Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Tomislav Zivkovic

Svojstva i konstrukcije nekihravninskih krivulja

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Tomislav Zivkovic

Svojstva i konstrukcije nekihravninskih krivulja

Diplomski rad

Mentorica: doc. dr. sc. Darija Markovic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 1

Povijest krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Podjele ravninskih krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Krivulje u ravnini 5

1.1. Koordinate i koordinatni sustavi u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Pojam i definicija krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Nacini zadavanja krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Lokalni elementi ravninskih krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Element luka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2. Tangenta i normala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3. Konveksnost i konkavnost krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Zakrivljenost, evoluta i involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. Zakrivljenost i polumjer zakrivljenosti . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2. Kruznica zakrivljenosti i srediste zakrivljenosti . . . . . . . . . 11

1.5.3. Evoluta i involuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Svojstvene tocke krivulje i asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1. Tocke infleksije i njihovo odredivanje . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.2. Tjeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.3. Singularne tocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.4. Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja 16

2.1. Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1. Neke konstrukcije elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

i

2.1.2. Zakrivljenost elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1. Konstrukcije parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2. Jednadzba evolute za parabolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Dioklova cisoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Primjena cisoide na rjesavanje duplikacije kocke . . . . . . . . . 25

2.4. Cikloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Tangenta i normala za cikloidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5. Kardioida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1. Nastanak kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.2. Konstrukcija kardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Astroida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1. Konstrukcija astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Sazetak 32

Summary 33

Literatura 34

Zivotopis 35

ii

Uvod

U prvom poglavlju rada kratko cemo navesti i opisati osnovne pojmove potrebne za

definiranje krivulja, te cemo dati definicije nekih svojstava krivulja. U drugom po-

glavlju cemo definirati neke od ravninskih krivulja koje su medusobno vrlo povezane i

pokazati neka njihova svojstva, te nacin njihove konstrukcije. U nastavku uvoda cemo

dati kratak osvrt na otkrice krivulja kroz povijest, te jednu od glavnih podjela krivulja.

Povijest krivulja

Proucavanje krivulja vezano je uz najraniju ljudsku povijest. Putanja bacenog ka-

mencica, obrisi lisca i cvijeca, strujanje vode, krivudava linija obale rijeke i mora ili

zraka svjetla, neki su od primjera iz svakodnevnog zivota koji su privlacili covjekovu

pozornost. Tako nastaje pocetna svijest o linijama, tj. krivuljama.

Povijesni spomenici iz daleke proslosti pokazuju da su svi narodi na odredenom stupnju

razvoja raspolagali pojmom kruznice i pravca; upotrebljavali su primitivne naprave za

njihovu konstrukciju i nastojali izmjeriti povrsine omedene tim dvjema krivuljama.

Opcenito, najveci doprinos dosao je iz Grcke; za njih je geometrija bila puno vise od

svega sto je tada bilo poznato i prezentirano. Najveca dostignuca bila su u razdoblju

od 6. do 4. st. pr. Kr. Grcki ucenjaci bavili su se krivuljama, tocnije, cunjosjecnicama

– krivuljama koje imaju veliki znacaj u matematici. Otkrica na podrucju cunjosjecnica

pripisuju se Menehmu, clanu Platonove Akademije u Ateni i ucitelju Aleksandra Ma-

kedonskog, te Aristeju Starijem i naravno, Euklidu.

Menehmo je definirao cunjosjecnice kao presjeke stosca ravninom koja je okomita na

njegovu izvodnicu. Ovisno o tome je li kut otvora pri vrhu stosca siljast, prav ili tup,

presjecna linija je elipsa, parabola ili hiperbola.

Arhimed je zasluzan za neke od vaznih rezultata vezanih uz presjeke cunjosjecnica,

poglavito parabolu. Rijesio je problem kvadrature segmenta parabole. Usporedujuci

figure, upisane elipsi i kruznici kojoj je promjer velika os elipse, odredio je i povrsinu

elipse. Ali sve su to jos bila nepotpuna istrazivanja cunjosjecnica.

Prvu metodicku obradu teorije cunjosjecnica dao je anticki matematicar Apolonije.

Uveo je nazive za elipsu, parabolu i hiperbolu, te je pokazao da se razliciti presjeci cunja

1

(stosca) mogu postici pomocu razlicitog nagiba s ravninom kojom se cunj presjeca.

Medu ostalim antickim matematicarima, treba spomenuti Papusa, posljednjeg velikog

matematicara aleksandrijske skole. Njegovo najvaznije djelo poznato je pod imenom

Kolekcija ili Zbirka, a vazno je po tome sto prikazuje vaznost i sadrzi komentare vezane

uz rezultate svih njegovih prethodnika. Papus uvodi pojam fokusa (zarista) i pojam

direktrise hiperbole.

Prvo originalno djelo vezano uz cunjosjecnice u Europi naziva se Libellus super vigin-

ti duobus elementis conicis (Knjiga o dvadeset dva elementa cunjosjecnica), autor je

Werner oko 1522. godine. Bavio se problemima koje su vec obradivali stari Grci; bavio

se samo parabolom i hiperbolom.

Razlog nezainteresiranosti za elipsu je vjerojatno taj sto se je u pocetku svoga rada

zainteresirao za problem duplikacije kocke, a elipsa se ne koristi u pristupu. Isto tako,

javljaju se i neke druge krivulje, takoder poznate u Grckoj, kao sto su Hipijina kvadra-

tisa, Arhimedova spirala, Nikomedova konhoida, Dioklova cisoida; sve one su vezane

uz spomenute anticke probleme. Ostale krivulje se ne spominju u vrijeme renesanse, s

jednom iznimkom, cikloidom.

Osim traganja za antickom mudrosti, zanimanje za geometriju, pa tako i krivulje,

potaknula je primjena geometrijskih principa u umjetnosti.

U 16. stoljecu se astronomija jos temelji na Ptolomejevom Almagestu s geocentricnim

sustavom. Prvi koji predlaze sustav planetarnih orbita i heliocentricni sustav je Poljak

Kopernik. On je u pocetku vjerojatno samo zelio poboljsati Ptolomejev sustav, ali

njegova ce ideja postati revolucionarnom. Prve ideje heliocentricnog sustava imao je

oko 1510. godine, te je onda Vatikan podrzao objavljivanje tih ideja; njegova knjiga De

revolutionibus orbitum coelestium (O revoluciji nebeskih sfera), objavljena tek 1543.

godine, dospijeva na crnu listu Crkve tek oko 1600. godine, u doba protureformacije.

U svojoj knjizi Kopernik tvrdi da se Zemlja i drugi planeti krecu oko Sunca. Ta njegova

ideja nailazi na jak otpor. Naime, u Ptolomejevom sustavu, razlika izmedu promatra-

nog gibanja planeta i idealnog gibanja po krugu bilo je interpretirano pomocu kompo-

zicije vise kruznih kretanja konstantne brzine. Planeti su se trebali kretati u manjim

kruznim orbitama, krecuci se duz veceg kruga, te je kruznica zadrzala privilegirano

mjesto jedine moguce putanje nebeskih tijela i u Kopernikovom sustavu.

Pristalica Kopernikove teorije bio je i Galilei. On je 1608. godine nacinio teleskop koji je

bio bolji od prvog teleskopa kojeg su godinu ranije izumili nizozemski majstori opticari.

Tim je teleskopom otkrio Jupiterove mjesece i dokazao da je moguca spomenuta teorija.

Kako je bio vrlo poznata i slavna osoba, bio je vrlo osjetljiv na misljenje, tocnije receno

odobravanje, okoline, a kako je odobravanje izostalo, 1616. godine se izrazio protiv

Kopernikove teorije. 1632. godine Galileo opet mijenja misljenje, ali se ipak odrice te

teorije pred Inkvizicijom samo godinu kasnije.

2

Kepler je bio taj koji je u svome djelu Astronomia Nova (1609.) po prvi puta primijetio

elipticku putanju kretanja Marsa oko Sunca. Njegovo otkrice je tako motiviralo geome-

tre da nastave s proucavanjem cunjosjecnica, te da uoce njihovu visestruku primjenu

u astronomiji i mehanici. Pri samim pocecima svoga rada napisao je Ad vitellionem

paralipomena, quibus Astronomiae pars Optica Traditur ili skraceno Astronomiae pars

Optica (Opticki dio astronomije), te je djelo objavio u Frankfurtu 1604. godine. U

tom djelu je cetvrto poglavlje posveceno upravo cunjosjecnicama.

On raspravlja o pet tipova cunjosjecnica, i to hiperboli, paraboli, elipsi, kruznici i

pravcu, te tvrdi da se svaka od tih krivulja moze dobiti pomocu neke od ostalih. Tako

su pravac i parabola dva posebna slucaja hiperbole; parabola i kruznica su posebni

slucajevi elipse. Parabola stoji izmedu beskonacnih presjeka (hiperbole i pravca) i

konacnih presjeka (kruznice i elipse).

1637. godina je jedna od znacajnijih u povijesti matematike. Te godine objavljena je

Descartesova Geometrija u kojoj je bila zasnovana metoda koordinata. Tom metodom

nije izgraden samo opci, jedinstven, nacin simbolickog zadavanja svake krivulje u obliku

odgovarajuce jednadzbe, nego je njome dana i neogranicena mogucnost beskonacnog

povecanja mnozine istrazivanih krivulja (jer svaka, po volji zapisana, jednadzba, koja

povezuje dvije promjenjive velicine, predstavlja novu krivulju). Zatim se pojavio infi-

nitezimalni racun, koji je bio od velike vaznosti za daljnje proucavanje krivulja.

Veliki matematicari toga doba (Descartes, Leibniz, Huygens, Johann i Jacob Bernoulli)

bavili su se intenzivno proucavanjem krivulja, otkrivajuci sve novije oblike, te njihova

svojstva.

Usporedno s postupcima povlacenja tangente na krivulju, za odredivanje povrsine

omedene krivuljama, za volumen rotacionih tijela, te za duljinu luka, javljaju se veze

medu krivuljama. Roberval i Pascal pokazuju da je luk Arhimedove spirale jednak luku

parabole, odredene na odredeni nacin. Fermat prosiruje njihove rezultate na algebarske

jednadzbe visih redova.

Fagnano je 1714. godine postavio osnove teorije eliptickih funkcija. L’Hopital pise prvi

udzbenik za analizu pod nazivom Analiza infinitezimalnih velicina za razumijevanje

krivulja. Desargues je, istrazujuci projektivna svojstva figura i upotrijebivsi pojam

involucije, obogatio teoriju krivulja drugog reda novim otkricima. 1639. godine je

dao svoj poznati teorem koji je tek u 19. stoljecu bio uvrsten u temelj projektivne

geometrije.

Sljedeci matematicar s velikim zanimanjem za krivulje drugog reda je Pascal. On

otkriva svoj znameniti teorem o odnosu sestorke tocaka cunjosjecnice, po kojem za

svaki sesterokut, upisan u krivulju drugog reda, sjecista suprotnih stranica leze na

jednom pravcu. Zanimljivo je da se Pascal u svom prvom djelu iz matematike (koje je

napisao sa 17 godina) bavio konikama, a kasnije je proucavao i cikloidu.

3

Podjele ravninskih krivulja

Ravninskom krivuljom nazivamo svaku krivulju koju mozemo prikazati u ravnini. Sva-

koj jednadzbi oblika F (x, y) = 0, koja povezuje koordinate x i y odgovara neka kri-

vulja sa svojstvom da koordinate svake tocke P na toj krivulji zadovoljavaju danu

jednadzbu. Krivulja moze biti zadana pomocu jednadzbe ili pozitivnog dijela krivulje.

Ovisno o tome je li promjenjiva tocka P zadana u eksplicitnom, parametarskom obliku

ili u polarnim koordinatama, njezin polozaj biti ce odreden vrijednoscu varijabli x, t

ili ϕ. Elemente koji odreduju polozaj krivulje nazivamo lokalnim elementima.

Ovisno o obliku jednadzbe promatrane krivulje, one se dalje dijele na algebarske kri-

vulje, te transcendentne krivulje. Primjer algebarske krivulje je Descartesov list. Od

transcendentnih krivulja, posebnu pozornost privlace spirale ili zavojnice, od kojih su

istaknute Arhimedova i logaritamska spirala.

Dioklova cisoida dobije se kao trag tjemena parabole koju kotrljamo po sukladnoj pa-

raboli. Dioklova cisoida se, kao i mnoge druge krivulje, moze primijeniti kod klasicnog

problema duplikacije kocke.

Konhoidom nazivamo krivulju dobivenu na nacin da se poveca ili smanji radijvektor

svake tocke zadane krivulje za konstantni l. Durerove skoljkaste krivulje su takoder

konhoide.

Cikloida je krivulja koju opisuje tocka kruznice polumjera r kada se kotrlja bez klizanja

po pravcu; pri tome je t kut za koji se kruznica zarotirala.

Kardioida je krivulja koju opisuje tocka kruznice koja se kotrlja bez klizanja po nepok-

retnoj kruznici istog polumjera pri cemu se kruznice dodiruju izvana.

Astroida je poseban slucaj hipocikloide1 koji je definiran kao zamisljena linija koju

ostavlja kruznica radijusa r koja se kotrlja unutar druge fiksne kruznice ciji radijus

iznosi 4r ili 43r.

Descartesov list je krivulja cija je jednadzba u Kartezijevim koordinatama dana s

x3 + y3 = 3axy.

Versiera Marije Agnesi je krivulja cija Kartezijeva jednadzba glasi y =a3

a2 + x2.

Bernoullijeva lemniskata je krivulja koja u Kartezijevim koordinatama ima sljedecu

jednadzbu (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2).

Lissajousove krivulje predstavljaju familiju krivulja definiranih parametarskim jed-

nadzbama oblika: x = A sin(at+ δ), y = B sin bt.

Arhimedova spirala predstavlja putanju tocke koja se krece jednoliko po pravcu koji

jednoliko rotira oko polazista te tocke.

1krivulja koju opisuje tocka kruznice kada se kruznica kotrlja bez klizanja po drugoj kruznici unutarnje

4

Poglavlje 1

Krivulje u ravnini

Opcenito, ravninska krivulja je skup tocaka u ravnini koje zadovoljavaju odredene

uvjete. Uvjeti se ponekad izricu geometrijskim terminima (npr. kruznica je skup svih

tocaka ravnine koje su r jedinica, r > 0, udaljene od zadane tocke S). Medutim, krivu-

lju cesce zadajemo tako da odaberemo koordinatni sustav u ravnini i jednadzbu koju

zadovoljavaju koordinate svake tocke krivulje, a ne zadovoljavaju koordinate ostalih

tocaka ravnine [11, str. 157].

Neke krivulje su prilicno jednostavne (poput kruznice), a neke vrlo slozene, te ih je

poprilicno tesko opisati pomocu jednadzbe.

1.1. Koordinate i koordinatni sustavi u ravnini

Polozaj svake tocke P u ravnini moze se odrediti pomocu nekog koordinatnog sustava.

Brojeve koji odreduju polozaj tocke zovemo koordinatama. Najcesce se koristimo Kar-

tezijevim i polarnim koordinatama. Razlikujemo:

a) Kartezijeve ili Descartesove koordinate tocke P su udaljenosti (izrazene u odre-

denom mjerilu i uzete s odredenim predznakom) te tocke od dvaju medusobno

okomitih pravaca, koje zovemo koordinatnim osima.

Sjeciste O koordinatnih osi zovemo ishodistem koordinatnog sustava. Horizon-

talnu os zovemo x-os, os x ili os apscisa. Vertikalnu os zovemo y-os, os y ili os

ordinata.

b) Polarne koordinate tocke P su polumjer ρ i polarni kut ϕ. Polumjer ρ je udalje-

nost tocke P od zadanog ishodista O koje zovemo pol ili koordinatno ishodiste.

Polarni kut ϕ je kut izmedu pravca OP i zadanog pravca koji prolazi kroz pol

(polarnu os). Polarni kut smatramo pozitivnim kada ga mjerimo od polarne osi

suprotno gibanju kazaljke na satu, a negativnim kada ga mjerimo u suprotnome

smislu, tj. u smjeru kretanja kazaljke na satu.

5

c) Kosokutne koordinate tocke P su udaljenosti (izrazene u odredenom mjerilu i

uzete s odredenim predznakom) te tocke od dvaju pravaca koji nisu medusobno

okomiti.

d) Krivocrtne koordinate su opcenitiji sustav koordinata. U ravnini su zadane dvije

jednoparametarske familije krivulja (koordinatne crte), pri cemu svakom tockom

ravnine prolazi po jedna krivulja svake familije. Vrijednosti parametara koje

pripadaju tim krivuljama su krivocrtne koordinate te tocke.

Kartezijev i polarni koordinatni sustav mozemo shvatiti kao specijalne slucajeve

krivocrtnog: u Kartezijevom koordinatnom sustavu su parametarske crte pravci

paralelni s koordinatnim osima, a u polarnom su kruznice sa sredistem u polu i

zrake koje izlaze iz pola.

1.2. Pojam i definicija krivulje

Definicija 1.1 Svakoj jednadzbi F (x, y) = 0, gdje je F : Ω → R, (Ω ⊆ R2) koja po-

vezuje koordinate x i y odgovara neka krivulja sa svojstvom da koordinate svake tocke

P na toj krivulji zadovoljavaju danu jednadzbu, i obratno, svaka tocka kojoj koordinate

zadovoljavaju jednadzbu lezi na krivulji.

Skup svih takvih tocaka zove se geometrijsko mjesto tocaka. Ako za zadanu jednadzbu

F (x, y) = 0 ne postoje koordinate niti jedne realne tocke u ravnini koje ju zadovolja-

vaju, kazemo da zadana jednadzba odreduje imaginarnu krivulju.

Ravninske krivulje definiramo na sljedece nacine:

1. Pomocu jednadzbe

Ravninska krivulja moze se analiticki odrediti u:

Kartezijevim koordinatama:

a) implicitnom jednadzbom: F (x, y) = 0

b) eksplicitnom jednadzbom: f(x) = y

c) parametarskim jednadzbama: x = x(t), y = y(t)

Polarnim koordinatama: ρ = f(ϕ)

2. Pomocu pozitivnog smjera krivulje

a) Ako je krivulja zadana u obliku x = x(t), y = y(t), onda je njezin pozitivni

smjer zadan smjerom u kojem se giba tocka krivulje F (x(t), y(t)), kada

parametar t raste.

6

b) Ako je krivulja zadana u obliku y = f(x), onda parametrom mozemo sma-

trati apscisu x tocke (x = x, y = f(x)), tako da pozitivni smjer odgovara

smjeru apscise (tj. s lijeva na desno).

c) Ako je krivulja zadana u obliku ρ = f(ϕ), onda je parametar polarni kut

ϕ tocke (x = f(ϕ) cosϕ, y = f(ϕ) sinϕ), tako da pozitivni smjer odgovara

prirastu od ϕ, tj. suprotan je gibanju kazaljke na satu.

Jednadzbe krivulja u drugim koordinatnim sustavima definiraju se analogno.

1.3. Nacini zadavanja krivulja

Proucavanje osobitosti oblika krivulje i njezinih svojstava sredstvima diferencijalne ge-

ometrije moguce je samo onda kada je krivulja predocena u analitickom obliku, tj.

jednadzbom. Neovisno o tome, u mnogim zadacima teorijskog i prakticnog karak-

tera potrebno je, prije istrazivanja jednadzbe krivulje, sastaviti tu jednadzbu na teme-

lju nekih zadanih podataka, koji u svakom slucaju odreduju tu krivulju i trazeni su

u pocetnim uvjetima. Nacini kojima odredujemo krivulju prema pocetnim uvjetima

mogu biti razliciti, izdvojit cemo samo neke od njih:

1. Krivulja je definirana kao presjecna linija dane plohe ravninom odredenog polozaja.

2. Krivulja definirana kao geometrijsko mjesto tocaka koje zadovoljavaju zadano

svojstvo.

3. Krivulja je odredena kao putanja tocke koja se giba po nekom odredenom zakonu.

4. Izvodenje linija povezivanjem projektivno pridruzenih elemenata. Projektivno

pridruzenim nazivaju se nizovi tocaka dvaju pravaca ako su bilo kojim cetirima

harmonijskim tockama jednog niza pridruzene cetiri (takoder harmonijske) tocke

drugog niza. Analogno za pramenove pravaca.

5. Krivulja se definira zadavanjem njenih diferencijalnih svojstava; neposredno za-

dan prema pocetnim uvjetima, odnos medu neizmjerno malim elementima kri-

vulje izrazava se na pocetku u obliku neke diferencijalne jednadzbe; uzastopno

integriranje te jednadzbe dovodi do obicne jednadzbe trazene krivulje.

6. Krivulja je definirana kao rezultat nekog geometrijskog preslikavanja vec poznate

krivulje.

7. Krivulja se zadaje odmah u analitickom obliku i predstavlja graf neke funkcije.

7

1.4. Lokalni elementi ravninskih krivulja

Ovisno o tome je li promjenjiva tocka T na krivulji zadana eksplicitnom parametar-

skom jednadzbom ili u polarnim koordinatama, njen polozaj odreden je vrijednoscu

varijabli x, t ili ϕ. Oznacimo s N tocku koja je neizmjerno blizu tocki T i odredena

vrijednostima parametara x+ dx, t+ dt ili ϕ+ dϕ.

1.4.1. Element luka

Ako sa s oznacimo duljinu luka od jedne cvrste tocke N do tocke T , onda je infinite-

zimalni prirast ∆s = TN priblizno jednak ds, koji zovemo elementom duljine luka:

∆s ≈ ds =

√1 + y′2 dx za krivulju zadanu s y = f(x)√x′2 + y′2 dt za krivulju zadanu s x = x(t), y = y(t)√ρ2 + ρ′2 dϕ za krivulju zadanu s ρ = f(ϕ)

Primjer 1.1

y = sinx ⇒ ∆s ≈ ds =√

1 + cos2 x dx

1.4.2. Tangenta i normala

Tangenta s diralistem u tocki T je granicni polozaj sekante TN , kada N tezi prema T .

Normala je pravac koji prolazi tockom T okomito na tangentu.

Jednadzbe tangente i normale za tri slucaja dane su u sljedecoj tablici:

Jednadzba krivulje Jednadzba tangente Jednadzba normale

F (x, y) = 0dF

dx(X − x) +

dF

dy(Y − y) = 0

X − xdFdx

=Y − y

dFdy

y = f(x) Y − y = y′(X − x) Y − y = − 1

y′(X − x)

x = x(t), y = y(t)Y − yy′

=X − xx′

x′(X − x) + y′(Y − y) = 0

Tablica 1.1: Jednadzbe tangente i normale na krivulju u tocki T = (X, Y )

8

Pozitivni smjer tangente i normale

Ako je krivulja zadana u obliku y = f(x) ili x = x(t), y = y(t) ili ρ = f(ϕ), onda je i za

normalu odreden pozitivni smjer: na tangenti se pozitivni smjer poklapa s pozitivnim

smjerom krivulje u diralistu, a na normali se pozitivan smjer dobiva rotacijom pozitiv-

nog smjera tangente oko tocke T za 90 suprotno gibanju kazaljke na satu. Tocka T

dijeli tangentu i normalu na pozitivni i negativni polupravac.

Nagib tangente odreden je kutom α (prikloni kut) izmedu pozitivnog smjera osi apscisa

i pozitivnog smjera tangente; ako je krivulja zadana u polarnim koordinatama, kutom µ

izmedu radijvektora−→OT i pozitivnog smjera tangente. Za kutove α i µ vrijede sljedece

formule:

tgα =dy

dx, cosα =

dx

ds, sinα =

dy

ds

tg µ =ρdρdϕ

, cosµ =dρ

ds, sinµ =

dϕ

ds

Kut dviju krivulja

Pod kutom β dviju krivulja Γ1 i Γ2, koje se sijeku u tocki T = (x0, y0), razumijevamo

kut izmedu njihovih tangenata u toj tocki. Odredivanje kuta β svodi se na odredivanje

kuta izmedu dva pravca kojima znamo koeficijente smjera

k1 = tgα1 = f ′1(x0) k2 = tgα2 = f ′2(x0)

gdje je y = f1(x) jednadzba krivulje Γ1, a y = f2(x) jednadzba krivulje Γ2. Derivacije

racunamo u tocki T .

1.4.3. Konveksnost i konkavnost krivulje

Ako je krivulja zadana u eksplicitnom obliku y = f(x), onda za mali dio krivulje, koji

sadrzi tocku T , mozemo odrediti je li krivulja svojom konkavnom stranom okrenuta

prema gore ili prema dolje. Iznimka su samo slucajevi kada je tocka T tocka infleksije

ili singularna tocka.

Definicija 1.2 Kazemo da je funkcija f : D −→ R konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊂ D

ako je

f

(x1 + x2

2

)≤ 1

2[f(x1) + f(x2)] za sve x1, x2 ∈ 〈a, b〉 (1.1)

Ako u (1.1) stoji znak ”≥”, kazemo da je funkcija f konkavna na intervalu 〈a, b〉 .[9, str. 34].

9

Teorem 1.1 Neka je f dva puta derivabilna funkcija na intervalu 〈a, b〉.

a) Funkcija f je konveksna na 〈a, b〉 onda i samo onda ako je f ′′(x) ≥ 0, ∀ x ∈ 〈a, b〉.

b) Funkcija f je konkavna na 〈a, b〉 onda i samo onda ako je f ′′(x) ≤ 0, ∀ x ∈ 〈a, b〉[8, str. 215].

Ako je u tocki T druga derivacija f ′′(x) ≤ 0, onda je konkavna strana krivulje okrenuta

prema dolje, tj. u stranu negativnog smjera osi y. Ako je f ′′(x) ≥ 0, tada je krivu-

lja konkavna prema gore. U slucaju kada je f ′′(x) = 0 moraju se obaviti dopunska

ispitivanja.

1.5. Zakrivljenost, evoluta i involuta

1.5.1. Zakrivljenost i polumjer zakrivljenosti

Slika 1.1: Zakrivljenost krivulje

Zakrivljenost K krivulje u tocki T je granicna vrijednost smjera kuta δ izmedu pozi-

tivnih smjerova tangenata u tockama T i N i duljine luka_

TN kada_

|TN | tezi u 0:

K = lim_

|TN |→0

δ_

|TN |

Predznak zakrivljenosti K ovisi o tome je li krivulja konveksna (predznak od K je

pozitivan) ili konkavna (predznak od K je negativan); predznak je pozitivan ako je

srediste zakrivljenosti krivulje na pozitivnom dijelu normale krivulje, a negativan ako

je srediste zakrivljenosti krivulje na negativnom dijelu normale.

Ponekad se dogovorom uzima da je zakrivljenost K pozitivna velicina. Tada se zapravo

radi o apsolutnoj vrijednosti zakrivljenosti.

10

Za ravninsku krivulju zapisanu u obliku y = f(x), jednadzba zakrivljenosti glasi (vidi

[2, str. 36.])

K =y′′

(1 + y′2)32

.

Polumjer zakrivljenosti R krivulje u tocki T je reciprocna vrijednost njezine zakrivlje-

nosti:

R =1

|K|Dakle, sto je veca zakrivljenost u tocki T krivulje, to je njezin polumjer zakrivljenosti

R manji.

1.5.2. Kruznica zakrivljenosti i srediste zakrivljenosti

Kruznica zakrivljenosti u tocki T krivulje je granicni polozaj kruznice koja prolazi

tockom T i dvije druge bliske tocke krivulje N i M , kada N → T i M → T . Kruznica

zakrivljenosti zove se jos i oskulacijska kruznica krivulje u tocki T .

Oskulacijska kruznica prolazi tockom T i u toj tocki obje krivulje imaju jednake prve

dvije derivacije. Stoga se jos kaze da krivulja i oskulacijska kruznica imaju u tocki T

dodir drugog reda.

Polumjer zakrivljenosti oskulacijske kruznice je ujedno i polumjer zakrivljenosti krivulje

u tocki T .

Srediste zakrivljenosti S krivulje u tocki T ujedno je i srediste oskulacijske kruznice,

koja krivulju dira u tocki T . Srediste lezi na onoj istoj strani krivulje prema kojoj je

ona konkavna. Drugim rijecima, ona lezi na onom dijelu normale koji pokazuje smjer

konkavnosti krivulje.

Odredivanje sredista zakrivljenosti

Slika 1.2: Srediste kruznice zakrivljenosti

11

Odredimo srediste S = (X, Y ) kruznice zakrivljenosti u tocki T = (x, y) grafa funkcije

y = f(x). Prema Slici 1.2 vrijedi

x−X = R sinα =1

|K|tgα√

1 + tg 2α=

1

−K−tg (π − α)√1 + tg 2(π − α)

=1

K

y′√1 + y′2

=(1 + y′2)

32

y′′· y′

(1 + y′2)12

=y′

y′′(1 + y′2),

y − Y = R cosα =1

|K|1√

1 + tg 2α=

1

−K1√

1 + tg 2(π − α)= − 1

K

1√1 + y′2

= −(1 + y′2)32

y′′· 1

(1 + y′2)12

= − 1

y′′(1 + y′2),

odnosno

X = x− y′

y′′(1 + y′2), Y = y +

1

y′′(1 + y′2).

Takoder mozemo izvesti i eksplicitnu formulu za radijus zakrivljenosti R grafa funkcije

y = f(x) u tocki T :

R =√

(X − x)2 + (Y − y)2 =(1 + y′2)

32

|y′′|.

1.5.3. Evoluta i involuta

Evoluta zadane krivulje je krivulja koja se sastoji od sredista zakrivljenosti svih tocaka

zadane krivulje.

Parametarska jednadzba evolute dobije se iz jednadzbi za srediste zakrivljenosti, kada

X i Y postaju tekuce koordinate.

(X, Y ) = (x−R sinϕ, y −R cosϕ) = (x− y′

y′′(1 + y′2), y +

1

y′′(1 + y′2))

Ako iz tih jednadzbi eliminiramo parametre x i y, dobijemo jednadzbu evolute u Kar-

tezijevim koordinatama.

Involutom ili evolventom krivulje Γ1 zove se krivulja Γ, za koju je krivulja Γ1 njezina

evoluta. Stoga je svaka normala TS involute ujedno i tangenta evolute, a duljina

luka evolute jednaka je razlici polumjera zakrivljenosti involute, koji diraju evolutu

u krajnjim tockama toga luka. Ova svojstva opravdavaju naziv evolvente (krivulja

odmatanja) Γ1 krivulje Γ, koja se dobije odmatanjem napete niti. Zadanoj evoluti

odgovara familija evolvenata, od kojih je svaka odredena prvobitnom duljinom napete

12

niti. Jednadzbu involute dobijemo integriranjem sustava diferencijalnih jednadzbi koje

su, zapravo, jednadzbe evolute.

Evolventu dobijemo tako da se na vec zadanu krivulju postavi zamisljena nategnuta

nit, ciji slobodni kraj pratimo dok se ona namotava po zadanoj krivulji, ili obrnuto,

dok se odmotava po toj istoj krivulji.

1.6. Svojstvene tocke krivulje i asimptote

Svojstvene tocke krivulje su tocke infleksije (prijevojne tocke), tjeme i singularne tocke.

1.6.1. Tocke infleksije i njihovo odredivanje

Tocke infleksije krivulje su one tocke u kojima zakrivljenost mijenja predznak. U okolini

te tocke krivulja prelazi s jedne strane tangente na drugu (krivulja presijeca tangentu).

U tocki infleksije zakrivljenost K = 0, a polumjer zakrivljenosti R = ∞. Ako je

krivulja zadana u eksplicitnom obliku:

a) Nuzan uvjet za postojanje tocke infleksije je da u njoj druga derivacija, ako

postoji, mora biti jednaka nuli: f ′′(x) = 0. Ovisno o tome koja je od uzastopnih

derivacija (parnog ili neparnog reda) prva razlicita od nule u promatranoj tocki,

ta ce tocka biti tocka infleksije, ili ne.

Definicija 1.3 Za svaku nultocku x od f ′, ukoliko f ima u njoj derivacije do-

voljno visokog reda, vrijedi: x je tocka infleksije ako i samo ako je prva po redu

derivacija f (n) za koju je f (n)(x) 6= 0 neparnog reda n.

b) Dovoljan uvjet za postojanje tocke infleksije je promjena predznaka druge deri-

vacije f ′′(x) pri prijelazu s lijeve na desnu stranu od osi u nekoj okolini te tocke

x. Ako se predznak f ′′(x) mijenja u obrnuti, onda se i smjer konkavnosti takoder

mijenja u suprotni, pa imamo tocku infleksije.

1.6.2. Tjeme

Tjemena su one tocke krivulje u kojima zakrivljenost krivulje ima ili minimum ili

maksimum. Npr. elipsa ima cetiri tjemena, tocke A, B, C i D, a logaritamska krivulja

ima samo jedno tjeme u tocki E =( 1√

2, − ln 2

2

).

Tjemena krivulje se odreduju tako da se nadu ekstremne vrijednosti od K ili, ako je

to jednostavnije, onda od R.

13

1.6.3. Singularne tocke

Singularne tocke jest zajednicki naziv za razlicite osobite tocke krivulje, a one su:

a) dvostruka tocka: tocka u kojoj krivulja sijece samu sebe;

b) izolirana tocka: tocka cije koordinate zadovoljavaju jednadzbu krivulje, ali pos-

toji okolina te tocke u kojoj nema drugih tocaka krivulje; tocka je odvojena od

krivulje;

c) siljak (povratna tocka): tocka u kojoj krivulja mijenja svoj smjer; razlikujemo

siljke prve vrste i siljke druge vrste, ovisno o polozaju tangente u odnosu na obje

grane;

d) tocke samododira (tangiranja): tocke u kojima krivulja samu sebe dira (sijece

pod kutem 0)

e) tocka loma: tocka u kojoj krivulja “skokovito” mijenja svoj smjer, pri cemu

se razlikuje od siljka po tome sto su tangente u oba dijela krivulje u toj tocki

razlicite;

f) kraj krivulje: tocka u kojoj se krivulja prekida, tj. od te tocke dalje krivulje vise

nema;

g) asimptotska tocka: tocka oko koje se krivulja ovija bezbroj puta, priblizavajuci

joj se na po volji malu udaljenost;

h) cvorna (visestruko singularna) tocka: tocka u kojoj je moguca istovremena kom-

binacija dvije ili vise navedenih vrsta singularnosti.

1.6.4. Asimptote

Asimptota je pravac kojemu se krivulja neograniceno priblizava kada se tocka krivulje

udaljuje od ishodista koordinatnog sustava. Pri tome se krivulja moze priblizavati

asimptotski s jedne strane ili krivulja moze beskonacno mnogo puta sjeci asimptotu.

Nije nuzno da svaka krivulja, koja se neomedeno udaljava od koordinatnog ishodista,

ima asimptotu (beskonacna grana krivulje).

Kada je krivulja zadana algebarskom implicitnom jednadzbom F (x, y) = 0, tada:

a) za odredivanje horizontalnih i vertikalnih asimptota iz polinoma F (x, y) izabere-

mo clanove najviseg stupnja m. Oni tvore polinomijalnu jednadzbu Φ(x, y) = 0

koju rijesimo po x i y: Φ(x, y) = 0 vrijedi x = ϕ(y), y = ψ(x).

Vrijednost limx→∞

y = a daje horizontalnu asimptotu y = a, a vrijednost limy→∞

x = b

kada daje vertikalnu asimptotu x = b (ako spomenuti limesi postoje).

14

b) za odredivanje kose asimptote, u polinom F (x, y) uvrstimo y = kx + b. Tako

dobiveni polinom sredimo po potencijama od x:

F (x, kx+ b) ≡ f1(k, b)xm + f2(k, b)x

m−1 + . . .

Parametre k i b, ako postoje, dobivamo iz sljedecih jednadzbi:

f1(k, b) = 0, f2(k, b) = 0.

Kada je krivulja zadana parametarskim jednadzbama x = x(t), y = y(t), za odredivanje

jednadzbe asimptote moramo naci vrijednosti za koje x(t)→ ±∞ ili y(t)→ ±∞ kada

t→ t0, za neki t0. Razlikujemo ove slucajeve:

a) limt→t0

x(t) =∞, ali y(t) = a ∈ R: y = a je asimptota i to horizontalna

b) limt→t0

y(t) =∞, ali x(t) = a ∈ R: x = a je asimptota i to vertikalna

c) ako y(t) isto kao i x(t) teze prema beskonacnosti (kad t→ t0), onda su granicne

vrijednosti (ako postoje):

k = limt→t0

y(t)

x(t)i b = lim

t→t0[y(t)− k · x(t)] koeficijent smjera i odsjecak na osi y asimp-

tote, tj. asimptota ima jednadzbu y = kx+ b, uz uvjet da postoje obje granicne

vrijednosti. To je kosa asimptota.

Neka je krivulja zadana eksplicitnom jednadzbom y = f(x). Vertikalne asimptote

mogu se pojaviti u tockama c ∈ R u kojima f nije definirana, ali je definirana na

I \ c, gdje je I neki otvoreni interval oko c. Vertikalna asimptota x = c postoji ako

je limx→c

f(x) = ±∞ (bar s jedne strane od c). Horizontalne i kose asimptote predocene

su kao pravac s odgovarajucim granicnim vrijednostima (ako postoje):

y = kx+ b, k = limx→∞

f(x)

x, b = lim

x→∞[f(x)− k · x].

15

Poglavlje 2

Svojstva i konstrukcije nekihravninskih krivulja

2.1. Elipsa

Elipsu je prvi proucavao Menehmo. On je otkrio i ostale cunjosjecnice (parabolu i

hiperbolu), tj. krivulje dobivene presjekom stosca ravninom. Nakon njega, Euklid

takoder pise o elipsi. Za njezino ime zasluzan je Apolonije. Fokusom i direktrisom

elipse bavio se i Papus. Kepler je 1602. godine smatrao da je Marsova orbita ovalnog

oblika, a kasnije otkrio da se radi o eliptickom obliku. 1705. godine Halley je pokazao

da se Halleyev komet krece oko Sunca na eliptickoj orbiti.

Povrsina elipse iznosi πab, no ne postoji tocna formula za duljinu elipse pomocu elemen-

tarnih funkcija, sto je dovelo do proucavanja eliptickih funkcija. 1914. godine je Ra-

manujan dao pribliznu vrijednost za duljinu elipse: π(3(a+ b)−

√(a+ 3b)(3a+ b)

).

A B

C

D

ae

ba

F F1 2

a

b

O

rr

12

T

Slika 2.1: Elipsa

Elipsa je zatvorena krivulja iz familije cunjosjecnica. Definirana je kao skup svih tocaka

ravnine kojima je zbroj udaljenosti od dviju zadanih tocaka uvijek jednak. Odredena

16

je dvjema poluosima, velikom a i malom b. Oblik elipse definira se njezinim ekscentri-

citetom (elipticnoscu)

e =√a2 − b2.

Kartezijeva jednadzba elipse:

x2

a2+y2

b2= 1 (2.1)

Parametarska jednadzba elipse:

x = a cos t

y = b sin t

Polarna jednadzba elipse:

r(ϕ) =b2

a

(cosϕ

√1− b2

a2+ 1

)za elipsu sa sredistem u ishodistu.

Ako u jednadzbu elipse (2.1) uvrstimo a = b, dobivamo kruznicu polumjera a sa

sredistem u ishodistu.

Tocke F1 i F2 su zarista ili fokusi elipse, ako (a > b) njihove koordinate su:

F1 = (−e, 0), F2 = (e, 0)

−−→F1T i

−−→F2T su radijvektori elipse sa duljinama r1 i r2. Tocka O, koja je i poloviste duzine

F1F2, zove se srediste ili centar elipse. Tocke A = (−a, 0), B = (a, 0), C = (0, b) i

D = (0,−b) su tjemena ili vrhovi elipse. Duzina AB naziva se velika os (duljina joj je

2a), a duzine OA i OB velike poluosi elipse. Duzina CD naziva se mala os (duljina joj

je 2b), a duzine OC i OD male poluosi elipse. Polovica udaljenosti izmedu zarista je

broj e, linearni ekscentricitet. Pravce paralelne s malom osi, udaljene od nje za d = ae,

zovemo ravnalicama ili direktrisama. Za neku tocku M = (x, y) elipse vrijedi svojstvo

ravnalica elipse1r1d1

=r2d2

= e

2.1.1. Neke konstrukcije elipse

Konstrukcija s poznatim osima i zaristem

Poznate su duljine velike i male osi elipse, i mozemo naci fokus. S kraja

male osi povucemo liniju duljine a. Presjek te linije i velike osi je jedan

fokus, F1. Ostale tocke elipse sada lako odredimo.

1geometrijsko mjesto tocaka za koje je omjer njihovih udaljenosti od zadane tocke F i od zadanogpravca konstantna, jednaka e; za e < 1 dobivamo elipsu, za e = 1 parabolu, a za e > 1 hiperbolu

17

Slika 2.2: Konstrukcija elipse s poznatim osima i zaristem

Konstrukcija sa cavlicima i konopcem

Ovu konstrukciju danas zovemo i “vrtlarska konstrukcija” jer je najjedno-

stavniji prakticni nacin crtanja elipse. Opisana je i u Descartesovoj “Di-

optriji”, jednom od triju dodataka “Rasprave o metodi” iz 1637. godine.

Krajeve konopca duljine 2a privezemo za dva cvrsto zabijena cavla (koji su

zapravo fokusi elipse) i onda crtamo s nategnutim konopcem, te dobivamo

elipsu.

Slika 2.3: Konstrukcija elipse sa cavlicima i konopcem

18

Metoda paralelograma

U ovoj konstrukciji koristimo cinjenicu da se elipsa moze upisati parale-

logramu. Prvo konstruiramo paralelogram i podijelimo ga na cetvrtine.

Zatim sve spojnice polovista suprotnih stranica paralelograma podijelimo

kao na Slici 2.4, i oznacimo brojevima. Crtamo spojnice polovista donje

stranice s tockama 1, 2, 3, 4, te ih produzimo do stranica paralelograma i

oznacimo presjecista kao na Slici 2.4. Postupak ponovimo za sljedeci kva-

drant. Sada spojimo sva sjecista 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 i dobivamo tocke elipse.

Slika 2.4: Konstrukcija elipse metodom paralelograma

Metoda “omotnice”

Kod ove metode dani su fokus i kruznica kojoj je polumjer jednak duljini

velike osi. Nacrtamo spojnicu iz fokusa do neke tocke kruznice i zatim oko-

micu na tu spojnicu. Ponovimo to nekoliko puta i uocavamo da okomice

svih nacrtanih spojnica fokusa s tockama kruznice daju elipsu.

2.1.2. Zakrivljenost elipse

Izvedimo eksplicitne formule za radijus zakrivljenosti i srediste kruznice zakrivljenosti

elipsex2

a2+y2

b2= 1 u tocki T = (c, d).

Nadimo najprije prvu i drugu derivaciju:

2x

a2+

2yy′

b2= 0 =⇒ y′ = − b

2x

a2y=⇒ y′′ = − b2

a2y+b2xy′

a2y2= − b2

a2y− b4x2

a4y3.

Dakle u tocki T = (c, d) imamo

X = x− y′

y′′(1 + y′2) = c−

− b2ca2d

− b2

a2d− b4c2

a4d3

(1 + (− b2c

a2d)2) =

(a2 − b2)b2c3

a2b2c2 + a4d2,

19

Y = y +1

y′′(1 + y′2) = d+

1

− b2

a2d− b4c2

a4d3

(1 + (− b2c

a2d)2) =

a2(−a2 + b2)d3

b4c2 + a2b2d2,

R =(1 + y′2)

32

|y′′|=

(1 + (− b2ca2d

)2)32

| − b2

a2d− b4c2

a4d3|

=(1 + b4c2

a4d2)32

| b4c2+a2b2d2a4d3

|.

Primjer 2.1 Odredimo radijus zakrivljenosti i kruznicu zakrivljenosti elipsex2

9+y2

4= 1

u tocki T = (2, 2√5

3).

X =40

81, Y = −25

√5

54, R =

61√

61

162.

U tocki T elipsu iznutra dodiruje kruznica (vidi Sliku 2.5):(x− 40

81

)2

+

(y +

25√

5

54

)2

=

(61√

61

162

)2

Slika 2.5: Kruznica zakrivljenosti elipse u tocki T

20

2.2. Parabola

Parabolu je proucavao Menehmo, Platonov i Eudoksov ucenik. On je pokusao udvo-

struciti kocku, tj. ravnalom i sestarom konstruirati brid kocke dvostruko veceg vo-

lumena od zadane. Suvremenim matematickim jezikom receno, pokusao je rijesiti

jednadzbu x3 = 2 pomocu geometrijskih metoda. Pronasao je rjesenje nasavsi sjeciste

dviju parabola cije su jednadzbe bile y = x2 i y2 = 2x (no to rjesenje se ne moze

konstruirati ravnalom i sestarom).

O paraboli je pisao i Euklid, a ime duguje Apoloniju. Papus je proucavao fokus i

direktrisu parabole. Pascal je smatrao parabolu projekcijom kruznice, a Galileo je

pokazao da projektili imaju parabolicku putanju.

Parabola je definirana kao skup tocaka jednako udaljenih od zadane tocke (zarista) i

od zadanog pravca (ravnalice, d).

Kartezijeva jednadzba parabole:

y =x2

4a(2.2)

Parametarska jednadzba parabole:

x = 2at

y = at2

Polarna jednadzba parabole:

r(ϕ) =4a tgϕ

cosϕ

za parabolu s vertikalnom osi i tjemenom u ishodistu.

Opci oblik jednadzbe parabole je

y = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R, a 6= 0 (2.3)

Za a < 0 parabola je otvorena prema dolje, a za a > 0 otvorena prema gore.

Tjeme parabole T je tocka parabole s koordinatama

x0 = − b

2a, y0 =

4ac− b2

4a

koje dobivamo iz opceg oblika (2.3) svodenjem na potpuni kvadrat:

y = ax2 + bx+ c

= a(x2 +

b

ax)

+ c

= a(x+

b

2a

)2− b2

4a+ c

= a(x+

b

2a

)2+

4ac− b2

4a

21

Parabola sijece os x jedino ako je b2 − 4ac ≥ 0.

Parabola ima os simetrije (zrcalne). Jednadzba parabole s tjemenom u ishodistu i osi

x kao osi simetrije glasi:

y2 = 2px, p > 0 (2.4)

Zariste parabole je tocka F = (p2, 0), a ravnalica (direktrisa) je pravac x = −p

2. Spoj-

nica tocaka F i P je zarisni radijvektor te tocke parabole−→PF , za koji vrijedi

PF = PB = x+p

2

2.2.1. Konstrukcije parabole

Parabolu dobivamo kao presjek stosca i ravnine koja ne sadrzi vrh tog stosca, a para-

lelna je s jednom izvodnicom te presijeca sve ostale izvodnice stosca.

Parabolu jednostavno konstruiramo pomocu trokuta (pravokutnog raznostranicnog),

ravnala, cavlica, komada uzeta (ili konca) i olovke. Ravnalo postavimo u vodoravan

polozaj. Uze neka je duljine vece katete trokuta. Cavlic neka je fokus parabole, a

ravnalo direktrisa. Uze zavezemo za cavlic, te najkracu stranicu trokuta prislonimo na

ravnalo. Vrhom olovke povucemo uze prema ravnalu. Klizeci trokutom uz ravnalo,

olovka ce nacrtati parabolu (treba paziti da olovka, tj. uze bude uz stranicu trokuta).

Slika 2.6: Konstrukcija parabole pomocu trokuta, ravnala, cavlica i uzeta

22

2.2.2. Jednadzba evolute za parabolu

Odredimo evolutu parabole y2 = 2px. Kako je y′ = py

i y′′ = − py2y′, onda je

X = x− y′

y′′(1 + y′2) = x− y′

− py2y′

(1 +p2

y2) = 3x+ p,

Y = y +1

y′′(1 + y′2) = y +

1

− py2y′

(1 +p2

y2) = −y

3

p2.

Da bi dobili jednadzbu evolute, iz gornje dvije jednadzbe trebamo iskljuciti x i y. Kako

je y2 = 2px, dobivamo:

X = 3x+ 2 = 3 · y2

2p+ p

i zapisati u obliku

y2 =2p

3(X − p).

Drugu jednadzbu mozemo zapisati slicno

y3 = −p2Y.

Ako prvu potenciramo s 3, a drugu s 2 i oduzmemo jedno od drugog, dobivamo

8

27p3(X − p)3 − Y 2p4 = 0.

To je jednadzba evolute parabole y2 = 2px.

Slika 2.7: Parabola y2 = 2x i njena evoluta 827

(x− 1)3 − y2 = 0

23

2.3. Dioklova cisoida

Ovu krivulju je otkrio Dioklo prilikom pokusaja rjesavanja problema duplikacije kocke.

Ime se javlja u radovima Geminusa, a sto godina kasnije Fermat i Roberval su kons-

truirali njezinu tangentu (1634.). Huygens i Wallis pronasli su 1658. godine povrsinu

izmedu krivulje i njezine asimptote (3πa2).

Dioklova cisoida je trag tjemena parabole koja se kotrlja po sukladnoj paraboli. Iz

dane tocke mogu se povuci ili jedna ili tri tangente na cisoidu.

Kartezijeva jednadzba Dioklove cisoide:

y2 =x3

2a− x(2.5)

Parametarska jednadzba Dioklove cisoide:

x = 2a cos2 t

y = 2a sin2 t tg t

Polarna jednadzba Dioklove cisoide:

ρ = 2a sinϕ tg ϕ

Postoji vise nacina tvorbe cisoide, ali mi cemo se zadrzati na najjednostavnijem:

B

A

C

M

O

y

x

Slika 2.8: Dioklova cisoida

Uzmemo kruznicu promjera OA = 2a i njenu tangentu AB. Tockom O polozimo zraku

OB i na njoj odlomimo odrezak OM = BC. Tocka M pripada cisoidi. Zavrtimo

24

li zraku OB za neki kut i ponovimo li opisanu konstrukciju, naci cemo drugu tocku

cisoide, itd.

Ako tocku O uzmemo za pol, onda je ρ = |OM | = |OB| − |OC|;

|OB| = 2a

cosϕ, |OC| = 2a · cosϕ

2.3.1. Primjena cisoide na rjesavanje duplikacije kocke

Neka je b brid dane kocke, a B trazeni brid. Tada je B3 = 2b3 , tj. B = b 3√

2.

Graficko rjesavanje problema mora se svesti na konstrukciju 3√

2.

Prepisimo jednadzbu cisoide (2.5) u obliku(yx

)3=

y

2a− x.

Pravac yx

= k sijece na tangenti odrezak |AD| = 2ak i presjeca cisoidu u

tocki M , cije koordinate zadovoljavaju jednadzbu

y

2a− x= k3.

Tu jednadzbu mozemo shvatiti kao jednadzbu pravca koji prolazi tockom

A = (2a, 0) i odsjeca na ordinatnoj osi odrezak |OC| = 2ak3.

Ako sada uzmemo a = 12, i na ordinatnoj osi odvojimo odrezak |OC| = 2,

te spojimo li zatim tocku C s tockom A = (1, 0), a sjeciste pravca CA

s cisoidom spojimo s tockom O, te ovu spojnicu produzimo do sjecista sa

tangentom, tada ce, kako to proizlazi iz |AD| = 2ak i |OC| = 2ak3, odrezak

|AD| biti jednak upravo 3√

2.

2.4. Cikloida

Mnoga svojstva cikloide otkrivena su jos u 16. stoljecu, prije izgradnje metode infinite-

zimalnog racuna. Ta su svojstva bila utvrdivana ili cisto empirijski ili na temelju onih

geometrijskih konstrukcija cijom se razradom doslo do novih konstruktivnih ideja.

Cikloida je krivulja koju opisuje tocka kruznice polumjera a kada se kotrlja bez klizanja

po pravcu, pri tome je t kut za koji se kruznica zarotirala.

Za cikloidu, kao za objekt matematickog istrazivanja, se prvi zainteresirao Galilei, te je

pronasao neka njena svojstva i dao joj ime. Njegov ucenik Toricelli je odredio povrsinu

cikloide, a nakon njega su ju dalje proucavali mnogi poznati matematicari: Roberval,

Descartes, Fermat, Pascal, Leibniz, braca Bernoulli, Huygens. Cikloida je bila vrlo za-

nimljiva i zbog toga sto su mnoga njezina svojstva bila poznata, te zato sto se primjena

25

Slika 2.9: Cikloida

novih metoda u istrazivanju cikloide pokazala iznimno pogodnom zbog jednostavnosti

njezinih infinitezimalnih svojstava.

Parametarska jednadzba cikloide:

x = at− a sin t

y = a− a cos t, t ∈ [0, 2π]

Kartezijeva jednadzba cikloide:∣∣∣∣2π(⌈1

2− x

2aπ

⌉− 1

)+x

a

∣∣∣∣ = arccos(

1− y

a

)−√

2y

a− y2

a2

2.4.1. Tangenta i normala za cikloidu

Izracunajmo jednadzbe tangente i normale za cikloidu iz njene parametarske jednadzbe

za vrijednost t = t0 koristeci Tablicu 1.1.

x = at− a sin t,⇒ dx

dt=

1

2− 1

2cos t,

y = a− a cos t,⇒ dy

dt=

1

2sin t.

Tangenta

Y − ydydt

=X − x

dxdt

=⇒ Y − (a− a cos t)12

sin t=X − (at− a sin t)

12− 1

2cos t

iz cega dobivamo da je

Y =12

sin t(X − at+ a sin t)

(12− 1

2cos t)

+ a− a cos t

sto nakon sredivanja daje jednadzbu tangente za t = t0

y = 2a+ (x− at)ctgt

2

26

Normala

dx

dt(X − x) +

dy

dt(Y − y) = 0

(1

2− 1

2cos t)(X − (at− a sin t)) +

1

2sin t(Y − (a− a cos t)) = 0

iz cega dobivamo

Y =(12

cos t− 12)(X − at+ a sin t)12

sin t+ a− a cos t

sto nakon sredivanja daje jednadzbu normale za t = t0

y = (at− x)tgt

2

Primjer 2.2 Za cikloidu, kojoj je polumjer izvodnog kruga a = 2, za t0 = π2, dobivamo

da je:

y = x− π + 4 ...... jednadzba tangente

y = π − x ...... jednadzba normale

2.5. Kardioida

Kardioida je krivulja koju opisuje tocka kruznice koja se kotrlja bez klizanja po ne-

pokretnoj kruznici istog polumjera, pri cemu se kruznice dodiruju izvana. Dakle, ova

krivulja pripada familiji cikloida. Naziv kardioida joj je 1741. godine dao Castillon u

djelu “Philosophical Transections of Royal Society”, zbog srcolikog oblika (grc. kardia

– srce + eidos – lik). Duljinu kardioide je izracunao La Hire 1708. godine, zbog cega

mu se pripisuje i samo otkrice krivulje.

Kartezijeva jednadzba kardioide:

(x2 + y2 + ax)2 = a2(x2 + y2) (2.6)

Parametarska jednadzba kardioide:

x = a cosϕ(1− cosϕ)

y = a sinϕ(1− cosϕ)

Polarna jednadzba kardioide:

r(ϕ) = a(1− cosϕ)

27

Slika 2.10: Graf kardioide za parametar a = 1

2.5.1. Nastanak kardioide

Smjestimo fiksnu kruznicu polumjera r u srediste koordinatnog sustava O. Po njoj se

kotrlja kruznica jednakog polumjera. Na fiksnoj kruznici oznacimo neku tocku A, a

na kotrljajucoj neku tocku T . Kako se kruznica pomice, tocka T opisuje kardioidu. U

pocetnom polozaju tocka T se nalazi u tocki A fiksne kruznice. Tocku A zovemo pol

kardioide i u njoj kardioida ima siljak.

Slika 2.11: Nastanak kardioide

28

2.5.2. Konstrukcija kardioide

Zadani su pol kardioide A i kruznica k sa sredistem u O i polumjerom |OA|. Kroz O

konstruirajmo pravac p paralelan s apcisom i pravac s paralelan s ordinatom. Sada

nacrtajmo simetrale kutova koje tvore pravci p i s. Nastavimo raditi simetrale kutova

dok krug nije podijeljen na 16, 32 ili 64 jednakih dijelova. Vise podjela na krugu,

kardioida ce biti tocnija. U dobivenim tockama na kruznici k konstruirajmo kruznice

koje prolaze kroz A.

Slika 2.12: Konstrukcija kardioide

29

2.6. Astroida

Cikloidalne krivulje, ukljucujuci i astroidu, otkrio je Roemer 1674. godine. Ime krivulje

astroida pojavljuje se prvi put 1838. godine u knjizi koja je izdana u Becu. Medutim,

ova cikloidalna krivulja se spominje i ranije, ali pod drugim imenima: kubocikloida,

paracikloida, krivulja s cetiri vrha. Jednadzba x2/3 + y2/3 = a2/3 spominje se vec 1715.

godine.

Astroida je poseban slucaj hipocikloide, koji je definiran kao zamisljena linija koju

ostavlja kruznica radijusa r koja se kotrlja unutar druge fiksne kruznice ciji radijus

iznosi 4r ili 43r.

20

2

-2

-2

4

4

-4

-4

Slika 2.13: Izgled astroide ovisno o parametru a

Promjenom konstante a mijenja se velicina astroide, odnosno mijenjaju se udaljenosti

na koordinatnim osima od ishodista; a = 1 (crveno), a = 2 (crno), a = 3 (plavo), a = 4

(narancasto), kao sto je prikazano na Slici 2.13.

30

Kartezijeva jednadzba astroide:

x23 + y

23 = a

23 (2.7)

Parametarska jednadzba astroide:

x = a cos3 t, y = a sin3 t

Polarna jednadzba astroide:

r(ϕ) =a∣∣∣ 1cosϕ

∣∣∣(tg

23ϕ+ 1

) 32

2.6.1. Konstrukcija astroide

Konstruiramo astroidu sa sredistem u B i jednim vrhom u tocki K. Neka je B ishodiste,

a K cilj (1, 0). Konstruiramo kruznicu k (B,BK) sa sredistem u tocki B, koji prolazi

tockom K. Neka je L tocka kruznice k (B,BK). Spustimo okomicu iz L prema osi

x i neka je tocka M njihovo sjeciste. Takoder, spustimo okomicu prema L na osi y,

sjeciste nazovimo N . Neka je P tocka na MN takva da su LP i MN okomite. Sada

je P tocka na trazenoj astroidi.

B

N

P

L

K

M

Slika 2.14: Konstrukcija astroide

31

Sazetak

Tema ovog rada su svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja. U uvodu je dan

kratak osvrt na otkrice krivulja kroz povijest, te jedna od glavnih podjela krivulja.

U prvom poglavlju rada kratko su navedeni i opisani pojmovi potrebni za definiranje

krivulja, takoder su dane definicije nekih svojstava krivulja. U drugom poglavlju su

definirane neke od ravninskih krivulja koje su medusobno vrlo povezane i pokazana su

neka njihova svojstva, te nacin njihove konstrukcije.

32

Summary

Properties and construction of some plane curves

This paper outlines the properties and construction of some plane curves. The intro-

duction gives short review of the discovery of curves throughout history, and one of

the main division of the curves. In the first section of the paper are given the terms

required to define the curve and the definitions of some properties of the curves. The

second section defines some of planar curves that are highly related and demonstrate

some of their properties, and the manner of their construction.

33

Literatura

[1] B. Apsen, Repetitorij vise matematike, I. dio, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1979.

[2] B. Apsen, Repetitorij vise matematike, II. dio, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1979.

[3] B. Apsen, Repetitorij vise matematike, III. dio, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1979.

[4] I. N. Bronstejn, K. A. Semendjajev, Matematicki prirucnik, Tehnicka

knjiga, Zagreb, 1975.

[5] F. M. Bruckler, Povijest matematike I, Odjel za matematiku, Osijek, 2007.

[6] F. M. Bruckler, Povijest matematike II, Odjel za matematiku, Osijek, 2009.

[7] R. Cesarec, Analiticka geometrija linearnog i kvadratnog podrucja, Skolska

knjiga, Zagreb, 1957.

[8] M. Crnjac, D. Jukic, R. Scitovski, Matematika, Ekonomski fakultet, Osi-

jek, 1994.

[9] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Osijek, 2001.

[10] V. Nice, Deskriptivna geometrija, Skolska knjiga, Zagreb, 1963.

[11] Z. Pause, Matematicki prirucnik, Skolska knjiga, Zagreb, 2004.

[12] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Skolska knjiga, Zagreb, 1979.

[13] Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg,

1994.

34

Zivotopis

Roden sam 1.veljace 1982. godine u Pozegi. Godine 1997. zavrsio sam Osnovnu skolu

Kaje Adzica u Pleternici, a 2000. godine Tehnicku skolu u Pozegi. Iste godine upi-

sao sam dodiplomski studij na Odjel za matematiku u Osijeku, smjer matematika -

informatika. Kao student cetvrte godine dobio sam Rektorovu nagradu za seminar-

ski rad ”LU-dekompozicija trodijagonalne matrice”, koji sam pisao u sklopu kolegija

Racunarski praktikum II.

35