastaksemme kasiksi kaarevuuden muutokseen Riccin virtauksessa, johdammeseuraavaksi evoluutioyhtalon skalaarikaarevuudelle:

∂

∂tR = ∆g(t)R+R2 − rR. (4.6)

Yhtalo seuraa seuraavasta yleisemmasta tuloksesta.

Propositio 4.2. Olkoon g(t) yksiparametrinen perhe Riemannin metriikoitamonistolla M , jotka noudattavat evoluutioyhtaloa

∂

∂tgij = vij , (4.7)

missa merkinnalla vij tarkoitetaan symmetrisen tensorin v ∈ T 20 (M) kompo-

nentteja.Talloin skalarikaarevuus toteuttaa

∂

∂tR = −∆V + div(div v)− 〈v,Ric 〉 . (4.8)

Ylla on merkitty V = gijvij ja kulmasulkumerkinnalla tarkoitetaan yhtalos-sa (2.3) maariteltya tensoreiden sisatuloa.

Todistus. Olkoon x ∈M ja valitaan x-keskiset normaalikoordinaatit sen ympa-ristoon. Kayttamalla normaalikoordinaattien ominaisuutta, ∂kgij = 0 pisteessax, laskemme

∂

∂tΓkij =

12∂

∂t

[gkl(∂iglj + ∂jgli − ∂lgij)

]=

12

(∂

∂tgkl)

(∂iglj + ∂jgli − ∂lgij)

+12gkl(∂i∂

∂tglj + ∂j

∂

∂tgli − ∂l

∂

∂tgij

)=

12gkl(∇i

∂

∂tglj +∇j

∂

∂tgli −∇l

∂

∂tgij

),

(4.9)

joka on voimassa pisteessa x. Koska yhtalon molemmat puolet ovat kuitenkintensoreiden komponentteja ja x on mielivaltainen, patee yhtalo koko monistolla.

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 20

Edelleen pisteessa x, jossa Christoffelin symbolit haviavat, saamme

∂

∂tRij =

∂

∂tRkkij =

∂

∂t

(∂kΓkij − ∂iΓkkj + ΓkkaΓ

kij − ΓkiaΓ

kkj

)= ∂k

∂

∂tΓkij − ∂i

∂

∂tΓkkj

= ∇k∂

∂tΓkij −∇i

∂

∂tΓkkj ,

(4.10)

joka on voimassa kaikkialla samoin perustein kuin edella.Edellista yhtaloa kayttamalla skalaarikaarevuuden aikaderivaatta tulee muo-

toon

∂

∂tR =

∂

∂t(gijRij) = gij

∂

∂tRij +

(∂

∂tgij)Rij

= gij(∇k

∂

∂tΓkij −∇i

∂

∂tΓkkj

)− vijRij ,

(4.11)

silla ∂tgij = −vij (Korollaari A.9). Sijoitetaan seuraavaksi Christoffelin symbo-lien aikaderivaatat (4.9) ylla olevaan, jolloin saamme

∂

∂tR = −〈v,Ric〉+ gij

[∇k(

12gkl(∇ivlj +∇jvli −∇lvij)

)

−∇i(

12gkl(∇kvlj +∇jvlk −∇lvkj)

)].

(4.12)

Konnektio on yhteensopiva metriikan kanssa, joten voimme vieda derivoinnintermin gkl ohitse ja saamme

∂

∂tR = −〈v,Ric〉+

12gijgkl(∇k∇ivlj +∇k∇jvli

−∇k∇lvij −∇i∇kvlj −∇i∇jvlk +∇i∇lvkj).(4.13)

Ryhmittamalla termit voimme kirjoittaa taman muodossa

∂

∂tR = −〈v,Ric〉+ gijgkl∇k∇jvli − gijgkl∇i∇jvlk

= −∆V + div(divv)− 〈v,Ric〉 .(4.14)

Proposition todistuksesta voidaan myos suoraan poimia kayttokelpoiset kaa-vat Christoffelin symbolien ja Riccin tensorin evoluutioille:

Huomautus 4.3. Edellisen proposition oletusten ollessa voimassa Christoffelinsymbolit Γkij ja Riccin tensorin komponentit Rij toteuttavat evoluutioyhtalot

∂

∂tΓkij =

12gkl(∇i

∂

∂tglj +∇j

∂

∂tgli −∇l

∂

∂tgij

)(4.15)

ja∂

∂tRij = ∇k

∂

∂tΓkij −∇i

∂

∂tΓkkj . (4.16)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 21

Meita kiinnostava skalaarikaarevuuden evoluutioyhtalo seuraa nyt edellises-ta propositiosta.

Lause 4.4. Olkoon M pinta. Talloin Riccin virtauksen aikana skalaarikaare-vuus toteuttaa evoluutioyhtalon

∂

∂tR = ∆g(t)R+R2 − rR. (4.17)

Todistus. Edellisen proposition notaatiossa vij = (r −R)gij , joten

∂

∂tR = −∆

(gij(r −R)gij

)+ gijgkl∇k∇j ((r −R)gli)− 〈(r −R)g,Ric〉

= n∆R+ gijgligkl∇k∇j(r −R)− (r −R)R

= 2∆R−∆R− (r −R)R

= ∆R+R2 − rR.

(4.18)

Skalaarikaarevuuden evoluutioyhtalo on epalineaarinen skalaarinen osittais-differentiaaliyhtalo, joka on kytketty metriikan g evoluutioon Laplacen operaat-torin ∆g kautta. Siten skalaarikaarevuuden evoluutioyhtaloa ei voi ratkaista it-senaisesti ratkaisematta myos metriikan evoluutioyhtaloa

∂

∂tg = (r −R)g. (4.19)

Yhtalo voidaan kuitenkin nahda koostuvan diffuusio-osasta

∂

∂tR = ∆gR (4.20)

ja reaktio-osasta∂

∂tR = R2 − rR, (4.21)

joista jalkimmainen on tavallinen metriikasta riippumaton differentiaaliyhtaloskalaarikaarevuudelle. Reaktio-osasta huomataan myos, etta silla on pisteessaR = r attraktiivinen tai hylkiva kiintopiste riippuen siita onko r negatiivinenvai positiivinen.

Jos skalaarikaarevuuden evoluutioyhtalossa olisi ainoastaan diffuusio-osa,olisi odotettavissa, etta ajan kuluessa R hakeutuisi pinnalla M lampoyhtalomai-sesti vakioarvoon. Se, etta skalaarikaarevuus hakeutuu vakioarvoon, on linjassatavoitteittemme kanssa. Reaktio-osa puolestaan voidaan ratkaista sijoituksellaZ = 1/R. Reaktio-osan ratkaisu R(t) pisteessa x on muotoa

R(t, x) =r

1 + Crert, (4.22)

missa

C =1r

(r

R(0)− 1). (4.23)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 22

Voimme paatella, etta ratkaisu hajaantuu aarellisessa ajassa, jos

R(0, x) > maxr, 0. (4.24)

On siis odotettavissa, etta vaikeudet skalaarikaarevuuden aikakehityksenanalysoinnissa johtuvat ensisijaisesti reaktio-osasta. Lisaksi reaktio-osa on vai-keammin hallittavissa, kun sen kiintopiste on hylkiva.

Aloitamme analyysin tutkimalla diffuusio-osaa, johon sovellamme monistoil-le yleistettya maksimiperiaatetta. Maksimiperiaatteen yleistaminen monistoilleon suoraviivaista, silla maksimiperiaatteen vaittama on luonteeltaan lokaali.

Lemma 4.5. (Maksimiperiaate) Jos u ∈ C2(M × [0, T ]) ja

∂

∂tu ≥ ∆gu

u(0) ≥ c(4.25)

kaikkialla, niin talloinu ≥ c, M × [0, T ]. (4.26)

Todistus. Oletetaan aluksi c = 0 ja merkitaan uε(t) = u(t) + ε(1 + t), jolloin

∂

∂tuε =

∂

∂tu+ ε > ∆u = ∆uε (4.27)

jauε(0) = u(0) + ε > 0. (4.28)

Osoitetaan ensin, etta uε > 0 joukossa M × [0, T ]. Tehdaan vastaoletus: onolemassa t0 = mint : uε(t, x) = 0, jollakin x ∈ M. Koska uε(t, x) > 0 jou-kossa M × [0, t0) ja uε(t0, x0) = 0 jollakin x0 ∈ M , niin uε(t, x0) on laskevaaikaparametrin t suhteen hetkella t0. Siten patee

∂

∂tuε(t0, x0) ≤ 0. (4.29)

Kysessa on myos paikan x funktion x 7→ uε(t0, x) minimi monistolla M : Josolisi x ∈ M siten, etta uε(t0, x) < 0, niin funktion uε jatkuvuuden nojalla olisiolemassa t < t0 siten, etta uε(t, x) = 0. Tama on kuitenkin ristiriidassa ajan t0minimaalisuuden kanssa. Piste (t0, x0) on siis funktion uε minimi.

Lokaaleissa koordinaateissa aariarvoehto on

∂iuε(t0, x0) = 0, i = 1, . . . n (4.30)

eli∇uε(t0, x0) = 0. (4.31)

Kyseessa on lisaksi minimi, jolloin Hessen matriisi

H(uε)ij = ∂i∂juε (4.32)

on positiividefiniitti.

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 23

Huomataan seuraavaksi, etta voimme lausua Laplacen operaattorin maari-telmaa (2.21) kayttamalla suureen ∆uε seuraavasti

∆uε = Tr(g−1H(uε)

)− Tr

(g−1(Γ · ∇uε)

), (4.33)

missa (Γ · ∇uε)ij = Γkij(∇uε)k = Γkij∂kuε.Pisteessa (t0, x0) matriisit g−1 ja H(uε) ovat positiividefiniitteja, joten myos

niiden tulo on positiividefiniitti mainitussa pisteessa. Niinpa yhtalon (4.33) en-simmainen termi on ei-negatiivinen pisteessa (t0, x0), ja tassa pisteessa jalkim-mainen termi haviaa yhtalon (4.31) nojalla. Niinpa ∆uε(t0, x0) ≥ 0, mista seu-raa ristiriita

0 ≥ ∂

∂tuε(t0, x0) > ∆uε(t0, x0) ≥ 0. (4.34)

Taytyy siis olla uε > 0 joukossa M × [0, T ]. Edelleen, koska u = limε→0 uε,saamme

u ≥ 0, M × [0, T ]. (4.35)

Tapaus c 6= 0 seuraa nyt kirjoittamalla u = u− c, jolloin

∂

∂tu ≥ ∆u

u(0) ≥ c.(4.36)

Soveltamalla aiempaan saamme

u ≥ 0 eli u ≥ c, M × [0, T ]. (4.37)

Pienella tarkastelulla huomaamme muutaman hyodyllisen seurauksen mak-simiperiaatteesta. Emme jatkossa erittele maksimiperiaatetta ja sen alla esitet-tyja seurauksia toisistaan, vaan kutsumme niita yleisesti maksimiperiaatteiksi.

Korollaari 4.6. Oletetaan u ∈ C2(M × [0, T ]).

1. Oletetaan, etta seuraavat epayhtalot ovat voimassa

∂

∂tu ≤ ∆gu

u(0) ≤ c.(4.38)

Talloin pateeu ≤ c, M × [0, T ]. (4.39)

2. Oletetaan yleisemmin, etta

∂

∂tu ≥ (≤) ∆gu+Au

u(0) ≥ (≤) c,(4.40)

missa A on vakio. Talloin patee

u ≥ (≤) ceAt, M × [0, T ]. (4.41)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 24

Todistus. Ensimmainen vaite seuraa suoraan maksimiperiaatteesta funktiolle−u.

Jalkimmaista vaitetta varten lasketaan

∂

∂t

(e−Atu

)= −Ae−Atu+ e−At

∂

∂tu

≥ (≤) −Ae−Atu+ ∆ue−At +Ae−Atu = ∆(e−Atu

).

(4.42)

Maksimiperiaatteen nojalla

e−Atu ≥ (≤) c, M × [0, T ]. (4.43)

Eliu ≥ (≤) ceAt, M × [0, T ]. (4.44)

Maksimiperiaatetta kayttaen saamme a priori alarajan skalaarikaarevuudel-le Riccin virtauksen aikana.

Propositio 4.7. (Skalaarikaarevuuden alaraja) Oletetaan, etta g(t) on norma-lisoidun Riccin virtauksen ratkaisu pinnalla. Talloin virtauksen aikana patee

R− r ≥ −Cert, C ≥ 0. (4.45)

Todistus. Olkoon g(t) Riccin virtauksen ratkaisu pinnalla, jolloin skalaarikaa-revuus R toteuttaa evoluutioyhtalon (4.4). Keskimaarainen skalaarikaarevuusr on vakio, joten voimme kirjoittaa

∂

∂t(R− r) = ∆(R− r) + (R− r)2 + r(R− r) ≥ ∆(R− r) + r(R− r). (4.46)

Soveltamalla maksimiperiaatetta saamme

R− r ≥ ert (Rmin(0)− r) . (4.47)

Ylla Rmin = minx∈M R(x). Koska r on skalaarikaarevuuden R keskiarvo, pateeRmin(0) ≤ r, ja saamme

R− r ≥ −Cert, C ≥ 0. (4.48)

Ylarajan loytaminen skalaarikaarevuudelle on vaikempaa. Tata varten tu-lemme hyodyntamaan Hamiltonin alunperin kayttamaa menetelmaa [Ham88].Maaritellaan potentiaali ϕ, joka on Poissonin yhtalon

∆gϕ(x) = R(x)− r, x ∈M (4.49)

ratkaisu. Yhtalo ratkaistaan erikseen jokaisella ajanhetkella Riccin virtauksenaikana. Ratkaisun olemassaolo ja vakiota vaille yksikasitteisyys on osoitettu

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 25

liitteen Lauseessa A.11. Yksikasitteisen ratkaisun saamme kiinnittamalla vakionehdolla ˆ

Mϕdµ = 0 (4.50)

kullakin ajan hetkella.Jatkamme skalaarikaarevuuden R aikakehityksen tutkimista potentiaalin ϕ

avulla. Seuraava lemma tarkastelee sen aikakehitysta Riccin virtauksen aikana.

Lemma 4.8. Riccin virtauksen aikana ϕ kehittyy yhtalon

∂

∂tϕ = ∆ϕ+ rϕ− b(t) (4.51)

mukaisesti, missa

b(t) =ˆM〈∇ϕ,∇ϕ〉 dµ/Vol(M) ≥ 0. (4.52)

Todistus. Todistus on suoraviivainen lasku, jossa kaytamme liitteen Proposi-tion A.8 identiteetteja

∂

∂tgij = (R− r)gij (4.53)

ja

gij∂

∂tΓkij = 0. (4.54)

Identiteetit ovat voimassa pinnan Riccin virtauksen aikana.Lausumalla skalaarikaarevuuden muutos potentiaalin ϕ avulla voimme kir-

joittaa

∂

∂tR =

∂

∂t∆ϕ =

∂

∂t

(gij(∂i∂jϕ− Γkij∂kϕ

))=(∂

∂tgij)(

∂i∂jϕ− Γkij∂kϕ)

+ gij∂

∂t

(∂i∂jϕ− Γkij∂kϕ

)= (R− r)gij

(∂i∂jϕ− Γkij∂kϕ

)+ gij

(∂i∂j

∂

∂tϕ− Γkij∂k

∂

∂tϕ

)= (R− r)∆ϕ+ ∆

∂

∂tϕ,

(4.55)

missa kaytimme identiteetteja (4.53) ja (4.54) viimeista edeltavassa vaiheessa.Edelleen saamme

∆∂

∂tϕ =

∂

∂tR− (R− r)∆ϕ

= ∆R+R2 − rR− (R− r)∆ϕ= ∆ (∆ϕ) + r∆ϕ = ∆ (∆ϕ+ rϕ) .

(4.56)

Funktio ∂∂tϕ − ∆ϕ − rϕ on siten harmoninen. Koska M on lisaksi suljettu,

harmoninen funktio on valttamatta vakio (Korollaari A.12). Saimme siis

∂

∂tϕ = ∆ϕ+ rϕ− b(t). (4.57)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 26

Normeeraus´M ϕdµ = 0 kiinnittaa vakion b(t):

0 =∂

∂t

ˆMϕdµ =

ˆM

∂

∂tϕdµ+

ˆMϕ∂

∂tµdx

=ˆM

∆ϕdµ+ˆMrϕdµ− b(t)

ˆMdµ+

ˆMϕ(r −R)dµ,

(4.58)

silla ∂∂tdµ = (r − R)dµ. Osa termeista haviaa normeerausehdon

´M ϕdµ = 0

nojalla, ja soveltamalla divergenssilausetta kahteen otteeseen, ylla oleva saamuodon

0 =ˆ∂M

⟨N,∇ϕ

⟩dµ− b(t)

ˆMdµ−

ˆMϕ∆ϕdµ

= −b(t)Vol(M) +ˆM〈∇ϕ,∇ϕ〉 dµ.

(4.59)

Ratkaisemalla taman saamme

b(t) =ˆM〈∇ϕ,∇ϕ〉 dµ /Vol(M) ≥ 0 . (4.60)

Maaritellaan seuraavaksi uusi apufunktio h kaavalla

h = ∆ϕ+ |∇ϕ|2 = R− r + |∇ϕ|2 (4.61)

ja tarkastellaan sen aikakehitysta. Tavoitteemme on loytaa sille ylaraja virtauk-sen aikana, jolloin saamme rajoitettua myos suuretta R− r:

R− r ≤ h ≤ maxth(t). (4.62)

Lemma 4.9. Pinnan Riccin virtauksen aikana patee

∂

∂th = ∆h− 2 |M |2 + rh, (4.63)

missa on merkitty

M = ∇2ϕ− 12

(∆ϕ) g ∈ T 20 (M). (4.64)

Todistus. Funktion h termin R − r aikaderivaatta saadaan edellisen lemmantodistuksesta:

∂

∂t(R− r) = ∆(R− r) + (∆ϕ)2 + r(R− r). (4.65)

Termin |∇ϕ|2 aikaderivaatan laskemisessa hyodynnamme Korollaarin A.6 jaProposition A.7 antamia identiteetteja

[∇i,∆] = −12R∇i

∆ |∇ϕ|2 = 2gij∆ (∇iϕ)∇jϕ+ 2∣∣∇2ϕ

∣∣2 . (4.66)

4.1. Skalaarikaarevuuden muutosrajat 27

Naita kayttamalla saamme

∂

∂t|∇ϕ|2 =

∂

∂t

(gij∇iϕ∇jϕ

)=(∂

∂tgij)

(∇iϕ∇jϕ) + 2gij∇i(∂

∂tϕ

)∇jϕ

= (R− r) |∇ϕ|2 + 2gij∇i (∆ϕ+ rϕ− b(t))∇jϕ= (R− r) |∇ϕ|2 + 2gij∇i (∆ϕ)∇jϕ+ 2rgij∇iϕ∇jϕ

= (R+ r) |∇ϕ|2 + 2gij(

∆∇iϕ−12R∇iϕ

)∇jϕ

= r |∇ϕ|2 + ∆(|∇ϕ|2

)− 2

∣∣∇2ϕ∣∣2 .

(4.67)

Yhdistamalla derivaattojen lausekkeet saamme funktion h derivaatan. Tuloson

∂

∂th = ∆(R− r) + ∆

(|∇ϕ|2

)+ r

(R− r + |∇ϕ|2

)+ (∆ϕ)2 − 2

∣∣∇2ϕ∣∣2

= ∆h+ rh− 2 |M |2 ,(4.68)

missa olemme huomanneet, etta

|M |2 =< M,M >=∣∣∇2ϕ

∣∣2 −∆ϕ⟨∇2ϕ, g

⟩+

14

(∆ϕ)2 < g, g >

=∣∣∇2ϕ

∣∣2 −∆ϕ gikgjl∇i∇jϕ gkl +12

(∆ϕ)2 =∣∣∇2ϕ

∣∣2 − 12

(∆ϕ)2.

(4.69)

Edellisen nojalla voimme arvioda

∂

∂th ≤ ∆h+ rh, (4.70)

jolloin maksimiperiaatteesta seuraa

h(t) ≤ erthmax(0). (4.71)

Apufunktion h alkuhetkelle on voimassa

hmax(0) = Rmax(0)− r + |∇ϕ|2max (0) ≥ 0 (4.72)

ja lisaksi pateeh ≥ R− r. (4.73)

Ottamalla aiemmin johtamamme alarajan suureelle R − r huomioon, olemmesiten osoittaneet seuraavan tuloksen:

Lause 4.10. (Skalaarikaarevuuden muutosrajat) Olkoon g(t) pinnan normali-soidun Riccin virtauksen ratkaisu. Talloin skalaarikaarevuudelle R on voimassamoniston pisteesta x riippumattomat muutosrajat

−Cert ≤ R− r ≤ Cert, C > 0 (4.74)

virtauksen aikana.

4.2. Ratkaisun olemassaolo pinnalla 28

4.2 Ratkaisun olemassaolo pinnalla

Olemme lahella tavoitettamme, joka oli kaarevuuden Rm muutoksen arvioi-minen Riccin virtauksen kuluessa. Jos kaarevuuden normi sailyy rajoitettunavirtauksen aikana, tiedamme Lauseen 3.9 nojalla, etta Riccin virtauksella onpitkan ajan ratkaisu. Seuraava lemma antaa lopulta arvion |Rm(t)|g(t) ≤ CT ,kun t ∈ [0, T ).

Lemma 4.11. Olkoon g(t) Riccin virtauksen ratkaisu pinnalla valilla [0, T ).Talloin

|Rm(t)|g(t) ≤ C <∞, t ∈ [0, T ). (4.75)

Todistus. Edellisen lauseen nojalla patee

∂

∂tg2ij = 2(r −R)g2

ij ≤ 2Certg2ij ≤ C ′g2

ij , (4.76)

joten Gronwallin epayhtalo antaa

g2ij(t) ≤ g2

ij(0)e2C′t. (4.77)

Metriikan komponentit ovat siis rajoitettuja valilla [0, T ), jolloin myos sen kaan-teismetriikan komponentit ovat rajoitettuja talla valilla.

Pinnoilla on voimassa

R = 2KRijkl = K(gilgjk − gikgjl).

(4.78)

Koska skalaarikaarevuuden muutosrajojen (4.74) nojalla skalaarikaarevuus Ron rajoitettu mainitulla valilla, ovat kaarevuuden Rm komponentit myos rajoi-tettuja. Niinpa kaarevuuden normille patee

|Rm|2g = gi1j1gi2j2gi3j3gi4j4Ri1i2i3i4Rj1j2j3j4 , (4.79)

ja se on siten rajoitettu valilla [0, T ).

Pinnan Riccin virtauksen pitkan ajan ratkaisun olemassaolo seuraa nyt edel-lisesta ja Lauseesta 3.9

Lause 4.12. Pinnan Riccin virtauksella

∂

∂tg = (r −R)g

g(0) = g0

(4.80)

on yksikasitteinen silea ratkaisu valilla [0,∞) mille tahansa alkuhetken metrii-kalle g0.

Saamamme tulos antaa meille valmiudet tutkia pinnan Riccin virtauksenkayttaytymista rajalla t→∞. Tama on seuraavan luvun aihe.

Luku 5

Pinnan Riccin virtauksenasymptoottinenkayttaytyminen

Edellisessa luvussa osoitimme, etta pinnalla Riccin virtauksella on aina ratkaisukoko ei-negatiivisella reaaliakselilla [0,∞). Nyt tutkimme ratkaisun kayttayty-mista rajalla t → ∞. Muistamme skalaarikaarevuuden evoluutioyhtalon (4.17)tulkinnan diffuusio- ja reaktio-osan summana. Voimme epailla, etta ajan kulues-sa diffuusio-osasta tulee dominoiva osa. Muuten evoluutioyhtalon reaktio-osanpitaisi ainakin yleisessa tapauksessa aiheuttaa ratkaisun hajaantuminen aarel-lisessa ajassa. Toisaalta diffuusiolle on ominaista vakioarvoon hakeutuminen,joten oletamme skalaarikaarevuuden paatyvan lopulta vakioksi.

Nain tuleekin kaymaan. Ei-negatiivisen ja varsinkin postiivisen Eulerin ka-rateristikan tapauksessa taman tuloksen osoittaminen on huomattavan paljontyolaampaa kuin negatiivisessa tapauksessa. Pinnallisin puolin tama johtuu vii-me luvussa johdetusta skalaarikaarevuuden muutosrajojen

|R− r| ≤ Cert (5.1)

luonteesta. Epayhtalon oikea puoli lahestyy nollaa ajan kuluessa ainoastaan, joskeskimaarainen skalaarikaarevuus r on negatiivinen. Toisaalta Gauss-Bonnetinkaavan nojalla keskimaaraisen skalaarikaarevuus on negatiivinen tasmalleen sil-loin kuin pinnan Eulerin karakteristika on negatiivinen.

Hieman syvallisemman nakymyksen antaa jo mainittu skalaarikaarevuudenevoluutioyhtalon reaktio-osan kiintopisteiden tyyppi: jos r on negatiivinen, kiin-topiste on attraktiivinen, ja hylkiva, jos r on positiivinen. Tavoitteemme tas-sa luvussa on osoittaa seuraava lause ([CK04, Thm 5.1]) erikoistapauksessaχ(M) < 0.

Lause 5.1. Olkoon (M, g0) pinta. Talloin alkuhetken metriikasta g0 alkavannormalisoidun Riccin virtauksen yksikasitteinen ratkaisu suppenee sileaan va-kiokaarevuuden metriikkaan g∞ kaikissa Ck-normeissa, kun t→∞.

Lause ja sen todistus yleiselle pinnalle loytyy esimerkiksi kirjasta [CK04].Kun χ(M) < 0, lauseen todistus on olennaisesti raja-arvometriikan g∞ :=

30

limt→∞ g(t) olemassaolo- ja sileystulos. Jos nimittain raja-arvo on silea Rie-mannin metriikka, niin yhtalosta (5.1) nahdaan skalaarikaarevuuden (R g)(t)jatkuvuuden nojalla, etta

limt→∞

R(g(t)) = R(g∞) = r. (5.2)

Osoitetaan aluksi, etta raja-arvo g∞ on jatkuva Riemannin metriikka.

Lemma 5.2. Olkoon (M, g0) pinta, jonka Eulerin karakteristika on negatiivi-nen. Talloin normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisulle g(t) patee

g(t) −→ g∞, kun t→∞. (5.3)

Lisaksi suppeneminen on tasaista, joten g∞ on jatkuva Riemannin metriikkapinnalla M .

Todistus. Olkoon x ∈M ja U ∈ TxM . Nyt saamme

d

dt|U |2g(t,x) =

(∂

∂tgij(t, x)

)U iU j = (r −R)|U |2g(t,x) ≤ Ce

rt|U |2g(t,x). (5.4)

Koska x oli mielivaltainen, patee epayhtalo koko pinnalla M . Jakamalla epayh-talo puolittain vektorin U pituuden neliolla |U |2g(t) huomaamme, etta patee∣∣∣∣∣∣∣∣ ddt (ln |U |2g(t)

)∣∣∣∣∣∣∣∣L∞(M)

≤ Cert, t > 0. (5.5)

Eulerin karateristika on oletuksen nojalla negatiivinen, joten myos keskimaa-rainen skalaarikaarevuus on negatiivinen. Niinpa vektorin U normille patee

limt→∞|U |g(t) = |U |g∞ , C(M). (5.6)

Rajafunktio |U |g∞ on siis olemassa ja jatkuva. Edelleen suunnikassaannostaseuraa (vertaa yhtalo (3.32))

g(t)(U, V ) t→∞−→ g∞(U, V ), C(M) (5.7)

kaikilla U, V ∈ TxM . Siten metriikoiden g(t) komponentit suppenevat tasaisesti.Lisaksi g∞ on bilineaarinen ja symmetrinen.

Soveltamalla epayhtaloa (5.4) uudelleen saamme∣∣∣∣∣ln |U |2g(t)

|U |2g(0)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ˆ t

0

d

dsln |U |2g(s)ds

∣∣∣∣ ≤ C ˆ t

0ersds

=C

r(ert − 1),

(5.8)

josta edelleen eksponentioimalla ja ottamalla raja-arvo t→∞ seuraa

eC/r|U |2g(0) ≤ |U |2g∞ ≤ e

−C/r|U |2g(0). (5.9)

Niinpa g∞ on positiividefiniitti ja rajoitettu. Olemme osoittaneet, etta g∞ onjatkuva Riemannin metriikka.

31

Seuraava vaihe on osoittaa rajametriikan sileys. Tata varten tehdaan kes-keinen huomio: normalisoitu Riccin virtaus kahdessa ulottuvuudessa on alku-hetken metriikan ajasta riippuva konforminen muunnos. Jos nimittain g(t) onnormalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu valilla [0,∞) monistolla (M, g0), niinskalaarikaarevuus on talloin silea ajan t funktio ja ratkaisun yksikasitteisyydennojalla voidaan kirjoittaa

g(t) = g0 expˆ t

0(r −R)(s)ds. (5.10)

Sanotaan jatkossa, ettag(t) = ev(t)g0 (5.11)

on ratkaisun konformiesitys, missa konformitekija v on maaritelty kaavalla

v(t, x) =ˆ t

0(r −R)(s)ds. (5.12)

Huomataan lisaksi, etta patee

∂

∂tv = (r −R). (5.13)

Edellisen lemman nojalla raja-arvo g∞ on olemassa ja jatkuva, joten onolemassa myos jatkuva raja-arvo

limt→∞

v(t) =: v∞. (5.14)

Erityisesti metriikan g∞ ja funktion v∞ sileys moniston M suhteen ovat ekvi-valentteja. Jatkossa pyrimmekin osoittamaan funktion v∞ sileaksi.

Idea on seuraava: Osoitetaan, etta skalaarikaarevuuden g(t)-kovariantit de-rivaatat haviavat tasaisesti rajalla t→∞:∣∣∣∇kR∣∣∣

g(t)≤ f(t) (5.15)

kaikilla k ≥ 1, missalimt→∞

f(t) = 0. (5.16)

Kayttaen yhtaloa (5.13) haluaisimme kirjoittaa∣∣∣∣ ∂∂t∇kv∣∣∣∣g

∼∣∣∣∣∇k ∂∂tv

∣∣∣∣g(t)

=∣∣∣∇kR∣∣∣

g(t)≤ f(t), (5.17)

jolloin konformitekijan v kovariantit derivaatat suppenisivat vakioon rajallat → ∞. Ylla (ja jatkossa) ∇ on metriikan g0 suhteen muodostettu kovarianttiderivaatta. Operaattori ∇ kommutoi operaattorin ∂

∂t kanssa toisin kuin metrii-kan g(t) suhteen muodostettu operaattori ∇. Konformitekijan raja-arvon v∞sileyden osoittaminen redusoituu siis kahteen vaiheeseen - skalaarikaarevuudenkovarianttien derivaattojen arvioimiseen ja arvion (5.17) todentamiseen.

5.1. Normien ekvivalenssi 32

5.1 Normien ekvivalenssi

Aloitamme laskemalla miten (yleinen) metriikan konforminen muunnos muut-taa konnektiota.

Γkij(g) =12gkl (∂igjl + ∂jgil − ∂lgij)

=12e−vgkl0 e

v (∂ig0jl + g0jl∂iv + ∂jg0il + g0il∂jv − ∂lg0ij − g0ij∂lv)

= Γkij + Skij ,

(5.18)

missa maarittelimme

Skij : =12gkl0 (g0jl∂iv + g0il∂jv − g0ij∂lv)

=12gkl0

(g0jl∇iv + g0il∇jv − g0ij∇lv

).

(5.19)

jaΓkij := Γkij(g0). (5.20)

Tensorin F ∈ T kl (M) kovariantin derivaatan komponentit voidaan siten kirjoit-taa muodossa

∇mF j1···jli1···ik = ∇mF j1···jli1···ik +l∑

s=1

SjsmaFj1···a···jli1···ik −

k∑s=1

SamisFj1···jli1···a···ik , (5.21)

joka maarittelee myos koordinaattivapaan merkinnan

∇F = ∇F + SF (5.22)

ilmeisella tavalla.Seuraava lemma antaa formaalin yhteyden keskenaan konformisten metrii-

koiden kovarianttien derivaattojen valille.

Lemma 5.3. Olkoon u ∈ C∞(M). Talloin patee

∇ku = ∇ku+ T k, (5.23)

missa T k ∈ T k0 (M) on tensori, jonka komponentit on muodostettu tensorei-den ∇v, . . . ,∇k−1

v ja ∇u, . . . ,∇k−1u komponenttien tulojen lineaariyhdisteis-

ta. Lisaksi jokaisessa lineaariyhdisteen termissa on vahintaan yksi tensorin ∇lukomponentti, l < k.

Todistus. Todistetaan vaite induktiolla. Tapaus l = 1 on triviaalisti voimassa,silla

∇iu = ∂iu = ∇iu. (5.24)

Oletetaan sitten, etta vaite on voimassa, kun l ≤ k, ja osoitetaan, ettatalloin vaite patee myos tapauksessa l = k + 1:

∇k+1u = ∇∇ku+∇T k

= ∇k+1u+ S∇ku+∇T k + ST k.

(5.25)

5.1. Normien ekvivalenssi 33

Kuvaus S muodostuu tensorin ∇v komponenttien lineaariyhdisteista, joten oi-kean puolen kolme viimeista termia ovat vaadittua muotoa induktio-oletuksenja Leibnizin saannon nojalla.

Voimme nyt osoittaa, etta tensorin ∇kR haviaminen g(t)-normissa rajallat→∞ johtaa tensorin ∇kR haviamiseen samalla rajalla.

Lemma 5.4. Olkoon g(t) Riccin virtaus pinnalla (M2, g0) ja oletetaan, etta∣∣∣∇kR∣∣∣g(t)≤ fk(t), lim

t→∞fk(t) = 0 (5.26)

kaikille k ≥ 1. Talloin alkuhetken metriikasta g0 muodostetulle konnektiolle ∇ja normille | · |g0 patee vastaava estimaatti:∣∣∣∇kR∣∣∣

g0≤ fk(t), lim

t→∞fk(t) = 0 (5.27)

kaikille k ≥ 1.Erityisesti patee

limt→∞∇kR(t) = 0. (5.28)

Todistus. Todistetaan vaite induktiolla derivionnin asteen l suhteen. Huoma-taan aluksi, etta tensorille F ∈ T kl (M) patee

|F |g = e(k−l)v|F |g. (5.29)

Toisaalta funktio v on tasaisesti rajoitettu virtauksen aikana:

|v(t)| =∣∣∣∣ˆ t

0(r −R(s))ds

∣∣∣∣ ≤ C ˆ ∞0

ersds = −Cr. (5.30)

Siten metriikoiden g(t) ja g0 suhteen muodostetut tensorinormit ovat ekviva-lentteja keskenaan. Niinpa tapaus l = 1 seuraa huomiosta

∇R = ∇R. (5.31)

Edellisen lemman nojalla tensorien ∇k+1R ja ∇k+1R komponentit eroavat

toisistaan vain termeilla, jotka ovat lineaariyhdisteita funktion v ja skalaarikaa-revuuden R korkeintaan astetta k olevien g0-kovarianttien derivaatojen kom-ponenttien tuloista. Lisaksi jokaisessa lineaariyhdisteen jasenessa on vahintaanyksi termi muotoa ∇lR jollakin l < k + 1. Tensoreiden ∇lR, l < k + 1, kom-ponentit ovat lisaksi induktio-oletuksen nojalla rajoitettuja rajalla t → ∞ ha-viavalla funktiolla. Induktioaskelta varten riittaa siis osoittaa tensoreiden ∇lvrajoittuneisuus, kun l < k + 1.

Kun l < k + 1, patee∣∣∣∣ ∂∂t∇lv(t)∣∣∣∣g0

=∣∣∣∣∇l ∂∂tv(t)

∣∣∣∣g0

=∣∣∣∇lR∣∣∣

g0≤ fl(t). (5.32)

Niinpa funktion v g0-kovariantit derivaatat suppenevat vakioarvoon rajalla t→∞. Tasta seuraa, etta tensorit ∇lv, l < k + 1, ovat rajoitettuja virtauksenaikana.

5.2. Skalaarikaarevuuden derivaattojen arviointi 34

Saamiamme tuloksia kayttaen osoittamme, etta edellisen lemman oletuksetovat riittava ehto funktion v∞ sileydelle.

Lemma 5.5. Olkoon g(t) normalisoidun Riccin virtauksen pitkan ajan ratkaisumonistolla (M, g0). Oletetaan, etta kaikilla k ≥ 1∣∣∣∇kR∣∣∣

g(t)≤ fk(t), lim

t→∞fk(t) = 0. (5.33)

Talloin ratkaisun konformiesityksen

g(t) = ev(t)g0 (5.34)

konformitekijalla v on moniston M suhteen silea raja-arvo

v∞ := limt→∞

v(t). (5.35)

Todistus. Olkoon k ≥ 1. Korollaarin 5.4 nojalla∣∣∣∇kR∣∣∣g0−→ 0, kun t→∞ (5.36)

jonka vuoksi∣∣∣∣ ∂∂t∇kv(t)∣∣∣∣g0

=∣∣∣∣∇k ∂∂tv(t)

∣∣∣∣g0

=∣∣∣∇kR∣∣∣

g0−→ 0, kun t→∞. (5.37)

Koska suppeneminen on lisaksi tasaista, v(t) suppenee tasaisesti funktioon v∞jokaisessa Ck-normissa, kun t→∞. Siten v∞ on silea moniston M suhteen.

5.2 Skalaarikaarevuuden derivaattojen arviointi

Skalaarikaarevuuden kovarianttien derivaattojen normin haviaminen ajan ku-luessa johtaa edellisten tulosten nojalla konformitekijan v∞ sileyteen. Pinnallaonkin voimassa seuraava tulos.

Propositio 5.6. Olkoon g(t) normalisoidun Riccin virtauksen pitkan ajan rat-kaisu monistolla (M, g0) ja oletetaan, etta χ(M) < 0. Talloin patee∣∣∣∇kR∣∣∣

g(t)≤ Ckert/2, Ck <∞ (5.38)

kaikilla k ≥ 1, t ≥ 0.

Yleisen derivoinnin asteen k tapauksen osoittaminen on laskuteknisesti tyo-lasta. Toisaalta tapaus k = 1 sisaltaa yleisenkin tapauksen todistuksen paaideat.Naiden seikkojen vuoksi tyydymme tapauksen k = 1 todistamiseen. Yleinen ta-paus todistuksineen loytyy kirjasta [CK04, s. 122].

Lemma 5.7. Normalisoidun Riccin virtauksen aikana pinnalla (M, g(t)), ko-variantin derivaatan normin nelio |∇R|2 muuttuu seuraavasti

∂

∂t|∇R|2 = ∆|∇R|2 − 2|∇2R|2 + (4R− 3r)|∇R|2. (5.39)

5.2. Skalaarikaarevuuden derivaattojen arviointi 35

Todistus. Kayttamalla liitteen Korollaarin A.6 (Ricci-) identiteettia

∇∆ = ∆∇− 12R∇ (5.40)

ja skalaarikaarevuuden evoluutioyhtaloa (4.17) saamme

∂

∂t∇R = ∇ (∆R+R(R− r)) = ∆∇R+

32R∇R− r∇R. (5.41)

Niinpa patee

∂

∂t|∇R|2 =

∂

∂t

(gij∇iR∇jR

)=(∂

∂tgij)∇iR∇jR+ 2gij

(∂

∂t∇iR

)∇jR

= (R− r)|∇R|2 + 2⟨

∆∇R+32R∇R− r∇R,∇R

⟩.

(5.42)

Liitteen Proposition A.7 nojalla on voimassa identiteetti

∆|∇R|2 = 2 〈∆∇R,∇R〉+ 2∣∣∇2R

∣∣2 , (5.43)

jota kayttamalla voimme sieventaa yhtalon (5.42) haluttuun muotoon:

∂

∂t|∇R|2 = (R− r) |∇R|2 + ∆|∇R|2 − 2|∇2R|2 + 3R|∇R|2 − 2r|∇R|2

= ∆|∇R|2 − 2|∇2R|2 + (4R− 3r)|∇R|2.(5.44)

Korollaari 5.8. Jos (M, g(t)) on normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu jaχ(M) < 0, niin on olemassa vakio C1 < ∞ siten, etta seuraava arvio on voi-massa

|∇R|2 ≤ C1ert/2, t ≥ 0 (5.45)

Todistus. Edellisen lemman ja epayhtalon

|r −R| ≤ Cert (5.46)

nojalla patee

∂

∂t|∇R|2 ≤ ∆|∇R|2 − 2|∇2R|2 + (r + 4Cert)|∇R|2. (5.47)

Ajan t ollessa rittavan suuri (t ≥ 1/r ln(−r/8C)) voimme arvioida ylla olevaaedelleen seuraavasti

∂

∂t|∇R|2 ≤ ∆|∇R|2 +

r

2|∇R|2. (5.48)

Vaittama seuraa nyt maksimiperiaatteesta sovellettuna funktioon |∇R|2.

5.2. Skalaarikaarevuuden derivaattojen arviointi 36

Tassa luvussa olemme tarkastelleet normalisoidun Riccin virtauksen ratkai-sun kayttaytymista rajalla t → ∞ tapauksessa χ(M) < 0. Huomasimme, ettaratkaisun voi esittaa konformimuunnoksen avulla muodossa

g(t) = ev(t)g0, (5.49)

missa konformitekija v suppenee sileaan funktioon v∞, kun t→∞. Siten raja-arvo limt→∞ g(t) on silea Riemannin metriikka. Koska skalaarikaarevuus onjatkuva ajan t suhteen saamme

limt→∞

R(t) = R(g∞). (5.50)

Skalaarikaarevuuden kasvurajoista

|r −R| ≤ Cert (5.51)

seuraa, ettalimt→∞

R(t) = r. (5.52)

Toisin sanoen, normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu suppenee rajalla t→∞sileaan vakiokaarevuuden Riemannin metriikkaan g∞

R(g∞) = r. (5.53)

Olemme todistaneet Lauseen 5.1 tapauksessa χ(M) < 0.Luvun paatteeksi muotoilemme kaksi seurausta Lauseesta 5.1 ja saamistam-

me tuloksista.

Korollaari 5.9. Olkoon (M, g0) pinta. Talloin g0 on konforminen vakiokaare-vuuden metriikan kanssa.

Todistus. Riccin virtauksessa alkuhetken metriikka g0 on konforminen metrii-kan g∞ kanssa, joka on vakiokaarevuuden metriikka.

Pinnan sanotaan olevan hyperbolinen, euklidinen tai elliptinen, jos sen Gaus-sin kaarevuus (4.1) on negatiivinen, nolla tai positiivinen koko pinnalla. Tataterminologiaa kayttaen muotoilemme seuraavan:

Korollaari 5.10. Olkoon (M, g0) pinta. Riippuen onko pinnan Eulerin karakte-ristika negatiivinen, nolla vai positiivinen, Riccin virtaus hyperbolisoi, euklidisoitai elliptisoi pinnan.

Todistus. Pinnalla on voimassa

K =R

2. (5.54)

Luku 6

Yhteenveto

Tyon alkupuolella tarkastelimme Riccin virtausta yleisessa dimensiossa ja joh-dimme tarpeisiimme sopivan olemassaoloteorian Riccin virtaukselle kayttamal-la joitain yleisia Riccin virtauksen teorian tuloksia. Jos Riemannin kaarevuus-tensorin normi ei hajaannu aarellisessa ajassa, virtauksella on aina pitkan ajanratkaisu. Ehto on minimaalinen siina mielessa, etta Riccin virtausyhtalossa met-riikan aikaderivaatta on verrannollinen Riccin kaarevuuteen.

Yleisen teorian jalkeen siirryimme tarkastelemaan suljettuja kaksi-monistojaeli pintoja. Pinnoilla Gauss-Bonnetin lause kytkee skalaarikaarevuuden pin-nan topologiaan ja toisaalta kaarevuus itsessaan yksinkertaistuu kahdessa ulot-tuvuudessa. Naiden yksinkertaistavien huomioiden avulla pystyimme osoitta-maan, etta skalaarikaarevuus pinnalla pysyy rajoitettuna virtauksen aikana.Edelleen pinnalla Riccin virtauksella on aina pitkan ajan ratkaisu.

Loppuosan tyosta kaytimme pinnan Riccin virtauksen ratkaisun asymptoot-tiseen analyysin, jota helpotti havainto siita, etta pinnoilla Riccin virtauksenratkaisu voidaan esittaa alkuhetken metriikan ajasta riippuvana konformisenamuunnoksena. Rajalla t→∞ normalisoidun Riccin virtauksen ratkaisu suppe-nee vakiokaarevuuden metriikkaan, minka osoitimme negatiivisen Eulerin ka-rakteristikan pinnalle. Tulos antaa Riccin virtaukselle tulkinnan pintoja tasoit-tavana prosessina.

Tapaukset, jossa Eulerin karakteristika on nolla tai positiivinen ovat vai-keampia todistaa. Taman vaikeuden voi kvalitatiivisesti nahda johtuvan sup-penemispisteen eli virtauksen kiintopisteen tyypista, joka positiivisessa tapauk-sessa on hylkiva. Kun keskimaarainen skalaarikaarevuus haviaa, asymptoot-tisen suppenemisen voi osoittaa samankaltaisilla argumenteilla, joita kaytim-me negatiivisen tapauksen osoittamiseen. Positiivisen tapauksen osoittamistavarten tarvitaan kuitenkin uusi lahestymistapa. Osittaisdifferentiaaliyhtaloidenteoriasta tuttu Harnackin arvio ja pintaentropia

N(g) :=ˆMR lnRdµ (6.1)

osoittautuvat tassa tehtavassa hyodylliseksi [CK04].Vaikka tyo on paasaantoisesti kasitellyt pintoja, useat saamamme tulokset

ovat toimivia tyokaluja myos korkeammissa ulottuvuuksissa. Voimme esimer-kiksi maksimiperiaatetta kayttamalla suoraan todistaa, etta positiivinen ska-

38

laarikaarevuus sailyy positiivisena Riccin virtauksessa. Kayttamalla Bianchinidentiteettia

divRic =12∇R (6.2)

Proposition 4.2 tulokseen huomaamme, etta yleisesti Riccin virtauksen aikanapatee

∂

∂tR = 2∆R− 2div (divRic) + 2 〈Ric,Ric〉

= 2∆R− div (∇R) + 2 |Ric|2 = ∆R+ 2 |Ric|2 .(6.3)

Niinpa maksimiperiaatteen nojalla on voimassa arvio

R(t) ≥ Rmin(0), (6.4)

jonka vuoksi positiivinen skalaarikaarevuus sailyy positiivisena Riccin virtauk-sessa.

Eras jatkotutkimuksen aihe Riccin virtauksen aihepiirista on konnektionkaksi-muodosta Ω muodostetun Pfaffianin Pf(Ω) geomerinen tulkitseminen.Pfaffian maaritellaan konnektion kaksi-muodon determinantin neliojuurena, jase kytkeytyy parillisissa dimensioissa Chern-Gauss-Bonnet-kaavan, Gaussin jaBonnetin kaavan yleistyksen, kautta topologiaan seuraavasti

ˆMn

Pf(Ω)dµ = (2π)nχ(Mn). (6.5)

Kaavan geometrinen tulkinta on kuitenkin Gaussin ja Bonnetin kaavaa epasel-vempi johtuen Pfaffianin geometrisen tulkinnan puutteesta [Lee87, s.170].

Pinnalla Gaussin ja Bonnetin kaava kiinnitti keskimaaraisen skalaarikaare-vuuden topologiasta riippuvaksi Riccin virtauksessa sailyvaksi vakioksi. Siksi onluonnollista kysya minka rajoitteen Gaussin ja Bonnetin kaavan yleistys (6.5)antaa Riccin virtaukselle ja pystyyko talloin kaarevuutta muuttamaan Riccinvirtauksella siten, etta Chern-Gauss-Bonnet-kaavalle saataisiin selva geometri-nen tulkinta.

Riccin virtaus on luonnollinen evoluutioyhtalo varioitaessa metriikkaa. Riccinvirtaus sailyttaa metriikan sileyden ja lampoyhtalomaisen luonteensa vuoksi vir-taus tasoittaa metriikkaa. Lampoyhtalomaisyydesta johtuu myos, etta monestaalkutilanteesta paadytaan samaan lopputilanteeseen. Taman ilmion huomasim-me eksplisiittisesti pintojen tapauksessa. Olisikin mielenkiintoista tietaa kuinkakarkea alkuhetken metriikka voi olla ratkaisun olemassaolon kannalta ja kuinkaainutlaatuinen lampoyhtalomainen evoluutioyhtalo Riccin virtaus on.

Riccin virtauksen yhteydessa ei myoskaan voi olla huomaamatta yhteyt-ta fysiikkaan ja gravitaatioon. Normalisoidun Riccin virtauksen kiintopiste onEinsteinin metriikka ja siten Einsteinin kenttayhtaloiden ratkaisu tyhjossa kos-mologisella vakiolla. Jos Riccin virtaus osoittautuu ainutlaatuiseksi lampoyhta-lomaiseksi evoluutioyhtaloksi, voi gravitaatiolle yrittaa antaa tulkintaa termo-dynaamisena tasapainotilana.

Liite A

Liitteeseen on koottu hyodyllisia tuloksia Riemannin geometrista, Riccin vir-tauksesta seka Poissonin yhtalon ratkaisusta monistolla.

A.1 Riemannin geometrian identiteetteja

Propositio A.1. Olkoon g(t) yksiparametrinen derivoituva perhe Riemanninmetriikoita (tai yleisemmin kaantyvia matriiseja). Talloin patee

∂

∂tln det g = Tr

(g−1 ∂

∂tg

). (A.1)

Todistus. Determinantin maaritelmaa

det g =∑σ∈Sn

sgn(σ)g1σ(1) · · · gnσ(n) (A.2)

derivoimalla saamme

∂

∂tdet g =

n∑i,j=1

∂

∂tgij

∑σ∈Sn, σ(i)=j

sgn(σ)g1σ(1) · · · giσ(i) · · · gnσ(n), (A.3)

missa giσ(i) tarkoittaa, etta tekija ei esiinny tulossa.Kayttaen Cramerin saantoa

gij =1

det g

∑σ∈Sn, σ(i)=j

sgn(σ)g1σ(1) · · · giσ(i) · · · gnσ(n) (A.4)

kaanteismatriisin komponettien laskemiseen huomaamme, etta

∂

∂tdet g =

n∑i,j=1

(∂

∂tgij

)gij det g = det g Tr

(g−1 ∂

∂tg

). (A.5)

Toisaalta patee∂

∂tln det g =

1det g

∂

∂tdet g, (A.6)

joten jakamalla (A.5) metriikan g determinantilla det g saadaan vaite.

A.1. Riemannin geometrian identiteetteja 40

Propositio A.2. Olkoon A ∈ T 20 (M) kaksi-tensori Riemannin monistolla M .

Talloin kaikille yksikkovektoreille U patee

|A(U,U)| ≤ |A|g, (A.7)

missa epayhtalon oikealla puolella on metriikan g maaraama normi.

Todistus. Olkoon x ∈M ja valitaan x-keskiset normaalikoordinaatit sen ympa-ristoon. Talloin g on ykkosmatriisi pisteessa x ja patee

|A(U,U)| = |AijU iU j | ≤√∑

i,j

A2ij

√∑i,j

|U iU j |2

=√gil(x)gjk(x)AijAlk

√(gil(x)U iU l) (gjk(x)U jUk)

= |A|g|U |2g = |A|g.

(A.8)

Ylla on kaytetty Schwarzin epayhtaloa n2-komponenttisille vektoreille Aij jaU iU j . Piste x ∈M oli mielivaltainen, joten vaite patee koko monistolla M .

Propositio A.3. Olkoon M n-monisto. Riemannin kaarevuustensorin ja Riccinkaarevuuden normeille patee

|Ric| ≤√n |Rm| . (A.9)

Todistus. Olkoon x ∈M ja suoritetaan seuraavat laskut x-keskisissa normaali-koordinaateissa. Ensinnakin yleisesti summaukselle patee

kk∑i=1

a2i −

(k∑i=1

ai

)2

=k∑

i,j=1, i6=j(ai − aj)2 ≥ 0. (A.10)

Niinpa saamme

|Ric|2 = gijgklRikRjl =∑i,k

(Rik)2 =n∑

i,k=1

(gjlRjikl

)2

≤n∑

i,k=1

n

n∑l=1

R2likl ≤

n∑i,k=1

n

n∑j,l=1

R2jikl

≤ n ga1jga2iga3kga4lRa1a2a3a4Rjikl = n |Rm|2 .

(A.11)

Koska x oli mielivaltainen, patee epayhtalo koko monistolla M .

Propositio A.4. Olkoon g Riemannin metriikka. Talloin cg, c > 0, on myosRiemannin metriikka ja muunnos sailyttaa konnektion, kaarevuusendomorfis-min seka Riccin tensorin:

Γkij(cg) = Γkij(g)

Rlijk(cg) = Rlijk(g)

Rij(cg) = Rij(g).

(A.12)

A.1. Riemannin geometrian identiteetteja 41

Todistus. On ilmeista, etta cg on edelleen Riemannin metriikka ja lisaksi

(cg)−1 =1cg−1. (A.13)

Christoffelin symbolit

Γkij =12gkl (∂iglj + ∂jgli − ∂lgij) , (A.14)

siten sailyvat skaalauksessa. Christoffelin symbolien sailymisesta suoraan nah-daan, etta myos kaarevuusendomorfismin ja Riccin tensorin komponentit saily-vat:

Rmijk = ∂iΓmjk − ∂jΓmik + ΓmiaΓajk − ΓmjaΓ

aik

Rij = gklglmRmkij .

(A.15)

Lemma A.5. Olkoon M n-ulotteinen Riemannin monisto. Talloin kovariantinderivaatan ∇i ja Laplacen operaattorin ∆ kommutaattori operoitaessa funktioi-hin on kuvaus C∞(M) −→ C∞(M), joka voidaan lausua Riccin tensorin avullaseuraavasti

[∇i,∆] = −R ki ∇k, (A.16)

missa R ki = gklRil.

Todistus. Lasketaan aluksi kommutaattori [∇i,∇j ]αk, missa α on kovektori.Evaluoidaan kommutaattori x-keskisten normaalikoordinaattien origossa:

(∇i∇j −∇j∇i)αk = ∇i(∂jαk − Γljkαl

)−∇j

(∂iαk − Γlikαl

)= ∂i∂jαk −

(∂iΓljk

)αl − ∂j∂iαk +

(∂jΓlik

)αl

= −Rlijkαl −(∂jΓlik

)αl +

(∂jΓlik

)αl = −Rlijkαl

(A.17)

Ylla on hyodynnetty, etta Γkij = 0 pisteessa x seka kaytetty kaarevuusendomor-fismin maaritelmaa (2.17). Koska yhtalon molemmat puolet ovat tensoriaalisiaja x oli mielivaltainen, patee yhtalo koko monistolla M .

Funktion u ∈ C∞(M) kovariantti derivaatta ∇u on kovektori, jonka kom-ponentit ovat ∂iu. Tata huomiota kayttaen voimme laskea

∇i∆u = ∇i∇k∇ku = ∇i(gkl∇l∇ku

)= gkl∇i∇l∇ku = gkl (∇l∇i + [∇i,∇l])∇ku= gkl∇l (∇k∇i + [∇i,∇k])u+ gkl [∇i,∇l] ∂ku= ∆∇iu+ gkl∇l [∇i,∇k]u− gklRailk∂au

(A.18)

missa toisella rivilla on kaytetty hyvaksi metriikan yhteensopivuutta konnektionkanssa.

A.2. Riccin virtauksen identiteetteja 42

Kovarianttien derivaattojen kommutaattori haviaa operoitaessa funktioonu:

[∇i,∇j ]u = ∂i∂ju− Γaij∂au− ∂j∂au− Γaji∂au = 0. (A.19)

Niinpa yhtalo (A.18) voidaan edelleen kirjoittaa muodossa

[∇i,∆]u = −gklRailk∂au = −gklgabRilkb∇au = −R ai ∇au. (A.20)

Korollaari A.6. Jos M on kaksiulotteinen Riemannin monisto, niin pateeRicci-identiteetti

[∇i,∆]u = −12R∇iu, u ∈ C∞(M). (A.21)

Todistus. Kaksi-monistoille patee

Rij =R

2gij , (A.22)

joten edellisen proposition nojalla voimme laskea

[∇i,∆] = −R ki ∇k = −gkaRia∇k = −gkaR

2gia∇k = −R

2∇i. (A.23)

Propositio A.7. Jos u ∈ C∞(M), niin1 talloin on voimassa identiteetti

∆ |∇u|2 = 2 〈∆∇u,∇u〉+ 2∣∣∇2u

∣∣2 . (A.24)

Todistus. Todistus on suora lasku, jossa kaytamme metriikan yhteensopivuuttakonnektion kanssa,

∆ |∇u|2 = ∇k∇k 〈∇u,∇u〉 = 2∇k 〈∇k∇u,∇u〉

= 2 〈∆∇u,∇u〉+ 2⟨∇k∇u,∇k∇u

⟩= 2 〈∆∇u,∇u〉+ 2gklgij∇k∇iu∇l∇ju

= 2 〈∆∇u,∇u〉+ 2∣∣∇2u

∣∣2 .(A.25)

A.2 Riccin virtauksen identiteetteja

Seuraavaksi johdamme kaksi Riccin virtaukselle patevaa identiteettia.1Yhtalossa esiintyva Laplacen operaattori ∆ yksimuodosta ∇u on yksimuoto, joka maari-

tellaan kuten funktioidenkin tapauksessa: (∆∇u)i = ∇k∇k∇iu.

A.2. Riccin virtauksen identiteetteja 43

Propositio A.8. Pinnalla normalisoidun Riccin virtauksen aikana seuraavatidentiteetit ovat voimassa

∂

∂tgij = (R− r)gij , i, j = 1, . . . n (A.26)

ja

Tr(g−1 ∂

∂tΓk)

= 0, k = 1, . . . n. (A.27)

Todistus. Ensimmaista identiteettia varten huomataan, etta mille tahansa yk-siparametriselle derivoituvalle perheelle g(t) metriikoita (tai yleisemmin matrii-seja) on voimassa

0 =∂

∂t

(gg−1

)= g

∂

∂tg−1 +

(∂

∂tg

)g−1. (A.28)

Tasta seuraa

∂

∂tg−1 = −g−1

(∂

∂tg

)g−1 = −g−1(r −R)gg−1 = (R− r)g−1, (A.29)

mika on komponenteissa sama kuin

∂

∂tgij = (R− r)gij . (A.30)

Toinen identiteetti seuraa suoralla, joskin pitkahkolla, laskulla. Lasketaanjalleen normaalikoordinaattien keskipisteessa:

Tr(g−1 ∂

∂tΓk)

= gij∂

∂tΓkij

=gij

2

(∂

∂tgkl)

(∂iglj + ∂jgli − ∂lgij)

+gij

2gkl(∂i∂

∂tglj + ∂j

∂

∂tgli − ∂l

∂

∂tgij

)=gij

2gkl [∂i ((r −R)glj) + ∂j ((r −R)gli)− ∂l ((r −R)gij)]

=gij

2gkl(r −R)(∂iglj + ∂jgli − ∂lgij)

+gij

2gkl (glj∂i(r −R) + gli∂j(r −R)− gij∂l(r −R))

=12

(gki∂i(r −R) + gkj∂j(r −R)− ngkl∂l(r −R)

)= 0,

(A.31)

missa n on moniston ulottuvuus kaksi.

Proposition todistuksesta voimme myos huomata seuraavan:

A.3. Poissonin yhtalon ratkaisu 44

Korollaari A.9. Olkoon g(t) yksiparametrinen perhe metriikoita, jotka toteut-tavat

∂

∂tgij = vij , (A.32)

missa vij on jokin symmetrinen tensori. Talloin

∂

∂tgij = −vij . (A.33)

A.3 Poissonin yhtalon ratkaisu

Liitteen viimeissa osassa ratkaisemme Poissonin yhtalon

−∆gu = f, f ∈ C∞(M) (A.34)

suljetulla eli kompaktilla ja reunattomalla monistolla.Valttamaton ehto ratkaisun olemassaololle onˆ

Mfdµ = 0, (A.35)

mika nahdaan Gaussin lausetta kayttamalla:ˆMfdµ = −

ˆM

∆udµ = −ˆ∂M

⟨N,∇u

⟩dµ = 0. (A.36)

Aloitamme ratkaisun etsimisen heikkojen ratkaisujen joukosta: funktio u ∈H1

0 (M) = H1(M) on Poissonin yhtalon heikko ratkaisu, jos pateeˆM〈∇u,∇ϕ〉 dµ =

ˆMfϕdµ, ϕ ∈ H1

0 (M). (A.37)

Propositio A.10. Poissonin yhtalolla

−∆u = f, f ∈ L2(M) (A.38)

on suljetulla monistolla heikko ratkaisu, jos ja vain jos´M fdµ = 0. Ratkaisu

on vakiota vaille yksikasitteinen.

Todistus. Tarkastellaan Poissonin yhtalon heikkoa muotoa aluksi avaruudenH1(M) suljetun alivaruuden

H1(M) :=ϕ ∈ H1(M) :

ˆMϕdµ = 0

(A.39)

suhteen. Vaadimme, etta yhtalo

a(u, ϕ) :=ˆM〈∇u,∇ϕ〉 dµ =

ˆMfϕdµ =: L(ϕ) (A.40)

patee kaikilla ϕ ∈ H1(M). Normi avaruudessa H1(M) on luonnollisesti avaruu-desta H1(M) indusoitu,

||u||H1(M) = ||u||L2(M) + ||∇u||L2(M) , u ∈ H1(M). (A.41)

A.3. Poissonin yhtalon ratkaisu 45

Sobolevin avaruudessa H1(M) patee Poincaren epayhtalo [Aub98, Cor 4.3],

||∇ϕ||L2(M) ≥ λ ||ϕ||L2(M) , λ > 0, (A.42)

jota kayttamalla huomaamme, etta a on koersiivinen:

a(ϕ,ϕ) =ˆM〈∇ϕ,∇ϕ〉 dµ = ||∇ϕ||L2(M) ≥ λ ||ϕ||L2(M) , λ > 0, (A.43)

kaikilla ϕ ∈ H1(M). Koska a on koersiivinen, se on myos positiividefiniitti.Kayttamalla Schwarzin epayhtaloa huomaamme, etta symmetrinen bilineaari-nen muoto a on lisaksi rajoitettu:

|a(ϕ,ψ)| ≤ˆM|〈∇ϕ,∇ψ〉| dµ ≤

ˆM|∇ϕ||∇ψ|dµ

≤ ||∇ϕ||L2(M) ||∇ψ||L2(M) ≤ ||∇ϕ||H1(M) ||∇ψ||H1(M) .(A.44)

Niinpa a muodostaa sisatulon Hilbertin avaruudessa H1(M). Myos lineaarinenfunktionaali L on rajoitettu:

|L(ϕ)| ≤ˆM|fϕ|dµ ≤ ||f ||L2(M) ||ϕ||L2(M) ≤ ||f ||L2(M) ||ϕ||H1(M) . (A.45)

Naiden huomioiden nojalla Rieszin esityslauseen oletukset ovat voimassa ja onolemassa yksikasitteinen avaruuden H1(M) alkio u, jolle

a(u, ϕ) = L(ϕ), ϕ ∈ H1(M). (A.46)

Osoitetaan sitten, etta u ratkaisee Poissonin yhtalon heikon muodon myosavaruudessa H1(M), kun oletamme

´M fdµ = 0. Olkoon ϕ ∈ H1(M) mielival-

tainen ja asetetaan

ϕ = ϕ− ϕdµ ∈ H1(M), (A.47)

missa on merkitty ϕdµ =

ˆMϕdµ

/ˆMdµ (A.48)

on funktion ϕ integraalikeskiarvo. Nyt patee

a(u, ϕ) = a(u, ϕ) + a

(u,

ϕdµ

)= L(ϕ) = L(ϕ)− L

( ϕdµ

)= L(ϕ)−

ϕdµ

ˆMfdµ

= L(ϕ).

(A.49)

Ylla kaytimme oletusta, etta funktion f integraali monistonM yli haviaa. Tamaehto on myos valttamaton ehto aiemman keskustelun nojalla.

A.3. Poissonin yhtalon ratkaisu 46

Lopuksi osoitamme, etta ratkaisu on vakiota vaille yksikasitteinen. Jos u1

ja u2 ovat molemmat Poissonin yhtalon heikon muodon ratkaisuja, niin funktiou = u1 − u2 ∈ H1(M) toteuttaa

a(u, ϕ) = a(u1, ϕ)− a(u2, ϕ) = L(ϕ)− L(ϕ) = 0 (A.50)

kaikilla avaruuden H1(M) funktioilla ϕ. Erityisesti, jos valitaan ϕ = u, niin

0 = a(u, u) =ˆM〈∇u,∇u〉 dµ. (A.51)

Koska metriikka g on positiividefiniitti, on valttamatta ∇u = 0 ja u on sitenvakio.

Heikon ratkaisun saannollisyys, eli sileys, on lokaali vaittama, joten euklidi-sen avaruuden Rn saannollisyysteoria laajenee suoraan myos monistoille.

Lause A.11. Poissonin yhtalolla

∆u = f, f ∈ C∞(M),ˆMfdµ = 0 (A.52)

on vakiota vaille yksikasitteinen silea ratkaisu u ∈ C∞(M).

Todistus. Olkoon u ∈ H1(M) ylla olevan Poissonin yhtalon heikko ratkaisuja U = Ui moniston M koordinaattipeite. Riittaa osoittaa, etta heikon rat-kaisun u rajoittuma avoimiin joukkoihin Ui on silea. Erityisesti derivaattojenjatkuvuudesta seuraa, etta talloin heikko ratkaisu on myos vahva ratkaisu.

Tarkastellaan Poissonin yhtalon heikkoa muotoilua avoimessa joukossa Ui:ˆUi

〈∇u,∇ϕ〉 dµ =ˆUi

fϕdµ, ϕ ∈ H10 (Ui). (A.53)

Olkoon sitten ϕ ∈ H10 (Ui) mielivaltainen. Koska suppϕ ⊂ Ui, niin ϕ voidaan

jatkaa joukon Ui ulkopuolelle nollaksi. Siten ϕ ∈ H10 (M), ja heikko ratkaisu

u ∈ H1(M) toteuttaaˆUi

〈∇u,∇ϕ〉 dµ =ˆM〈∇u,∇ϕ〉 dµ =

ˆMfϕdµ =

ˆUi

fϕdµ. (A.54)

Siten u on myos joukkoon Ui rajoitetun ongelman heikko ratkaisu. Saannolli-syysteoria euklidisen avaruuden Rn avoimissa osajoukossa [Aub98, 3.54] osoit-taa, etta itseasiassa u on silea joukossa Ui.

Heikko ratkaisu u on siis silea jokaisessa peitteen jasenessa, joten se onmyos vahva ratkaisu naissa joukoissa. Siispa u on silea Poissonin yhtalon vahvaratkaisu monistolla M . Lisaksi edellisen proposition nojalla heikko ratkaisu onvakiota vaille yksikasitteinen, joten myos vahva ratkaisu on sita.

Korollaari A.12. Harmoninen funktio suljetulla monistolla on vakio.

Todistus. Harmoninen funktio u ≡ 0 on myos Poissonin yhtalon

∆u = 0 (A.55)

ratkaisu, joten edellisen lauseen nojalla kaikki muut ratkaisut poikkeavat siitakorkeintaan vakiolla.

Kirjallisuutta

[Aub98] Thierry Aubin. Some Nonlinear Problems in Riemannian Geomet-ry. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin,Germany, 1998.

[Cho91] Bennet Chow. The Ricci flow on the 2-sphere. Journal of DifferentialGeometry, 33:325–334, 1991.

[CK04] B. Chow and D. Knopf. The Ricci Flow: An Introduction, volume 110of Mathematical Surveys and Monographs. American MathematicalSociety, Providence, U.S.A., 2004.

[CLT06] Xiuxiong Chen, Peng Lu, and Gang Tian. A note on uniformizationof Riemann surfaces by Ricci flow. Proceedings of the American Mat-hematical Society, 134:3391–3393, 2006.

[CZ06] Huai-Dong Cao and Xi-Ping Zhu. A complete proof of the Poincareand geometrization conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow. Asian Journal of Mathematics,10:165–492, 2006.

[Ham82] R. Hamilton. Three manifolds of positive Ricci curvature. J. Differ.Geom., 17:255–306, 1982.

[Ham88] R. Hamilton. The Ricci flow on surfaces. Contemporary Mathematics,71:237–262, 1988.

[Lee87] John M. Lee. Riemanninan Manifolds, An Introduction to Curvature,volume 176 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, NewYork, U.S.A., 1987.