tổng & hiệu hai vectơ

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC 10

GV:Phan Nhật Nam

TỔNG HIỆU HAI VECTƠ

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

TỔNG & HIỆU HAI VECTƠ

I. Cơ sở lý thuyết :

1. Phép cộng vectơ : Tổng của 2 vectơ a và b được xác định như sau

Dựng AB = a và BC = b khi đó AC là vectơ tổng của a và b

Quy tắc 3 điểm:

Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC AB BC= +

(hoặc AC BC AB= +

)

Dấu hiệu: điểm đầu của vectơ này trùng với điểm cuối của vectơ kia

(trong ký hiệu trên thì đều là điểm B)

Ví dụ :Trong một phòng học có một

người kéo một cái bàn theo chiều của a

(tức là kéo từ điểm A đến điểm B) đồng

thời trên bàn có một HS đi theo chiều của

vectơ b

. Khi đó xét trong phòng học thì

HS đó đã đi từ A đến C. Vì vậy di chuyển

từ A→ C là tổng hợp của 2 di chuyển

theo chiều a

và b

.

Khi đó trong toán học người ta ký hiệu:

AC a b= +

Quy tắc quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD như hình vẽ

Khi đó theo quy tắc 3 điểm ta có: AB BC AC+ =

(1)

Mặt khác vì ABCD là hình bình hành nên: BC AD=

(2)

Thay (2) vào (1) ta có: AB AD AC+ =

Từ đó ta có quy tắc cộng sau:

Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC+ =

(hoặc BA DA CA+ =

)

Dấu hiệu: Hai vectơ có cùng chung điểm đầu hoặc cùng chung điểm cuối

(trong ký hiệu trên thì các vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) là điểm A)

a

b

A

B C

AB a=

BC b=

AC AB BC a b= + = +

A

B C

D




Ví dụ : Khi ta tác động đồng thời 2 lực 1F

và 2F

vào một điểm đặt O nào đó thì ta có

thể biểu diễn 2 lực đó là 2 vectơ có chung gốc là O

(vì khi nói đến lực tác dụng ta

phải quan tâm đến độ lớn của

lực và chiều tác dụng của lực nên lực là một vectơ

– hiểu theo ngôn ngữ toán học) . Dựng hình bình hành OABC cóOA

,OC

biểu diễn 1F

và 2F

. Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên điểm đặt O là 1 2F F F= +

được biểu diễn bởi OB

2. Phép trừ vectơ :

a – b = a + (– b )

a – b = c ⇔ a = b + c

Quy tắc trừ (được suy ra từ quy tắc 3 điểm và khái niệm vectơ đối)

Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC BC BA= −

(hoặc AC AB CB= −

)

Chú ý: Gọi I là trung điểm AB khi đó ta có

IA

và IB

là hai vectơ có cùng độ lớn nhưng ngược chiều

⇔ IA

và IB

là hai vectơ đối nhau 0IA IB IA IB⇔ = − ⇔ + =

Kết luận:

I là trung điểm AB 0IA IB⇔ + =

.

II. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a. Tính độ dài

của vectơ tổng : AB AC+

và vectơ hiệu AB AC−

Ví dụ 2: Cho sau điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:

AC BD EF AF BC ED+ + = + +

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng:

0GA GB GC+ + =

O

A

C

B

1F

2F

1 2F F F= +




Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý .chứng minh rằng:

a. BD BA OC OB− = −

b. 0BC BD BA− + =

c. MA MC MB MD+ = +

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc 060ABC = .

Tính môđun của các vectơ : AB AC+

và AB AC−

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của

AD và BC. Chứng minh rằng:

a. 0AD MB NA+ + =

b. 0CD CA CB− + =

Ví dụ 7: Cho hai vectơ a

và b

khác 0

a. Khi nào thì ta có: a b a b+ = +

b. Khi nào thì ta có: a b a b+ = −

Ví dụ 8: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính đồ dài các vectơ :

a. AB BH+

b. AB AC−

c. AB AC+

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB AC+

có giá là đường phân giác

trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?

Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a. AC AB−

b. AB AD+

c. AB BC+

Ví dụ 11: Cho hai lực 1F

và 2F

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt

tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng.

Ví dụ 12: Cho hai lực 1F

và 2F

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O,Tính cường

độ tổng lực của 2 lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau

a. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0120




b. Hai lực đó hợp với nhau một góc 060

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ , BCPQ và CARS. Chứng minh 0RJ IQ PS+ + =

Ví dụ 14: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng:

a. 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =

b. 0OA OC OE+ + =

c. AB AO AF AD+ + =

d. MA MC ME MB MD MF+ + = + +

(với M là điểm tùy ý)

Ví dụ 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng :

a. AB CD EA CB ED+ + = +

b. AD BE CF AE BF CD+ + = + +

c. AB CD EF GA CB ED GF+ + + = + +

d. 0AB AF CD CB EF ED− + − + − =

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP+ + = + +

(với O là điểm tùy ý).

Ví dụ 17: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là

điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C.

Chứng minh rằng : ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

Ví dụ 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là

một đường kính:

a. Chứng minh rằng: HB HC HD+ =

b. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng : 'HA HB HC HH+ + =

Ví dụ 19: Chứng minh rằng AB CD=

khi và chỉ khi trung điểm của

hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Ví dụ 20: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đặt AO a=

và BO b=

.

Tình các vectơ : ; ; ;AB BC CD DA

theo hai vectơ a

và b

.

Ví dụ 21: Cho tam giác ABC. Xác định (dựng) điểm M sao cho: 0MA MB MC− + =




Hướng dẩn giải các ví dụ : Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a. Tính độ dài

của vectơ tổng : AB AC+

và vectơ hiệu AB AC−

Giải

Dựng hình bình hành ABDC như hình vẽ ta có:

AB AC AD AB AC AD AD BC+ = ⇒ + = = =

(vì ABDC là hình chữ nhật)

Mặt khác theo pitago cho ABC∆ ta có: 2 2 5BC AB AC a= + =

Vậy 5AB AC a+ =

5AB AC CA AB CB AB AC CB CB a− = + = ⇒ − = = =

Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: AC BD EF AF BC ED+ + = + +

Giải:

AC BD EF AF FC BC CD ED DF+ + = + + + + +

( ) ( )AF BC ED FC CD DF= + + + + +

0AF BC ED= + + +

AF BC ED= + +

(đpcm)

Bình luận :Với những bài toán chứng minh đẳng thức vectơ ta chỉ cần sử dụng

quy tắc 3 điểm để biến đổi VT ra các vectơ có trong VP và các vectơ dư ra

nhất định có tổng bằng 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng: 0GA GB GC+ + =

Giải :

Gọi M là trung điểm của BC

Gọi D là điểm đối xứng của G qua M

Khi đó ta có G là trung điểm của AD (tính chất trọng tâm)

0GA DG GA GD⇒ = ⇔ + =

(1)

Ta có BC và DG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

nên BDCG là hình bình hành GD GB GC⇒ = +

(2)

Thay (2) vào (1) ta có: 0GA GB GC+ + =

(đpcm)

A

B

C

D

M

A

B C M

D

G

.




Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý .chứng minh rằng:

a. BD BA OC OB− = −

b. 0BC BD BA− + =

c. MA MC MB MD+ = +

Giải :

a. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

AD BC AB BD BO OC BD BA OC OB= ⇔ + = + ⇔ − = −

(đpcm)

b. ABCD là hình bình hành nên : 0 0AD BC BC AD BC DA= ⇔ − = ⇔ + =

(*)

0VT BC DB BA BC DA= + + = + =

(đpcm) { theo (*) }

c. ABCD là hình bình hành nên : AD BC=

AM MD BM MC MD BM MC AM MB MD MA MC⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ + = +

(đpcm)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc 060ABC = .

Tính môđun của các vectơ : AB AC+

và AB AC−

Giải :

Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

( ) ( )cos 21cos

2

AB AB aABC BC aBC ABC

= ⇔ = = =

Dựng hình chữ nhật ABDC như hình vẽ ta có:

2AB AC AD AD BC a+ = = = =

(vì ABCD là hình chữ nhật)

2AB AC BC a− = =

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của

AD và BC. Chứng minh rằng:

a. 0AD MB NA+ + =

b. 0CD CA CB− + =

A D

B C

O

A B

C

060

D

a




Giải

a. M, N lần lượt là các trung điểm củaAD và BC

0 0

0 0

MA MD MN NA MD

NB NC NM MB NC

+ = + + = ⇔ ⇔ + = + + =

0MN NA MD NM MB NC⇒ + + + + + =

0NA MB AM MD⇔ + + + =

(vìANCM là hình bình hành nên NC AM=

)

0NA MB AD⇔ + + =

(đpcm)

Bình luận: vẫn theo nguyên tắc : gt → đẳng thức vectơ → các vectơ có trong ycbt

Những vectơ thừa ra ta sẽ biến đổi sau tùy thuật tính chất đề toán (trong bài này

đương nhiên dùng tính chất hình bình hành để lấy các vectơ bằng nhau)

b. ABCD là hình bình hành DA CB DC CA CB⇔ = ⇔ + =

0DC CA CB⇔ − − + =

0CD CA CB⇔ − + =

(đpcm)

Ví dụ 7:

a. a b a b+ = +

khi ,a b

cùng chiều b. a b a b+ = −

khi a b⊥

Ví dụ 8:Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính đồ dài các vectơ :

a. AB BH+

b. AB AC−

c. AB AC+

Giải

AH là cạnh của tam giác đều cạnh a 32

aAH⇒ =

Dựng hình bình hành ABCD

a. 32

aAB BH AH AH+ = = =

b. AB AC CB CB a− = = =

c. 2 3AB AC AD AD AH a+ = = = =

Ví dụ 9:Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB AC+

có giá là đường phân giác

trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?

Giải:

Dựng hình bình hành ABDC khi đó ta có : AB AC AD+ =

A

B H

C

D




Đường chéo AD là phân giác trong của BAC

⇒ ABDC phải là hình thoi AB AC ABC⇒ = ⇔ ∆ là tam giác cân tại A

Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a. AC AB−

b. AB AD+

c. AB BC+

Giải:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a. AC AB BC BC a− = = =

b. 2AB AD AC AC a+ = = =

(vì AC là đường chéo của hình vuông cạnh a)

c. 2AB BC AC AC a+ = = =

Ví dụ 11:Cho hai lực 1F

và 2F

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt

tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng.

Giải

Đặt : 1F OA=

và 2F OB=

Dựng hình chữ nhật ABDC khi đó:

2 2 100OD AB OA OB= = + = (N)

Gọi F

là hợp lực của 1F

và 2F

1 2 100( )F F F OA OB OD OD N= + = + = = =

Vậy độ lớn của tổng lực là 100( )N

Ví dụ 12:Cho hai lực 1F

và 2F

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O, Tính cường độ

tổng lực của hai lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau

a. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0120

b. Hai lực đó hợp với nhau một góc 060

Giải

Đặt : 1F OA=

và 2F OB=

O

B

A

D

2F

1F

1 2F F F= +

A

O H

D

1F

2F

F




Dựng hình bình hành AOBD khi đó:

a. 1 2 50( )F F F OA OB OD OD N= + = + = = =

Vì tam giác OAD đều cạnh 50 (N)

b. Ta có: 0 060 30AOB AOD= ⇒ =

Sử dụng hệ thức lượng cho AOH∆ vuông tại H ta có:

( ) ( ) 50 3cos cos 25 32

OHAOH OH OA AOHOA

= ⇒ = = =

( )1 2 2 2. 25 3 50 3( )F F F OA OB OD OD OH N= + = + = = = = =

Ví dụ 13:Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ , BCPQ và CARS. Chứng minh 0RJ IQ PS+ + =

Giải:

ABIJ , BCPQ và CARSlà các hình bình hành nên:

,AB JI BC QP= =

vàCA SR=

Lại có : 0 0AB BC CA JI QP SR+ + = ⇔ + + =

0JR RI QI IP SP PR⇔ ++ + + + + =

RI IP PR JR QI SP⇔ + + = − − −

RP PR RJ IQ PS⇔ + = + +

0RJ IQ PS⇔ + + =

(đpcm)

Ví dụ 14:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng:

a. 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =

b. 0OA OC OE+ + =

c. AB AO AF AD+ + =

d. MA MC ME MB MD MF+ + = + +

(với M là điểm tùy ý)

Giải

Ta có :

O là trung điểm của AD 0OA OD⇒ + =

(1)

A

B C

J

I

R

S

P Q

F

A B

C O




O là trung điểm của BE 0OB OE⇒ + =

(2)

O là trung điểm của CF 0OC OF⇒ + =

(3)

a. Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta có:

0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =

(đpcm)

b. Ta có OCDE là hình bình hành nên :

OD OC OE= +

(4)

Thay (4) vào (1) ta có: 0OA OC OE+ + =

(đpcm)

c. ABOF là hình bình hành nên ta có: AF AB AO+ =

AF AB OD AO OD⇔ + + = +

AF AB AO AD⇔ + + =

(đpcm) (vì O là trung điểm của AD nên OD AO=

)

d. Ta có: OBCD và OEFA là các hình bình hành nên BO CD=

và OA EF=

Lại có: 0AB BO OA+ + =

0AB CD EF⇔ + + =

0AM MB CM MD EM MF⇔ + + + + + =

MB MD MF AM CM EM⇔ + + = − − −

MB MD MF MA MC ME⇔ + + = + +

Ví dụ 16:Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP+ + = + +

(với O là điểm tùy ý).

Giải:

M là trung điểm AB 0 0 2MA MB MO OA MO OB OM OA OB⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +

(1)

N là trung điểm AC 0 0 2NA NB NO OA NO OC ON OA OC⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +

(2)

P là trung điểm BC 0 0 2PB PC PO OB PO OC OP OB OC⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +

(3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có: OM ON OP OA OB OC+ + = + +

(đpcm)

Ví dụ 17:Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là

điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C.

Chứng minh rằng : ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

Giải:




Cách 1:

A là trung điểm của BA’ ' 'BA AA BO OA AO OA⇔ = ⇔ + = +

(1)

B là trung điểm của CB’ ' 'CB BB CO OB BO OB⇔ = ⇔ + = +

(2)

C là trung điểm của AC’ ' 'AC CC AO OC CO OC⇔ = ⇔ + = +

(3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

(đpcm)

Cách 2:

( )' ' ' 2 0C A A B B C CA AB BC+ + = + + =

(vì A,B,C là trùng điểm của BA’, CB’,C’A)

' ' ' 0C O OA A O OB B O OC⇔ + + + + + =

⇔ ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

(đpcm)

Ví dụ 18:Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là

một đường kính:

a. Chứng minh rằng: HB HC HD+ =

b. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng : 'HA HB HC HH+ + =

Giải:

a. Ta có: HC ABDB AB

⊥⇒ ⊥

HC // BD (1)

HB ACDC AC

⊥⇒ ⊥

HB // DC (2)

Từ (1) và (2) ta có: BDCH là hình bình hành

Do đó : HB HC HD+ =

(3) (theo quy tắc hình bình hành)

b. Vì O đồng thời là trung điểm của HC và AD nên AHDH’ là

hình bình hành

Do đó ta có: 'HH HA HD= +

(4)

Thay (3) vào (4) ta có: 'HH HA HB HC= + +

(đpcm)

Ví dụ 19:Chứng minh rằng AB CD=

khi và chỉ khi trung điểm của

hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Giải:

B

A

A’

C’ C

B’

A

.

B C

D

O H

H’




Gọi I, J lần lượt là trùng điểm của AD và BC 0

0

IA ID

JB JC

+ =⇔ + =

AB CD AI IJ JB CJ JI ID= ⇔ + + = + +

( ) ( ) 2IA ID JB JC IJ⇔ + = + +

0IJ I J⇔ = ⇔ ≡ ⇔

AD và BC có trung điểm trùng nhau. (đpcm)

Ví dụ 20:Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đặt AO a=

và BO b=

.

Tình các vectơ : ; ; ;AB BC CD DA

theo hai vectơ a

và b

.

Giải:

AB AO OB OA OB AB a b= + = − + ⇔ = − +

BC BO OC OB CO OA OB BC a b= + = − − = − − ⇔ = − −

( )CD BA AB a b CD a b= = − = − − + ⇔ = −

( )DA CB BC a b DA a b= = − = − − − ⇔ = +

Ví dụ 21:Cho tam giác ABC. Xác định (dựng) điểm M sao cho: 0MA MB MC− + =

Giải:

0MA MB MC BA MC BA CM− + = ⇔ = − ⇔ = ⇔

ABCM là hình bình hành

Vậy điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.

A B

D C

a

b

O


tổng & hiệu hai vectơ

Education