vectƠ vÀ cÁc Ứng dỤng

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC 10

GV:Phan Nhật Nam

VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ I. Cơ sở lý thuyết :

Các định nghĩa :

ĐN 1: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng.

Có một điểm đầu và một điểm cuối.

Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối là hướng của vectơ

Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của vectơ

Ký hiêu : AB : A-điểm đầu, B-điểm cuối. AB : Độ dài của AB

a : là vectơ tự do (Chỉ biết được chiều và độ lớn) .

ĐN 2: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Độ dài bằng 0.

Hướng tùy ý.

Ký hiệu : 0 ví dụ : AA = 0

ĐN 3: Hai vectơ cùng phướng : CD và AB cùng phương thì

AB cùng phương CD

≡

⇔CDABCDAB //

ĐN 4: Hai vectơ cùng hướng : CD và AB cùng hương thì

⇔↑↑uêchicùngCDABtiahai

CDABCDAB

`,//

ĐN 5: Hai vectơ ngược hướng :CD và AB ngược hương thì

/ /

, ùng `AB CD

AB CDhai tia AB CD không c chi êu

↑↓ ⇔

ĐN 6: Hai vectơ bằng nhau : CD và AB bằng nhau thì

↑↑

=⇔=

CDAB

CDABCDAB




ĐN 7: Hai vectơ đối nhau : CD và AB đối nhau thì

↑↓

=⇔−=

CDAB

CDABCDAB

ĐN 8: Góc của hai vectơ : Góc của CD và AB là góc tạo bởi 2 tia Ox

và Oy lần lượt cùng hướng với hai vectơ trên )180),(0( oo CDAB ≤≤

Chú ý : Chứng minh 2 vectơ bằng nhau, thông thường ta sử dụng các mệnh đề sau:

1. ABCD là hình bình hành AB DC

AD BC

=⇔

=

{ }AB CD= −

2. M là trung điểm AB AM MB⇔ =

{ }MA MB= −

3. 1 21 1 2

1 1 2

, ,...,...

...n

nn

M M M ABAM M M M B

AM M M M B∈

⇔ = = = = = =

II. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?

Ví dụ 2: Cho 2 vectơ 0AB ≠

và 0AC ≠

cùng phương nhau. Kết luận gì về 3 điểm A, B, C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AC.

a. Ta có AB AC=

đúng hay sai ?

b. Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB

? Các vectơ ngược hướng với BC

?

c. Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên

đoạn CD sao cho AM = CN. Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và DC.

AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F.

Chứng minh rằng : DE EF FB= =

Ví dụ 6: Cho điểm A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a. 4AM cm=

b. AM

cùng phương với 0a ≠

cho trước.




Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D.

Chứng minh rằng : AE BD=

Ví dụ 8: Cho nữa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường

kính AD. Chỉ ra các vec tơ bằng với BC

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của tam giác ABC đó.

Gọi A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt

là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.

a. Chứng tỏ: AQ CN=

và AM PC=

b. Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.

Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC.

Chứng minh rằng nếu MN AB

MN DC

=

=

thì ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD bất kỳ . Chứng minh rằng: AB DC AD BC= ⇔ =

Ví dụ 12: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :

a. Tìm các vectơ khác 0

và cùng phương với OA

b. Tìm các vectơ bằng vectơ AB

, OE

Ví dụ 13: Cho tam giác đều ABC. Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?

a. AB BC=

b. AB AC= −

c. AB AC=

Ví dụ 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của

BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.

Chứng minh rằng: AM NC=

và DK NI=

Ví dụ 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

Chứng minh rằng: MN QP=

và NP MQ=

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi B’

là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm

của cạnh BC.

a. Chứng minh rằng : 'AH B C=

b. Chứng minh rằng : AI OM=




Hướng dẩn giải các ví dụ :

Ví dụ 1:Cho hai điểm A, B. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?

Giải:có 2 vectơ là AB

và BA

Ví dụ 2:Cho 2 vectơ 0AB ≠

và 0AC ≠

cùng phương nhau.

Kết luận gì về 3 điểm A, B, C.

Giải:

AB

và AC

cùng phương nhau / / ( ), ,

AB AC loaiA B C

AB AC

⇔ ⇔ ≡ thẳng hàng

Ví dụ 3:Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm BC

và N là trung điểm AC.

a. Ta có AB AC=

đúng hay sai ?

b. Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB

? Các vectơ ngược hướng với BC

?

c. Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?

Giải:

a. AB AC=

(vì AB

và AC

không cùng chiều)

b. NM

cùng hướng với AB

. CB

ngược hướng với BC

c. AN NC=

(hay NA CN=

), BM MC=

(hay MB CM=

)

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N

trênđoạn CD sao cho AM = CN. Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?

ABCD là hình bình hanh ( )( )

AB DC hay BA CD

AD BC hay DA CB

= =⇔ = =

/ /

AM CNgt

AM CN=

⇒ ⇔

AMCN là hình bình hành ( )( )

AM NC hay MA CN

AN MC hay NA CM

= =⇔ = =

/ /

BM DNgt

BM DN=

⇒ ⇔

AMCN là hình bình hành ( )( )

BM ND hay MB DN

BN MD hay NB DM

= =⇔ = =

A B

C D

M

N




Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB và DC. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F.

Chứng minh rằng : DE EF FB= =

Ta có :/ /

AM CNAMCN

AM CN=

⇔

là hình bình hành

Theo gt ta có: N là trung điểm DC và NE // FC ⇒NE là đường trung bình của DFC∆

⇒ E là trung điểm của DF (1)DE EF⇔ =

Tương tự ta cũng có : F là trung điểm của BE nên (2)EF FB=

Vậy từ (1) và (2) ta có: DE EF FB= =

(đpcm)

Ví dụ 6: Cho điểm A. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a. 4 4AM cm AM cm= ⇒ = ⇒

M luôn cách điểm A cố định một khoảng không

đổi 4cm ⇒ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính R = 4cm.

b. AM

cùng phương với 0a ≠

⇒giá của AM

là đường thẳng d cùng phương

với 0a ≠

(với d là đường thẳng luôn đi qua A và M)

Do đó tập hợp tất cả các điểm M là đường thẳng d đi qua A và song song với

giá của a

Ví dụ 7:Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D.

Chứng minh rằng : AE BD=

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có : (1)BA CD=

Ta có: E đối xứng của C qua D ⇔ D là trung điểm của CE (2)CD DE⇔ =

Từ (1) và (2) ta có: BA DE=

⇔ ABDE là hình bình hành ⇔ AE BD=

(đpcm)

A B

C D

M

N E F

A

B C

D

E




Ví dụ 8:Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường

kính AD. Chỉ ra các vec tơ bằng với BC

Giải:

Với những điểm cho trong giả thiết thì ta có:

ABCO là hình bình hành BC AO⇔ =

BCDO là hình bình hành BC OD⇔ =

Vậy chỉ có hai vec tơ bằng BC

là AO

và OD

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của

tam giác ABC đó. Gọi A’, B’, C’lần lượt là

trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt

là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.

a. Chứng tỏ: AQ CN=

và AM PC=

b. Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy.

Giải:

a. Từ giả thiết ta có:

C’ đồng thời là trung điểm của AB và MQ

⇔ AMBQ là hình bình hành ⇔ (1)AQ MB=

A’ đồng thời là trung điểm của BCvà MN

⇔ BMCN là hình bình hành ⇔ (2)MB CN=

Từ (1) và (2) ta có: AQ CN=

(đpcm)

B’ đồng thời là trung điểm của AC và MP

⇔ AMCP là hình bình hành ⇔ AM PC=

(đpcm)

b. Theo câu a ta có: AQ CN= ⇔

ACNQ là hình bình hành

Gọi I AN CQ= ∩ .

Khi đó I đồng thời là trung điểm của AN và CQ.

Ta có AMBQ là hình bình hành nên AM QB=

mà ta lại có AM PC=

⇒ QB PC= ⇔

BCPQ là hình bình hành

Do đó I là trung điểm của BP (vì I là trung điểm của CQ)

A D

B

O

C

A

B C

M A’

B’ C’

N

P Q




Vây AN, BP và CQ đồng quy tại I (với I là trung điểm của mỗi đoạn )

Ví dụ 10: MN ABAB DC

MN DC

= ⇒ = ⇔=

ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 11: AB DC= ⇔

ABCD là hình bình hành AD BC⇔ =

Ví dụ 12:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :

a. Tìm các vectơ khác 0


b. Tìm các vectơ bằng vectơ AB

, OE

Giải:

a. các vectơ khác 0


là : , , , , , ,AO BC CB EF FE OD DO

b. Có 3 vectơ bằng AB

là , ,FO OC ED

Có 3 vectơ bằng OE

là , , AFBO CD

Ví dụ 13:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH,

M là trung điểm của cạnh BC.



Giải:

a. AB BC=

(sai vì 2 vec tơ không cùng phương)

b. AB AC= −

(sai vì 2 vec tơ không cùng phương)

c. AB AC=

(đùng vì AB AC AB AC= ⇔ = và ABC∆ là tam giác đều)

Ví dụ 14:Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm

của BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.

Chứng minh rằng: AM NC=

và DK NI=

Theo giả thiết ta có: MC // AN và MC = AN

⇒ AMCN là hình bình hành ⇒ AM NC=

(đpcm)

A

D

B

C

M N I K




Ta có : AN BM= ⇒

ANMB là hình bình hành ⇒ I là trung điểm của AM

Tương tự ta cũng có K là trung điểm của DM

Do đó IK là đường trung bình của AMD∆ ⇒/ /IK ND

IK ND =

⇒ IKDN là hình bình hành ⇔ DK NI=

(đpcm)

Ví dụ 15:Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,

BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MN QP=

và NP MQ=

Giải:

Ta có : M, N lần lượt là trung điểm BA và BC

nến MN là đường trung bình của ABC∆

Do đó :12

/ /

MN AC

MN AC

=

(1)

Tương tự ta cũng có 12

/ /

PQ AC

PQ AC

=

(2)

Từ (1) và (2) ta có: / /MN PQMN PQ

⇔ =MNPQ là hình bình hành MN QP

NP MQ

=⇔ =

(đpcm)

Ví dụ 16:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Gọi I là trung điểm của AH, M

là trung điểm của cạnh BC.



Giải:

a. Vì H là trực tâm của tam giác ABC

AH BC⇒ ⊥

Ta lại có BB’ là đường kính của đường tròn (O)

0' 90 'BCB AB BC⇒ = ⇒ ⊥

Suy ra AH // B’C (1)

Tương tự ta có: '

CH ABAB AB

⊥⇒ ⊥

CH // AB’ (2)

D

A

B

C

M

N

Q

P

A

.

B

B’

C

H

M

O I




Từ (1) và (2) ta có: AHCB’ là hình bình hành ⇔ 'AH B C=

b. Ta có O và M lần lượt là trung điểm của BB’ và BC nên OM là đường trung bình

của tam giác BB’C / / '

1 '2

OM B C

OM B C

⇒

=

(3)

Lại có: I là trung điểm của AH / /

12

AI BC

AI BC

⇒

=

(4) (vì AHCB’ là hình bình hành)

Từ (3) và (4) ta có: / /AI OMAI OM

⇔ =

AIMO là hình bình hành ⇔ AI OM=




TỔNG & HIỆU HAI VECTƠ

I. Cơ sở lý thuyết :

1. Phép cộng vectơ : Tổng của 2 vectơ a và b được xác định như sau

Dựng AB = a và BC = b khi đó AC là vectơ tổng của a và b

Quy tắc 3 điểm:

Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC AB BC= +

(hoặc AC BC AB= +

)

Dấu hiệu: điểm đầu của vectơ này trùng với điểm cuối của vectơ kia

(trong ký hiệu trên thì đều là điểm B)

Ví dụ :Trong một phòng học có một

người kéo một cái bàn theo chiều của a

(tức là kéo từ điểm A đến điểm B) đồng

thời trên bàn có một HS đi theo chiều của

vectơ b

. Khi đó xét trong phòng học thì

HS đó đã đi từ A đến C. Vì vậy di chuyển

từ A→ C là tổng hợp của 2 di chuyển

theo chiều a

và b

.

Khi đó trong toán học người ta ký hiệu:

AC a b= +

Quy tắc quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD như hình vẽ

Khi đó theo quy tắc 3 điểm ta có: AB BC AC+ =

(1)

Mặt khác vì ABCD là hình bình hành nên: BC AD=

(2)

Thay (2) vào (1) ta có: AB AD AC+ =

Từ đó ta có quy tắc cộng sau:

Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC+ =

(hoặc BA DA CA+ =

)

Dấu hiệu: Hai vectơ có cùng chung điểm đầu hoặc cùng chung điểm cuối

(trong ký hiệu trên thì các vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) là điểm A)

a

b

A

B C

AB a=

BC b=

AC AB BC a b= + = +

A

B C

D




Ví dụ : Khi ta tác động đồng thời 2 lực 1F

và 2F

vào một điểm đặt O nào đó thì ta có

thể biểu diễn 2 lực đó là 2 vectơ có chung gốc là O

(vì khi nói đến lực tác dụng ta

phải quan tâm đến độ lớn của

lực và chiều tác dụng của lực nên lực là một vectơ

– hiểu theo ngôn ngữ toán học) . Dựng hình bình hành OABC cóOA

,OC

biểu diễn 1F

và 2F

. Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên điểm đặt O là 1 2F F F= +

được biểu diễn bởi OB

2. Phép trừ vectơ :

a – b = a + (– b )

a – b = c ⇔ a = b + c

Quy tắc trừ (được suy ra từ quy tắc 3 điểm và khái niệm vectơ đối)

Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC BC BA= −

(hoặc AC AB CB= −

)

Chú ý: Gọi I là trung điểm AB khi đó ta có

IA

và IB

là hai vectơ có cùng độ lớn nhưng ngược chiều

⇔ IA

và IB

là hai vectơ đối nhau 0IA IB IA IB⇔ = − ⇔ + =

Kết luận:

I là trung điểm AB 0IA IB⇔ + =

.

II. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a. Tính độ dài

của vectơ tổng : AB AC+

và vectơ hiệu AB AC−

Ví dụ 2: Cho sau điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:

AC BD EF AF BC ED+ + = + +

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng:

0GA GB GC+ + =

O

A

C

B

1F

2F

1 2F F F= +




Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý .chứng minh rằng:

a. BD BA OC OB− = −

b. 0BC BD BA− + =

c. MA MC MB MD+ = +

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc 060ABC = .

Tính môđun của các vectơ : AB AC+

và AB AC−

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của

AD và BC. Chứng minh rằng:

a. 0AD MB NA+ + =

b. 0CD CA CB− + =

Ví dụ 7: Cho hai vectơ a

và b

khác 0

a. Khi nào thì ta có: a b a b+ = +

b. Khi nào thì ta có: a b a b+ = −

Ví dụ 8: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính đồ dài các vectơ :

a. AB BH+

b. AB AC−

c. AB AC+

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB AC+

có giá là đường phân giác

trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?

Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a. AC AB−

b. AB AD+

c. AB BC+

Ví dụ 11: Cho hai lực 1F

và 2F

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt

tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng.

Ví dụ 12: Cho hai lực 1F

và 2F

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O,Tính cường

độ tổng lực của 2 lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau

a. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0120




b. Hai lực đó hợp với nhau một góc 060

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ , BCPQ và CARS. Chứng minh 0RJ IQ PS+ + =

Ví dụ 14: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng:

a. 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =

b. 0OA OC OE+ + =

c. AB AO AF AD+ + =

d. MA MC ME MB MD MF+ + = + +

(với M là điểm tùy ý)

Ví dụ 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G. Chứng minh rằng :

a. AB CD EA CB ED+ + = +

b. AD BE CF AE BF CD+ + = + +

c. AB CD EF GA CB ED GF+ + + = + +

d. 0AB AF CD CB EF ED− + − + − =

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP+ + = + +

(với O là điểm tùy ý).

Ví dụ 17: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là

điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C.

Chứng minh rằng : ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

Ví dụ 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là

một đường kính:

a. Chứng minh rằng: HB HC HD+ =

b. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng : 'HA HB HC HH+ + =

Ví dụ 19: Chứng minh rằng AB CD=

khi và chỉ khi trung điểm của

hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Ví dụ 20: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đặt AO a=

và BO b=

.

Tình các vectơ : ; ; ;AB BC CD DA

theo hai vectơ a

và b

.

Ví dụ 21: Cho tam giác ABC. Xác định (dựng) điểm M sao cho: 0MA MB MC− + =




Hướng dẩn giải các ví dụ : Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a. Tính độ dài

của vectơ tổng : AB AC+

và vectơ hiệu AB AC−

Giải

Dựng hình bình hành ABDC như hình vẽ ta có:

AB AC AD AB AC AD AD BC+ = ⇒ + = = =

(vì ABDC là hình chữ nhật)

Mặt khác theo pitago cho ABC∆ ta có: 2 2 5BC AB AC a= + =

Vậy 5AB AC a+ =

5AB AC CA AB CB AB AC CB CB a− = + = ⇒ − = = =

Ví dụ 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: AC BD EF AF BC ED+ + = + +

Giải:

AC BD EF AF FC BC CD ED DF+ + = + + + + +

( ) ( )AF BC ED FC CD DF= + + + + +

0AF BC ED= + + +

AF BC ED= + +

(đpcm)

Bình luận :Với những bài toán chứng minh đẳng thức vectơ ta chỉ cần sử dụng

quy tắc 3 điểm để biến đổi VT ra các vectơ có trong VP và các vectơ dư ra

nhất định có tổng bằng 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng: 0GA GB GC+ + =

Giải :

Gọi M là trung điểm của BC

Gọi D là điểm đối xứng của G qua M

Khi đó ta có G là trung điểm của AD (tính chất trọng tâm)

0GA DG GA GD⇒ = ⇔ + =

(1)

Ta có BC và DG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

nên BDCG là hình bình hành GD GB GC⇒ = +

(2)

Thay (2) vào (1) ta có: 0GA GB GC+ + =

(đpcm)

A

B

C

D

M

A

B C M

D

G

.




Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý .chứng minh rằng:

a. BD BA OC OB− = −

b. 0BC BD BA− + =

c. MA MC MB MD+ = +

Giải :

a. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

AD BC AB BD BO OC BD BA OC OB= ⇔ + = + ⇔ − = −

(đpcm)

b. ABCD là hình bình hành nên : 0 0AD BC BC AD BC DA= ⇔ − = ⇔ + =

(*)

0VT BC DB BA BC DA= + + = + =

(đpcm) { theo (*) }

c. ABCD là hình bình hành nên : AD BC=

AM MD BM MC MD BM MC AM MB MD MA MC⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ + = +

(đpcm)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc 060ABC = .

Tính môđun của các vectơ : AB AC+

và AB AC−

Giải :

Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có:

( ) ( )cos 21cos

2

AB AB aABC BC aBC ABC

= ⇔ = = =

Dựng hình chữ nhật ABDC như hình vẽ ta có:

2AB AC AD AD BC a+ = = = =

(vì ABCD là hình chữ nhật)

2AB AC BC a− = =

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của

AD và BC. Chứng minh rằng:

a. 0AD MB NA+ + =

b. 0CD CA CB− + =

Giải

A D

B C

O

A B

C

060

D

a




a. M, N lần lượt là các trung điểm củaAD và BC

0 0

0 0

MA MD MN NA MD

NB NC NM MB NC

+ = + + = ⇔ ⇔ + = + + =

0MN NA MD NM MB NC⇒ + + + + + =

0NA MB AM MD⇔ + + + =

(vìANCM là hình bình hành nên NC AM=

)

0NA MB AD⇔ + + =

(đpcm)

Bình luận: vẫn theo nguyên tắc : gt → đẳng thức vectơ → các vectơ có trong ycbt

Những vectơ thừa ra ta sẽ biến đổi sau tùy thuật tính chất đề toán (trong bài này

đương nhiên dùng tính chất hình bình hành để lấy các vectơ bằng nhau)

b. ABCD là hình bình hành DA CB DC CA CB⇔ = ⇔ + =

0DC CA CB⇔ − − + =

0CD CA CB⇔ − + =

(đpcm)

Ví dụ 7:

a. a b a b+ = +

khi ,a b

cùng chiều b. a b a b+ = −

khi a b⊥

Ví dụ 8:Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính đồ dài các vectơ :

a. AB BH+

b. AB AC−

c. AB AC+

Giải

AH là cạnh của tam giác đều cạnh a 32

aAH⇒ =

Dựng hình bình hành ABCD

a. 32

aAB BH AH AH+ = = =

b. AB AC CB CB a− = = =

c. 2 3AB AC AD AD AH a+ = = = =

Ví dụ 9:Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB AC+

có giá là đường phân giác

trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?

Giải:

Dựng hình bình hành ABDC khi đó ta có : AB AC AD+ =

Đường chéo AD là phân giác trong của BAC

A

B H

C

D




⇒ ABDC phải là hình thoi AB AC ABC⇒ = ⇔ ∆ là tam giác cân tại A

Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a. AC AB−

b. AB AD+

c. AB BC+

Giải:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a. AC AB BC BC a− = = =

b. 2AB AD AC AC a+ = = =

(vì AC là đường chéo của hình vuông cạnh a)

c. 2AB BC AC AC a+ = = =

Ví dụ 11:Cho hai lực 1F

và 2F

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt

tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng.

Giải

Đặt : 1F OA=

và 2F OB=

Dựng hình chữ nhật ABDC khi đó:

2 2 100OD AB OA OB= = + = (N)

Gọi F

là hợp lực của 1F

và 2F

1 2 100( )F F F OA OB OD OD N= + = + = = =

Vậy độ lớn của tổng lực là 100( )N

Ví dụ 12:Cho hai lực 1F

và 2F

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O, Tính cường độ

tổng lực của hai lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau

a. Hai lực đó hợp với nhau một góc 0120

b. Hai lực đó hợp với nhau một góc 060

Giải

Đặt : 1F OA=

và 2F OB=

Dựng hình bình hành AOBD khi đó:

O

B

A

D

2F

1F

1 2F F F= +

A

O H

D

B

1F

2F

F




a. 1 2 50( )F F F OA OB OD OD N= + = + = = =

Vì tam giác OAD đều cạnh 50 (N)

b. Ta có: 0 060 30AOB AOD= ⇒ =

Sử dụng hệ thức lượng cho AOH∆ vuông tại H ta có:

( ) ( ) 50 3cos cos 25 32

OHAOH OH OA AOHOA

= ⇒ = = =

( )1 2 2 2. 25 3 50 3( )F F F OA OB OD OD OH N= + = + = = = = =

Ví dụ 13:Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ , BCPQ và CARS. Chứng minh 0RJ IQ PS+ + =

Giải:

ABIJ , BCPQ và CARSlà các hình bình hành nên:

,AB JI BC QP= =

vàCA SR=

Lại có : 0 0AB BC CA JI QP SR+ + = ⇔ + + =

0JR RI QI IP SP PR⇔ ++ + + + + =

RI IP PR JR QI SP⇔ + + = − − −

RP PR RJ IQ PS⇔ + = + +

0RJ IQ PS⇔ + + =

(đpcm)

Ví dụ 14:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Chứng minh rằng:

a. 0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =

b. 0OA OC OE+ + =

c. AB AO AF AD+ + =

d. MA MC ME MB MD MF+ + = + +


Giải

Ta có :

O là trung điểm của AD 0OA OD⇒ + =

(1)

O là trung điểm của BE 0OB OE⇒ + =

(2)

A

B C

J

I

R

S

P Q

F

A B

C

E D

O




O là trung điểm của CF 0OC OF⇒ + =

(3)

a. Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta có:

0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =

(đpcm)

b. Ta có OCDE là hình bình hành nên :

OD OC OE= +

(4)

Thay (4) vào (1) ta có: 0OA OC OE+ + =

(đpcm)

c. ABOF là hình bình hành nên ta có: AF AB AO+ =

AF AB OD AO OD⇔ + + = +

AF AB AO AD⇔ + + =

(đpcm) (vì O là trung điểm của AD nên OD AO=

)

d. Ta có: OBCD và OEFA là các hình bình hành nên BO CD=

và OA EF=

Lại có: 0AB BO OA+ + =

0AB CD EF⇔ + + =

0AM MB CM MD EM MF⇔ + + + + + =

MB MD MF AM CM EM⇔ + + = − − −

MB MD MF MA MC ME⇔ + + = + +

Ví dụ 16:Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP+ + = + +

(với O là điểm tùy ý).

Giải:

M là trung điểm AB 0 0 2MA MB MO OA MO OB OM OA OB⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +

(1)

N là trung điểm AC 0 0 2NA NB NO OA NO OC ON OA OC⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +

(2)

P là trung điểm BC 0 0 2PB PC PO OB PO OC OP OB OC⇔ + = ⇔ + + + = ⇔ = +

(3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có: OM ON OP OA OB OC+ + = + +

(đpcm)

Ví dụ 17:Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là

điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C.

Chứng minh rằng : ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

Giải:

Cách 1:




A là trung điểm của BA’ ' 'BA AA BO OA AO OA⇔ = ⇔ + = +

(1)

B là trung điểm của CB’ ' 'CB BB CO OB BO OB⇔ = ⇔ + = +

(2)

C là trung điểm của AC’ ' 'AC CC AO OC CO OC⇔ = ⇔ + = +

(3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

(đpcm)

Cách 2:

( )' ' ' 2 0C A A B B C CA AB BC+ + = + + =

(vì A,B,C là trùng điểm của BA’, CB’,C’A)

' ' ' 0C O OA A O OB B O OC⇔ + + + + + =

⇔ ' ' 'OA OB OC OA OB OC+ + = + +

(đpcm)

Ví dụ 18:Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là

một đường kính:

a. Chứng minh rằng: HB HC HD+ =

b. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng : 'HA HB HC HH+ + =

Giải:

a. Ta có: HC ABDB AB

⊥⇒ ⊥

HC // BD (1)

HB ACDC AC

⊥⇒ ⊥

HB // DC (2)

Từ (1) và (2) ta có: BDCH là hình bình hành

Do đó : HB HC HD+ =

(3) (theo quy tắc hình bình hành)

b. Vì O đồng thời là trung điểm của HC và AD nên AHDH’ là

hình bình hành

Do đó ta có: 'HH HA HD= +

(4)

Thay (3) vào (4) ta có: 'HH HA HB HC= + +

(đpcm)

Ví dụ 19:Chứng minh rằng AB CD=

khi và chỉ khi trung điểm của

hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Giải:

B

A

A’

C’ C

B’

A

.

B C

D

O H

H’




Gọi I, J lần lượt là trùng điểm của AD và BC 0

0

IA ID

JB JC

+ =⇔ + =

AB CD AI IJ JB CJ JI ID= ⇔ + + = + +

( ) ( ) 2IA ID JB JC IJ⇔ + = + +

0IJ I J⇔ = ⇔ ≡ ⇔

AD và BC có trung điểm trùng nhau. (đpcm)

Ví dụ 20:Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Đặt AO a=

và BO b=

.

Tình các vectơ : ; ; ;AB BC CD DA

theo hai vectơ a

và b

.

Giải:

AB AO OB OA OB AB a b= + = − + ⇔ = − +

BC BO OC OB CO OA OB BC a b= + = − − = − − ⇔ = − −

( )CD BA AB a b CD a b= = − = − − + ⇔ = −

( )DA CB BC a b DA a b= = − = − − − ⇔ = +

Ví dụ 21:Cho tam giác ABC. Xác định (dựng) điểm M sao cho: 0MA MB MC− + =

Giải:

0MA MB MC BA MC BA CM− + = ⇔ = − ⇔ = ⇔

ABCM là hình bình hành

Vậy điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM.

PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

I. Cở sở lý thuyết:

1. Phép nhân vectơ với một số thực :

ĐN : Tích của a và số thực k là một vectơ k. a được xác định :

Nếu 0,0 ≠≠ ka thì vectơ k. a có môđun là: ak .

- cùng hướng với a nếu k > 0

- ngược hướng với a nếu k < 0

0. a = k. 0 = 0

Chú ý : Nếu a ≠ 0 khi đó ta có :

A B

D C

a

b

O




a và b cùng phương Rk ∈∃⇔ ! : b = k. a

2. Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương :

Cho a , b khác 0 và không cùng phương ta luôn có

bnamcRnmc ..:,! +=∈∃→∀

00.. ==⇔=+ nmbnam

Chú ý :

A, B, C thẳng hàng ACAB ,⇔ cùng phương )!( RkACkAB ∈∃=⇔

O là trung điểm AB 0=+⇔ OBOA MOMBMA .2=+⇔ (M : tùy ý)

Dễ thấy khi O là trung điểm của AB thì ta có

Hai vectơ ,OA OB

đối nhau nên 0OA OB OA OB= − ⇔ + =

G là trọng tâm của ABC∆ MGMCMBMAGCGBGA 30 =++⇔=++⇔


BAOBOA ≡⇔= (Với O tùy ý, thất vậy 0 0OA OB OA OB BA A B= ⇔ − = ⇔ = ⇔ ≡

)

ABCD là hình bình hành AB DC

AD BC

=⇔ =

II. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Chứng minh rằng 2AD BC EF+ =

.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại

tiếp O, I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là điểm tùy ý

chứng minh rằng :

a. 0=++ GCGBGA

b. MGMCMBMA .3=++

c. OHOGOCOBOA ==++ .3

d. HOHGHCHBHA .2.3 ==++

e. OIOH .2=

O . A B




Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM.

a. Chứng minh rằng: 2 0IA IB IC+ + =

.

b. Với điểm O bất kỳ. Chứng minh: 2 4OA OB OC OI+ + =

.

c. Gọi J là điểm được xác định: 3AJAB =

. Chưng minh rằng C, I, J thẳng hang.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.

Hãy phân tích AI

theo hai vectơ AB

và AC

.

Ví dụ 5:Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho 14

CI CA= ;

J là điểm thỏa 1 22 3

BJ AC AB= −

. Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên

AC sao cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN

a. Chứng minh rằng: 1 1 AK= AB + AC4 6

b. Gọi D là trung điểm của BC. Biểu diễn vectơ KD theo AB

và AC

c. Gọi H là giao điểm của AK và BC . Tính tỷ số : BHBC

d. Tìm tập hợp tất cả các điểm E sao cho 4 2EA EB EC EM EN EA+ + = + −

Ví dụ 7: Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N là các điểm xác định bởi

2AM AB=

, 25

AN AC=

. Chứng minh rằng: M, N, G thẳng hàng.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC đều cạnh a.

a. Tính độ dài các vectơ: AB CA BC+ +

, AB AC−

b. Xác định điểm M sao cho: AB AC AM+ =

.

c. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA MB MC= +

Ví dụ 9:Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các

điểm M, N, P sao cho 3AB AM=

, 3BC BN=

, 3CD CP=

và AI k AN=

với 0 < k < 1.

a. Biểu diễn hai vectơ AN

và MP

qua hai vectơ CA

và CD

.

b. Tìm k để ba điểm M, I và P thẳng hàng.




Ví dụ 10:Cho tam giác ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Chứng minh rằng . . . 0BC IA AC IB AB IC+ + =

Ví dụ 11:Cho tam giác ABC , gọi G là trong tâm của tam giác ABC.

Biết điểm G thỏa mãn điều kiện . . . 0BC GA AC GB AB GC+ + =

.

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Hướng dẩn giải các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Chứng minh rằng 2AD BC EF+ =

.

Giải:

E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD0

0

EA EBEA EB FC FD

FC FD

+ =⇔ ⇒ + = ++ =

EF FA EF FB FC FD⇔ + + + = +

2EF FC FB FD FA⇔ = − + −

2EF BC AD⇔ = +

(đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại

tiếp O, I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là điểm tùy ý


a. 0=++ GCGBGA

b. MGMCMBMA .3=++



e. OIOH .2=

Giải :

a. Xem ví dụ 2 của bài tổng - hiệu hai vectơ

b. Theo câu a: 0GA GB GC+ + =

0GM MA GM MB GM MC⇔ + + + + + =

3 3MA MB MC GM MG⇔ + + = − =

(đpcm)

c. 0 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = ⇔ + + =

(1)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, khi đó ta có:

A

. B C

A’

H O G




'CH ABA B AB

⊥⇒ ⊥

A’B // HC và '

BH ACA C AC

⊥⇒ ⊥

A’C // HB

Do đó: HBA’C là hình bình hành ' 'HA HB HC OA HO OB OC⇔ = + ⇔ = + +

(2)

Mặt khác O là trung điểm của AA’ ' 0OA OA⇔ + =

(3)

Thay (2) vào (3) ta có: 0HO OB OC OA OB OC OA OH+ + + = ⇔ + + =

(4)

Vậy từ (1) và (4) ta có: OHOGOCOBOA ==++ .3 (đpcm)

Bình luận:

Ở phép chứng minh đẳng thức (4) ta thấy đẳng thức cần có sự xuất hiện của

A,B,C,H và O (trong đó điểm O xuất hiện ở mọi vectơ nên đây chính là điểm cần

xen vào trong quy tắc 3 điểm).Do đó ta cần một giả thiết nói lên mối quan hệ

của 5 điểm trên, để có thể biến chúng về một đẳng thức vectơ. Trong phép giải

trên ta đã sử dụng một điểm trung gian A’ để có thể liên kết được A,B,C,H và O

(cụ thể là: O là trung điểm AA’ và BHCA’ là hình bình hành – đây là hai tính

chất quyết định của bài toán)

d. ( )1 3HA HB HC HG⇔ + + =

(1’)

( )4 OH HB OH HC OH HA OH⇔ + + + + + =

2HA HB HC HO⇔ + + =

(4’)

Từ (1’) và (4’) ta có : HOHGHCHBHA .2.3 ==++

e. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA khi đó :

O là trực tâm của MNP∆

G là trọng tâm của MNP∆

I là tâm đường tròn ngoại tiếp của MNP∆

Sử dụng tính chất đã chứng minh ở câu c ta có:

3 3 3IG IO IO OG IO= ⇔ + =

(5)

Cũng theo câu c ta có: 3OG OH=

(6)

Thay (6) vào (5) ta có: 3 2 2IO OH IO OH IO OH OI+ = ⇔ = − ⇔ =

(đpcm)

Kinh nghiệm:




Cứ mỗi khi ta giải quyết được một câu hỏi của bài toán thì ta có được một

đẳng thức vectơ đúng (hoặc một tính chất đúng). Do đó để giải quyết tốt những

câu hỏi sau thì ta nên luôn tìm cách khai thác đẳng thức vec tơ (hoặc tính chất)

mà ta đã chứng minh.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM.

a. Chứng minh rằng: 2 0IA IB IC+ + =

.

b. Với điểm O bất kỳ. Chứng minh: 2 4OA OB OC OI+ + =

.

c. Gọi J là điểm được xác định: 3AJAB =

. Chưng minh rằng C, I, J thẳng hang.

Giải :

M là trung điểm BC 0MB MC⇔ + =

(1) I là trung điểm của AM 0IM IA⇔ + =

(2) (hoặc MI IA=

)

a. Từ (1) và (2) ta có : 0IM IA MB MC+ + + =

0IM IA MI IB MI IC⇔ + + + + + =

0MI IA IB IC⇔ + + + =

2 0IA IB IC⇔ + + =

(vì MI IA=

) (đpcm) Bình luận :

Ở ví dụ trên ta thấy đẳng thức cần chứng minh (ĐTCCM)chứa 4 điểm : I, A, B, C. Lại thấy từ gt ta chuyển về được 2 đẳng thức (1) và (2) có chứa 4 điểm trên. Bước tiếp theo là ta nên công hay trừ 2 dẳng thức với nhau. Để trả lời được câu hỏi này ta quan sát ĐTCCM, dễ thấy các điểm A, B, C đều là ngọn của các vectơ trên do đó khi ta cộng (1) và (2) thì thu được đẳng thức chứa các vec tơ đồng dạng (A,B,C là các ngọn của vec tơ).

b. Theo câu a ta có : 2 0IA IB IC+ + =

2( ) 0IO OA IO OB IO OC⇔ + + + + + =

2 4 0OA OB OC IO⇔ + + + =

2 4OA OB OC IO⇔ + + = −

2 4OA OB OC OI⇔ + + =

Kinh nghiệm:

Trong ĐTCCM ta thấy vectơ nào cũng có điểm O nên đoán được ngay điểm O là điểm cần xen vào (trong quy tắc ba điểm) để biến một đẳng thức gt nào đó về ĐTCCM. Công việc còn lại là cần chọn ra một đẳng thức gt nào có chứa

đầy đủ các điểm có trong ĐTCCM (có thể ngoại trừ O)




c. Bình luận:Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng công cụ vectơ thì thông tường ta sử dụng sơ đồ phân tích sau : Đặt: a CA=

và b CB=

Theo câu a ta có: 2 0 4 2 0IA IB IC IC CA CB+ + = ⇔ + + =

1 1 1 12 4 2 4

CI CA CB a b⇔ = + = +

Theo gt ta có: 3AJAB =

( )3 ACAC CB CJ⇔ + = +

2 13 3

CJ CA CB⇔ = +

2 1 4 1 13 3 3 2 4

CJ a b a b ⇔ = + = +

4 ,3

CJ CI CJ CI⇔ = ⇔

cùng phương nhau ⇔ C, I, J thẳng hàng (đpcm)

Kinh nghiệm: Ở phép giải trên ta chọn a CA=

và b CB=

vì điểm C có trong 3 điểm

cần chứng minh thẳng hàng. Số k được tính như sau :2 1

43 31 1 32 4

k = = =

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.

Hãy phân tích AI

theo hai vectơ AB

và AC

.

Bình luận:

Ở bài này ta cần làm xuất hiện đẳng thức có chứa 3 vectơ AI

, AB

và AC

.

Do đó ta sẽ biến đổi gt 2CI = 3BI thành đẳng thức vec tở và sử dụng quy tắc

3 điểm để xen điểm A vào.

Giải:

Ta có :điểm I thuộc cạnh BC sao cho 2CI = 3BI

2 3CI BI⇒ = −

(vìCI

và BI

ngược chiều)

( ) ( )2 3CA AI BA AI⇔ + = − +

5 3 2AI AB AC⇔ = +

Vậy ta có phân tích sau: 3 25 5

AI AB AC= +

M, N, P thẳng hàng

.MN k MP=

Tìm k sao cho

n Chọn 2 vec tơ cơ sở ,a b

Thường là 2 cạnh chung đỉnh

Phân tích ,MN MP

theo ,a b

1 1MN m a n b= +

và 2 2MP m a n b= +

1 1

2 2

m nkm n

= =




Bình luận:

Điểm I thuộc đoạn AB sao cho mAI = nBI mAI nBI⇔ = −

(vì ,AI BI

ngược chiều)

Điểm I thuộc ABkéo dàisao cho mAI = nBI mAI nBI⇔ = −

(vì ,AI BI

cùng chiều)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho 14

CI CA= ;

J là điểm thỏa 1 22 3

BJ AC AB= −

. Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

Giải:

Điểm I thuộc cạnh AC sao cho 14

CI CA=14

CI CA⇔ =

(vì ,CI CA⇔

cùng chiều)

( )4 CB BI CB BA⇔ + = +

1 34 34 4

BI CB BA BI BA BC⇔ = − + ⇔ = +

Lại có : ( )1 2 1 2 1 1 2 1 32 3 2 3 6 2 3 4 4

BJ AC AB AB BC AB BA BC BA BC = − = + − = + = +

23

BJ BI BJ⇔ = ⇔

và BI

cùng phương ⇔ B, I, J thẳng hàng. (đpcm)

(trong phép giải trên ta chọn 2 vec tơ cơ sở là BJ

và BI

vì trong 3 điểm cần

chứng minh thẳng hàng có chứa điểm B)

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên cạnh

AC sao cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN

a. Chứng minh rằng: 1 1 AK= AB + AC4 6

b. Gọi D là trung điểm của BC. Biểu diễn vectơ KD theo AB

và AC

c. Gọi H là giao điểm của AK và BC . Tính tỷ số : BHBC

d. Tìm tập hợp tất cả các điểm E sao cho 4 2EA EB EC EM EN EA+ + = + −

A B I .

A B I




Giải:

M là trung điểm của AB 0MA MB⇔ + =

(1)

N thuộc cạnh AC sao cho NC=2NA 2NC NA⇔ = −

(2)

K là trung điểm của MN 0KM KN⇔ + =

(3)

a. 1 1(3) 02 2

KA AM KA AN AK AM AN⇔ + + + = ⇔ = +

(3’)

1(1) 02

MA MA AB AM AB⇔ + + = ⇔ =

(1’)

1(2) 23

NA AC NA AN AC⇔ + = − ⇔ =

(2’)

Thay (1’) , (2’) vào (3’) ta có: 1 1 1 1 1 12 2 2 3 4 6

AK AB AC AB AC = + = +

(đpcm)

b. D là trung điểm của BC 1 102 2

DB DC AD AB AC+ = ⇔ = +

1 1 1 1 1 1AK - AB + AC AB AC2 2 4 6 4 3

KD AD AB AC = − = + = +

(theo câu a)

Vậy ta có phân tích là : 1 1 AB AC4 3

KD = +

c. Ta có: BC AB AC= − +

Lại có , ,H AK BC H A K= ∩ ⇒ thẳng hàng :m R AH mAK⇔ ∃ ∈ =

1 1 AH= AB + AC AB + AC -1 AB + AC4 6 4 6 4 6

m m m mm BH ⇔ = ⇔ =

, ,H AK BC H B C= ∩ ⇒ thẳng hàng -1

124 6 11 1 4 6 5

m mm m m⇔ = ⇔ − = ⇔ =

−

Khi đó ta có : ( )2 2 2-1 AB + AC AB AC AB AC4 6 5 5 5m mBH = = − + = − +

2 2 2 2BC BC5 5 5 5

BHBH BH BH BCBC

⇔ = ⇒ = ⇔ = ⇔ =

d. Gọi G là trọng tâm của ABC∆ và I là trung điểm của GC khi đó ta có:

0 3 0

0 3 3 0

GA GB GC GI IA IB IC

IG IC IG IC

+ + = + + + = ⇔ + = + =




3 3 4 0 4 0GI IG IA IB IC IA IB IC⇒ + + + + = ⇔ + + =

6 4EI EA EB EC⇔ = + +

Lại có 2 2EM EN EA EM EA EN EA AM AN AJ+ − = − + − = + =

(với J là trung điểm MN)

Khi đó ta có: 4 2 6 23

AJEA EB EC EM EN EA EI AJ IE+ + = + − ⇔ = ⇔ =

Vậy tập hợp tất cả các điểm E là đường tròn tâm I và bán kính 3

AJ

Kinh nghiệm: Với dạng toán tìm tập hợp điểm thỏa đẳng thức môđun thì ta cần chọn

một điểm trung gian sao cho có thể biến đổi biểu thức trong môđun về 1 vectơ

Ở phép giải trên ta đã chọn điểm I: 4 0IA IB IC+ + =

vì cần rút gọn 4EA EB EC+ +

Ví dụ 7: Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N là các điểm xác định bởi

2AM AB=

, 25

AN AC=

. Chứng minh rằng: M, N, G thẳng hàng.

Giải:

G là trọng tâm ABC∆1 103 3

GA GB GC AG AB AC⇔ + + = ⇔ = +

Ta có : 225

MN AN AM MN AB AC= − ⇔ = − +

Lại coa: 1 1 23 3

MG AG AM MG AB AC AB= − ⇔ = + −

5 1 5 2 523 3 6 5 6

MG AB AC AB AC MG MN ⇔ = − + = − + ⇔ = ⇒

MG

và MN

cùng phương

⇔ M, N, G thẳng hàng. (đpcm)

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC đều cạnh a.

a. Tính độ dài các vectơ: AB CA BC+ +

, AB AC−

b. Xác định điểm M sao cho: AB AC AM+ =

.

c. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA MB MC= +

Giải:

a. 0 0AB CA BC BC CA AB BA AB+ + = + + = + = =




AB AC CA AB CB CB a− = + = = =

b. Dựng hình bình hành ABDC ta có: AB AC AD+ =

Mà theo gt ta có AB AC AM+ =

AD AM M D⇒ = ⇔ ≡

c. Gọi I là trung điểm của BC ta có: 0 2IB IC MB MC MI+ = ⇔ + =

2 2 2MA MB MC MA MI MA MI= + ⇔ = ⇔ =

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AI

Bình luận: Tương tự VD6d, Ở phép giải náy ta đã chọn điểm

I sao cho 0IB IC+ =

để rút gọn biểu thức MB MC+

về một vectơ

Ví dụ 9:Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các

điểm M, N, P sao cho 3AB AM=

, 3BC BN=

, 3CD CP=

và AI k AN=

với 0 < k < 1.

a. Biểu diễn hai vectơ AN

và MP

qua hai vectơ CA

và CD

.

b. Tìm k để ba điểm M, I và P thẳng hàng.

Giải:

a. Từ giả thiết ta có: ( )3 3BC BN BA AC BA AN= ⇔ + = +

1 2 1 23 3 3 3

AN AC BA AN AC CD⇔ = − ⇔ = −

(vì BA CD=

)

Từ giả thiết ta có:

1 13 3 3

133

AM AB CDAB AM

CD CP AP CA CD

= = − = ⇔ = = − +

1 1 23 3 3

MP AP AM CA CD CD MP CA CD ⇒ = − = − + − − ⇔ = − +

b. 1 23 3 3 3

k kAI k AN k AC CD AI AC CD = = − ⇔ = −

Ta có : 1 13 3 3 3 3k k k kMI AI AM AC CD CD MI AC CD− = − = − − − ⇔ = −

A D

B C




M, I, P thẳng hàng ,MI MP⇔

cùng phương 1

3 3 2213

k k

k

−−

= ⇔ = −−

Vậy 2k = − thì M, I, P thẳng hàng

Ví dụ 10:Cho tam giác ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Chứng minh rằng . . . 0BC IA AC IB AB IC+ + =

Giải:

Đặt a BC= , b AC= và c AB=

Dựng hình bình hành IA’CB’ nhu hình vẽ :

Theo talét và tính chất của phân giác trong ta có:

1

1

' ' 'ACIB AC b b bIB IB IB IBIB A B AB c c c

= = = ⇔ = ⇔ = −

(1)

1

1

' ' 'B CIA BC a a aIB IB IA IAIA B A BA c c c

= = = ⇔ = ⇔ = −

(2)

(vì 'IB IB

và 'IA IA

)

Theo quy tắc hình bình hành ta có : ' 'IC IA IB= +

(3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có: a bIC IA IBc c

= − −

cIC aIA bIB⇔ = − −

0aIA bIB cIC⇔ + + =

(đpcm)

Ví dụ 11:Cho tam giác ABC , gọi G là trong tâm của tam giác ABC.

Biết điểm G thỏa mãn điều kiện . . . 0BC GA AC GB AB GC+ + =

.

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Giải:

Đặt a BC= , b AC= và c AB=

G là trọng tâm của tam giác ABC 0GA GB GC GA GB GC⇔ + + = ⇔ = − −

(1)

. . . 0 b cgt BC GA AC GB AB GC GA GB GCa a

⇔ + + = ⇔ = − −

(2)

Từ (1) và (2) ta có: 0b c b a c aGB GC GB GC GB GCa a a a

− −− − = − − ⇔ + =

(3)

A

.

B

C

A’

B’

I 1B

1A

1C




Lại có 0

0

GB

GC

≠

≠

và ,GB GC

không cùng phương

Do đó 0 0

(3)00

b ab a b aa

c a c a c aa

− = − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − = = =

ABC∆ là tam giác đều (đpcm)

Chú ý:

. . 0 0a b a bα β+ = ⇔ = =

hoặc 0α β= = hoặc a b

a

bαβ

=

hoăc

a b

a

bαβ

= −

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

I. Các dạng toán thường gặp :

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ :(Sử dạng các quy tắc)

3. Quy tắc 3 điểm : Cho A, B, C tùy ý

AC = AB + BC (xen điểm B)

AC = AB – CB = BC – BA (phép trừ 2 vectơ chung ngọn hoặc gốc)

4. Quy tắc hình bình hành : Cho ABCD là hình bình hành.

AC = AB + AD

(Vectơ đ/chéo = tổng 2 vectơ của cạnh kề chung gốc đ/chéo)

5. Quy tắc trung điểm: Cho O là trung điểm của AB và M là điểm tùy ý:

OA + OB = 0 và )(21 MBMAMO +=

6. Quy tắc trọng tâm: Cho ∆ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý:

{ a

và b

cùng phương }

A O B

D




0=++ GCGBGA MGMCMBMA .3=++

Chú ý :Sơ đồ giải bài toán chứng minh đẳng thức vectơ:

Dạng 2: Biểu diễn vectơ qua các vectơ không cùng phương :

Hướng 1: Từ đẳng thức vectơ đề (nếu có) ,nếu không thì từ giả thiết ta

đi xây dựng một đẳng thức vectơ sau đó bằng cách xen điểm ta

thiết lập đẳng thức chứa vectơ cần biểu diễn và các vectơ biểu diễn.

(thường ta xen điểm chung của các vectơ có trong ycbt)

Hướng 2: Từ giả thiết ta dựng thêm hình và xác định các tính chất hình

học của nó từ đó ta đi thiết lập đẳng thức vectơ cần tìm

(thường sử dụng tính chất trọng tâm và trung điểm)

Chú ý : Đôi khi ta phải dùng nhiều đẳng thức vectơ trung gian rồi thực

hiện phép cộng hoặc trừ các đẳng thức đó với nhau vế theo vế

Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :

Phương pháp chung:Dựng điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước

Bước 1: Chuyển các vectơ không chứa I về 1 vế và chứa I về vế khác

Tức là : 1 2 ... nMA MA MA a+ + + =

{với a

cố định}

(cần sử dụng quy tắc cộng, trừ vectơ trước khi chuyển vế

VD: ( )3 2. 0 2 0 2MA MB MC MA MC MA MB MA MC AB− + = ⇔ + + − = ⇔ + =

)

Bước 2:Chọn (dựng) điểm I sao cho: 1 2 ... 0nIA IA IA+ + + =

khi đó ta có:

1 2 1 2... ...n nMA MA MA nMI IA IA IA nMI+ + + = + + + + =

(quy vế trái về 1 vectơ chứa M)

Phân

tíchcác

tính chất

hình học

của giả

thiết

Đẳng

thức

vectơ

Trung điểm, trọng tâm ( )`

( )

I AB IA mIB I ng oai ABIA mIB IA mIB I trong AB

∈ =⇒ = = −

Đẳng

thức

Vectơ

cần

chứng

minh

Sử dụng quy tắc 3 điểm để làm xuất hiện các vectơ có trong ycbt




Bước 3: Dựng điểm M như sau:

Biến đổi đẳng thức đề về dạng: IM

= b

(I cố định, b

không đổi )

Lấy I làm gốc dựng IM

bằng b

khi đó M là ngọn của IM

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Hãy dựng điểm M thỏa mãn đẳng thức :

3 2. 0MA MB MC− + =

Giải :

Ta có: ( )3 2. 0 2 0MA MB MC MA MC MA MB− + = ⇔ + + − =

2MA MC AB⇔ + =

Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có : 0IA IC+ =

Khi đó ta có: ( )2 2 2MA MC AB MI IA IC AB+ = ⇔ + + =

MI AB IM BA= ⇔ =

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành IBAM như hình vẽ

Dạng 4:Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đường thẳng đi qua điểm cố định)

Cơ sở của phương pháp :A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k. AC (*) (k R∈ )

Phương pháp chung:

Trường hợp 1: A, M, N thẳng hàng { cóA là một đỉnh của đa giác}

Đặt: a AB=

và b AC=

(với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)

gt ⇒ đẳng thức vectơ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 1 1 1 1AM m AB n AC AM m a n b= + ⇔ = +

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 2 2 2 2AN m AB n AC AN m a n b= + ⇔ = +

( )2 2 1 1AN m a n b k m a n b AN k AM⇔ = + = + ⇔ =

(với 2 2

1 1

m nkm n

= = )

⇔ AN

và AM

cùng phương ⇔ A, M, N thẳng hàng (đpcm)

Trường hợp 2: I, M, N thẳng hàng { không có điểm nào là đỉnh của đa giác}

Đặt: a AB=

và b AC=

(với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 1 1 1 1AI m AB n AC AI m a n b= + ⇔ = +

(1)

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 2 2 2 2AM m AB n AC AM m a n b= + ⇔ = +

(2)

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 3 3 3 3AN m AB n AC AN m a n b= + ⇔ = +

(3)

A

B C

I

M




Khi đó:

Từ (1),(2) ta có: ( ) ( )2 2 1 1 2 1 2 1( ) ( )IM AM AI m a n b m a n b m m a n n b= − = + − + = − + −

Từ (1),(3) ta có: ( ) ( )3 3 1 1 3 1 3 1( ) ( )IN AN AI m a n b m a n b m m a n n b= − = + − + = − + −

2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )IN m m a n n b k m m a n n b k IN ⇔ = − + − = − + − =

(với 3 1 3 1

2 1 2 1

m m n nkm m n n

− −= =

− −)

Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1:Cho ∆ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

IBIA .2= và 3 2. 0JA JC+ =

a. Tính IJ theo ACAB,

b. Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Giải :

a. Ta có: ( )2 2 2IA IB IA IA AB AI AB= ⇔ = + ⇔ =

( ) 23 2 0 3 2 05

JA JC JA JA AC AJ AC+ = ⇔ + + = ⇔ =

Do đó: 2 25

IJ AJ AI AC AB= − = −

Vậy ta có phân tích là 225

IJ AB AC= − +

b. Đặt: a AB=

và b AC=

Khi đó ta có: 2AI a=

(1)

25

AJ b=

(2)

G là trọng tâm của 1 103 3

ABC GA GB GC AG AB AC∆ ⇔ + + = ⇔ = +

1 13 3

AG a b⇔ = +

(3)

Từ (1) và (2) ta có: 225

IJ AJ AI a b= − = − +




Từ (1) và (3) ta có: ( )1 1 5 123 3 3 3

IG AG AI a b a a b = − = + − = − +

5 1 5 2 5 523 3 6 5 6 6

IG a b a b IJ IG IJ ⇔ = − + = − + = ⇔ =

Do đó 2 vectơ IG

và IJ

cùng phương nhau , ,I G J⇔ thẳng hàng G IJ⇔ ∈ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho ∆ABC. Gọi E, F là các điểm định bởi:

ABk

AE 1= , AC

kAF

11+

= )10( −≠≠ kvàk

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi

Giải:

Gọi I là điểm được xác định như sau: AI mAB nAC= +

(với m, n R∈ )

1IE AE AI m AB nACk

= − = − −

1 11

FE AE AF AB ACk k

= − = −+

EF đi qua điểm I \{-1;0}k R∀ ∈

⇔ IE

cùng phương FE

, \{-1;0}k R∀ ∈

⇔

1

, \{-1;0}1 11

m nk k R

k k

− −= ∀ ∈

−+

0 11 , \{-1;0} ( ) 1 0 , \{-1;0}

1 0 1m n m

km nk n k R m n k n k Rn n+ = = −

⇔ − = + ∀ ∈ ⇔ + + − = ∀ ∈ ⇔ ⇔ − = =

Khi đó ta có :

AI AB AC CI BA= − + ⇔ = ⇔

I là đỉnh của hình bình hànhACBI (như hình vẽ)

⇒ I cố định

Với điểm I vừa xác định ở trên ta có:

1 1 1 11 ( 1)1

kIE AE AI AB AC AB AC k AB ACk k k k

+ = − = + − = − = + − +

( 1)IE k FE⇔ = +

⇔ IE

, FE

cùng phương , ,I E F⇔ thẳng hàng

⇔ đường thẳng EF đi qua điểm cố định I (đpcm)

I

C

A

B




Chú ý: Để chứng minh đường thẳng d đi qua A cố định ta chỉ cần chứng minh trên

đường thẳng d có 2 điểm phân biệt thay đổi luôn thẳng hàng với A

Bổ đề liên quan :

A,B,C thẳng hàng MBMAMC )1( αα −+=⇔ (M_tùy ý; α ∈R)

ĐB : Nếu 0 ≤ α ≤ 1 thì C thuộc đoạn AB.

Cho 2 điểm A, B và α , β ∈ R thỏa α + β ≠ 0.

Nếu: MBMAMN βα += thì MN cắt AB tại I thỏa 0=+ IBIA βα

ĐB : Nếu α = β ≠ 0 thì I là trung điểm của AB.

Cho 3 điểm A, B, Cvà α , β ,γ ∈ R thỏa α + β + γ ≠ 0.

Nếu: MCMBMAMN γβα ++= thì MN đi qua I thỏa 0=++ ICIBIA γβα

ĐB : Nếu α = β =γ ≠ 0 thì I là trọng tâm của tam giác ABC.

Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun

Phương pháp chung:Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức:

1 2 1 2... ...n nMA MA MA MB MB MB+ + + = + + +

Bước 1:Rút gọn đẳng thức để mỗi vế chỉ chứa đúng một vectơ

TH1 : Nếu 1 2 ... nMA MA MA+ + +

có thể khử được hết M(tức là số vectơ có

dạng ...M+

bằng số vectơ có dạng ...M−

VD: 2 3MA MB MC+ −

)

thì ta phải dựng được vec tơ tổng của chúng

TH2 : Nếu ta không khử được M trong 1 2 ... nMA MA MA+ + +

thì ta cần đi

dựng điểm I thỏa mãn 1 2 ... 0nIA IA IA+ + + =

khi đó.

1 2 1 2... ...n nMA MA MA nMI IA IA IA nMI+ + + = + + + + =

Bước 2:Sử dụng các mệnh đề sau để suy ra quỹ tích của điểm cần tìm.

ukAM .= với k∈R và A cố định, u không đổi

⇒ {M} là đường thẳng qua A và cùng phương với u

ĐB : + Nếu k > 0 thì {M} là tia Ax cùng hướng u




+ Nếu k < 0 thì {M} là tia Ax ngược hướng u

+ Nếu )(. RkABkAM ∈= thì {M} là đường thẳng AB

MBMA = với A, B cố định cho trước thì {M} là trung trực AB

BCkMA .= Với A, B, C cho trước thì {M} là đường tròn (A, k.AB)

Ví dụ minh họa : Cho ∆ABC . Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện:

MCMBMAMCMBMA −−=++ 24

Giải:

Gọi E là trung điểm của BC 0EB EC⇒ + =

Khi đó: ( ) ( )2MA MB MC MA MB MA MC− − = − + −

( ) ( )2 2AB AC AB EB EC BA= − + = − + + =

Gọi G là trọng tâm của ABC∆ và I là trung điểm của GA 0

0

GA GB GC

IA IG

+ + =⇒ + =

Khi đó: 4 6 3MA MB MC MI IA IA IB IC+ + = + + + +

( ) ( )6 3 6MI IA IG GA GB GC MI= + + + + + =

Do đó ta có: 14 2 6 23

MA MB MC MA MB MC MI BA IM AB+ + = − − ⇔ = ⇔ =

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm I và bán hình 13

R AB=

Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}

Cho các vectơ a , b , c khi đó ta luôn có.

baba +≥+ từ đó nếu : a + b = c thì cba ≥+

baba −≤− từ đó nếu : a – b = c thì cba ≤−

A

.

B C

G

I

M

E

13

R AB=




II. Bài tập áp dụng:

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD ,

Chứng minh rằng CDEF là hình bình hành.

Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý. Tính các vectơ sau :

a. CABDDCABv +++=

b. DABCCDABu +++=

Bài 3: Cho hai vectơ a và b ( 0≠ ).

Hãy tìm mối quan hệ giữa a và b nếu thỏa điều kiện.

a. baba +=+

b. baba −=+

Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh : CDBFAECFBEAD ++=++

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O,

I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là một điểm tùy ý


a. 0=++ GCGBGA

b. MGMCMBMA .3=++



e. OIOH .2=

Bài 6: Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý chứng minh rằng :

CBADCDAB +=+

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng :

0=+++ ODOCOBOA

Bài 8: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường

chéo AC và BD. Chứng minh rằng : MNCDAB .2=+




Bài 9: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Chứng minh rằng : MNDCAB .2=+

Bài 10: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G và G’.

a. '3''' GGCCBBAA =++ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác

có cùng trọng tâm là 0''' =++ CCBBAA

b. Gọi G1, G2 , G3 là trọng tâm của các tam giác ',',' ABCCABBCA ∆∆∆ .

Chứng minh rằng G là trọng tâm 321 GGG∆ . Biết 'GG ≡

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD.

a. Cho bADaAB == , , I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng

minh rằng : abBI21

−= , tính AG theo ba,

b. G’ là trọng tâm của tam giác BCI. Chứng minh rằng : baAG32

65' +=

c. Trên ABC∆ ,gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định bởi 032 11 =+ CABA ,

032 11 =+ ABCB , 032 11 =+ BCAC . Chứng minh rằng hai tam giác 111, CBAABC ∆∆

có cùng trọng tâm.

d. Gọi B’, C’ là hai trung điểm của AC, AB. Đặt vCCuBB == ',' Tính

vutheoABCABC ,,,

Bài 12: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:

a. DBACCDAB +=−

b. CDBFAECFBEAD ++=++

Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB. Chứng minh rằng : 0=++ CPBNAM

Bài 14: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ∆ABC và ∆A’B’C’.

Chứng minh rằng : '.3''' GGCCBBAA =++

Bài 15: Cho ∆ABC. Gọi M là một điểm trên đoạn BC, sao cho MB = 2.MC

Chứng minh rằng :




ACABAM32

31

+=

Bài 16: Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh

AC, sao cho NC = 2.NA. Gọi K là trunh điểm của MN.

a. Chứng minh rằng : ACABAK61

41

+=

b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :

ACABKD31

41

+=

Bài 17: Cho ∆ABC đều cạnh a.

Xác định vectơ ACAB + và tính môđun của vectơ này.

Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh a.

Xác định vectơ ( )ADACAB ++21 và tính môđun

Bài 19: Cho đoạn thẳng AB và hai số m, n không đồng thời bằng 0.


a. Nếu 0≠+ nm thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho 0=+ MBnMAm

b. Nếu 0=+ nm thì không tồn tại duy nhất điểm M sao cho 0=+ MBnMAm

c. Nếu 0=+ nm thì MBnMAmv += không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M)

d. Nếu 0≠+ nm thì với mọi điểm M ta có MInmMBnMAm )( +=+ , trong đó I là điểm

xác định bởi 0=+ IBnIAm

e. Nếu 0≠+ nm thì với mọi điểm M và N được xác định MBnMAmMN += Chứng

minh rằng đường thẳng MN đi qua điểm cố định.

Bài 20: Cho hai vectơ )0(, ≠ba không cùng phương. Gọi vu, là hai vectơ được xác

định : bau 11 βα += , bav 22 βα += . Chứng minh rằng :

a.

==

⇔=21

21

ββαα

vu

b. vu, cùng phương 01221 =−⇔ βαβα .




Bài 21: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD và AB = 2CD. Từ C kẻ DACI = .

Chứng tỏ I là trung điểm AB và CBDI =

Bài 22: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD tại O. Qua O vẽ đường thẳng MN song

song 2 đáy AD và BC. Đặt ABa = , CDb = .

Chứng minh rằng :baDCaABbMN

++

=

Bài 23: Cho hình bình hành ABCD. M, N là các điểm thỏa mãn ABAM31

= ,

DCDN21

= .G là trọng tâm tam giác MNB, AG cắt BC tại I. Tính tỷ số ICBI

GIAG ,

Bài 24: Cho đoạn thẳng AB. Người ta xét 2n điểm sao cho chúng là n cặp

điểm đối xứng nhau qua trung điểm O của AB. Tiếp đó người ta đánh dấu

đỏ n điểm bất kỳ và xanh cho n điểm còn lại. Chứng minh rằng tổng khoảng

cách từ các điểm đỏ đến A bằng tổng khoảng cách từ các điểm xanh đến B

Dạng 2: Biểu diễn một vectơ thông qua các vectơ cho trước :

Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB. Đặt uAA =' , vCC =' . Tính CBCABC ,, theo vu,

( ĐS : ( ) ( ) ( )vuCAvuABvuBC .232,.2

32,

32

+=+−=−= )

Bài 2: Cho ∆ABC. Gọi I ∈ BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo

dài sao cho 5JB = 2JC

a. Tính AJAI , theo ACAB,

b. Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG theo AJAI ,

(ĐS : AJAIAGACABAJACABAI161

4835,

32

35,

52

53

−=−=+= )

Bài 3: Cho ∆ABC. Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G.

a. Chứng minh rằng : )(31

31

32 ACABCHvàABACAH +−=−=

b. Gọi M là trung điểm BC chứng minh rằng :




ABACMH65

61

−=

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Đặt vADuAB == , .

Tính các vectơ sau theo vu,

a. BI với I là trung điểm của CD.

b. AG với G là trọng tâm của ∆BCI.

( ĐS : ,31

65,

21 vuAGvuBI +=−= )

Bài 5: Cho ∆ABC. Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G.

a. Chứng minh rằng : 05 =+− HCHBHA

b. Đặt vAHuAG == , , tính ACAB, theo vu,

( ĐS : ,21

25),(

21 vuACvuBI −=+= )

Bài 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và α , β , γ ∈ R. Chứng minh rằng

a. Nếu α + β + γ = 0 thì MCMBMAv ... γβα ++= không phụ thuộc

vào vị trí của M

b. Nếu α + β + γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm I thỏa : ICIBIA ...0 γβα ++=

c. MIMCMBMAv )(... γβαγβα ++=++= (Với α + β + γ ≠ 0)

d. Điểm N xác định bởi MCMBMAMN ... γβα ++=

(Với α + β + γ ≠ 0). Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

,.ABkAM = DCkDN .= (k≠ 1)

a. Hãy phân tích MN theo BCAD,

b. Gọi P, Q, I là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho ,.ADlAP = BCmBQ .=

, BCmMI .= . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng




Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I


a. ICcIBbIAa ...0 ++= (a, b, c là số đo cạnh của tam giác)

b. HCCHBBHAA ).tan().tan().tan(0 ++=

c. MCSMBSMAS cba ...0 ++= với M là điểm bất kỳ trong tam giác.

Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác: MBC, MCA, MAB

Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :

Bài 1: Cho ∆ABC. Hãy dựng các điểm I, J, K, L, M biết rằng :

a. 02 =− IBIA

b. 0.23 =+ JBJA

c. ABKCKBKA =−+.2

d. BCLCLBLA =++

e. 0.23 =+− MCMBMA

Bài 2: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho

a. 0.3.2 =++ OCOBOA

b. 0=+++ IDICIBIA

c. 0)(3 =++++ KEKDKCKBKA

Bài 3:Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy dựng các điểm I, J, K sao cho

a. IDICIBIA .4=++

b. JDJCJBJA −=+ .3.2.2

c. 0234 =+++ KDKCKBKA

Bài 4: Cho ∆ABC. Gọi I là điểm định bởi 0.75 =−− ICIBIA

a. Chứng minh rằng : ABGI .2= (G là trọng tâm của ∆ABC )

b. AI cắt BG tại O. tính OA: OI




c. Xác định điểm M thuộc đường thẳng d cho trước sao cho MBMA 35 − nhỏ nhất.

Bài 5: Cho ∆ABC có G là trọng tâm.

1. Xác định vị trí M sao cho.

a. 02 =++ MCMBMA

b. 02 =+− MCMBMA

c. 02 =+ MBMA

d. 02 ==+ CBMBMA

2. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C và C’ là

điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm

Bài 6: Cho ∆ABC. Hãy dựng các điểm I, J, K, L biết rằng :

a. BCIBIA .3.3.2 =−

b. 02. =++ JCJBJA

c. ACABKCKBKA +=++

d. CACBLBLA +=+ 22

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng

các vectơ sau không đổi. Tính môđun của chúng.

a. MDMCMBMAv −−−= 3

b. MDMCMBMAu 234 −+−=

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm tùy ý. Trong mổi trường hợp

hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa

mãn với mọi M.

a. MIKMDMCMBMA ..3 =+++

b. MIkMCMBMA ..2 =−+

c. MIKMDMBMA ..4 =++

Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Trong mổi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố

định I sao cho các tổng vectơ đều bằng MIK. với mọi điểm M.




a. MCMBMA 2++

b. MCMBMA 2−−

c. MDMCMBMA +++

d. MDMCMBMA 322 +++

Bài 10: Cho tứ giác ABCD.

1. Tìm điểm cố định I và hệ số k để đẳng thức sau đúng với mọi M.

a. MIkMCMBMA .2 =++

b. MIkMDMBMA .32 =−+

c. MIkMCMBMA .2 =−−

d. MIkMDMCMBMA .432 =−++

2. 0=+++ ODOCOBOA . Chứng minh O xác định duy nhất

3. Với ABCD là hình bình hành. Vói mọi M, Hãy tìm k và điểm I cố định thỏa :

a. MIkMDMCMBMA .3 =+++

b. MIkMBMA .2 =+

c. MIkMCMBMA .2 =−+

Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đ/thẳng đi qua điểm cố định)

Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

IBIA .2= và 0.23 =+ JBJA

c. Tính IJ theo ACAB,

d. Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 2: Cho∆ABC. M là 1 điểm lưu động. Dựng MCMBMAMN −+= 32

a. Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.

b. Gọi P là trung điểm CN, Chứng minh MP luôn đi qua điểm cố định khi M thay

đổi

Bài 3: Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho MCMBMAMN −+= 32

1. Tìm điểm I thỏa mãn 032 =−+ ICIBIA




2. Chứng minh rằng khi M, N thay đổi thì đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố

định .

Bài 4: Cho∆ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I và J là 2 điểm được xác

định ABAI .α= và ACAJ .β= .Xác định hệ thức của α , β

Để AM cặt IJ tại trung điểm của AM

Bài 5: Cho∆ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa mãn hệ thức

0433 =+ MBMA , BCMC21

= . Chứng minh MN đi qua trọng tâm G của

Bài 6: Cho∆ABC. I là 1 điểm định bởi 023 =−− ICIBIA .

Xác định giao điểm cuarIA và BC, IB và CA, IC và AB.

Bài 7: Cho∆ABC. Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi : IBIA .2= , 0.23 =+ JCJA

a. Tính IJ theo AB và AC

b. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ∆ABC

Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi các điểm I, J, K định bởi ABAI .α= ,

ACAJ .β= và ADAK .γ= . Chứng minh rằng Điều kiện cần

và đủ để I, J, K thẳng hàng là βγα111

=+ )0,,( ≠γβα

Bài 9: Cho ∆ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

0.3 =+ ICIA và 03.2 =++ JCJBJA

Chứng minh rằng I,J,B thẳng hàng .

Bài 10: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P là các điểm định bởi:

MCMB 3= , 03 =+ NCNA và 0=+ PBPA

a. Tính PNPM , theo ACvàAB

b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 11: Cho ∆ABC. Gọi M, N là các điểm định bởi:




043 =+ MBMA , BCCN21

= .G là trọng tâm ∆ABC

a. Chứng minh M, G, N thẳng hàng.

b. Tính AC theo ANvàAG . AC cắt GN tại P. tính PCPA

Bài 12:Cho hình tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn :

MDMCMBMAMN 432 +−+=

a. Chứng mịnh MN luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.

b. Gọi P là trọng tâm của tam giác ABN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua điểm cố

định khi M thay đổi.

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, trên AB, CD lần lượt lấy 2 điểm M,N

sao cho : AB = 3AM ; CD =2CN

a. Tính AN theo ACvàAB

b. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Tính AG theo ACvàAB

c. Gọi I là điểm định bởi BCkBI = .Tính AI theo ACvàAB

và theo k. Định k để AI đi qua G.

Bài 14: Cho tam giác ABC.

1. Gọi I là trung điểm BC, D và E là hai điểm sao cho ECDEBD ==

i. Chứng minh rằng : AEADACAB +=+

ii. Tính AEADACABAS +++= theo AI suy ra A, I, S thẳng

hàng

2. Gọi M là điểm xác định bởi ABBCBM 2−= , N xác định bởi

BCACxCN −=

i. Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

ii. Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC. Khi đó tính INIM




Bài 15: Cho tam giác ABC.

1. Gọi M là trung điểm BC, I và J là các điểm xác định bởi ABmAI .= , ACnAJ .= .

Tìm hệ thức liên hệ giữa m,n để AM, IJ cắt nhau tại trung điểm AM.

2. Gọi P là điểm lưu động. Dựng PCPBPAPQ −+= 32 . Chứng minh rằng PQ đi

qua một điểm cố định khi P thay đổi. H là trung điểm CQ. Chứng minh rằng PH đi

qua điểm cố định khi P thay đổi.

Bài 16: Cho ∆ABC. Gọi E, F là các điểm định bởi:

ABk

AE 1= , AC

kAF

11+

= )10( −≠≠ kvàk

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi

Bài 17: Cho ∆ABC.

1. MCkMBMAvMN .32 ++== .

a. Khi 5≠k . Chứng minh rằng giá của MN luôn đi qua điểm cố định.

b. Tìm k để MN là một vectơ không đổi.

2. Lấy E, F trên ∆ABC sao cho ABk

AE 1= , )1,0(

11

−≠+

= kACk

AF .

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định.

Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun

Bài 1: Cho ∆ABC và số thực k thay đổi. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. MCkMBkMA =+

b. 0)1()1( =++−+ MCkMBkMA

c. 0)1( =−−+ MCkMBkMA

Bài 2: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. MCMBMBMA −=+

b. MCMBMAMBMA ++=+2

c. MCMBMAMCMBMA −−=−+ 2




Bài 3: Cho ∆ABC và số thực k thay đổi. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. 0=++ MCkMBkMA

b. 0)1( =−+ MBkMAk

c. 0)3(2 =+−+ MCkMBkMA

d. Vectơ MCMBMAv 2++= cùng phương với vectơ BC

e. 03)1(2 =−+− MCkMBkMA

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O, M và N lưu động và xác định bởi:

MDMCMBMAMN +−−= 223

a. Chứng minh rằng MN không đổi.

Tìm tập hợp tất cả các điểm M biết giá của chúng qua O

b. Tìm tập hợp tất cả các điểm M biết N luôn chuyển động trên AC.

Bài 5: Cho 2 điểm A,B cố định. Xác định tập hợp tất cả các điểm M sao cho

a. MBMAMBMA −=+

b. MBMAMBMA 22 +=+

c. MBMAMBMA +=+

d. MBMAMBMA +=+ 22

Bài 6: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. MCMBMCMBMA +=++23

b. MBMABCMA −=+

c. MCMBMBMA −=+ 42

d. MCMBMAMCMBMA −−=++ 24




Bài 7: Cho hai hình bình hành tùy ý ABCD, A’B’C’D’ và các điểm M,N,P,Q

là các điểm được xác định bởi :

0' =+ MAkMA , 0' =+ NBkNB , 0' =+ PCkPC , 0' =+ QDkQD

a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b. Xác định quỷ tích tâm của MNPQ khi M chạy trên AA’

Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}

Bài 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Xác định M trên đường thẳng d

sao cho : MCMBMA ++ có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm Pi, 12,1 += ni

Ở cùng phía đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng 112

1≥∑

+

=

n

iiOP

Bài 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm I bất kỳ trên cạnh AB

(với I khác A, B) ta luôn có : IC.AB < IA.BC + IB.AC

Bài 4: Cho ba vectơ có độ dài không vượt quá 1. Chứng minh rằng có thể

tìm được 2 vectơ trong chúng sao cho tổng hoặc hiệu của 2 vectơ đó có

độ dài không vượt quá 1


vectƠ vÀ cÁc Ứng dỤng

Education